미분형

미분 기하학 및 텐서 미적분학의 수학적 분야에서 미분 형태는 좌표에 독립적인 다변량 미적분학에 대한 접근법이다. 차동 형태는 곡선, 표면, 고형물 및 고차원 다지관에 걸쳐 통합을 정의하기 위한 통일된 접근방식을 제공한다. 현대적인 미분형 개념은 Elie Cartan에 의해 개척되었다. 그것은 특히 기하학, 위상, 물리학에 많은 응용을 가지고 있다.

예를 들어, 1변수 미적분학에서 $f (x) dx$ 라는 표현은 1-폼의 예로서 $f$ :의 영역에서 지향적인 간격 $[a,$ $b]$ 을 통해 통합될 수 있다.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

마찬가지로 $f (x,$ $y,$ $z)$ $dx dy$ + $g (x,$ y, $z)$ $dz dx$ + $h (x,$ $y,$ $z)$ $dy dz$ 라는 표현은 지향적인 표면 $S$ :

\int_{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).

기호 $\land$ 은 쐐기 제품이라고도 불리는 두 가지 미분 형태의 외부 제품을 나타낸다. 마찬가지로 3-폼 $f (x,$ y, $z)$ $dx dy$ dy dy $dz$ 는 공간의 지향적인 영역에 걸쳐 통합될 수 있는 볼륨 요소를 나타낸다. 일반적으로 k-폼은 k-차원 지향 다지관 위에 통합될 수 있는 물체로 좌표 차등에서 도 $k$ 의 동질이다.

미분형식의 대수학은 통합영역의 방향을 자연스럽게 반영하는 방식으로 구성된다. 외부 파생상품으로 알려진 차동형태에 대한 조작 $d$ 가 있는데, 입력으로 k형식을 부여하면 ( $k$ + $1)$ 형식을 출력하는 것이다. 이 연산은 함수의 차이를 확장하며, 미적분학의 근본정리, 발산정리, 그린의 정리, 스톡스의 정리정리와 같은 일반적 결과의 특수한 경우를 만드는 방식으로 벡터장의 발산 및 굴곡과 직접 관련이 있는데, 이는 일반화된 스톡스 이론으로도 알려져 있다.em. 보다 심층적으로, 이 정리는 통합 영역의 위상과 미분 구조 자체를 연관시킨다; 정확한 연결은 de Rham의 정리라고 알려져 있다.

미분형 연구에 대한 일반적인 설정은 다른 다지관에 있다. 미분1형식은 자연적으로 다지관의 벡터장에 이중화되어 있으며, 벡터장과 1형식의 페어링은 인테리어 제품에 의해 임의의 미분형식으로 확장된다. 그 위에 정의된 외부 파생 모델과 함께 미분형 대수는 두 다지관 사이의 부드러운 기능 하에서 풀백에 의해 보존된다. 이 특징은 정보가 미분형태로 표현된다면, 풀백을 통해 기하급수적으로 불변한 정보를 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 있게 한다. 예를 들어, 통합을 위한 변수 공식의 변경은 풀백(pullback) 아래에 적분이 보존된다는 단순한 문구가 된다.

역사

미분형(美分形)은 선형대수의 영향을 받아 미분기하학 분야의 일부다. 비록 미분학의 개념은 꽤 오래되었지만, 미분형의 대수적 조직에 대한 최초의 시도는 보통 그의 1899년 논문을 참고하여 엘리 카르탄에게 인정된다.^[1] 차등형식의 외부 대수학의 일부 측면은 헤르만 그라스만의 1844년 작품인 Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathik(수학의 새로운 분야인 선형확장 이론)에서 나타난다.

개념

미분 형식은 좌표와 독립적인 다변량 미적분학을 제공한다.

통합 및 방향성

차동 k-폼은 치수 $k$ 의 방향 다지관을 통해 통합될 수 있다. 미분 1 형태는 최소 지향 길이 또는 1차원 지향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다. 미분 2형식은 최소 지향 영역 또는 2차원 지향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다. 등등.

미분형 통합은 지향적인 다지관에서만 잘 정의된다. 1차원 다지관의 예로는 구간 $[a,$ $b]$ 과 구간이 방향성을 부여할 수 있다: 그것들은 < $b >$ 일 경우 양방향이고, 그렇지 않을 경우 음방향이다. $<$ $b$ >일 경우 [ $a,$ $b]$ (자연적인 양의 방향) 간격에 걸쳐 차동 1-폼 $f (x)$ $dx$ 의 적분은 다음과 같다.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

이는 반대 방향이 장착된 경우 동일한 간격에 걸쳐 동일한 미분 형태의 적분 중 음의 값이다. 즉,

\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx

이는 구간의 방향이 반전될 때 기호가 변경된다는 1차원 적분 규약에 기하학적 맥락을 제공한다. 이에 대한 일변수 통합 이론에서 표준적인 설명은 통합의 한계가 반대 순서( $b$ < a)일 때, 증분 $dx$ 는 통합의 방향에서 음수라는 것이다.

보다 일반적으로 m-폼은 m-차원 다지관을 통해 통합될 수 있는 지향적 밀도(예를 들어, 1-폼은 지향적 곡선을 통해 통합될 수 있고, 2-폼은 지향적 표면에서 통합될 수 있다) $M$ 이 지향적인 m-차원 다지관이고M $and$ 는 반대 방향의 동일한 다지관이고 $Ω$ 이 m-형이라면 다음과 같다.

