코시 응력 텐서

연속체 역학에서 코시 응력 텐서$\delta {\displaystyle \mathit{}}$(\$displaystyle\boldsymbol\sigma$ $\}),$ 진정한 응력 ^[1]텐서 또는 간단히 말해서 Augustin-Louis Cauchy의 이름을 딴 2차 텐서이다.Tensor는 변형상태, 배치 또는 구성의 재료 내부 지점에서 응력상태를 완전히 규정하는 9가지 ${\displaystyle {성분}_{}}$ δ i$$ \ $displaystyle \sigma$ _${ij}$로 구성되어 있다.텐서는 단위 길이 방향 벡터 n을 n에 수직인 가상의 표면에 걸쳐 트랙션 벡터⁽ⁿ⁾ T에 관련짓는다.

$\displaystyle \mathbf {T}^{(\mathbf {n})=\mathbf {n}\cdot {boldsymbol {text{or}}\cdot T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}}$

또는,

${\displaystyle\left}T_{1}^{(\mathbf {n})}&T_{2}^{(\mathbf {n})}&T_{3}^{(\mathbf {n})\end{n}\right]=\left[{\mathbf}\end{1}&n_{2}&n_{3}\end{right}\cdot \left[{\mathbf}\mathbf {n}\right}_{12}_21\right}_{\left}_{\left}_{\left}}$

응력 텐서와 트랙션 벡터의 SI 단위는 응력 스칼라에 해당하는 N/m이다².단위 벡터는 무차원입니다.

코시 응력 텐서는 좌표계의 변화 하에서 텐서 변환 법칙을 따릅니다.이 변환 법칙의 그래픽 표현은 응력에 대한 Mohr의 원입니다.

코시 응력 텐서는 작은 변형을 겪는 재료의 응력 분석에 사용된다.그것은 선형 탄성 이론의 중심 개념이다.유한 변형이라고도 불리는 큰 변형의 경우, 피올라-키르호프 스트레스 텐서, 비오트 스트레스 텐서, 키르호프 스트레스 텐서와 같은 다른 스트레스 측정이 필요하다.

선형 운동량 보존 원리에 따르면, 연속체 본체가 정적 평형 상태일 경우, 본체의 모든 물질점에서의 코시 응력 텐서의 성분이 평형 방정식(제로 가속에 대한 코시의 운동 방정식)을 충족함을 증명할 수 있다.동시에 각운동량 보존원리에 따르면 평형은 임의의 점에 대한 모멘트의 합이 0이어야 하며, 이는 응력텐서가 대칭이며, 따라서 원래의 9개 대신 6개의 독립된 응력성분만을 갖는다는 결론으로 이어진다.그러나 커플 응력, 즉 단위 부피당 모멘트가 존재하는 경우 응력 텐서는 비대칭이다.이는 Knudsen 수치가 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\display K_${n$$rightarrow$1)에 가깝거나 연속체가 뉴턴이 아닌 유체인 경우에도 해당되며, 이는 폴리머와 같은 회전 비-불규칙적인 유체로 이어질 수 있습니다.

응력 텐서와 관련된 특정 불변량이 있으며, 그 값은 선택된 좌표계 또는 응력 텐서가 작동하는 영역 요소에 따라 달라지지 않는다.이들은 스트레스 텐서의 세 가지 고유값으로, 이를 주응력이라고 합니다.

오일러-코시 응력 원리 – 응력 벡터

그 Euler–Cauchy 스트레스 원칙 국가들의 몸을 나누는 데에 대해 어떤 표면(실수 또는 허수)에 표면은 body,[2] 나누에 분산된 힘을 갖고 부부들의 시스템에서 그들 자신, 신체의 한 부분의 다른에서 액션은 등가(등치의)고 T{\displaystyle \mathbf{T}^(n) 필드로 표시됩니다.{()$mathbf {n$ 트랙션 벡터라고 불리며 표면$S$에$정의$되며 표면의 단위 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ n$(\$^{[3][4]: p.66–96} 에 연속적으로 의존하는 것으로 가정됩니다.

오일러-코치 응력 원리를 공식화하기 위해 그림 2.1a 또는 2.1b와 같이 연속체를 두 개의 세그먼트로 나누는 내부 재료 $지점{\displaystyle }$P(\$displaystyle$ P$)$를 통과하는 $상상$의 표면$$S(\$displaystyle$ S$)$를 고려한다(절삭면 다이어그램 또는 내부에 임의의 부피가 있는 다이어그램 사용 가능).$S$로 둘러싸인 연속체(\$style$ S$.$

뉴턴과 오일러의 고전 역학에 따라 유형체의 움직임 이것은 두개 종류의 있는 것으로 가정한다 외부적으로 적용하는 힘의 작용으로:표면 힘 F{\displaystyle \mathbf{F}}과 몸 부대 그러므로 총 하중 F{\displaystyle{\mathc{\displaystyle \mathbf{b}}.[5]b 생산된다.알 {$F}}$을(를) 신체 또는 신체 일부에 적용하는 방법은 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F}}$

표면 힘만 코시 응력 텐서와 관련이 있으므로 이 기사에서는 설명하겠습니다.

차체에 외부 표면력 또는 $접촉력{\displaystyle \mathbf{}}$F {\$displaystyle \mathbf {F$가 가해지는 경우, 오일러의 운동 방정식에 따라 내부 접촉력과 모멘트는 기계로 인해 차체의 한 지점에서 다른 지점으로 전달되며, 분할 $표면{\displaystyle }$S(\$display$ S$)$를 통해 한 세그먼트에서 다른 지점으로 전달됩니다.연속체의 한 부분이 다른 부분에 접촉하는 것(그림 2.1a 및 2.1b).P$(\displaystyle$ P$)$를 $포함$하는 영역 $(\displaystyle \delta$ S$)$의 요소에서 정규 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n$의 힘 분포는 P 지점 및 $표면{\displaystyle \mathrm{}}$ 모멘트$$에 가해진 접촉력 $(\$와 동등하다.$}$}. 특히, 접촉력은 다음과 같이 주어진다$.$

$\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n})},\Delta S}$

$여기$서${\displaystyle {}^{}}$T (${\displaystyle {n\mathbf{}}^{}}$ )$$\$displaystyle \mathbf {T}$^{(\$mathbf {n})}}$는 평균 표면 트랙션입니다.

