대칭 행렬

선형대수학에서 대칭행렬은 그 전치사와 동일한 정사각형행렬이다. 형식적으로.

동일한 행렬은 동일한 치수를 가지기 때문에 사각 행렬만 대칭일 수 있다.

대칭 행렬의 항목은 주 대각선에 대해 대칭이다. $i{\displaystyle }$ j ${\$ $a_$${ij}$ 행 및$$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ 열에서 항목을 나타내는$$$$ 경우

모든 인덱스 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및 $j$ . ${\displaystyle$ j$.}$에 대해

모든 정사각형 대각 행렬은 대칭이다. 왜냐하면 모든 비대각형 원소는 0이기 때문이다. 마찬가지로, 2와 다른 특성에서, 스큐 대칭 행렬의 각 대각선 요소는 각각 자체의 음수이므로 0이어야 한다.

선형 대수학에서, 실제 대칭 행렬은 실제 내부 제품 공간 위에 있는 자가 적응 연산자를^[1] 나타낸다. 복잡한 내부 제품 공간의 해당 개체는 복합적인 가치의 엔트리를 가진 에르미트 행렬이며, 이는 그것의 결합 전치(transse)와 동일하다. 따라서 복잡한 숫자에 대한 선형대수에서 대칭행렬은 실제 값진 항목이 있는 행렬을 가리킨다고 가정하는 경우가 많다. 대칭 행렬은 다양한 어플리케이션에서 자연스럽게 나타나며, 전형적인 수치 선형 대수 소프트웨어로 그들을 위한 특별한 편의를 제공한다.

예제

다음 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3\time 3}$ 행렬은$$ 대칭이다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

특성.

기본 속성

• 두 대칭 행렬의 합과 차이가 다시 대칭됨
• This is not always true for the product: given symmetric matrices ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$, then ${\displaystyle AB}$ is symmetric if and only if ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ commute, i.e., if ${\displaystyle AB=BA}$.
• 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$^{n}$이$($가) 대칭이면$$ 대칭이다$$.
• $A{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$이 있는$$ 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대칭인 경우에만 대칭이다.

대칭 및 스큐 대칭으로 분해

모든 정사각형 행렬은 대칭 행렬과 대칭 대칭 행렬의 합으로 고유하게 기록할 수 있다. 이 분해는 토플리츠 분해라고 알려져 있다. ${\displaystyle {매트}_{}}$ ${\displaystyle {\text{n}}_{}}$ ${\$은(는) 매트릭스$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$의 공간을 나타낸다$$. If ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ denotes the space of ${\displaystyle n\times n}$ symmetric matrices and ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ the space of ${\displaystyle n\times n}$ skew-symmetric matrices then ${\displaystyle$${\mbox{Mat}_{n}={\mbox{Sym}}+{\mbox{Skew}_{n}}$ 및$$ ${\displaystyle {Symn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {스큐}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${$}{\mbox}}{\mbox{Symbox}}\mbox{Skew}={0\},e$

${\displaystyle {\mbox{Mat}_{n}={\mbox{Sym}_{n}\plus{\mbox{Skew}}_{n}}}}$

여기서 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$은(는) 직접 합을 나타낸다$$. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을(를) 그대로 두십시오.

${\displaystyle X}$= 1 ${\displaystyle 2}$( X${\displaystyle }$+ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$+ 1 $($ X${\displaystyle }$- X ${\displaystyle T^{}}$ ) $displaystyle X={\frac{1}{1$}:{2$}}\왼쪽(X+X^{T}\right)+{\frac$ {1$}{1}{{$1}}\$frac(X^{T$}\$t}\right$

Notice that ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ and ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$. 이는 특성이 2와 다른 모든 필드의 항목이 있는$$ 모든 제곱 행렬 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 적용된다.

대칭 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬은$$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2n(\mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$개의 스칼라$$(주 대각선 위 또는 위쪽의 항목 수)로 결정된다. 마찬가지로 스큐 대칭 행렬은 1 ${\displaystyle 2n}$ (${\displaystyle }$n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\tfrac$ {$1}{$2}}$n(n-1)}$ 스칼라$$(주 대각선 위의 항목 수)에 의해 결정된다.

대칭 행렬과 일치하는 행렬

대칭 행렬과 일치하는 모든 행렬은 다시 대칭이다. $X{\displaystyle }${\$displaystyle X$}이$$(가) 대칭 행렬이면 모든 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $AXA^{\mathrm {T}이($가) 대칭 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}^{}}$ ${\$displaystystyle $A$에 대해$$ $A{\displaystyle }$ X A T {\displaystystystystystystystystystytym {\T}도 마찬가지다.

대칭성은 정규성을 함축한다.

(실제 값) 대칭 행렬은 반드시 정규 행렬이다.

실제 대칭 행렬

${\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle$}에 있는$$ 표준 내측 제품 Rn ${\$을 참조하십시오$.$ ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ n$\times n}$ $매트릭스$ A {\$displaystyle$ A$}$은(는) 대칭이며$$ 다음 중 하나일 때에만 해당된다.

$\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle \quad \ forall x,y\in \mathb {R}^{n}.}$

이 정의는 기초의 선택과 무관하므로 대칭은 선형 연산자 A와 내부 제품의 선택에만 의존하는 속성이다. 대칭의 이러한 특성화는 예를 들어, 미분 기하학에서 다지관으로 가는 각 접선 공간에 내부 제품이 부여되어 리만 다지관이라고 불리는 것을 발생시킬 수 있다. 이 제형이 사용되는 또 다른 영역은 힐버트 공간에 있다.

유한 차원 스펙트럼 정리는 입력이 실제인 대칭 행렬은 직교 행렬에 의해 대각화될 수 있다고 말한다. 더 명시적으로: 모든 실제 대칭 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$에 대해 실제 직교 행렬 Q ${\displaystyle$ Q$}$이(가) 존재하므로 $D{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$Q ${\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T}AQ}는$대각 행렬이다. 따라서 모든 실제 대칭 행렬은 직교 기준의 선택에 따라 대각 행렬이 된다.

만약 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 통근하는 실제$$ 대칭 $행렬$이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$인 경우, 동시에 대각화될 수 있다: $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\displaysty$ $\mathb{R} ^n}}$의 모든 기본 요소가 두 $개$의 고유 벡터인 것이다$$.$르{\displaystyle }$ $A}$ 및 B$$ ${\디스플레이 스타일$ B$\}.$

모든 실제 대칭 행렬은 에르미트인이므로 모든 고유값은 실제 값이다.(사실상 고유값은 $대각{\displaystyle }$ 행렬 D ${\displaystyle$ D$}($위)에 있는 항목이며, $따라서{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D$}은$$ 그 항목의 순서에 따라$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ A$}$에 의해 고유하게 결정된다.) 본질적으로, 실제 행렬에 대칭성이 되는 속성은 복잡한 행렬에 대해 은둔자가 되는 속성에 해당한다.

복잡한 대칭 행렬

복잡한 대칭 행렬은 단일 행렬을 사용하여 '대칭'할 수 있다. 따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 복합 대칭 $행렬$인 경우 U ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$${\$$displaystyle UAU^{\mathrm{T}}}}}}}}$이(가$)$ 음수가 아닌$$ 실제 대칭 행렬인 경우. 이 결과를 Autonne-라고 한다.타카기 인수. 원래는 레온 아우턴(1915년)과 다카기 테이지(1925년)에 의해 증명되었고, 다른 여러 수학자들에 의해 다른 증거로 재발견되었다.^[2][3] 실제로 매트릭스 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle B=A^{\daughter }A}$은(는) 에르미타인이자 양의 반확정성이므로 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\displaystyle B}$ V ${\displaystyle V^{\daughter }BV}$이(가) 음이 아닌 실제 입력으로 대각선으로 되어 있는$$ 유니터리$$ $매트릭스{\displaystyle }$V가 있다. 따라서 $C{\displaystyle }$= V ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A^{}}$ V ${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$은(는) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{\doger }C}$ real과$$(와) 복잡한 대칭이다$$. Writing ${\displaystyle C=X+iY}$ with ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ real symmetric matrices, ${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+$$Y^{2}+i(XY-YX)}$. Thus ${\displaystyle XY=YX}$. Since ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ commute, there is a real orthogonal matrix ${\displaystyle W}$ such that both ${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$ and ${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$ are diagonal. 설정 $U{\displaystyle }$= ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$단일 행렬), ${\displaystyle \mathrm{매트릭스}}$ U A ${\displaystyle {U\mathrm{}}^{}}$T {\$displaystyle$ UAU$^{\mathrm${T$}}}}}}}}}}$은 복잡한 대각선이다$$. 적절한 대각선 단일 매트릭스($U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 단위성을 보존하는)에$$ 의한 사전 $다중화{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U},$ $$U ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {U\mathrm{}}^{}}$ T ${\$의 대각선 입력이 원하는 대로 실제 및 비부수되도록 할 수 있다$$. To construct this matrix, we express the diagonal matrix as ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$. The matrix we seek is simply given by ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$. Clearly ${\displaystyle DUAU^{\$$mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ as desired, so we make the modification ${\displaystyle U'=DU}$. Since their squares are the eigenvalues of ${\displaystyle A^{\dagger }A}$, they coincide with the singular values of ${\displaystyle A}$. (Note, about the eigen-decomposition of 복잡한 대칭 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\},$ 요르단 정규 형식 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대각선일 수 없으므로$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 어떠한 유사성 변환으로도 대각선화되지 않을 수 있다$$.)

분해

요르단 정규 형태를 사용하면 모든 정사각형 실제 행렬이 두 개의 실제 대칭 행렬의 곱으로 작성될 수 있고, 모든 정사각형 복합 행렬이 두 개의 복잡한 대칭 행렬의 곱으로 작성될 수 있다는 것을 증명할 수 있다.^[4]

모든 실제 비성격 행렬은 직교 행렬과 대칭 양정확정 행렬의 산물로 고유하게 인수될 수 있는데, 이를 극분해라고 한다. 단수 행렬도 고려될 수 있지만 고유하지는 않다.

숄스키 분해에 따르면 모든 실제 양의-적합한 $대칭{\displaystyle }$ 행렬 A ${\displaystyle$A}은$$(는$)$ 하위 삼각$$행렬 $L{\displaystyle }$ {\$displaystyle L}$과 그 전치,

$(\displaystyle A=)LL^{\textsf {T}.}$

If the matrix is symmetric indefinite, it may be still decomposed as ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$ where ${\displaystyle P}$ is a permutation matrix (arising from the need to pivot), ${\displaystyle L}$ a lower unit triangular matrix, and ${\displaystyle D}$^[relevant?] is a di대칭 $1{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\time 1}$ 및 $2$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\time$ 2$}$ 블럭의$$ 직사각형 합계를 번치-카우프만 분해라고 한다.

일반(복잡한) 대칭 행렬은 결함이 있을 수 있으므로 대각선이 가능하지 않을 수 있다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대각선으로 가능한 경우 다음과 같이 분해될 수 있음

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}$

where ${\displaystyle Q}$ is an orthogonal matrix ${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$, and ${\displaystyle \Lambda }$ is a diagonal matrix of the eigenvalues of ${\displaystyle A}$. In the special case that ${\displaystyle A}$ is real symmetric, then ${\displaystyle Q}$ and ${\di$$splaystyle \Lambda }$도 진짜다$$. 정형성을 보려면 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및 $y$ ${\$이(가) 고유값 val ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}에 해당하는 고유 벡터라고$$ 가정해 보십시오$.$

${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}와$$ $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 구별되므로 ${\displaystyle we\mathbf{}}{\displaystyle }$x, $y$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf$ {x$},\mathbf {y} \rangele =0}$이 있다$.$

헤시안

실제 함수의 대칭 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬은$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 실제$$ 변수의 연속적으로 두 배 다른 함수의 헤사인으로 나타난다.

Every quadratic form ${\displaystyle q}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ can be uniquely written in the form ${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$ with a symmetric ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$. Because ${\displaystyle {}^{}}$의 스펙트럼 정리 중에서 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$"모양"의 정형 기준까지 모든 2차 형태를 선택할 수 있다.

${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots,x_{n}\오른쪽)=\sum _{i=1}^{n}\i}x_{i}^{2}}$

실수와 함께 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 이는 원뿔 단면 일반화인 수준$$ 집합${\displaystyle }${${\displaystyle x}$: ${\displaystyle q}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$} ${\$에 대한 연구뿐만 아니라 2차 형식 연구가 상당히 단순화된다.

이것은 모든 매끄러운 다변량 함수의 2차 동작이 함수의 헤시안(Hessian)에 속하는 2차 형태에 의해 설명되기 때문에 부분적으로 중요하다; 이것은 테일러의 정리의 결과물이다.

대칭성 행렬

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬$$ A ${\$$displaystyle A$$}$은(는) $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle$A. {\displaystyle A$=DS.}$과(와) 같은 반전성 대칭 행렬 $D{\displaystyle }$$$${\displaystystystyle S}$이 있으면 대칭이 가능하다고 한다$$.

The transpose of a symmetrizable matrix is symmetrizable, since ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ and ${\displaystyle DSD}$ is symmetric. ${\displaystyle {\mathrm{매트릭스}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$i j$$) {\$displaystyle A=(a_{ij}})$는 다음 조건을 충족하는 경우에만 대칭이 가능하다$$.

1. ${\displaystyle {}_{}\mathrm{a}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\displaystyle a_{ij}=0}$은(는) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$ 모두에 $대해$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= 0 ${\displaystystyle a_{ji}=0}$을 의미한다$$.
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$ for any finite sequence ${\displaystyle \le$$ft(i_{1},i_{2},\ft, i_{k}\right).$$}$

참고 항목

정사각형 행렬의 다른 대칭 또는 패턴 유형에는 특수 이름이 있다. 예를 들어,

수학에서 대칭을 참조하십시오.

메모들

참조

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

외부 링크

• "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 실제 대칭 행렬의 고유값 특성에 대한 간략한 소개 및 증거
• C++에서 대칭 행렬을 구현하는 방법