논커밋 링

대수구조 → 링 이론 링 이론
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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

수학에서 좀더 구체적으로 추상적인 대수학 및 링 이론에서 비확장적 링은 곱셈이 역행적이지 않은 링이다. 즉, r에는 a·b ≠ b·a가 있는 a와 b가 있다. 많은 저자들은 반드시 서로 일치하지 않는 고리를 지칭하기 위해 비고정 고리라는 용어를 사용하며, 따라서 그들의 정의에 서로 다른 고리를 포함한다. 비확정 대수학(noncommutional 대수학)은 교호할 필요가 없는 링에 적용되는 결과를 연구하는 학문이다. 비확정 대수학 분야의 많은 중요한 결과는 특별한 경우로서 정류 링에 적용된다.

비록 일부 저자들은 링이 승법적인 정체성을 가지고 있다고 가정하지 않지만, 이 글에서 우리는 달리 명시되지 않는 한 그러한 가정을 한다.

예

서로 다른 링의 예는 다음과 같다.

• 실수에 대한 n-by-n 행렬의 행렬 링, 여기서 n > 1
• 해밀턴의 질문들
• 아벨이 아닌 집단으로 만들어진 모든 집단 반지는
• The free ring ${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ generated by a finite set; an example of two non-equal elements are ${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2$$}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2$
• The Weyl algebra ${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$ is the ring of polynomial differential operators defined over affine space; for example, ${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$ where the ideal corresponds to the comm유토이터,
• The quotient ring ${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$ where the ${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$ is called a quantum plane,
• Any Clifford algebra can be described explicitly using an algebra presentation: given an ${\displaystyle \mathbb {F} }$-vector space ${\displaystyle V}$ of dimension n with and a quadratic form ${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$, the associated Clifford algebra has the presentation ${\displaystyle \mathbb{F}⟨e_1}$${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$ for any basis ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ of ${\displaystyle V}$,
• Superalgebras are another example of noncommutative rings; they can be presented as ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$.

역사

기하학에서 발생하는 분열 고리를 시작으로 비확장 고리에 대한 연구는 현대 대수학의 주요 영역으로 성장했다. 비협조적인 고리의 이론과 전시는 19세기와 20세기에 수많은 저자들에 의해 확장되고 정제되었다. 그러한 기여자의 불완전한 목록은 E를 포함한다. 아르틴, 리처드 브라워, P. M. 콘, W. R. 해밀턴, I. N. Herstein, N. Jacobson, K. 모리타, E. 노에더, ø. 광석 등.

역행 대수학 및 비역행 대수학 간의 차이

비전향 링은 정류 링보다 훨씬 더 큰 등급의 링이기 때문에, 이들의 구조와 행동은 잘 이해되지 않는다. 많은 작업이 성공적으로 이루어졌고, 서로 교환하는 고리부터 비협정적인 고리까지 몇 가지 결과를 일반화했다. 반지와 그렇지 않은 반지의 주요한 차이점은 오른쪽 이상과 왼쪽 이상을 분리해서 고려할 필요가 있다는 것이다. 비전투적인 고리 이론가들은 이러한 유형의 이상들 중 하나에 조건을 강요하면서 반대쪽을 위해 그것을 보유할 것을 요구하지 않는 것이 일반적이다. 반향반지의 경우 좌우 구분이 존재하지 않는다.

중요반

디비전 링

스큐장이라고도 불리는 디비전 링은 디비전(division)이 가능한 링이다. 구체적으로는 0이 아닌 모든 원소 a가 승법 역수를 갖는 비제로 링이다^[1]. 즉, a·x = x·a = 1. 다르게 말하면, 링은 모든 비제로 원소의 집합과 동일한 경우에 한하여 분할 링이다.

나눗셈 링은 곱셈이 역행할 필요가 없다는 점에서만 분야와 다르다. 그러나 웨더번의 작은 정리정돈에 의해 모든 유한분할 고리는 상호 작용적이기 때문에 유한한 장이다. 역사적으로 분할반지는 때때로 필드라고 일컬어지는 반면, 필드는 "계속적인 필드"라고 불렸다.

Semisimate 링

단일성이 있는 (반복적이지 않은) 링 위에 있는 모듈은 단순(불가침) 하위조항의 직접적인 합계인 경우 반실행(또는 완전히 환원 가능)된다고 한다.