코시의 스트레스 원칙 asserts[6]:p.47–102이Δ S{\displaystyle\Delta S}는 그 비율 0으로 경향이 있는 작게 되Δ F/SΔ{\displaystyle\Delta \mathbf{F}/\Delta S}이 되dF/dS{\displaystyle d\mathbf{F}/dS}과 부부 스트레스 벡터 Δ M{\displaystyle\Delta \mathbf{M}}v.anishes.연속체 역학의 특정 분야에서 커플링 응력은 사라지지 않는 것으로 가정된다. 그러나 연속체 역학의 고전적인 분기는 커플링 응력과 신체 모멘트를 고려하지 않는 비극성 물질을 다룬다.

결과 $벡터{\displaystyle }$ ${\displaystyle d\mathbf{}}$ F${\displaystyle /d}$ S$(\displaystyle$ d$\mathbf {F}$ /$dS})$는 표면 ^[7]트랙션으로 정의되며, 응력 벡터,^{[8] [4]}트랙션 또는 트랙션 ^[6]벡터라고도 합니다.$T{\displaystyle {\mathbf{}}^{n\mathbf{})}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Ti}_{}^{}{\mathbf{}}_{}{)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$^{(\$mathbf {n})} =$$정규$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ n$(\displaystyle$ \$mathbf$${n$$\})$을 가진 평면과 연관된$$P(\$displaystyle$ P$)$ $지점$에서 T_${i}^{\mathbf${$n}$$_$${i}:$

${\displaystyle T_{i}^{{mathbf {n}}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}={dF_{i}\over dS}.}$

이 방정식은 응력 벡터가 신체 내의 위치와 작용하고 있는 평면의 방향에 따라 달라진다는 것을 의미합니다.

이것은 내부 힘의 접촉의 균형 조치는 접촉력 밀도 또는 코오 시 견인장 내부 힘의 접촉의 몸의 몸의 특정한 구성의 볼륨에 걸쳐 분포를 나타내는[5]T(n, x, t)((\mathbf{n},\mathbf{x},t)}를 생성한다는 것을 암시한다.에서특정 $재료점$의$위치$$x{\displaystyle \mathbf{}}$(\$displaystyle$\$mathbf {x})뿐$만 아니라 일반 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n$^[9]에 의해 정의된 표면 요소의 로컬 방향에도 의존하므로 벡터 필드가 아닙니다.

고려 중인 평면의 방향에 따라 응력 벡터는 해당 평면에 반드시 수직이 아닐 수 있으며, 즉 n$\$과 $평행$할 수 있으며 두 가지 요소로 분해할 수 있습니다(그림 2.1c).

• 법선 응력이라고 하는 평면에 대한 하나의 법선 응력

$\displaystyle \mathbf {\mathrm {n}} = \lim _ {\Delta S\to 0} {\frac {Delta F_{\mathrm {n}}} = frac {D_{\mathrm {n}} } = frac {D}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 d F$$n {\$displaystyle$ dF_${\mathrm${n$}}}$은 차동 ${\displaystyle \mathrm{영역}}$ d$S$에 대한 힘 ${\displaystyle d\mathbf{}}$F {\$displaystyle$ $d\$$mathbf {F}$의 정규 성분입니다.

• 전단 응력이라고 하는 평면에 평행한 다른 면은

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {s} = lim _ {\Delta S\to 0} {\frac {DF_{\mathrm {s}} } {\frac {dF_{\mathrm {s}} }$

${\displaystyle {}_{}}$서 F ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle dF_{\mathrm {s}}}$는 미분 ${\displaystyle \mathrm{표면적}}$D(\$displaystyle d\$$mathbf {F$$\})$에 대한 ${\displaystyle 힘\mathbf{}}d{\displaystyle }$(\$displaystyle$ d\mathbf {F$})$의 접선 성분입니다. 전단 응력은 서로 수직인 두 벡터로 분해될 수 있습니다.

코시의 공식

그 코시 Postulate를 하면 스트레스가 벡터 T(n)에 따르면(^{(\mathbf{n})}}모든 표면은 포인트 P를 통해{P\displaystyle}과}P에서 동일한 법선 벡터 n{\displaystyle \mathbf{n}을 전달하기 위해{P\displaystyle},[7][10]즉, 흔한 있을 것은 변하지 않는다.한ngent$t{\displaystyle }$ P$(\displaystyle$ P$)$즉, 응력 벡터는 정규 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n})$의 함수이며 내부 표면의 곡률에 영향을 받지 않습니다.

코시의 기본 보조군

코시 가설의 결과는 코시 역수 ^{[12]: p.103–130} 정리라고도 불리는 코시의 기본 법칙으로,^[1][7][11] 같은 표면의 반대쪽에서 작용하는 응력 벡터는 크기가 같고 방향이 반대라는 것입니다.코치의 기본 보조 법칙은 뉴턴의 작용과 반작용의 제3법칙과 동등하며, 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n})} =\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n})} }$

코시의 응력 정리-응력 텐서

그러면 신체 한 지점의 응력 상태는 해당 ^[13]지점을 통과하는 모든 평면(수적으로 무한)과 관련된 모든 응력 벡터⁽ⁿ⁾ T에 의해 정의됩니다.하지만, 코시의 응력 ^[1]정리라고도 불리는 코시의 기본 ^[11]정리에 따르면, 단지 세 개의 서로 수직인 평면에서의 응력 벡터를 아는 것만으로, 그 점을 통과하는 다른 평면에서의 응력 벡터는 좌표 변환 방정식을 통해 찾을 수 있다.

코시의 응력 정리는 코시 응력 텐서라고 불리는 2차 텐서장 δ(x, t)가 존재하며, 따라서 T는 n의 선형 함수이다.

$\displaystyle \mathbf {T}^{(\mathbf {n})=\mathbf {n}\cdot {boldsymbol {text{or}}\cdot T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

이 방정식은 정규 단위 벡터 n을 갖는 평면과 관련된 연속체 내의 임의의 점 P에서의 응력 벡터⁽ⁿ⁾ T가 좌표축에 수직인 평면에서의 응력 벡터의 함수, 즉 응력 텐서 θ의 성분 θ로_ij 표현될 수 있음을 의미한다.

