한정 행렬

In mathematics, a symmetric matrix ${\displaystyle M}$ with real entries is positive-definite if the real number ${\displaystyle z^{\textsf {T}}Mz}$ is positive for every nonzero real column vector ${\displaystyle z,}$ where ${\displaystyle z^{\textsf {T}}}$ is the transpose of ${\displa$만약 진짜 숫자 z∗ Mz{\displaystyle z^{*}Mz}마다 조금이라도 복잡한 열벡터 z, 여기에서 z∗{\displaystyle z^{*}}은 켤레 tran을 의미한다{\displaystyle z,}에 긍정적이다Ystyle z}.[1]더 일반적으로, 헤르미 이트 행렬(그것은, 복잡한 매트릭스의 켤레에 동등한 바꿔 놓다.)positive-definite 있다.spo$z$의 se${\displaystyle .}$ ${\displaystyle z.$$}$

스칼라 z ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle M^{}}$ ${\displaystyle z^{\textsf{T}Mz}$ $및$ z ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ z$^{*}Mz}$가 양수 또는 0(비음수)이어야 한다는 점을 제외하고 양의 반확정 행렬은 유사하게 정의된다.부확정 행렬과 부확정 행렬은 유사하게 정의된다.양의 반정확도가 아니고 음의 반정확도가 아닌 행렬을 무기한이라고 부르기도 한다.

따라서 행렬은 만약 그것이 양-확정성 2차 형태 또는 은둔성 형태의 행렬인 경우에만 양-확정성이 있다.즉, 매트릭스는 내부 제품을 정의한 경우에만 양립할 수 있다.

긍정-확정성 및 양-세미드피니트 행렬은 여러 가지 방법으로 특징지어질 수 있는데, 이것은 수학의 다양한 부분에서 개념의 중요성을 설명할 수 있을 것이다.행렬 M은 다음과 같은 동등한 조건 중 어느 하나를 만족하는 경우에만 양립할 수 있다.

• M은 양의 실제 입력이 있는 대각 행렬과 일치한다.
• M은 대칭 또는 에르미트어이며, 그것의 모든 고유값은 실제적이고 양적이다.
• M은 대칭 또는 에르미트어로, 주요 미성년자는 모두 양성이다.
• $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ B${\displaystyle {}^{}}$$∗{\displaystyle$ $B$$}$과$($와) 같은 변위성 $매트릭스{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle$ B $exists$ {\$displaystyle B}$이(가) 있다.$}$

매트릭스는 "양성"이 "비음성"으로 대체되고 "불변성 매트릭스"가 "매트릭스"로 대체되는 유사한 등가 조건을 만족하는 경우 양의 반정확성이다.

양성-확정성 및 양성-세미드피니트 실제 행렬은 볼록 최적화의 기초에 있다. 왜냐하면, 두 배 다른 실제 변수의 함수를 고려할 때, 헤시안 행렬(제2의 부분파생물의 행렬)이 p 지점에서 양성-확정성이면 기능은 p에 가깝게 볼록하고, 반대로 funct가 있으면 볼록이 된다.이온은 p 근처에 볼록한 다음, 헤시안 행렬은 p에서 양-세미드핀산이다.

일부 저자는 일부 비대칭 실제 행렬 또는 비 Hermitian 복합 행렬을 포함하여 더 일반적인 정의 정의를 사용한다.

In the following definitions, ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}}$ is the transpose of ${\displaystyle \mathbf {x} }$, ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ is the conjugate transpose of ${\displaystyle \mathbf {x} }$ and ${\displaystyle \mathbf {0} }$ denotes the n-dimensional ze로-트레이크

실제 행렬에 대한 정의

An ${\displaystyle n\times n}$ symmetric real matrix ${\displaystyle M}$ is said to be positive-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} >0}$ for all non-zero ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Formally,

An ${\displaystyle n\times n}$ symmetric real matrix ${\displaystyle M}$ is said to be positive-semidefinite or non-negative-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$ for all ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$$. 형식적으로.

An ${\displaystyle n\times n}$ symmetric real matrix ${\displaystyle M}$ is said to be negative-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} <0}$ for all non-zero ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Formally,

An ${\displaystyle n\times n}$ symmetric real matrix ${\displaystyle M}$ is said to be negative-semidefinite or non-positive-definite if ${\displaystyle x^{\textsf {T}}Mx\leq 0}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Formally,

$양$의 세미더마인이트나 음의 세미더마인트가 아닌 n ×${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 대칭$$ 실제 행렬을 무기한이라고 한다.

복잡한 행렬에 대한 정의

다음 정의에는 모두 $x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M\mathbf{}}$ x ${\$이라는 용어가 포함되며$,$ 이는 모든 Emidian 제곱 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 실제 숫자임을 유의하십시오$.$

An ${\displaystyle n\times n}$ Hermitian complex matrix ${\displaystyle M}$ is said to be positive-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} >0}$ for all non-zero ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Formally,

An ${\displaystyle n\times n}$ Hermitian complex matrix ${\displaystyle M}$ is said to be positive semi-definite or non-negative-definite if ${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Formally,

An ${\displaystyle n\times n}$ Hermitian complex matrix ${\displaystyle M}$ is said to be negative-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0}$ for all non-zero ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Formally,

An ${\displaystyle n\times n}$ Hermitian complex matrix ${\displaystyle M}$ is said to be negative semi-definite or non-positive-definite if ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0}$ for all ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Forma릴리,

양의 세미데마인이트도 음의 세미데마인이트도 아닌 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ Emeritian$$ complex matrix를 무기한이라고 한다.