링은 스스로 좌향 모듈로 구현하면 (왼쪽)-반지가 구현된다고 한다. 놀랍게도, 좌표현 구현 링 또한 우표현 구현이고 그 반대의 경우도 마찬가지다. 그러므로 좌/우 구분이 불필요하다.

반림 반지

반비례 반지 또는 제이콥슨 반이행 반지 또는 제이세미이행 링은 제이콥슨 급진성이 0인 반지다. 이것은 반 구현 링보다 더 일반적인 종류의 링이지만, 간단한 모듈들은 여전히 링에 대한 충분한 정보를 제공한다. 정수의 링과 같은 링은 반비례적이며, 아티니안 반비례 링은 반비례 반지일 뿐이다. 반비례적 고리는 제이콥슨 밀도 정리에 의해 설명되는 원시적 고리의 하위직산물로 이해할 수 있다.

심플 링

단순반지는 제로 이상과 그 자체 외에 양면 이상이 없는 논제로반지다. 단순한 반지는 항상 단순한 대수학으로 간주될 수 있다. 링처럼 단순하지만 모듈이 존재하는 것처럼 단순하지 않은 링: 필드 위의 전체 매트릭스 링은 비경쟁적 이상을 가지고 있지 않지만(M(n,R)의 이상은 R의 이상과 함께 M(n,I) 형식이기 때문에), 비경쟁적 왼쪽 이상(명칭, 일부 고정된 0개의 열을 가진 행렬 집합)을 가지고 있다.

아르틴-에 따르면웨더번 정리, 왼쪽이나 오른쪽 아르티니안인 모든 단순한 고리는 분할 링 위에 있는 매트릭스 링이다. 특히 실수에 대한 유한차원 벡터 공간인 단순한 링은 실수, 복합수, 쿼터니온에 걸친 행렬의 링뿐이다.

최대 이상에 의한 반지의 모든 몫은 단순한 반지다. 특히 밭은 단순한 고리다. 링 R은 만약 그것의 반대쪽 링 R이^o 단순하다면 간단하다.

디비전 링 위의 매트릭스 링이 아닌 단순한 링의 예는 웨일 대수학이다.

중요한 정리

웨더번 소정리

웨더번의 작은 정리는 모든 유한한 영역은 하나의 분야라고 말한다. 즉, 유한 링의 경우 도메인, 분할 링, 필드 등의 구분이 없다.

아르틴-조른 정리는 대체 고리에 대한 정리를 일반화한다: 모든 유한한 단순 대체 고리는 하나의 필드다.^[2]

아르틴-웨더번 정리

아르틴-웨더번 정리(Wedderburn organization)는 반이행 링과 반이행 알헤브라에 대한 분류 정리다. 정리는 (Artinian)^[3] 반이행 링 R이 일부 정수 n에_i 대해 분할 링 D보다_i 상당히 많은 n-by-n_ii 매트릭스 링의 곱에 이등형이며, 이 두 가지 모두 지수 i의 순열까지 고유하게 결정된다고 기술하고 있다. 특히 어떤 단순한 왼쪽이나 오른쪽의 아르티니아 링은 분할 링 D 위에 있는 n-by-n 매트릭스 링에 대해 이형성이며, 여기서 n과 D 모두 고유하게 결정된다.^[4]

직접적 관상으로서 아르틴-웨더번 정리는 분할 링(단순 대수) 위에 유한한 모든 단순 링이 매트릭스 링임을 암시한다. 이것은 Joseph Wedderburn의 원래 결과물이다. 에밀 아르틴은 나중에 아르티니아 반지의 경우로 일반화했다.

제이콥슨 밀도 정리

제이콥슨 밀도 정리는 R 링 위에 있는 간단한 모듈에 관한 정리다.^[5]

그 정리는 어떤 원시적인 고리도 벡터 공간의 선형 변환 링의 "감각" 서브링으로 볼 수 있다는 것을 보여주기 위해 적용될 수 있다.^[6][7] 이 정리는 1945년 네이단 제이콥슨의 유명한 논문 "단순성 가정 없는 단순한 반지의 구조 이론"에서 처음으로 문헌에 나타났다.^[8] 이것은 단순한 아르티니아 고리의 구조에 관한 아르틴-웨더번 정리의 결론을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

좀 더 형식적으로 정리하면 다음과 같이 진술할 수 있다.

