텐서 수축

다차원 대수학에서 텐서 수축은 유한차원 벡터 공간과 그것의 이중의 자연적 결합에서 발생하는 텐서상의 연산이다. 성분에서, 그것은 표현에서 서로 결합되는 더미 지수 쌍에 합계 규약을 적용하여 발생한 텐서 성분의 스칼라 성분의 곱의 합으로 표현된다. 단일 혼합 텐서의 수축은 텐서의 한 쌍의 리터럴 인덱스(첨자 하나, 위첨자 하나)가 서로 동일하게 설정되고 합계가 될 때 발생한다. 아인슈타인 표기법에서 이 합계는 표기법에 내장되어 있다. 그 결과 주문량이 2 감소하여 또 다른 시너지 효과를 얻을 수 있다.

텐서 수축은 흔적의 일반화로 볼 수 있다.

추상적 제형식

V를 필드 k 위에 있는 벡터 공간이 되게 하라. 수축작전의 핵심이자 가장 간단한 경우는 이중 벡터 공간 V와^∗ V의 자연스러운 페어링이다. 페어링은 이 두 공간의 텐서 곱에서 필드 k로 선형 변환하는 것이다.

[\displaystyle C):V\otimes V^{*}\오른쪽 화살표 k}

이선형식에 해당하는.

\langle f,v\angle =f(v)

여기서 f는 V에^∗, v는 V에 있다. 지도 C는 $V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V$ 의 요소인 유형(1, 1)의 텐서 상에서 수축작전을 정의한다 $V^{*}\otimes V$ 결과는 스칼라(k의 요소)라는 점에 유의한다. $V\otimes V^{*}$ $V\otimes V^{*}$ $∗{\$ 사이의 $V\otimes V^{*}$ 자연 이형성과 V에서 V로 선형 변환하는 공간을 사용하여 트레이스에 대한 근거 없는 정의를 얻는다.^[1]

일반적으로 유형(m, n)의 텐서(m ≥ 1과 n ≥ 1)는 벡터 공간의 요소다.

V\otimes \cdots \otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}}}}}

(m 인자 V 및 n 인자 V가^∗ 있는 경우).^[2]^[3] k번째 V 인자와 l번째 V^∗ 인자에 자연 쌍을 적용하고 다른 모든 인자에 대한 ID를 사용하여 (k, l) 수축 연산을 정의하는데, 이는 (m - 1, n - 1) 유형의 텐서르(tensor of type, m - 1, n - 1)를 산출하는 선형 지도다.^[2] (1, 1) 사례와 유추하여 일반 수축작전을 트레이스라고 부르기도 한다.

지수 표기법 수축

텐서 지수 표기법에서 벡터와 이중 벡터의 기본 수축은 다음과 같이 나타낸다.

{\tilde{f}({\vec{v}})=f_{\pair }v^{\pair }}}}}

즉, 명시적 좌표 합계를^[4] 위한 속기법이다.

f_{\put }v^{}}{{1}=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}}}}}}}

(여기서 $v$ 는ⁱ 특정 기준으로 $v$ 의 구성 요소이고 $f$ 는_i 해당 이중 기준으로 $f$ 의 구성 요소임).

일반적인 혼합 디아디치 텐서는 $f\otimes v$ $f\otimes v$ $f\otimes v$ $f\otimes v$ 형식의 분해 가능한 텐서의 선형 결합이므로 $f\otimes v$ 디아디치 케이스의 명시적 공식은 다음과 같다.

\mathbf {T} =T^{i}{}_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e}^{j}}}

혼성 디아디치 텐서이다 그러면 그 수축은

{\

T^{i}{}_{j}\delta _{i}{}^{j}=

T^{j}{}_{j}=

T^{1}{

1}

_{1}+\cdots +T^{n}{}_{n

일반적인 수축은 하나의 공변량 지수와 동일한 문자로 하나의 역변량 지수에 라벨을 붙임으로써 나타내며, 그 지수에 대한 합계는 합계 협약에 의해 함축된다. 결과적으로 수축된 텐서는 원래 텐서의 나머지 지수를 이어받는다. 예를 들어, 두 번째와 세 번째 지수에서 T형(2,2)의 텐서 T형(2,2)을 계약하여 새로운 텐서 U형(1,1)을 생성하는 것은 다음과 같다.

T^{ab}{}{}_{bc}=\sum _{b}{{b}}{T^{ab}{}_{bc}}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{nc}=U^{a}{}_{c}.

반대로 하자.

\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^j

혼용되지 않은 디아디시 텐서다 이 텐서는 수축되지 않는다. 만약 그것의 기본 벡터가 점점이 있다면,^{[clarification needed]} 그 결과는 반대 미터 테스터가 된다.

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

=

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

{\

g

^{ij}=\mathbf {e}^{i}\cdot \mathbf

{

e}^{j

계급은 2이다.

미터법 수축

앞의 예에서와 같이, 두 공변량 또는 두 공변량 모두인 지수 쌍의 수축은 일반적으로 불가능하다. 그러나 내부 제품(계량계라고도 함) g가 있는 경우 그러한 수축이 가능하다. 하나는 필요에 따라 지수를 올리거나 내리기 위해 지표를 사용하고, 그 다음엔 통상적인 수축 작동을 사용한다. 결합 연산은 미터법 수축이라고 알려져 있다.^[5]

텐서 필드에 적용

수축은 종종 공간 위에 있는 텐서 장(예: 유클리드 공간, 다지관 또는 체계^{[citation needed]})에 적용된다. 수축은 순전히 대수적 연산이기 때문에, 예를 들어 T가 유클리드 공간의 a (1,1) 텐서 필드인 경우, 어떤 좌표에서도 지점 x에서의 수축(스칼라장) U는 다음과 같이 텐서 필드에 점으로 적용할 수 있다.

U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)

여기서 x의 역할은 복잡하지 않기 때문에 억제되는 경우가 많고, 텐서장에 대한 표기법은 순수 대수 텐서용 표기법과 동일해진다.

리만 다지관 너머로 미터법(내부 제품 분야)을 이용할 수 있으며, 미터법과 비금속 수축 모두 이론에 결정적이다. 예를 들어 리치 텐서는 리만 곡률 텐서의 비금속 수축이고, 스칼라 곡률이란 리치 텐서의 고유한 미터법 수축이다.

또한 다지관의^[5] 적절한 기능 링 위에 있는 모듈의 맥락에서 텐서 필드의 수축이나 구조 덮개 위에 있는 모듈의 맥락에서 볼 수 있다.^[6] 이 글의 끝부분에서 토론을 참조하라.

텐서 다이버전

텐서장 수축의 응용으로서, V를 리만 다지관의 벡터장(예를 들어 유클리드 공간)이 되게 한다. $V^{\alpha }{}_{\beta }$ $V^{\alpha }{}_{\beta }$ ${\$ 을(를) V의 공변량 파생 모델이 되도록 $V^{\alpha }{}_{\beta }$ 한다(일부 좌표 선택). 유클리드 공간에 있는 데카르트 좌표의 경우 글씨를 쓸 수 있다.

V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha }\over \partial x^{\beta }}}.

그런 다음 지수 β를 α로 변경하면 지수 쌍이 서로 결합하게 되어 파생상품은 그 자체와 계약하여 다음과 같은 합을 얻는다.

V^{\alpha }{}{}_{\alpha }}=V^{0}{}}+\cdots +V^{n}{}_{n}}}}

분열 V. 그러면

\operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0

V에 대한 연속성 방정식이다.

일반적으로 상위 텐서 분야에 대한 다양한 분기 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 T가 적어도 하나의 대립 지수를 갖는 텐서 필드인 경우, 공변량 차분을 취하고 그 차이에 해당하는 새로운 공변량 지수를 가진 선택된 왜곡 지수를 수축시키면 T의 그것보다 1등급이 낮은 새로운 텐서가 된다.^[5]

텐서 한 쌍의 수축

한 쌍의 텐서 T와 U를 고려하여 약간 다른 방식으로 노심 수축 운전(이중 벡터 포함 벡터)을 일반화할 수 있다. 텐서 제품 $T\otimes U$ $T\otimes U$ $T\otimes U$ $T\otimes U$ 는 새로운 텐서로서 $T\otimes U$ , 공변량 지수와 반변량 지수를 적어도 한 개 이상 가지고 있으면 계약할 수 있다. T가 벡터, U가 듀얼 벡터인 경우는 정확히 이 글에서 먼저 소개된 코어 조작이다.

텐서 지수 표기법에서는 두 개의 텐서를 서로 수축시키기 위해 같은 용어의 인자로 두 텐서를 나란히(주축) 배치한다. 이것은 복합 텐서를 생성하는 텐서 제품을 구현한다. 이 복합 텐서에서 두 지수를 수축하면 두 텐서의 원하는 수축이 구현된다.

예를 들어 행렬은 유형(1,1)의 텐서(tensor)로 나타낼 수 있으며, 첫 번째 지수는 반비례하고 두 번째 지수는 공변량이다. $\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ $\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ ${\$ 을(를) 하나의 행렬의 구성요소로 $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$ M $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$ β $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$ ${\$ 그리고 나서 그들의 곱셈은 다음과 같은 수축에 의해 주어지는데, 이는 한 쌍의 텐서의 수축에 대한 예다.

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

M

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

=

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

=

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

{\

{

N}{}}}{}}}}{\alpha}}}}{\gamma_

{\

gamma

또한 차등형식을 가진 벡터의 내부 제품은 서로 텐서 2개가 수축되는 특수한 경우다.

더 일반적인 대수 컨텍스트

R을 정류 링으로 하고 M을 R 위에 유한 자유 모듈이 되게 한다. 그 후 수축은 한 필드 위의 벡터 공간의 경우와 정확히 같은 방법으로 M의 전체 (혼합) 텐서 대수에서 작용한다.(핵심 사실은 이 경우에도 자연적인 페어링이 여전히 완벽하다는 것이다.)

보다_X 일반적으로, 위상학적 공간 X 위에 있는 O는 복합_X 다지관, 분석적 공간 또는 계획의 구조 피복이 될 수 있다. M을 한정된 등급의_X O 위에 있는 모듈의 국소적으로 자유로운 조각이 되게 하라. 그렇다면 M의 이중은 여전히 얌전하고^[6] 수축작전은 이런 맥락에서 일리가 있다.

참고 항목

메모들

^ L(V, V)을 V에서 V로 선형 변환하는 공간이 되도록 한다. 그럼 자연도
$V^{*}\여러 번 V\오른쪽 화살표 L(V,V)$
에 의해 정의된다.
$전광판 v\mapsto g,}$
여기서 g(w) = f(w)v. V가 유한 차원이라고 가정한다. {v_i}이(가) V의 기본이고 {fⁱ}이(가) 해당하는 이중 기본인 경우, $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ ${\$ 이 기준의 매트릭스가 0이 아닌 하나의 항목, i,j 위치에 1개만 있는 변환에 매핑한다 $f^{i}\otimes v_{j}$ . 이것은 그 지도가 이등형이라는 것을 보여준다.
^ Jump up to: ^a ^b Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course. GTM. 129. New York: Springer. pp. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
^ Warner, Frank (1993). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. GTM. 94. New York: Springer. pp. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.
^ 물리학에서(그리고 때로는 수학에서) 지수는 종종 1이 아닌 0으로 시작한다. 4차원 공간 시간에는 지수가 0에서 3까지 이어진다.
^ Jump up to: ^a ^b ^c O'Neill, Barrett (1983). Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity. Academic Press. p. 86. ISBN 0-12-526740-1.
^ Jump up to: ^a ^b Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9.

참조

Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1980). Tensor Analysis on Manifolds. New York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
Menzel, Donald H. (1961). Mathematical Physics. New York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.

[natural_iso-1] L(V, V)을 V에서 V로 선형 변환하는 공간이 되도록 한다. 그럼 자연도
$V^{*}\여러 번 V\오른쪽 화살표 L(V,V)$
에 의해 정의된다.
$전광판 v\mapsto g,}$
여기서 g(w) = f(w)v. V가 유한 차원이라고 가정한다. {v_i}이(가) V의 기본이고 {fⁱ}이(가) 해당하는 이중 기본인 경우, $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ $f^{i}\otimes v_{j}$ ${\$ 이 기준의 매트릭스가 0이 아닌 하나의 항목, i,j 위치에 1개만 있는 변환에 매핑한다 $f^{i}\otimes v_{j}$ . 이것은 그 지도가 이등형이라는 것을 보여준다.

[fulton_harris-2] Jump up to: ^a ^b Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course. GTM. 129. New York: Springer. pp. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.

[warner-3] Warner, Frank (1993). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. GTM. 94. New York: Springer. pp. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.

[physics-4] 물리학에서(그리고 때로는 수학에서) 지수는 종종 1이 아닌 0으로 시작한다. 4차원 공간 시간에는 지수가 0에서 3까지 이어진다.

[o'neill-5] Jump up to: ^a ^b ^c O'Neill, Barrett (1983). Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity. Academic Press. p. 86. ISBN 0-12-526740-1.

[hartshorne-6] Jump up to: ^a ^b Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9.

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