실제 정의와 복잡한 정의 간의 일관성

모든 실제 매트릭스 또한 복잡한 매트릭스이기 때문에, 두 등급에 대한 "정의"의 정의는 일치해야 한다.

복잡한 행렬의 경우, 가장 일반적인 정의에 따르면 "${\displaystyle }${\$displaystyle$M}은($$는) z${\displaystyle {}^{}}$complex M ${\displaystyle z\mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {z}^{*}M\mathbf {z}}$이(가) 0이 아닌 모든 복합 열 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ z ${\$ "}"에 대해 실재와 양수정이 있다.이 조건은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 에르미트어(즉, 그것의 전이가 그것의 결합과 동일함)임을$$ 의미한다.To see this, consider the matrices ${\textstyle A={\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}$ and ${\textstyle B={\frac {1}{2i}}\left(M-M^{*}\right)}$, so that ${\displaystyle M=A+iB}$ and ${\displa$$ystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}A\mathbf {z} +i\mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$. The matrices ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are Hermitian, therefore ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}A\mathbf {z} }$ and ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$ are in개별적으로 실재하는If ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ is real, then ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$ must be zero for all ${\displaystyle \mathbf {z} }$. Then ${\displaystyle B}$ is the zero matrix and ${\displaystyle M=A}$, proving that ${\displaystyle M}$$$ 에르미트인이다.

By this definition, a positive-definite real matrix ${\displaystyle M}$ is Hermitian, hence symmetric; and ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} }$ is positive for all non-zero real column vectors ${\displaystyle \mathbf {z} }$. However the last condition alone is not sufficient for ${\displaystyle M}$$긍정-확정성$을 갖도록$$ M$.$예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1\end{bmatrix},}$

then for any real vector ${\displaystyle \mathbf {z} }$ with entries ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ we have ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}}$, which is always positive if $z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 0이$$ 아니면 positive.$그러나{\displaystyle }$ $z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가$)$ 항목 $1$이 있는 복잡한 벡터인$$ 경우$$\$displaystyle i}$을$($를$)$ 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {z}^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}}}}M{\begin{bmatrix}1\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\bmatrix}}{\bmatrix}=2+2i}$

그건 진짜가 아니야따라서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 양정확자가 아니다$$.

On the other hand, for a symmetric real matrix ${\displaystyle M}$, the condition "${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} >0}$ for all nonzero real vectors ${\displaystyle \mathbf {z} }$" does imply that ${\displaystyle M}$ is positive-definite in the complex sense.

표기법

If a Hermitian matrix ${\displaystyle M}$ is positive semi-definite, one sometimes writes ${\displaystyle M\succeq 0}$ and if ${\displaystyle M}$ is positive-definite one writes ${\displaystyle M\succ 0}$. To denote that ${\displaystyle M}$ is negative semi-definite one writes ${\displaysty$$LE$ M$\preceq 0}$과(와$)$ $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ M$$}이$($가) 음의 정의임을 나타내기 위해 M${\displaystyle \mathrm{one}}$ 0 ${\displaystyle M\prec 0}$을(를) 쓴다$.$

이 개념은 양성 반피니트 행렬이 양성 연산자를 정의하는 기능 분석에서 비롯된다.If two matrices ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ satisfy ${\displaystyle B-A\succeq 0}$, we can define a non-strict partial order ${\displaystyle B\succeq A}$ that is reflexive, antisymmetric, and transitive; It is not a total order, however, as ${\displaystyle B-A}$ in general may무기한이다

일반적인 대체 표기법은 각각 양수 반정확률과 양수확률, $음수확률$, 음수확률, 음수확률 및 ${\displaystyle \mathrm{음수확률}}$의 $경우$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle M$$>0$$},$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle M<$0$}$이다.때로는 음이 아닌 행렬(존중적으로, 양성이 아닌 행렬)도 이러한 방식으로 표시되기 때문에 이는 혼란스러울 수 있다.

예

아이겐값

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ Emidant$$ 행렬(실제 대칭 행렬 포함).$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 고유값은 실제 값이며$$, 그 부호는 그 명확성을 특징으로 한다.

• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 모든 고유값이 양수인 경우에만 양수 확정적이다$$.
• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 모든 고유값이 음수가 아닌 경우에만 양의 반확정이다$$.
• ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 고유값이$음수$인 경우에만 M {\$displaystyle$ M}이(가$)$ 음수확정임$$
• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 모든 고유값이 양성이 아닌 경우에만 음의 반확정이다.
• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 양의 고유값과 음의 고유값을 모두 갖는 경우에만 무기한이다$$.