제이콥슨 밀도 정리. U를 단순한 우측 R-모듈, D = End(U_R), X ⊂ U 유한 및 D-선형 독립 집합으로 한다. A가 U에 대한 D-선형 변환인 경우, 모든 X에 대해 A(x) = x • r과 같은 r ∈ R이 존재한다.^[9]

나카야마 보조정리

J(R)를 R의 제이콥슨 급진파가 되게 하라. 만일 U가 반지, R, 그리고 내가 R에서 올바른 이상이라면, U·I를 u·i 형식의 모든 (마지막) 원소 합계의 집합으로 정의하라, 여기서 ·는 단순히 R의 U에 대한 작용이다. 필연적으로 U·I는 U의 서브모듈이다.

V가 U의 최대 하위 모듈이라면 U/V는 간단하다. 따라서 U·J(R)는 J(R)의 정의와 U/V가 단순하다는 사실에 의해 반드시 V의 하위 집합이다.^[10] 따라서 U가 적어도 하나의 (속성 있는) 최대 하위 모듈을 포함하는 경우 U/J(R)는 U의 적절한 하위 모듈이다. 그러나 U는 최대 하위 모듈을 포함할 필요가 없기 때문에 R을 통한 임의 모듈 U를 유지할 필요는 없다.^[11] 당연히 U가 노메테리아 모듈이라면 이 정도는 버틸 수 있다. R이 노메트리안이고 U가 미세하게 생성되면 U는 R보다 노메트리안 모듈이고 결론은 만족한다.^[12] 다소 주목할 만한 것은 U가 R-모듈로서 정밀하게 생성된다는 약한 가정, 즉 R에 대한 정밀도 가정은 결론을 보장하기에 충분하다는 점이다. 이것은 본질적으로 나카야마의 보조정리 진술이다.^[13]

정확히 말하자면, 한 사람은 다음과 같은 것을 가지고 있다.

나카야마의 보조정리: 링 R을 통해 미세하게 생성되는 우측 모듈이 되도록 하자. U가 0이 아닌 모듈이라면 U·J(R)는 U의 적절한 하위 모듈이다.^[13]

보조정리기는 비규격 단일 링 R보다 오른쪽 모듈을 고정한다. 그 결과의 정리를 제이콥슨-아즈마야 정리라고도 한다.^[14]

비확정 로컬리제

국산화란 링에 승법적 인버스를 추가하는 체계적인 방법으로, 보통은 역법 링에 적용한다. 링 R과 서브셋 S가 주어지면, R*에서 R*까지의 링 동형성과 R*까지의 링 동형성을 구성하여 S의 이미지가 R*의 단위(수치 불가능한 요소)로 구성되도록 한다. 또한 R*가 이를 위한 '최상의' 또는 '가장 일반적인' 방법이 되기를 바라는 사람도 있다 – 일반적인 방식으로 이는 보편적 자산으로 표현되어야 한다. S에 의한 R의 국산화(localization)는 일반적으로 SR에 ⁻¹ 의해 표시되지만, 일부 중요한 특수한 경우에는 다른 표기법이 사용된다. S가 정수 영역의 0이 아닌 원소의 집합인 경우, 국산화란 분수의 영역이며, 따라서 일반적으로 Frac(R)로 표시된다.

비전선동 링의 국소화는 더 어렵다. 국소화가 잠재 단위의 모든 S 세트에 대해 존재하는 것은 아니다. 지역화가 존재한다는 것을 보장하는 하나의 조건은 Ore 조건이다.

지역화가 명확한 관심을 갖는 비상품적 링의 한 가지 사례는 차등 운영자의 링에 관한 것이다. 예를 들어, 분화 연산자 D에 대해 형식 역 D를⁻¹ 결합한다는 해석이 있다. 이것은 미분 방정식의 방법에서 많은 맥락에서 행해진다. 현재 그것에 관한 큰 수학 이론이 있는데, 마이크로 국소화라는 이름으로, 다른 수많은 가지들과 연결된다. 마이크로 태그는 특히 푸리에 이론과의 연결과 관련이 있다.