이 식을 증명하기 위해, 좌표 평면에서 방향을 잡고 정규 단위 벡터 n(그림 2.2)에 의해 지정된 임의의 방향으로 방향을 잡은 극소 면적 dA를 가진 사면체를 고려한다.사면체는 단위 법선 n을 갖는 임의의 평면을 따라 극소 원소를 슬라이스하여 형성됩니다.이 평면의 응력 벡터는 T로 표시됩니다⁽ⁿ⁾.사면체의 면에 작용하는 응력 벡터는 T, T^(e₂), T로^(e₁)(e₃) 표시되며, 정의상 응력 텐서 θ의_ij 성분이다.이 사면체는 때때로 코시 사면체라고 불린다.힘의 균형, 즉.오일러의 제1운동법칙(뉴턴의 제2운동법칙)은 다음을 제공한다.

${\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathbf {n}}, dA-\mathbf {t} ^{{1}-\mathbf {T} ^{\mathbf {e} _{2}}, DA_{2}\mathbf {T}$

여기서 오른쪽은 사면체로 둘러싸인 질량의 곱과 그 가속도를 나타낸다. θ는 밀도, a는 가속도, h는 평면 n을 밑면으로 간주할 때 사면체의 높이이다.축에 수직인 사면체 면적은 dA를 각 면에 투영하여 구할 수 있습니다(도트 곱 사용).

$\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

$\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

$\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

방정식을 대입하여 dA를 소거합니다.

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n})}-\mathbf {T} n_{1}-\mathbf {T} ^{{2}} n_{2}-\mathbf {T} ^{f} （\mathbf {t}$

사면체가 한 점으로 축소될 때 한계 경우를 고려하려면 h가 0으로 가야 합니다(직관적으로 평면 n은 n을 따라 O로 변환됩니다).그 결과 방정식의 오른쪽은 0에 가까워집니다.

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n}) =\mathbf {T} n_{1} +\mathbf {T} ^{{2}} n_{2}+\mathbf {T} ^{f} （\mathbf})}$

데카르트 좌표계의 좌표 축에 수직인 평면을 가진 재료 요소(그림 2.3)를 가정하면, 각 요소 평면, 즉^(e₁) T^(e₂), T와^(e₃) T와 관련된 응력 벡터는 정규 성분과 두 개의 전단 성분, 즉 세 개의 좌표 축 방향으로 분해될 수 있다.x축₁ 방향의 법선 단위 벡터를 갖는 표면의 경우, 법선 응력은 θ로₁₁ 나타내며, 2개의 전단 응력은 θ와₁₂ θ로₁₃ 나타낸다.

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})} =T_{1}^{{mathbf {e} _{1}}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})\mathbf {e}_{3}=\mathbf {e}_{1}+\mathbf {e}_{1}+\mathbf {e}_{2}+\mathbf {e}_{3}\mathbf {e}$

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})} =T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{{mathbf {e}_{2}}\mathbf {e}_{3}=\mathbf {e}_{1}+\mathbf {e}_{2}+\mathbf {e}_{23}\mathbf {e}_{3}\mathbf {e}$

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})} =T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{{mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{{mathbf {e}_{3}}\mathbf {e}_{3}=\mathbf {e}_{1}+\mathbf {e}_{2}+\mathbf {e}_{3}\mathbf {e}$

색인 표기법에서 이것은

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})} =T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})\mathbf {e}_{j}=\mathbf {e}_{j}.}$

응력 벡터의 9가지 성분 θ는_ij 코시 응력 텐서라고 불리는 2차 데카르트 텐서의 성분으로, 한 지점에서 응력 상태를 완전히 정의하는데 사용될 수 있으며 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle{\boldsymbol{\sigma}}=\sigma _ᆪ=\left[{\begin{매트릭스}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{1})}\\\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{2})}\\\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{3})}\\\end{매트릭스}}\right]=\left는 경우에는{\begin{행렬}\sigma _{11}&, \sigma _{12}&, \sigma _{13}\\\sigma _{21}&, \sigma _{22}&, \sigma _{23}\\\sigma _{31일}&, \sigma _{32}&amp을 말한다.\sigma _{33}\\\end{matriX}}\right]\equiv \left[{\begin{매트릭스}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\\\end{매트릭스}}\right]\equiv \left는 경우에는{\begin{행렬}\sigma _{)}&, \tau _{xy}&,\tau _{xz}\\\tau _{yx}&, \sigma _{y}&,\tau _{yz}\\\tau _{zx}&, \tau _{zy}&, \sig.엄마 _{z}\\\end{매트릭스}}\right 뻗는다,}$

여기서 θ₁₁, θ₂₂, θ는₃₃ 정규응력, θ₁₂, θ₁₃, θ₂₁₂₃, θ₃₁₃₂, θ는 전단응력이다.첫 번째 지수 i는 응력이 X축에_i 수직인 평면에 작용함을 나타내고, 두 번째 지수 j는 응력이 작용하는 방향을 나타낸다(예를 들어, θ는₁₂ 응력이 1축에_st 수직인 평면에 작용함을 의미한다).;X₁ 및 2축을 따라 작동합니다_nd.;X₂) 응력성분은 좌표축의 정방향으로 작용하고 그것이 작용하는 평면이 정방향의 정방향으로 향하는 외측 법선 벡터를 갖는 경우 양의 값이다.

따라서, 응력 텐서의 성분을 사용하여

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}&, =\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{1})}n_{1}+\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{2})}n_{2}+\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{3})}n_{3}\\&, =\sum _{i=1}^{3}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_{나는})}n_{나는}\\&, =\left(\sigma_{ij}\mathbf{e}_{j}\right)n_{나는}\\&, =\sigma _{ij}n_{나는}\mathbf{e}_{j}\end{정렬했다.}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle T_{j}^{{mathbf {n}}=\display_{ij}n_{i}.}$

또는 매트릭스 형태로 우리는 다음을 가진다.