Let ${\displaystyle PDP^{-1}}$ be an eigendecomposition of ${\displaystyle M}$, where ${\displaystyle P}$ is a unitary complex matrix whose columns comprise an orthonormal basis of eigenvectors of ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle D}$ is a real diagonal matrix whose main diagonal contains t그에 상응하는 고유값.$매트릭스{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$은(유전자 벡터) $기준{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle$P}의 좌표로 다시 표현된$$ $대각{\displaystyle }$ 행렬$$D {\$displaystyle$ D$}$로 간주할$$ 수 있다$.$ 다르게 표현하면 Mz를 부여한 $일부{\displaystyle }$ 벡터 z에 M ${\displaystystyle$ M$}$을 적용하면 기본을 고유 벡터 좌표로 변경하는 것과 같다.P를⁻¹ 사용하는 시스템, Pz를⁻¹ 주고, 결과에 스트레칭 변환 D를 적용하여 DPz를⁻¹ 준 다음, 다시 기본 P를 변경하여 PDPz를⁻¹ 부여한다.

With this in mind, the one-to-one change of variable ${\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {z} }$ shows that ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ is real and positive for any complex vector ${\displaystyle \mathbf {z} }$ if and only if ${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}$$D\mathbf {y} }$은(는) 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$에 대해 실제적이고 양수인$$ 경우, 즉 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$이(가) 양수인$$ 경우.대각 행렬의 경우 이는 주 대각선의 각 요소, 즉 M ${\displaystyle M}$의 모든 고유값이$$양수인 경우에만 참이다.스펙트럼 정리는 은둔자 행렬의 모든 고유값을 현실로 보장하므로, 실제 대칭 $행렬{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 특성 다항식을 이용할$$ 수 있을 때 데카르트의 교대 부호 규칙을 사용하여 고유값의 긍정을 확인할 수 있다.

분해

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}$ Emidentian$$ 행렬로 두십시오$$.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 제품으로 분해할 수 있는 경우에만 양의 세미데마인산(semidefinite)임$$

${\displaystyle M=B^{*}B}$

행렬 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$과(와)의 결합 변위(transpose)가$$ 있다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 진짜일 때 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$도 진짜일 수 있고$$ 분해는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle M=B^{\textsf{T}B.}$

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) $그러한{\displaystyle }$ 분해가 B ${\displaystyle B}$ 변위$$ 불가능과 함께 존재하는 경우에만 양성으로 확정된다$$.$일반적$으로 M ${\$$displaystyle M}$은(는) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n$$ {\$displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$$}$을(를)$$ 사용하여 분해되는 경우에만$$ k $등급$이$${\$displaystyle$k}인 양의 세미데핀이다.또한 분해 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ B ${\displaystyle M=B^{*}B}$의 경우$,$ ${\displaystyle \mathrm{순위}}$ ${\displaystyle (M}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{순위}}$ ⁡(${\displaystyle B}$) = 순위 ${\displaystyle (}$B ) ${\displaysty \operatorname {rank}(M)=\operatorname {rank}(B$^[2]

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 ${\displaystyle b_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 열은 각각 복합 벡터 공간 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 벡터로 볼 수 있다$$$.$$그러면{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 항목은 이러한$$ 벡터의 내부 제품(즉, 실제 경우 도트 제품)이다.

${\displaystyle M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\angle .}$

즉, 은둔자 $행렬{\displaystyle {}_{}}$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 일부 벡터 b ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 Gram 행렬일 경우에만 양수성(양수성)이다$.$일반적으로 벡터 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 그램 행렬의 순위는 이러한 벡터에 의해 확장된 공간의 치수와 같다$$.^[3]

단일 변환까지의 고유성

The decomposition is not unique: if ${\displaystyle M=B^{*}B}$ for some ${\displaystyle k\times n}$ matrix ${\displaystyle B}$ and if ${\displaystyle Q}$ is any unitary ${\displaystyle k\times k}$ matrix (meaning ${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$), then $$${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB$$A{\displaystyle }$= Q B {\$displaystyle$ A$=QB}$에 대한 A$^{*}A$$\}.$

그러나, 이것이 두 가지 분해 방법이 다를 수 있는 유일한 방법이다: 분해는 단일 변형만큼 독특하다.More formally, if ${\displaystyle A}$ is a ${\displaystyle k\times n}$ matrix and ${\displaystyle B}$ is a ${\displaystyle \ell \times n}$ matrix such that ${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B}$, then there is a ${\displaystyle \ell \times k}$ matrix ${\displaystyle Q}$$$ 직교 열($Q{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle I_{}}$ k ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ Q$^{*}Q=)$ 포함$B{\displaystyle }$= Q ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle B=QA}$과 같은 $I_{k\times$ ${\displaystyle k}$$\}.$$$^[4]$\ell {\displaystyle }$= k ${\displaystyle \ell =k}$일 때 이는 Q ${\displaysty Q}$이(가) 단일함을 의미한다.

This statement has an intuitive geometric interpretation in the real case: let the columns of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ be the vectors ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ and ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^$${k$ 실제 단일 행렬은 직교 행렬로서 0점(즉, 회전과 반사, 번역 없이)을 보존하는 강성 변환(유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\$을 설명한다.Therefore, the dot products ${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$ and ${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$ are equal if and only if some rigid transformation of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ transforms the vectors ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ to $$${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,b_{}}$ ${\$b_{n}},$b_{n}}($및 0 ~ 0).

제곱근

행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $M$$}$은 양의 세미데마인 행렬 B ${\displaystyle B}$이(가) 있는 경우에만 양의$$ 세미데마인이다($$$특히{\displaystyle {}^{}}$ B ${\displaystyle$ B$}$이${\displaystyle {}^{}}$가$$) $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$ = ${\displaystyle B}$ ${\displaysty$ B$^{*}=B$언제 M{M\displaystyle}은 긍정적인 확실한 이 매트릭스 B{B\displaystyle}unique,[5]M{M\displaystyle}의non-negative 제곱 근, andB=M12{\displaystyle B=M^{\frac{1}{2}}과 함께 표시됩니다.}., 그렇구나 M12{\displaystyle M^{\frac{1}{2}}}, 그래서 그것은 또한 요강은 있다.시$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 tive 제곱근$.$

The non-negative square root should not be confused with other decompositions ${\displaystyle M=B^{*}B}$. Some authors use the name square root and ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$ for any such decomposition, or specifically for the Cholesky decomposition, or any decomposition of the form ${\disp$$레이스타일 M=BB$ 기타는 음이 아닌 제곱근에만 사용한다.

M > > ${\displaystyle M>N>0}$이면 12 > 2 > {\$displaystyle M^{\frac{1}{1$}:{2$}}:$ M 1 > > 0.$N^{\frac {1}{2}}>0}$.

숄스키 분해

A positive semidefinite matrix ${\displaystyle M}$ can be written as ${\displaystyle M=LL^{*}}$, where ${\displaystyle L}$ is lower triangular with non-negative diagonal (equivalently ${\displaystyle M=B^{*}B}$ where ${\displaystyle B=L^{*}}$ is upper triangular); this is the숄스키 분해.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 양수이면 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 대각선이 양수이고$$ Cholesky 분해는 고유하다.반대로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 음이 아닌 대각선으로 아래쪽 삼각형인 경우 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 양의 세미데마인이다.Cholesky 분해는 효율적인 수치 계산에 특히 유용하다.밀접하게 연관된 분해는 LDL 분해로,${\displaystyle }M{\displaystyle }$ = ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {\ast }^{}}${\$displaystyle$M=$LDL$ $여기$서 D ${\displaystyle D}$은 대각선이고 $L{\displaystyle }${\$displaystyle$L}은 하단 단위사각형이다$$.

화

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}$ Emidentian$$ 행렬로 두십시오$$.다음 속성은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 양수로 한정된$$ 것과 동일하다.

인 연된 ses sessquilinar 는는는는는는는는는는는는는는는는는는는는.

The sesquilinear form defined by ${\displaystyle M}$ is the function ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ from ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ such that ${\displaystyle \langle$$x,y\rangle :=y^{*}Mx}$ for all ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, where ${\displaystyle y^{*}}$ is the conjugate transpose of ${\displaystyle y}$. For any complex matrix ${\displaystyle M}$, this form is linear in ${\displaystyle x}$$$ $및{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$에 반선형으로 표시$.$따라서 이 ${\displaystyle {}^{}}$은 ${\displaystyle \mathrm{Cn}}$ ${\$^{$n}$ ${\displaystyle \mathrm{만약<img\; alt="\backslash mathbb\; \{C\}\; ^\{n\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.897ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="364">}}$ $⟨{\displaystyle }$ z${\displaystyle }$, z $⟩ {\displaystyle }$이(가) 0이 아닌 $z{\displaystyle }$ ${\displaysty z}$에 대해 모두 실제이고 $양$이면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M}이$$양수인 경우에만 해당된다$.$($사실{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 모든 내측 제품은 이러한 방식으로$$ 에르미타인의 양정확정 행렬로부터 발생한다.)

주요 미성년자들은 모두 긍정적이다.

매트릭스 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 k번째 선행 주성분 부성은 왼쪽 상단 k ${\displaystyle \times }$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k\times k}$ 하위 매트릭스의$$ 결정 요인이다$$.행렬은 이 모든 결정 요인이 양성이어야만 양성이 확실하다는 것이 밝혀졌다.이 조건은 실베스터의 기준으로 알려져 있으며, 대칭 실제 행렬의 양의 정의에 대한 효율적인 테스트를 제공한다.즉, 매트릭스는 가우스 제거 방법의 첫 번째 부분에서와 같이 기본적인 열 연산을 사용하여 상위 삼각 행렬로 축소되며, 선회 과정에서 결정 인자의 기호를 보존할 수 있도록 주의한다.삼각형 행렬의 k번째 선행 주성분(주성분)은 $([\displaystyle k})$까지의 대각선 원소의 산물이기 때문에 실베스터의 기준은 대각선 원소가 모두 양성인지 확인하는 것과 같다$.$이 조건은 삼각형 $행렬$의 새 행 k ${\displaystyle k}$을(를) 얻을 때마다 확인할 수 있다.

양수 반물질 행렬은 변환불능인 경우에만 양수 확정적이다.^[6]행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은$({\displaystyle }$는) - ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -M}$이(가) 양수(semi) 정의인 경우에만 음수(반미) 정의된다$$.

형태

The (purely) quadratic form associated with a real ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle M}$ is the function ${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle Q(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$ for all ${\displaystyle x}$. ${\d$$isplaystyle M}$은(는) 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$( M${\displaystyle }$+ ${\displaystyle M^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\${1$}{1$}:{2$}}\왼쪽(M+M^{\textsf{T}\오른쪽)$으로 대체하여 대칭으로 가정할 수 있다$$$.$

대칭 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 이의 2차 형태가 엄격히 볼록한 함수인 경우에만 양수로 확정된다$$.

More generally, any quadratic function from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ can be written as ${\displaystyle x^{\textsf {T}}Mx+x^{\textsf {T}}b+c}$ where ${\displaystyle M}$ is a symmetric ${\displaystyle n\times n}$ matrix, $$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$은(는) 실제 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -displays이고$$, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c$}은$$(는) 실제 상수다.이 2차 함수는 엄격히 볼록하며, $따라서{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$ M$}$이(가) 양의$$ 한정된^{[citation needed]} 글로벌 최소값을 가진다.이러한 이유로 긍정적인 확정 행렬은 최적화 문제에 중요한 역할을 한다.

대칭 행렬과 또 다른 대칭 및 양의 한정 행렬은 유사성 변환을 통해 반드시 대각선화되지는 않지만 동시에 대각선화될 수 있다.이 결과는 행렬이 3개 이상인 경우로 확장되지 않는다.이 섹션에서는 실제 사례를 설명한다.복잡한 사건에 대한 확장은 즉각적이다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 대칭으로 $하고{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle N$}을(를) 대칭$$ 및 양의 한정 행렬로 한다$$.Write the generalized eigenvalue equation as ${\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0}$ where we impose that ${\displaystyle x}$ be normalized, i.e. ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}N\mathbf {x} =1}$. Now we use Cholesky decomposition to write the inverse of $$${\displaystyle N}$ as ${\displaystyle Q^{\textsf {T}}Q}$. Multiplying by ${\displaystyle Q}$ and letting ${\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\textsf {T}}\mathbf {y} }$, we get ${\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)$$Q^{\textsf {T}}\mathbf {y} =0}$, which can be rewritten as ${\displaystyle \left(QMQ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} }$ where ${\displaystyle \mathbf {y} ^{\textsf {T}}\mathbf {y} =1}$. Manipulation now yields ${\displaystyle MX=NX\Lambda }$ where $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 일반화된 고유 벡터를 열로 하는 행렬이며, $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$은 일반화된 고유값의 대각 행렬이다.Now premultiplication with ${\displaystyle X^{\textsf {T}}}$ gives the final result: ${\displaystyle X^{\textsf {T}}MX=\Lambda }$ and ${\displaystyle X^{\textsf {T}}NX=I}$, but note that this is no longer an orthogonal diagonalization with respect to the inner product where ${\displaystyle {\mathbf{y}}^{}}$${\displaystyle {\mathsf{\text{T}}}^{}}$ ${\displaystyle y^{}\mathbf{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{\textsf {T}\mathbf {y} =1$ 실제로 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 유도한 내부 제품에 대해$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(으) 대각선화했다$.$^[7]

이러한 결과는 유사성 변환에 의한 동시 대각화를 가리키는 대각성 매트릭스 기사의 동시 대각화에 관한 설명과 모순되지 않는다는 점에 유의한다.여기서의 결과는 2차 형태의 동시 대각화와 더 유사하며, 다른 조건 하에서 한 형태의 최적화에 유용하다.

특성.

유도 부분순서

${\displaystyle \mathrm{임의}}$ 제곱 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$\},$ N ${\displaystyle$ $N$$}$의 경우 M${\displaystyle }$- N ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M-N\geq 0},$ 즉$$ $M{\displaystyle }$- ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M-N}$이 양의$$ 반확정성인 경우$$ $M{\displaystyle }$ N ${\displaystyptym$ N$}$을 쓴다.이것은 모든 정사각형 행렬의 집합에 부분적인 순서를 정의한다.이와 비슷하게 엄격한 부분 M> ${\displaystyle M>N}$을 정의할 수 있다 순서를 루우너 순서라고 한다.

양의 한정 행렬의 역행렬

모든 양의 확정 행렬은 되돌릴 수 없고 그 역행렬 또한 양의 확정 행렬이다.^[8]If ${\displaystyle M\geq N>0}$ then ${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0}$.^[9] Moreover, by the min-max theorem, the kth largest eigenvalue of ${\displaystyle M}$ is greater than the kth largest eigenvalue of ${\displaystyle N}$.

스케일링

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 양의 이고r > {\$displaystyle$ r$>0}$이(^[10]가) 실수인 경우 ${\displaystyle r}$ $M{\displaystyle }$ ${\displaysty rM}$은 양의 한정자임$$.

덧셈

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및 $N$ ${\displaystyle N}$이(가) 양의 정의라면 $M{\displaystyle }$+ N ${\displaystyle M+N}$의 합도 양의 정의가 된다$$.^[10]
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$${\displaystyle \}}$이(가) 양-십-십-십-십-십-십-십-십-십-십이면 M+${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$M+$N}$도 양-십-십-십-십-십-십-십-십-십이다.
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 양의-확정이고 N ${\displaystyle N}$이(가) 양의-세미드핀라이트인 경우, $M{\displaystyle }$+ ${\displaystyle N}${\$displaystyle$M+$N}$의 합도 양의-확정성이 된다$$.

곱하기

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과($)$ N {\$displaystyle$ N$$$}$이(가) 양수라면 $M{\displaystyle }$ N ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MNM}$과(와) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaysty NMN}$ 제품도 양수다$$.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN=NM$인 경우 ${\displaystyle M}$ N ${\displaystyle MN}$도 양수 확정이다$$.
• If ${\displaystyle M}$ is positive semidefinite, then ${\displaystyle A^{*}MA}$ is positive semidefinite for any (possibly rectangular) matrix ${\displaystyle A}$. If ${\displaystyle M}$ is positive definite and ${\displaystyle A}$ has full column rank, then ${\displaystyle A^{*}MA}$$$ 확실하다.^[11]

트레이스

양성-세미드피니트 행렬의$$ 대각선 ${\displaystyle {\mathrm{항목}}_{}}$ $m{\displaystyle {}_{}}$ i$${\$displaystyle m_{$ii}}은(는) 실제 및 비음성이다.그 결과, ${\displaystyle \mathrm{tr}(}$ (${\displaystyle M}$ )${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle \operatorname {tr}$ ($M)\geq$ 0$\}.$ 게다가 모든 주요 하위 매트릭스(특히 2-by-2)는 양의 세미드핀라이트(semidefinite)이므로,^[12]

${\displaystyle \left m_{ij}\right \leq {\sqrt {m_{ii}m_{ii}}}\properties \fall i,j}$

따라서 n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$ 1$}$이(가) 생성되면$,$

${\displaystyle \max_{i,j}\왼쪽 m_{ij}\오른쪽 \leq \max_{i}m_{ii}}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ Emidantian$$ $행렬{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$이(가) 다음과 같은 미량 불평등을 충족한다면 양적으로 확실하다$$.^[13]

${\displaystyle \operatorname {tr}(M)0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr}(M))^{2}}{\\operatorname {tr}(M^{2})}}}}n-1).}$

또 다른 중요한 결과는 모든 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ $및{\displaystyle }$ N$$ ${\displaystyle N}$ 양의 semidefinite$$ 행렬에 대해 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{MN}}$) ${\displaystyle$\operatorname {$tr}(MN)\geq 0}$

하다마드 제품

${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M,N\$geq $0}$이$($가) M {\$displaystyle MN}$이(가) 양수 반피니트가 필요하지는 않지만, Hadamard $제품$은 M${\displaystyle n}$ N${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle M\circircirq 0$($$이 결과를 종종 슈어 제품 정리라고 한다).^[14]

${\displaystyle \mathrm{두}}$ 가지 양의 세미더파인 $행렬{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$) $≥$ 0 {\$displaystyle M=(m_{ij}\geq$0$\},$ $N{\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$N\$geq$ 0$}$의 Hadamard 제품과 관련하여 주목할 만한 두 가지 불평등이 있다$.$

• 오펜하임의 부등식: ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle (M}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {det}_{}}$ ${\displaystyle (N}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.$$}$^[15]
• ${\displaystyle det}$( ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \circ }$ N${\displaystyle }$)${\displaystyle det}$ (${\displaystyle }$M${\displaystyle }$) ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle N}$) det $(\displaystyle \det(M\circle$ N$)\geq \det(M)\det(N)}$^[16].

크로네커 제품

${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle M$$,N\geq$ 0$}$이$($가$)$ $필요$한 양의 세미데마나이트는 아니지만$$, Kronecker 제품 $M{\displaystyle }$$$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M\otimes N\geq$ 0$\}.$

프로베니우스 제품

만약 $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{N}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle M,N\geq 0}$이(가$)$ M ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle MN}$이(가) 양수 반피니트가 필요하지 않더라도 Probenius 내부 제품 $M{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{N}}$≥ 0 ${\displaystyty M:$$N\geq 0}($랜캐스터-티스메네츠키, <매트릭스 이론>, 페이지 218).

볼록도

양수 세미데핀 대칭 행렬의 집합은 볼록하다.즉, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과($)$ N {\$displaystyle$ N$$$}$이(가) 양의 세미데마파인 경우 0과 1 사이의$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$alpha }$에 ${\displaystyle 대해}$ ${\displaystyle \alpha }$ M +${\displaystyle }$(${\displaystyle 1\mathrm{}}$ $α$ )${\displaystyle }$N ${\displaystystylepha M+\좌측$(1-$\alpha \rig)$$N}$은(는) 또한 양성의 세미데마인이다.벡터 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 경우$:$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}\왼쪽(\alpha M+\left(1-\alpha \오른쪽)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\textsf {T}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\textsf {T}N\mathbf {x} \geq 0.}$

이 특성은 세미데드파인 프로그래밍 문제가 전 세계적으로 최적의 솔루션으로 수렴된다는 것을 보장한다.

코사인과의 관계

The positive-definiteness of a matrix ${\displaystyle A}$ expresses that the angle ${\displaystyle \theta }$ between any vector ${\displaystyle \mathbf {x} }$ and its image ${\displaystyle A\mathbf {x} }$ is always ${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2}$:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\widehat {\mathbf {x} ,A\mathbf {x} }}={\text{the angle between }}\mathbf{x} {\text{ 및 }A\mathbf {x} }$

추가 특성

1. 만약 M{M\displaystyle}은 대칭 테플리츠 행렬, 엔트리를 나는{\displaystyle m_{ij}}그들의 절대 지수 차이의 함수로 지정됩니다 j 치고:나는 mj)h({\displaystyle m_{ij}(i-j)}, 있고, 엄격한 불평등 ∑ j≠ 0h(j)<>h(0){\textstyle \sum_{j\n.eq$0}\좌측 h(j)\우측 <h(0)}$ holds, 그러면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 엄격히 양수확정이다.
2. > ${\displaystyle M>0}$과($)$ N {\$displaystyle N}$을(를$$) 에르미타어로 한다.${\displaystyle \mathrm{M}}$ ${\displaystyle N}$+ N ${\displaystyle M}$≥ 0 ${\displaystyle MN+$$\geq$ 0$}($resp, M + > ${\displaystyle MN+NM$> 0이면 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\geq$0}($$resp, > 0{\$displaystyle N$> 0$)$이다.^[17]
3. > ${\displaystyle M>0}$이(가) 실제인 경우, > I ${\displaystyle M}\delta I}$과와) 같은 > ${\displaystyle \delta$ >$0}$이(가) 있으며, $여기$서 I ${\displaystyle$ I$}$은 ID 행렬이다.
4. ${\displaystyle {Mk}_{}}$ ${\$이 선행 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ k ${\displaystyle k_\times$ k$}$ 마이너를$$ 나타내는$$ 경우 ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle M_{}}$k${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle {\mathrm{M}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$\det \$lefteftefteped(M_${k_{k$)$은 LU 분해 중 k번째 피벗이다$.$
5. 행렬은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이(가) 홀수일$$ 때는 음수이고 k ${\displaystyle k}$이(가) 짝수일$$ 때는 양수일 경우 음수확정이다.

은둔자 행렬은 모든 주요 미성년자가 음성이 아닌 경우에만 양성이 된다.그러나 0번과 -1번 항목이 있는 대각 행렬에서 확인되듯이 주요 미성년자만을 고려하는 것은 충분하지 않다.

블록 행렬 및 하위 행렬

양의 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 행렬도$$ 블록으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

여기서 각 블록은 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$\}.$ 긍정 조건을 적용하면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 에르미트인이 되고$$, $C{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$B^{*}}가 된다$.$

We have that ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$ for all complex ${\displaystyle \mathbf {z} }$, and in particular for ${\displaystyle \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\textsf {T}}}$. Then

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v}^{*&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}A&gt;B\\\B^{*}&D\end{bmatrix}{\bgin{bmatrix}\mathbf {v}\\0\end{bmatrix}=\mathbf {v}^{*}A\mathbf {v}\mathbf {v}\geq 0.}$

$유사$한 인수를$$D {\$displaystyle D$에 적용할 수 있으므로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 D$$ ${\displaystyle$ D$}$이(가) 모두 양적으로 확실해야 한다는$$ 결론을 내린다.이 $주장$은$$M {\$displaystyle$ M$}$의 주요 하위 거주자 그 자체가 양적으로 확실하다는$$ 것을 보여주기 위해 확장될 수 있다.

컨버스 결과는 예를 들어 슈르 보완장치를 사용하여 블록에 더 강한 조건으로 증명될 수 있다.

국소극

A general quadratic form ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ on ${\displaystyle n}$ real variables ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ can always be written as ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} }$ where ${\displaystyle \mathbf {x} }$ is the co이러한 변수가 포함된 lumn 벡터, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 대칭 실제 행렬이다.따라서 행렬이 양수라는 것은 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이$($가) 0일 때 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \mathbf ${x}$이$($가) 고유한 최소값(0)을 가지며$$, $다른{\displaystyle \mathbf{}}$ x$${\$displaysty \mathbf$ {x$\}$에 대해 엄격하게 양의 값을 갖는다는 것을 의미한다.

보다 일반적으로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 실제 변수에 대해$$ 두 번 구별 가능한 실제 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$}$은(는) 인수 $x{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에서 구분이 0이고 해당 시점의 헤시안(모든 두 번째 파생상품의 행렬)이 양의 반확률이면 로컬 최소값을 갖는다.부정확정 및 반확정 행렬에 대해서도 유사한 진술을 할 수 있다.

공분산

통계에서 다변량 확률 분포의 공분산 행렬은 항상 양의 반확률이며, 한 변수가 다른 변수의 정확한 선형 함수가 아닌 한 양성이 확실하다.반대로 모든 양의 반확정성 행렬은 일부 다변량 분포의 공분산 행렬이다.

비 Hermitian 제곱 행렬의 확장

긍정적인 확실한의 정의 만약ℜ(z∗ Mz)을{M\displaystyle}긍정적인 확실한로(예를 들어 진짜non-symmetric)의 어떤 복잡한 매트릭스 M지정함으로써, 모든 0이 아닌 복잡한 벡터에 0{\displaystyle \Re \left(\mathbf{z}^{*}M\mathbf{z}\right)>0}({\displaystyle \mathbf{z}}, 보편화될 수 있다.어디${\displaystyle \mathrm{\Re }}$(${\displaystyle c}$) ${\displaystyle \Re (c)}$은 복잡한 숫자 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 실제 부분을 가리킨다$$$.$^[18] 오직 은둔자 $파트\frac{\mathrm{}}{}$ 1$\frac{2}{}$ ($M$+ ${}^{}$ ) ${\textstyle${1}{$1}{2}}\}\lift(M+M^{*}\right)$만 행렬이 확실한지를 결정하고 위의$$ 좁은 의미로 평가한다.만약 x{\displaystyle \mathbf{)}}와 M{M\displaystyle}는 대단하다 만일 대칭 1부 2(M+MT){\textstyle 마찬가지로 우리가);0{\displaystyle \mathbf{)}^{\textsf{T}}M\mathbf{)}<>를 사용하여 0}일 경우 모든 실수 제로 이외의 벡터에){\displaystyle \mathbf{)}}TM)을 가지고 있다.{\fr$ac{1}{2}}\왼쪽(M+M^{\textsf{T}}\오른쪽)$은 좁은 의미로 양적으로 확실하다.$x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$ =${\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ x ${\displaystyle {\mathrm{mi}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$}j$}}}}}}}}$는 M의 전이에는 무감각하다는$$ 것이 즉시 명백하다.

따라서 양의 고유값만 있는 비대칭 실제 행렬은 양의 한정값일 필요가 없다.예를 들어, 매트릭스 M)[4914]{M=\left[{\begin{}smallmatrix 4&, 9\\1&, 4\end{smallmatrix}}\right]\displaystyle}지만 아니다 긍정적인 확실한, 특히 x TM){\displaystyle \mathbf{)}^{\textsf{T}}M\mathbf{)}}은 최 00를 사용하여 얻은 것에 대한 부정적인 가치 긍정적인 eigenvalues다.ce${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle \begin{array}{c}\end{array}}$- ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$M ${\displaystyle$ M$}$의 대칭 부분의 음의 고유값과 연관된 고유 벡터).$$

요약하면, 실제 사례와 복잡한 사례의 구별되는 특징은 복잡한 힐버트 공간의 경계된 양성 운영자가 반드시 에르미트어 또는 자기 조정자라는 것이다.일반적인 주장은 양극화 정체성을 이용해 주장할 수 있다.그것은 더 이상 실제 사례에서 사실이 아니다.

적용들

열전도 행렬

Fourier's law of heat conduction, giving heat flux ${\displaystyle \mathbf {q} }$ in terms of the temperature gradient ${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla T}$ is written for anisotropic media as ${\displaystyle \mathbf {q} =-K\mathbf {g} }$, in which ${\displaystyle K}$ is the symmetric thermal 전도도 행렬푸리에의 법칙에 음을 삽입하여 열이 항상 뜨거운 것에서 차가운 것으로 흐를 것이라는 기대를 반영한다.즉, 기온이 떨어진 이후로 기울기 g{\displaystyle \mathbf{g}}항상 추위 더위로에서 점, 열유속 q{\displaystyle \mathbf{q}}이 너무 q Tg<>g{\displaystyle \mathbf{g}과의 부정적인 내적} 하는데 0{\displaystyle \mathbf{q}^{\textsf{T}것으로 예상된다}\mathb에서.f${g} <0$ 푸리에의 법칙을 대체하면 기대를 > 0 ${\displaystyle \mathbf {g}^{\textsf{T}K\mathbf {g}}}}$로 하여 전도도 행렬이 양수여야 함을 암시한다

참고 항목

• 공분산 행렬
• M 매트릭스
• 양확함수
• 양확정 커널
• 슈르 보어
• 실베스터의 기준
• 숫자 범위

메모들

참조

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.
• Bhatia, Rajendra (2007). Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics. ISBN 978-0-691-12918-1.
• Bernstein, B.; Toupin, R. A. (1962). "Some Properties of the Hessian Matrix of a Strictly Convex Function". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 210: 67–72. doi:10.1515/crll.1962.210.65.

외부 링크

• "Positive-definite form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 울프램 수학월드: 포지티브 한정 매트릭스