모리타등가

모리타 동등성은 링-테오틱 특성을 많이 보존하는 링 사이에 정의된 관계다. 1958년 등가성과 이와 유사한 이중성의 개념을 정의한 일본의 수학자 키티 모리타의 이름을 따서 명명되었다.

R, R-Mod에 대한 (좌)모듈의 범주 및 S, S-모드에 대한 (좌)모듈의 범주의 등가성이 있는 경우, R과 S-모드에 대한 (좌)모듈의 범주의 등가성이 있으면 (모리타) 등가라고 한다. 오른쪽 모듈 범주 Mod-R과 Mod-S가 동등한 경우에만 왼쪽 모듈 범주 R-Mod와 S-Mod가 동등하다는 것을 보여줄 수 있다. 또한 동등성을 산출하는 R-Mod에서 S-Mod까지의 모든 functor는 자동으로 첨가된다는 것을 보여줄 수 있다.

브라워 그룹

필드 K의 브라워 그룹은 아벨 그룹으로서 K보다 계급이 유한한 중심 단순 알헤브라의 모리타 동등성 등급이며, 알헤브라의 텐서 곱에 의해 부가 유도된다. 분단 알헤브라를 한 분야로 분류하려는 시도에서 생겨났으며 대수학자 리처드 브라워의 이름을 따서 명명되었다. 집단은 또한 갈루아 코호몰로지 관점에서 정의될 수 있다. 보다 일반적으로, 어떤 계획의 브라워 그룹은 아즈마야 알헤브라의 용어로 정의된다.

광석 조건

Ore 조건은 상호 작용 링 이상으로 확장되는 문제, 즉 보다 일반적으로 링의 국산화라는 문제와 관련하여, 외이스테인 오레가 도입하는 조건이다. 링 R의 곱셈 부분집합 S에 대한 오른쪽 Ore 조건은 r R과 s s S의 경우 교차점 aS s sR ∅ ∅ ^[15]∅. 올바른 Ore 조건을 만족하는 도메인을 오른쪽 Ore 도메인이라고 한다. 왼쪽 사례는 유사하게 정의된다.

골디의 정리

수학에서 골디의 정리는 1950년대 알프레드 골디에 의해 증명된 고리 이론의 기본적인 구조적 결과물이다. 현재 오른쪽 골디 링이라고 불리는 것은 그 자체로 한정된 균일한 치수("마인티 랭크"라고도 불리며, R의 서브셋의 오른쪽 섬멸기에서 상승 체인 조건을 만족시키는 링 R이다.

골디의 정리는 반미라임 오른쪽 골디 고리는 정확히 아르티니아 오른쪽 고전적인 인용구를 반시 구현한 반지라고 말한다. 이 인용구의 구조는 아르틴-에 의해 완전히 결정된다.웨더번 정리.

특히 골디의 정리는 반미프라임 오른쪽 노메트리안 링에 적용되는데, 정의상 노메트리안 링은 모든 이상에 상승 체인 조건을 갖기 때문이다. 이것은 우-노메테리아 반지가 골디라는 것을 보증하기에 충분하다. 반향은 유지되지 않는다: 모든 오른쪽 Ore 도메인은 오른쪽 Goldie 도메인이다. 따라서 모든 상호 작용 통합 도메인도 그렇다.

골디 정리의 결과는, 다시 골디 때문에, 모든 반감기의 주임원권 이상고리는 원임원권 이상고리의 유한 직접 합에 이형성이라는 것이다. 모든 주요 오른쪽 이상 고리는 오른쪽 Ore 도메인의 매트릭스 링과 이형성이다.

참고 항목

• 파생대수 기하학
• 비계산 대수 기하학
• 비확정 고조파 분석
• 표현 이론(집단 이론)

메모들

참조

• Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a graduate course (1st ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945), "Structure theory of simple rings without finiteness assumptions", Transactions of the American Mathematical Society, 57: 228–245, doi:10.2307/1990204, JSTOR 1990204
• Nagata, M. (1962), Local Rings, Wiley-Interscience

추가 읽기

• Herstein, I. N. (1968), Noncommutative Rings, Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
• Lam, T. Y. (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag