보이그트 표기법

수학에서 다선 대수에서 Voigt 표기법이나 Voigt 형식은 그 순서를 줄여 대칭 텐서를 나타내는 방법이다.^[1] 이 아이디어에는 몇 가지 변형과 관련 이름이 있다: 만델 표기법, 만델-보이트 표기법, 나이 표기법 등이 있다. 켈빈 표기법은 헬빅이^[2] 켈빈 경의 옛날 사상을 재현한 것이다. 여기서의 차이는 텐서 선택 항목에 부착된 특정 가중치에 있다. 명칭은 적용 분야에서 전통적인 것에 따라 달라질 수 있다.

예를 들어, 2×2 대칭 텐서 X는 대각선의 두 원소와 대각선의 다른 원소가 대각선으로부터 떨어져 있는 세 개의 구별되는 원소만 가지고 있다. 따라서 그것은 벡터로 표현될 수 있다.

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ x ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle x_{11},x_{22},x_{12}\angle$ $\}\}.$

또 다른 예로서 다음과 같다.

응력 텐서(행렬 표기법)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{matrix}}\right].}$

Voigt 표기법에서는 6차원 벡터로 단순화된다.

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).}$

응력 텐서(둘 다 대칭 2차 텐서)와 유사한 변형 텐서는 다음과 같이 행렬 형태로 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}=\left[{\begin{matrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{matrix}}\right].}$

Voigt 표기법으로 표현하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$

where ${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$, ${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$, and ${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$ are engineering shear strains.

스트레스와 스트레인에 대해 서로 다른 표현을 사용할 경우의 이점은 스칼라 불변성이라는 것이다.

${\displaystyle {\cdma}}\cdot {\cdma}\\cdma _{ij}\epsilon _{\tille}}}}\cdot {\tillede {\\\tillede{\\\\\\\epsilon}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

보존되어 있다.

마찬가지로 3차원 대칭 4차 텐서는 6×6 매트릭스로 줄일 수 있다.

니모닉 규칙

Voigt 표기법을 암기하는 간단한 니모닉 규칙은 다음과 같다.

• 두 번째 순서 텐서를 행렬 형식으로 기록하십시오(예: 스트레스 텐서).
• 대각선 스트라이크 아웃
• 세 번째 열에서 계속
• 첫 번째 행을 따라 첫 번째 요소로 돌아가십시오.

Voigt 인덱스에는 시작점에서 끝까지 연속적으로 번호가 매겨진다(예: 파란색 숫자).

만델 표기법

두 번째 순위의 대칭 텐서인 경우

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]}$

대각선 상에 있는 세 가지 요소와 다른 요소들은 서로 분리되어 있는 여섯 가지 요소들만이 구별된다. 따라서 그것은 만델 표기법으로 벡터로 표현될 수 있다.^[3]

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$

만델 표기법의 주요 장점은 벡터와 함께 사용되는 동일한 재래식 연산(예:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$

${\displaystyle {Di}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ l ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{Di<img\; alt="D\_\{\{ijkl\}\}=D\_\{\{jikl\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7e1427e7e28623dcae149c2948b940f6fb9349f4"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:12.595ex;\; height:2.843ex;">}}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{Di}}_{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 만족하는 순위 4위의 대칭 텐서는 3차원 공간에 81개의 성분만 구별된다$$. 따라서 만델 표기법에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}}&D_{2233}&{\sqrt{2}}D_{2223}&{2}}D_{2213}&{\sqrt{2}}D_{2212}\\}\D_{3311}&.D_{3322}&.D_{3333}&,{\sqrt{2}}D_{3323}&,{\sqrt{2}}D_{3313}&,{\sqrt{2}}D_{3312}\\{\sqrt{2}}D_{2311}&,{\sqrt{2}}D_{2322}&,{\sqrt{2}}D_{2333}&2.D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt{2}}D_{1311년}&,{\sqrt{2}}D_{1322년}&,{\sqrt{2}}D_{1333년}&2D_{1323년}&2D_{1313년}&2D_{1312년}\\{\sqrt{2}}D_{1211년}&,{\sqrt{2}}D_{1222년}&,{\sqrt{2}}D_{1233년}&, 2D_{1223년}&, 2D_{1213년}&.2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$

적용들

이 표기법은 물리학자 볼드마르 보이트와 존 나이(과학자)의 이름을 따서 명명되었다. 예를 들어 일반화된 Hoke의 법칙, 유한요소해석,^[4] 확산 MRI와 같은 물질을 시뮬레이션하기 위한 구성 모델을 포함하는 계산에서 유용하다.^[5]

후크의 법칙은 81개의 성분(3×3×3)으로 대칭 4차 강직성 텐서(3×3×3)를 가지고 있지만, 대칭 순위 2 텐서(tensor)에 4등급 텐서(tensor)를 적용하면 또 다른 대칭 순위 2 텐서(tensor)를 산출해야 하기 때문에 81개 원소가 모두 독립적인 것은 아니다. Voigt 표기법은 그러한 4등급 텐서를 6×6 행렬로 나타낼 수 있게 한다. 그러나 보이트의 형태는 사각형의 합을 보존하지 못하는데, 후크의 법칙의 경우에는 기하학적 의미가 있다. 이것은 왜 가중치가 도입되는지를 설명한다. (지도도를 등위법으로 만들기 위해).

Voigt의 표기법과 Mandel의 표기법의 불변성에 대한 논의는 Helnwein(2001)에서 찾을 수 있다.^[6]

참조

참고 항목

• 벡터화(수학)
• 후크의 법칙