${\displaystyle\left}T_{1}^{(\mathbf {n})}&T_{2}^{(\mathbf {n})}&T_{3}^{(\mathbf {n})\end{n}\right]=\left[{\mathbf}\end{1}&n_{2}&n_{3}\end{right}\cdot \left[{\mathbf}\mathbf {n}\right}_{12}_21\right}_{\left}_{\left}_{\left}}$

코시 응력 텐서의 Voigt 표기법은 응력 텐서의 대칭성을 이용하여 응력을 형태의 6차원 벡터로 표현한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {bmatrix}={bmatrix}_{1}&\display_{2}&\display_{4}&\display_{5}&\display_{6}\display_{bmatrix}{\discap_11}&quiv_{b}}$

Voigt 표기법은 고체 역학에서 응력-변형 관계를 표현하고 수치 구조 역학 소프트웨어에서 계산 효율성을 위해 광범위하게 사용된다.

응력 텐서의 변환 규칙

응력 텐서는 좌표계의 변화 하에서 변환되는 방법에 대한 진술인 반변치 2차 텐서임을 보여줄 수 있다.x계통에서_i x_i'계통으로 텐서 변환규칙(그림 2.4)에 따라 초기계통의 성분 θ가_ij 새로운 시스템의 성분 θ_ij'로 변환된다.

$\displaystyle '_{ij}=a_{jn}\displaysymbol {text{or}\displaysymbol {A}\mathbf {A}\boldsymbol {A}\mathbf {T},$

여기서 A는 성분이_ij a인 회전 행렬입니다.매트릭스 형식에서 이것은

${\displaystyle \left[{\begin{매트릭스};\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23};\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{매트릭스}}'_{11}및 \\\sigma'_{31}및 \sigma \right]=\left[{\begin{매트릭스}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&, a_{32}&a_{33}\\\end{매트릭스}}\right]\left는 경우에는{\b.egin{매트릭스}\sigma _{11}&, \sigma _{12}&, \sigma_{13) \\timeout _{21}&\timeout _{22}&\timeout _{23}\timeout _ {32)&\timeout _ {33}&\end {timeout }\right [{\time }a_{11}&a_{21}&a_{12}&\timeoutoutoutlooking _{3}&\timeoutf}&\time }}$

행렬 연산을 확장하고 응력 텐서의 대칭을 사용하여 항을 단순화하면,

$a_{23}\s2})\sigma_{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&, a_{21}a_{31일}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&, +(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _ᆸ+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _ᆹ+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&, a_{11}a_{31일}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_.{33}\sigma_{33)\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31)\filen_{12}+(a_{12}a_{3}+a_{13}a_{32}\filen_{23}+(a_{11}a_{13}a_{31)_filename_{13}.\end { aligned}}$

응력에 대한 Mohr 원은 이러한 응력 변환을 그래픽으로 표현한 것입니다.

법선응력 및 전단응력

응력 텐서 θ의 성분 θ의_ij 관점에서 주어진 지점에서 정규 단위 벡터 n이 있는 임의의 평면에 작용하는 모든 응력 벡터⁽ⁿ⁾ T의 정상 응력 성분 θ의_n 크기는 응력 벡터와 정규 단위 벡터의 점곱이다.

${\displaystyle {\mathrm {n}&=\mathbf {T}^{(\mathbf {n})}\cdot \mathbf {n} \&=T_{i}^{(\mathbf {n})}n_{i}\\&=\color _{ij}n_{j}n_{j}.\end { aligned}}$

벡터 n에 직교하는 전단 응력 성분 θ의_n 크기는 피타고라스 정리를 사용하여 구할 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm {n}\displaystyle {\mathbf {n}\right {좌(T^{\mathbf {n})}-\displaystyle {T_{i}^{{{n}}\&=displayrt {T_{i}^{{\mathbf {n}}}})}T_{i}^{(\mathbf {n})}-\sigma _{\mathrm {n}^{2}},\end {aligned}}}$

어디에

$\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n})}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n})}T_{i}^{(\mathbf {n})}=\left(\left_{ij}n_{j}\right)\left(\laph_{ik}n_{k}\right)=\laph_{ij}n_{k}\right}.}$

균형 법칙 – 코시의 운동 방정식

코시의 운동 제1법칙

선형 운동량 보존 원리에 따르면 연속체체가 정적 평형 상태에 있으면 체내의 모든 물질점에서의 코시 응력 텐서의 성분이 평형 방정식을 만족한다는 것을 증명할 수 있다.

$\displaystyle _{ji,j}+F_{i}=0}$

예를 들어, 평형 조건의 정수압 유체의 경우 응력 텐서는 다음과 같은 형태를 취한다.

$({displaystyle _{ij}}=-param _{ij}})$

$여기$서 p$(\displaystyle$ p$)$는 정수압이고$ij)$는 크로네커 델타입니다.

평형 방정식의 도출

볼륨$V$를 점유하는 연속체($그림$ 4 참조)를 고려합니다. 표면적$S{\displaystyle }$ {\display $style$ S$\},$ 단위 면적당 $n)$ {\display style $T_{i}^{(n)}},$ 단위$$ 면적당 차체 ${\displaystyle {Fi}_{}}${\$style F_{i$}}}, 단위 면적당 정의된 표면적 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ {\$display$ style S$}$입니다$.$$부피{\displaystyle }$V 내의 모든 점에서 부피의 t(\$displaystyle$ V$).$ 따라서 몸이 평형 상태에 있을 경우 부피에 작용하는 힘은 0이 됩니다. 따라서 다음과 같습니다. $\displaystyle \int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int_{V}F_{i}dV=0}$ 정의상 응력 벡터는 ${\displaystyle {Ti}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ) $=$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$j { $displaystyle T_{i}^{(n$)}=\$sigma$ _${ji}n_${j$\}$입니다. $\displaystyle \int _{S}\sigma _{j},dS+\int _{V}F_{i},dV=0}$ 가우스의 발산 정리를 사용하여 부피 적분에 적분된 표면을 변환하는 것은 다음과 같다. $\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j},dV+\int _{V}F_{i},dV=0}$ $\displaystyle \int _{V}(\sigma _{ji,j}+)F_{i},)dV=0}$ 임의의 부피에서 적분은 사라지고, 우리는 평형 방정식을 가지고 있다. $\displaystyle _{ji,j}+F_{i}=0}$

코시의 운동 제2법칙

각운동량 보존 원리에 따르면, 평형은 임의의 점에 대한 모멘트의 합계가 0이어야 하며, 이는 응력 텐서가 대칭이며, 따라서 원래의 9개 대신 6개의 독립적인 응력 성분만을 갖는다는 결론으로 이어진다.

$\displaystyle _{ij}=\displaystyle _{ji}$

응력텐서의 대칭성 도출

점 O에 대한 모멘트를 합하면(그림 4), 몸이 평형 상태에 있을 때 모멘트는 0이 된다.따라서, ${\displaystyle {begin {O}&=int _{S}(mathbf {r} \times \mathbf {T})dS+\int _{V}(\times \mathbf {F})dV = 0\0&=int _S\vilon {S\i}_vilonT_{k}^{(n)}dS+\int_{V}\varepsilon_{ijk}x_{j}F_{k}dV\\end{aligned}}$ $여기$서 r$\$은$($는) 위치 벡터이며 다음과 같이 표시됩니다. $\displaystyle \mathbf {r} =x_{j}\mathbf {e} _{j}$ ${\displaystyle T_{}^{}}$k (${\displaystyle n_{}^{}}$ ) $=$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$m { $displaystyle T_{k}^{(n$)}=\$sigma$ _{sigma}$n_{m}$이라는 $것$을 알고 가우스의 발산 정리를 사용하여 표면 적분에서 볼륨 적분으로 변경함으로써, 우리는 다음과 같이 된다. ${\displaystyle{\begin{정렬}0&,=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk미만}n_{m}\,dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&,=\int _ᆴ(\varepsilon_{ijk}x_{j}\sigma_{mk미만})_{,m}dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&,=\int _ᆺ(\varepsilon_{ijk}x_{j,m}\sigma_{mk미만}+\varepsilon_{ijk}x_{j}\sigma_{mk,m})dV+\int _{V}\varepsi.오랜 _{ijk}x_{j}F_{k},dV\&=int_{V}(\varepsilon_{ijk}x_{j,m}\displon_{mk})dV+\int_{V}\varepsilon_{ijk}x_{j}(\int_{varepsilon,m}+{m})F_{k}dV\\end{aligned}}$ 두 번째 적분은 평형 방정식을 포함하고 있기 때문에 0이다.${\displaystyle {여기}_{}}$서 x j${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ j$$ { $display style$ x _ {$j$ , m } = \ $display$ _ { $jm$ 。 $\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\display _{jk})dV=0}$ 임의의 볼륨 V의 경우, 다음과 같이 됩니다. $\displaystyle \varepsilon _{ijk}\display_{jk}=0}$ 체내의 모든 지점에서 만족합니다.이 방정식을 확장하면 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 12${\displaystyle {}_{}}$=$σ 21$ \$displaystyle$_ { 12 } = \$$$displaystyle$ $_${ $21$$$} , ${\displaystyle {\mathrm{\sigma }}_{}}$ $23{\displaystyle {}_{}}$$=$\$displaystyle$_ { 23$$}$$=$$\ $displaystyle$_ { 13$=$ \ displaystyle _ { 13${\displaystyle {}_{}}$} = \$displaystyle$ _ ${$ 31 } 또는 일반적으로 $\displaystyle _{ij}=\displaystyle _{ji}$ 이것은 응력 텐서가 대칭이라는 것을 증명한다.

그러나 커플 응력, 즉 단위 부피당 모멘트가 존재하는 경우 응력 텐서는 비대칭이다.이는 Knudsen 수치가 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\display K_${n$$rightarrow$1)에 가깝거나 연속체가 뉴턴이 아닌 유체인 경우에도 해당되며, 이는 폴리머와 같은 회전 비-불규칙적인 유체로 이어질 수 있습니다.

주응력 및 응력 불변량

응력 물체의 모든 지점에는 주방향이라고 하는 법선 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n$을 가진 주평면이라고 하는 적어도 세 개의 평면이 있습니다. 여기서 대응하는 응력 벡터는 평면에 수직이거나 법선 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n})$과 같은 방향입니다.$\}$ 및 정상적인 $전단응력$이 없는 경우$$ n$\displaystyle$ \$display_{\mathrm${n$\}\}.$이러한 주평면에 수직인 세 가지 스트레스를 주응력이라고 합니다.

응력 텐서의 성분 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ i$$ \$displaystyle \sigma$ _${ij}$는 고려 중인 지점의 좌표계 방향에 따라 달라집니다.그러나 응력 텐서 자체는 물리적 양이며, 따라서 응력 텐서를 나타내기 위해 선택된 좌표계와는 독립적이다.좌표계로부터도 독립적인 모든 텐서와 관련된 특정 불변량이 있다.예를 들어, 벡터는 순위 1의 단순한 텐서이다.3차원에서는 3개의 컴포넌트가 있습니다.이들 성분의 값은 벡터를 나타내기 위해 선택된 좌표계에 따라 달라지지만, 벡터의 크기는 물리량(스칼라)이며 벡터를 나타내기 위해 선택된 데카르트 좌표계와는 독립적입니다(정규적인 한).마찬가지로, 모든 두 번째 순위 텐서(응력 및 변형 텐서 등)에는 세 가지 독립적인 불변량량이 관련된다.그러한 불변량 중 하나가 응력 텐서의 주요 응력이며, 응력 텐서의 고유값일 뿐입니다.방향 벡터는 주방향 또는 고유벡터입니다.

정규 단위 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n})$에 평행한 응력 벡터는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {n} ^{\mathbf {n} =\mathbf {n} _{\mathbf {n} } \mathbf {n} }$

여기서$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \displayda}$는 비례 상수이며, 이 경우 일반 응력 벡터 또는 주요 응력의 크기 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$n ${\mathrm {n}$에 해당합니다.

${\displaystyle {\mathrm{Ti}}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$n ) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ j { $displaystyle T$_ { $i$}^{ ( n ) = \ $sigma$_ { $ij$} $n$$$_ {$j$ } $ndelta$ n ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle n$_ { i } n _ { j$$} = \ $display$ style _ { $ij$} $n$_ { j } n _ { j } n _ { j }$$} } } } } } , , , t t t t t t t t t t t t t knowing $knowing{\displaystyle {}_{}^{}}$ t t t t t t t t

$디스플레이 스타일T_{i}^{n}&=\lambda n_{i}\\lambda n_{i}&=\lambda n_{j}\lambda n_{i}-\lambda n_{i}&\lambda n_{i}_right}_{i}_i}_{i}_right}_right}_i}_{i}\lambda n_i}_i}$

이것은 3개의 선형 방정식으로 이루어진 균질 시스템, 즉 0과 같습니다. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 n j$${$displaystyle n_{j}$는 미지수입니다.$(\$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ 중요하지 않은(제로가 아닌) 솔루션을 얻으려면 계수의 행렬 행렬이 0이어야 합니다. 즉, 시스템이 특이합니다.따라서,

$\displaystyle \left _{ij}-\displayda \displayda _{ij}\right =displays {vmatrix}\display {12}&\displays _{13}\displays _{22}-\displaysda _{23}\displays_{32}_da}$

행렬식을 확장하면 특성 방정식으로 이어집니다.

${\displaystyle \left \displayda \displayda _{ij}\right =-\displayda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

어디에

$디스플레이 스타일I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\&=\sigma _{kk}=sigma text {tr}{\boldsymbol {\sigmbol }}\[4pt}I_{2}&, ={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&, \sigma _{23}\\\sigma _{32}&, \sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&, \sigma _{13}\\\sigma _{31일}&, \sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&, \sigma _{12}\\\sigma _{21}&, \sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&, =\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\si.gma _{11}\sigma _{33}-\sigma_{12)^{2}-\flac_{23}^{2}-\flac_{1}{2}\\&=flac_left(\flac_{i}\flac_{ji}\flac_{right}=flac{1}{sybold}\flac_left(\fl)\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma_{ij}=\detsymbol\boldsymbol_{11}\sigma_{12}\sigma_{23}+2\sigma_{12}\sigmboldsymbol_{11}\sigmbol_{11}_{11}_{22}_sigmbod_{22}_sigmbal_sigmbal_{22}_{22}\sigmbod_{22}$

특성 방정식은 응력 텐서의 대칭으로 인해 상상이 아닌 3개의 실근 $(\displaystyle$ \$lambda _{$i$\})$를 가진다.( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$max ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$2 、 $)$ 3 ){ $displaystyle$\ $display$ style$_$ {1} = \ $max$ \ left ( \ $displayda$$_$ {$1}$ , \ $light$)$$$}$ , 、 ${\displaystyle (}$ 3 = ${\displaystyle min}$ ( 、${\displaystyle {}_{}}$、 、 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 3 \ $display style$_ { 3 ） _ { \ min 。$style \syslog _{2}=$$I_{1}-\sigma$ _${1}-\sigma$_{$3$는 고유값 ${\displaystyle i_{}}$i ${\displaystyle$ \$lambda _{$i$\}\}$의 주요 응력입니다.고유값은 특성 다항식의 근입니다.주요 응력은 주어진 응력 텐서에 대해 고유합니다.따라서 특성방정식에서는 제1응력불변량, 제2응력불변량, 제3응력불변량이라 불리는 $I1계수(\$$displaystyle I_{$1$\}),$$$${\displaystyle {I2계수\mathrm{}}_{}}$(\$displaystyle$ I_{2})와 I3계수$(\$3$\}\})$는 좌표계의 방향에 관계없이 항상 같은 값을 갖는다.

각 고유치에 대해$,{\displaystyle }$$$ ( ${\displaystyle j_{}}$i j - ${\displaystyle j{}_{}{}_{}}$i j ) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{j}}$ $=$ 0 ( \ $displaystyle \ left$ ( \ $displaystyle _$ { $ij$} - \ $displayda$\ $right$ ) n _ { ij }$=$ 0 )에 n_${$$j$} $の$ n _ n _ $displaystyleft$ for n _ right 。이러한 해는 주응력이 작용하는 평면을 정의하는 주방향 또는 고유벡터입니다.주응력 및 주방향은 한 지점에서 응력을 특성화하고 방향과 독립적입니다.

축이 주방향으로 향하는 좌표계는 정규 스트레스가 주응력이고 스트레스 텐서가 대각 행렬로 표현된다는 것을 의미한다.

$\displaystyle _{ij}=syslog {bmatrix}\syslog _{1}&0\\syslog _{2}&0&\syslog _{3}\end{bmatrix}}$

주요 응력을 조합하여 응력 ${\displaystyle {불변량\mathrm{}}_{}}$ I $1($ 스타일$I_$$}),$ I 2($표시$스타일 $I_$$2{\displaystyle {}_{}}$})$$ I 3$(표시$ 스타일$I_$3$})$을 형성할 수 있습니다.첫 번째와 세 번째 불변량은 각각 응력 텐서의 트레이스와 결정 요인이다.따라서,

$디스플레이 스타일I_{1}&=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}\\I_{2}&=\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{1}\\\sigma_{3}+\sigma_{1}\\\\\\\\\\\\\\\sigma_{2}+\sigma_{1}\\I_{3}&=\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{aligned}}$

주좌표계는 단순하기 때문에 특정 지점의 탄성 매체의 상태를 고려할 때 종종 유용합니다.주요 응력은 종종 x 및 y 방향의 응력 또는 부품의 ^{[14]: p.58–59} 축방향 및 굽힘 응력을 평가하기 위한 다음 방정식에 표현됩니다.그런 다음 주요 정규 응력을 폰 미제 응력과 궁극적으로는 안전 계수와 안전 한계를 계산하는 데 사용할 수 있다.

$\displaystyle _{1},\display _{2}=displayfrac {{x}+\displayfrac {y}{2}}\pm {pm {displayrt _{x}-\display _{y}{2}}\displaystyle _{2}}\displayfrac {x} {{y}}}{2}}}}}}}}}}$

제곱근 아래에 방정식의 일부만 사용하면 플러스 및 마이너스 전단 응력이 최대 및 최소 전단 응력과 같습니다.이것은 다음과 같이 표시됩니다.

$\displaystyle _{\max}},\pm _{\min}=\pm {\pm rt _\frac _{x}-\pm _{y}}{2}+\pm _{xy}}}}$

최대 및 최소 전단 응력

최대 전단 응력 또는 최대 주 전단 응력은 최대 주 응력과 최소 주 응력의 2분의 1 차이며, 최대 및 최소 주 응력의 방향 사이의 각도를 이등분하는 평면에 작용한다. 즉, 최대 전단 응력의 평면이 $(\$ 4)$주요$ 응력 $평면에서$5^{\contract $}}$을(주응력 평면에서).최대 전단 응력은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle _{\max } = flac {1}{2}} \ left \ flac _ { \ max } - \ flac _ { \ min } \ right }$

≥ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {33\mathrm{}}_{}}${ $displaystyle \sigma$_ {1} \$geq \sigma$_ {$2}$ \$geq$ \$sigma$ _ {$3}$ } $q$ assuming assuming 、

${\displaystyle _{\max}=syslogfrac {1}{2}}\left \syslog _{1}-\syslog _{3}\right }$

응력 텐서가 0이 아닐 때 최대 전단 응력에 대해 평면에 작용하는 정상 응력 성분은 0이 아니며 다음과 같습니다.

${\displaystyle _{\text{n}}=syslogfrac {1}{2}}\left(\displaystyle _{1}+\syslog _{3}\right)}$

최대 및 최소 전단[8]: p.45–78 [11]: p.1–46 [13][15]: p.111–157 [16]: p.9–41 [17]: p.33–66 [18]: p.43–61 응력 도출

정규 응력은 주응력$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$)으로$$ 나타낼 수 있습니다.\ $display$ ( \ $sigma$_ {1$}$ \ $geq$\ $sigma$_ {2$}$ \ $geq$\$sigma$_ {3$}$) 。 ${\displaystyle {displaystyle {n}\mathrm {n}&=\display_{i}n_{j}\display_{1}n_{2}+{2}+\display_{3}n_{2}^{2}+{3}\\end} 정렬됨$ $({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$(${\displaystyle {{}^{}}^{\mathrm{}}}$) 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle k_{}}${ $displaystyle \left$($T^$ { ($n$ ) \ $right$)^{2} = \ $sigma _$ { ij } \ $time$_ {$ij$} $n$_ { j } n _ { $k$} n _ { k }$$} = \ $sigma$ _ { ij} n _ { ij} n _ { ij} n _ right } n _ n _ n _ right } n _ restressmagma _ { } n _ { } n _ } ${\displaystyle{\begin{정렬}\tau _{\text{n}}^{2}&, =\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&, =\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _ᆹ^ᆺn_ᆻ^ᆼ-\left(\sigma_{1}n_{1}^{2}+\sigma_{2}n_{2}^{2}+\sigma_{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&, =\left(\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-.\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\param_{3}^2}-\left[\left(\param_{1}-\param_{3}\right)n_{1}^2}+\left(\param_{2}-\right)n_{2}^{2}+\param_{\right}^{\}^2}^{\}-}^2}-\left}^{\left]$ 연속체의 한 지점에서 최대 전단 응력은 다음과 같은 조건을 조건으로 δ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}^{}}$ $(\$ _${\mathrm {n} }^2})$를 최대화하여 구한다. ${\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ 이것은 제약이 있는 최대화 문제로, Lagrangian 승수 기술을 사용하여 문제를 제약이 없는 최적화 문제로 변환할 수 있습니다.${\displaystyle {따라서}_{}^{}}$ $({$의 고정값(최대값과 최소값)은 $({$의 기울기가$$F({$displaystyle$F$\})$의 기울기와 평행한 경우에 발생합니다. 이 문제에 대한 Lagrangian 함수는 다음과 같이 기술할 수 있습니다. $디스플레이 스타일F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right)&=\caps^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\\&=\param _{1}^{2}n_{1}+\param _{2}n_{2}^{2}+\param _{3}^{2}-\left(\param _{1}n_{1}^{2}+\param _{2}^{3}n_{2}+{3}_{2}_parammaramamma}_{{2}_{2}_{{2}_{2}_{{{{{{{{2}}_{2}_{2}_{{2}_{{{{2}}_{{{{2}}_{{{{}^{2}+n_{3}^{2}-1\right)\\end {aligned}}$ $여기$서 ${\$ { $displaystyle \lambda$}는$$ Lagrangian 승수입니다(고유값을 나타내기 위해 $사용$하는 ${\$ { $displaystyle \lambda }$와는 다릅니다). 이러한 함수의 극한값은 다음과 같습니다. ${\displaystyle {\frac F} {\partial n_{1} = 0\qquad {\frac F} {\partial n_{2} } = 0\qquad {\frac F} {\partial n_{3} = 0$ 거기서 ${\displaystyle {\frac F}{\partial n_{1}=n_{1}\display_{1}_{1}\display_{1}\left(\display_{1}n_{2}+\display_{2}n_{3}_{1}\display_{1}_{1}\display_{1}_{1}_{1}\display_{1}_{{{{1}_{{{{1}}}}^{{\displaystypart_{{{{{{{{{1}}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac F}{\partial n_{2}=n_{2}\display _{2}^{2}\left (\display _ {1}n_{1}+\display _{2}n_{2}+{3}_{2}^{2}\displaystyle _{2}^{2}}^{2}\displaystylight _{2}$ ${\displaystyle {\frac F}{\partial n_{3}=n_{3}\display_{3}_{3}\display_{1}n_{2}+\display_{2}n_{2}+{3}^{3}\display_{3}\display_{3}_{3}_{3}_{3}_{3}_{3}_{3}_{2}^{3}_{3}_{3}_{3}_{3}_{3}}}}}}}_{{{{{{{2}}}}}}}}}}}}}}$ $조건{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ n$_$ {$i$ } $n$_ { i } $= 1$${\displaystyle {}_{},}$ 、 ${\displaystyle {}_{}}$ 1, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$、 \ displaystyle \$displayda$,$n_{1}$ , $n$ 3 {$$$displaystyle n_{3}$} , , , these $these{\displaystyle }$ these these 、 n _ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ _ { displaystyle n _ { n _ n _ { n _ n _ n _ { n _ n _ n _ n _ n _ n _ n _ n _ n _ n _ 첫 번째 3개의 공식에 $각각{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n1{}_{}{}_{}}$ $n_{$$1$},$n_{$2} 및 $({$3$\})$을 곱하여 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$1 + ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ 3 n ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ n$$2 \ $text =$ { $text$} )를 구합니다.$_{1}n_{1$}^{2$}+\param$_{$2}n_{2}+\param$ _${3}n_{$2}+\param _{$3}^2}$를 구합니다. ${\displaystyle n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}n_{1}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{1}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}n_{2}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{2}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{1}n_{3}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{3}^{2}\lambda =0}$ Adding these three equations we get ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}}$ this result can be substituted into each of the first three equations to obtain ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\left(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\end{aligned}}}$ Doing the same for the other two equations we have ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\left(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\left(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{3}=0}$ A first approach to solve these last three equations is to consider the trivial solution ${\displaystyle n_{i}=0}$. However, this option does not fulfill the constraint ${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$. Considering the solution where ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}$ and ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$, it is determine from the condition ${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$ that ${\displaystyle n_{3}=\pm 1}$, then from the original equation for ${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$ it is seen that ${\displaystyle \tau _{\text{n}}=0}$. The other two possible values for ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ can be obtained similarly by assuming ${\displaystyle n_{1}=n_{3}=0}$ and ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{2}=n_{3}=0}$ and ${\displaystyle n_{1}\neq 0}$ Thus, one set of solutions for these four equations is: ${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=0,&n_{2}&=0,&n_{3}&=\pm 1,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=0,&n_{2}&=\pm 1,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=\pm 1,&n_{2}&=0,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\end{aligned}}}$ These correspond to minimum values for ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ and verifies that there are no shear stresses on planes normal to the principal directions of stress, as shown previously. A second set of solutions is obtained by assuming ${\displaystyle n_{1}=0,\,n_{2}\neq 0}$ and ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$. Thus we have ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ To find the values for ${\displaystyle n_{2}}$ and ${\displaystyle n_{3}}$ we first add these two equations ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}&=0\\\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{\text{n}}\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)&=0\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\end{aligned}}}$ Knowing that for ${\displaystyle n_{1}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}=\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ and ${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ we have ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}\left(1-n_{2}^{2}\right)\right)=0\end{aligned}}}$ and solving for ${\displaystyle n_{2}}$ we have ${\displaystyle n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ Then solving for ${\displaystyle n_{3}}$ we have ${\displaystyle n_{3}={\sqrt {1-n_{2}^{2}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ and ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}\\\tau _{\text{n}}&={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}\end{aligned}}}$ The other two possible values for ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ can be obtained similarly by assuming ${\displaystyle n_{2}=0,\,n_{1}\neq 0}$ and ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{3}=0,\,n_{1}\neq 0}$ and ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ Therefore, the second set of solutions for ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0}$, representing a maximum for ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ is ${\displaystyle n_{1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=0,\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}}$ Therefore, assuming ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$, the maximum shear stress is expressed by ${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left \sigma _{1}-\sigma _{3}\right ={\frac {1}{2}}\left \sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right }$ and it can be stated as being equal to one-half the difference between the largest and smallest principal stresses, acting on the plane that bisects the angle between the directions of the largest and smallest principal stresses.

Stress deviator tensor

The stress tensor ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ can be expressed as the sum of two other stress tensors:

1. a mean hydrostatic stress tensor or volumetric stress tensor or mean normal stress tensor, ${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$, which tends to change the volume of the stressed body; and
2. a deviatoric component called the stress deviator tensor, ${\displaystyle s_{ij}}$, which tends to distort it.

So

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,}$

where ${\displaystyle \pi }$ is the mean stress given by

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.\,}$

Pressure (${\displaystyle p}$) is generally defined as negative one-third the trace of the stress tensor minus any stress the divergence of the velocity contributes with, i.e.

${\displaystyle p=\lambda \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

where ${\displaystyle \lambda }$ is a proportionality constant, ${\displaystyle \nabla \cdot }$ is the divergence operator, ${\displaystyle x_{k}}$ is the k:th Cartesian coordinate, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ is the velocity and ${\displaystyle u_{k}}$ is the k:th Cartesian component of ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

The deviatoric stress tensor can be obtained by subtracting the hydrostatic stress tensor from the Cauchy stress tensor:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Invariants of the stress deviator tensor

As it is a second order tensor, the stress deviator tensor also has a set of invariants, which can be obtained using the same procedure used to calculate the invariants of the stress tensor. It can be shown that the principal directions of the stress deviator tensor ${\displaystyle s_{ij}}$ are the same as the principal directions of the stress tensor ${\displaystyle \sigma _{ij}}$. Thus, the characteristic equation is

${\displaystyle \left s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right =\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,}$

where ${\displaystyle J_{1}}$, ${\displaystyle J_{2}}$ and ${\displaystyle J_{3}}$ are the first, second, and third deviatoric stress invariants, respectively. Their values are the same (invariant) regardless of the orientation of the coordinate system chosen. These deviatoric stress invariants can be expressed as a function of the components of ${\displaystyle s_{ij}}$ or its principal values ${\displaystyle s_{1}}$, ${\displaystyle s_{2}}$, and ${\displaystyle s_{3}}$, or alternatively, as a function of ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ or its principal values ${\displaystyle \sigma _{1}}$, ${\displaystyle \sigma _{2}}$, and ${\displaystyle \sigma _{3}}$. Thus,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}$

Because ${\displaystyle s_{kk}=0}$, the stress deviator tensor is in a state of pure shear.

A quantity called the equivalent stress or von Mises stress is commonly used in solid mechanics. The equivalent stress is defined as

${\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}$

Octahedral stresses

Considering the principal directions as the coordinate axes, a plane whose normal vector makes equal angles with each of the principal axes (i.e. having direction cosines equal to ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}} }$) is called an octahedral plane. There are a total of eight octahedral planes (Figure 6). The normal and shear components of the stress tensor on these planes are called octahedral normal stress ${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$ and octahedral shear stress ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$, respectively. Octahedral plane passing through the origin is known as the π-plane (π not to be confused with mean stress denoted by π in above section) . On the π-plane, ${\textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$.

Knowing that the stress tensor of point O (Figure 6) in the principal axes is

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

the stress vector on an octahedral plane is then given by:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

The normal component of the stress vector at point O associated with the octahedral plane is

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

which is the mean normal stress or hydrostatic stress. This value is the same in all eight octahedral planes. The shear stress on the octahedral plane is then

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

See also

• Critical plane analysis

References