선형계

시스템 이론에서, 선형 시스템은 선형 연산자의 사용에 기초한 시스템의 수학적 모델이다. 선형 시스템은 일반적으로 비선형 케이스보다 훨씬 간단한 특징과 특성을 나타낸다. 수학적 추상화 또는 이상화로서 선형 시스템은 자동 제어 이론, 신호 처리 및 통신에서 중요한 응용 프로그램을 찾는다. 예를 들어, 무선 통신 시스템의 전파 매체는 종종 선형 시스템에 의해 모델링될 수 있다.

정의

결정론적 연속 시간 SISO 시스템의 부가성 속성을 나타내는 블록 다이어그램. The system satisfies the additivity property or is additive if and only if

y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)

for all time

t

and for all inputs

x_{1}(t)

and

x_{2}(t)

. Click image to exp그리고 그것은.

결정론적 연속시간 SISO 시스템의 동질성 속성을 나타내는 블록 다이어그램. The system satisfies the homogeneity property or is homogeneous if and only if

y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)

for all time

t

, for all real constant

a

and for all input

x_{1}(t)

. Click image to expand it.

결정론적 연속 시간 SISO 시스템의 중첩 원리를 나타낸 블록 다이어그램. The system satisfies the superposition principle and is thus linear if and only if

y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)

for all time

t

, for all real constants

a_{1}

and

{\displaystyle a

_{2}}:

모든

a_{2}

x_{1}(t)

x_{1}(t)

x_{1}(t)

( t

x_{1}(t)

)

{\displaystyle x_{1}(

x_{2}(t)

)}

및

x_{1}(t)

x_{2}(t)

x_{2}(t)

(

x_{2}(t)

t

x_{2}(t)

)

{\displaystyle x_{2}(t

확장하려면 이미지를 클릭하십시오.

일반적인 결정론적 시스템은 입력, $x (t)$ 를 매핑하는 연산자 $H$ 에 의해 블랙박스 설명의 일종인 출력, $y (t)$ 에 $대한$ t의 함수로서 설명될 수 있다.

시스템은 중첩 원리를 만족하거나 제한 없이 부가성과 동질성을 동등하게 모두 만족하는 경우에만 선형이다(즉, 모든 입력에 대해 모든 스케일링 상수와 전체 시간).^[1]^[2]^[3]^[4]

중첩 원리는 시스템에 대한 입력의 선형 결합이 개별 입력에 해당하는 개별 제로 상태 출력(즉, 초기 조건을 0으로 설정하는 출력)의 선형 조합을 생성하는 것을 의미한다.^[5]^[6]

동질성 특성을 만족하는 시스템에서 입력의 크기를 조정하면 항상 동일한 인자에 의한 제로 상태 응답의 크기를 조정하게 된다.^[6] 부가성 속성을 만족시키는 시스템에서, 두 개의 입력을 추가하면 항상 개별 입력으로 인해 해당 두 개의 제로 상태 반응이 추가된다.^[6]

수학적으로, 연속 시간 시스템의 경우, 두 개의 임의 입력이 주어진다.

x_{1}(t)

x_{2}(t)

각각의 제로스테이트 생산물뿐 아니라

y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}}

y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}}

그러면 선형 시스템이 만족해야 한다.

\property y_{1}(t)+\properties y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}}

스칼라 값 $α$ 및 $β$ , 입력 신호 $x 1 (t)$ 및 $x 2 (t$ )에 대해 $,$ 그리고 모든 시간 $t$ 에 대해.

그런 다음 시스템은 $H$ ( $x (t)$ = $y$ ( $t)$ 등식으로 정의되며, $여기$ 서 $y ($ t)는 시간의 어떤 임의 함수, $x (t)$ 는 시스템 상태를 의미한다. $y (t)$ 와 $H$ 가 주어지면 $x (t$ )에 대해 시스템을 해결할 수 있다 $.$

복잡한 입력에 따른 결과 시스템의 동작은 단순한 입력에 대한 반응의 합으로 설명할 수 있다. 비선형 시스템에서는 그러한 관계가 없다. 이 수학적 특성은 많은 비선형 시스템보다 모델링 방정식의 해답을 단순화한다. 시간 변이성 시스템의 경우 이는 단위 임펄스 또는 주파수 성분의 관점에서 일반 입력 함수 $x (t)$ 를 설명하는 임펄스 응답 또는 주파수 응답 방법(LTI 시스템 이론 참조)의 기초가 된다.

선형 시간 변이 시스템의 대표적인 미분방정식은 연속 케이스의 라플라스 변환과 이산 케이스(특히 컴퓨터 구현의 경우)의 Z 변환을 이용한 분석에 잘 적응되어 있다.

또 다른 관점은 선형 시스템에 대한 해법이 기하학적 의미에서의 벡터처럼 작용하는 함수의 체계를 구성한다는 것이다.

선형 모델의 일반적인 용도는 선형화에 의한 비선형 시스템을 설명하는 것이다. 이것은 보통 수학적인 편의를 위해 행해진다.

선형 시스템의 이전 정의는 SISO(단일 입력 단일 출력) 시스템에 적용할 수 있다. For MIMO (multiple-input multiple-output) systems, input and output signal vectors ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ ) are c입력 및 출력 신호( $x_{1}(t)$ $x_{1}(t)$ ( $x_{1}(t)$ ) ${\displaystyle x_{1}($ $t$ $x_{1}(t)$ x $x_{2}(t)$ ( ) ${\displaystyle x_{2}(t)},$ y $y_{1}(t)$ ( $y_{1}(t)$ ) ${\displaystyle y_$ {1 $}(t)},$ $y_{2}(t)$ 2 ( $y_{2}(t)$ ) ${\displaystystyley y_{2}(t)$ ^[2]^[4] .

이 선형 시스템의 정의는 미적분학의 선형 미분 방정식, 그리고 선형 대수학의 선형 변환의 정의와 유사하다.

예

단순 고조파 오실레이터는 미분 방정식을 준수한다.

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

( x

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

) d

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

2

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

=

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

-

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx

.

만약

{\displaystyle H(x(t)=m{\frac {d^{2}(x(t))

}}{dt^{2}}+kx(t

그러면 $H$ 는 선형 연산자다. $y (t)$ = $0$ 으로 두면서, 우리는 $미분 방정식$ 을 H $(x (t)$ = $y$ (t)로 다시 쓸 수 있는데 $,$ 이것은 단순한 고조파 오실레이터가 선형계임을 보여준다.

Other examples of linear systems include those described by $y(t)=k\,x(t)$ , $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ , $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ , 그리고 일반적인 선형 미분 방정식으로 기술된 모든 시스템.^[4] Systems described by $y(t)=k$ , $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ , $y(t)=\sin {[x(t)]}$ , $y(t)=\cos {[x(t)]}$ , $y(t)=x^{2}(t)$ , $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ ( $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ ) $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ = x $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ ( t $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ ) = $y(t)={\sqrt {x(t)}}$ ( $t)={\sqrt{x(t$ $y(t)=|x(t)|$ ( $y(t)=|x(t)|$ ) = $y(t)=|x(t)|$ ( t $y(t)=|x(t)|$ ) $displaystyle y(t)=$ x $(t)$ 그리고 선형 영역과 포화(supposition) 영역으로 구성된 홀수 출력 시스템을 항상 충족하지 않기 때문에 비선형이다.^[7]^[8]^[9]^[10]

선형 시스템의 출력 대 입력 그래프는 원점을 통과하는 직선일 필요는 없다. 예를 들어, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ ( $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ ) = $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ x ( $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ ) $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ {\ $dplaystyle$ y( $t)=k\,{\fract {d}$ x $(t)}{\mathrm {d} t}}}($ 예: 정전용 캐패시턴스 캐패시터 또는 정전용 인덕턴스 인덕터)로 설명된 시스템을 고려해 보십시오. 중첩 원리를 만족시키기 때문에 선형이다. 그러나 입력이 정현일 때는 출력도 정현상이므로 그 출력입력도는 원점을 통과하는 직선이 아니라 원점을 중심으로 하는 타원형이 된다.

또한, 선형 시스템의 출력은 입력이 사인파인 경우에도 고조파(그리고 입력보다 더 작은 기본 주파수를 가질 수 있다)를 포함할 수 있다. $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ 를 들어, $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ( $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ t $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ) = $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ( 1. $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ + $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ( $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ) $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ ( t ) x ( ) ${\displaystyle$ y $(t)=($ 1. $5+\cos {(t)}\$ x(t)}\,x( $t)})$ 로 기술된 시스템을 생각해 보자 $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ 중첩 원리를 만족하기 때문에 선형이다. However, when the input is a sinusoid of the form $x(t)=\cos {(3t)}$ , using product-to-sum trigonometric identities it can be easily shown that the output is ${\displaystyle y(t)=1.$ $5\cos {(3t)+0.$ $5\cos {(2t)+0.$ $5\cos{(4t)},$ 즉 출력은 입력(3 rad/s)과 동일한 주파수의 사인파(synuse)로만 구성되는 것이 아니라 2 rad/s와 4 rad/s의 주파수(synuse)로 구성된다. 나아가 출력 사인파(synusid)의 기본 주기에서 최소 공통 배수를 취하면 출력의 기본 각도 주파수는 다음과 같은 것을 알 수 있다. 입력과 다른 1 rad/s.

시간변동충동반응

선형 시스템의 시간 변동 임펄스 응답 $h (t 2,$ $t 1)$ 는 시간 $t$ = $t$ 에₁ 적용된 단일 임펄스에 대한 시간 t = t 시스템의₂ 응답으로 정의된다. 즉, 선형 시스템에 대한 입력 $x (t)$ 가 다음과 같은 경우

x(t)=\display(t-t_{1})

여기서 $Δ(t)$ 는 Dirac 델타 함수를 나타내며, 시스템의 해당 응답 $y (t)$ 는 다음과 같다.

y(t) _{t=t_{2}}=h(t_{2}},t_{1}}

그 다음 함수 $h (t 2,$ $t 1)$ 는 시스템의 시간 변화 임펄스 응답이다. 입력을 적용하기 전에 시스템이 응답할 수 없으므로 다음과 같은 인과관계 조건이 충족되어야 한다.

h(t_{2},t_{1}=0,t_{2}<t_{1}}

콘볼루션 적분

일반 연속 시간 선형 시스템의 출력은 인과관계 조건 때문에 두 배의 무한 범위에 걸쳐 기록될 수 있는 적분의 입력과 관련된다.

y(t)=\int _{-\nft_{t}h(t,t')x(t')x(t)=\int _{-\nft_{-\nft }^{\nft }h(t,t')x(t)dt}

계통의 특성이 작동 시간에 따라 달라지지 않는다면 시간 변화량이라고 하며, $h$ 는 $시간$ $차이$ $0$ = $t$ - $t'$ 의 함수로서, < < 0에 대해서는 0이다( $명칭$ t < t>). $h$ 의 재정의를 통해 어떤 방법으로든 입출력 관계를 동등하게 작성할 수 있다.

y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau

선형 시간 변이 시스템은 일반적으로 다음과 같은 전달 함수라고 불리는 임펄스 반응 함수의 라플라스 변환으로 특징지어진다.

H(s)=\int _{0}^{\npt}h(t)e^{-st}\,dt.

응용 프로그램에서 이것은 보통 $s$ 의 합리적인 대수 함수다. $h (t)$ 는 음의 $t$ 에 대해 0이기 때문에, 적분은 두 배의 무한 범위에 걸쳐 균등하게 쓰여질 수 있으며, $putting$ s = $iΩ$ 은 주파수 응답 함수에 대한 공식을 따른다.

H(i\omega )=\int_{-\infit }^{\\h(t)e^{-i\omega t}dt

이산 시간 시스템

불연속 시간 선형 시스템의 출력은 시간 변동성 콘볼루션 합에 의한 입력과 관련이 있다.

y[n]=\sum _{m=-\infit }^{n}{h[n],m]x[m]}=\sum _{m=-\infit }^{h[n],m]}}}}

또는 h(),의 재정립에 대한 시간-변수 시스템에 동등하게 적용됨

y[n]=\sum _{k=0}^{\infit }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infit }^{h[k]x[n-k]}}}}}}}}}}}}

어디에

k=n-m\,

시간 m에서의 자극과 시간 n에서의 반응 사이의 지연 시간을 나타낸다.

참고 항목

참조

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