\displaystyle \int _{M}\omega =--\int _{M'}\omega \,}

이러한 규약은 체인에 걸쳐 통합된, 차등 형태로서 통합과 통합을 해석하는 것과 일치한다. In measure theory, by contrast, one interprets the integrand as a function $f$ with respect to a measure $μ$ and integrates over a subset $A$ , without any notion of orientation; one writes ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$ to indicate integration over a subset $A$ . 이것은 한 차원에서는 사소한 구별이지만, 더 높은 차원 다지관의 경우 더 미묘해진다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

지향적 밀도의 개념을 정밀하게 만드는 것, 따라서 미분 형태의 개념을 만드는 것은 외부 대수학을 포함한다. 좌표 $집합$ 의¹ 차등, dx, ..., $dx$ 는ⁿ 모든 1-폼의 기초로 사용할 수 있다. 이들 각각은 해당 좌표 방향에서 작은 변위를 측정하는 것으로 생각할 수 있는 다지관의 각 지점에 있는 관로를 나타낸다. 일반 1-형식은 다지관의 모든 지점에서 이러한 미분들의 선형 결합이다.

f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n}}

$여기$ 서_k f = $f k (x 1, ...$ , $x n)$ 는 모든 좌표의 함수다. 차동 1-폼은 선 적분으로 방향 곡선을 따라 통합된다.

$dx i$ ∧ $dx j$ , 여기서 $i$ < $j$ 는 모든 2-폼에 대해 다지관의 모든 지점에서 기준으로 사용할 수 있다. 이것은 $x-x i$ $j$ 면에 평행한 극소수 지향 정사각형이라고 생각할 수 있다. 일반 2-형식은 다지관의 모든 점에서 이것들의 선형 결합이다: ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ < ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ≤ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ i ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ , ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ d ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ ${\$ dx $^{i$ }\ $wedge$ dx $^{j$ 그리고 표면 적분처럼 통합된다.

차등 형태에 대해 정의된 기본 조작은 외부 제품(기호는 쐐기 ∧)이다. 이것은 벡터 미적분학의 교차 생산물, 즉 교번 생산물이라는 점에서 비슷하다. 예를 들어.

dx^{1}\filename dx^{2}=-dx^{2}\filename dx^{1}:{1

1면이 $dx$ 이고¹ 2면이 $dx$ 인² 정사각형은 1면이 $dx$ 이고² 2면이 $dx$ 인¹ 정사각형과 반대 방향을 갖는 것으로 간주되기 때문이다. 이 때문에 $우리$ 는i < $j$ >와 함께 $dx i$ d $dx$ 만을^j 합하면 된다. 예를 들어 $a (dx i$ ∧ $dx j)$ + $b (dx j$ ∧ $dx i) =$ ( $a$ - $b)$ $dx i x j$ dx. 외부 제품은 벡터 미적분학의 교차 제품이 양면을 가리키는 벡터로부터 평행그램의 영역 벡터를 계산하는 것과 같은 방식으로 낮은 도에서 높은 도도의 미분 형태를 만들 수 있다. 교대법은 또한 $dx i$ cross $dx i$ = $0$ 을 의미하는데, 이는 병렬 벡터의 교차 산물이 그 벡터에 의해 확장된 병렬 벡터의 면적과 같은 방식이다. 더 높은 치수에서, $dx i 1$ ctors ⋅ ⋅ ⋅ $x i m$ dx = 0, 만약 두 $지수 m$ 중 하나라도 같다면, $edge 1$ d ctors 0 = = = = = = = = = 0, 0 edge edge 0 0 0 0 0 0 0 0.

다중지수 표기법

다차원 환경에서 초등 k-forms의 웨지 제품에게 보편적인 표기법은 너무가multi-index 표기법:왜냐하면(나는 1,2,…, 나는 k)원, 1≤ 나는 1개체, 나는 2개체, ⋯<나는≤ n{\displaystyle I=(i_{1},i_{2},i_{k},\ldots),1\leq i_{1}< k, i_{2}<, \cdots <, i_{k}\leq n},)d을 정의하는 나는:= d)나는 1∧ ${\$ 나는}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{나는 i\in}dx^{나는}}.[2]또 다른 유용한 표기법은 얻은 정의 집합의 모든 강한 증가 multi-indices의 길이 k,에서는 공간의 차원, 표시된 Jk, n:){나는(나는 1,…, 나는 k):;나는 2개체, ⋯<나는≤ nk 1≤ 나는 1개체 정도}{\displaystyle{.{J}\mathcal $}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots, i_{k}):1\leq i_{1$ }< $i_{2}<\cdots <i_{k}\leqn$ 다음 로컬(좌표가 적용되는 곳마다 $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ { $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ I $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ J $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ $\\dstylestylex$ ^{ $x^$ $I}\}_{I\in {\mathcal{J}_{k,n}}}}$ 은(는) $M$ 에서 부드러운 기능의 링 $C \infty (M)$ 를 통해 모듈로 볼 때 치수 $n$ 의 다지관 $M$ 에 있는 미분 k-폼의 공간에 걸쳐 $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ 있다. By calculating the size of ${\mathcal {J}}_{k,n}$ combinatorially, the module of $k$ -forms on a $n$ -dimensional manifold, and in general space of $k$ -covectors on an $n$ -dimensional vector space, is $n$ choose $k$ : ${\textstyle {\mathcal {J}}_{k,n} ={\binom {n}{k}}}$ . Thi또한 s는 기저 다지관의 치수보다 큰 0이 아닌 차등 형태의 도형이 없음을 보여준다.

외부 파생 모델

외부 제품 외에 외부 파생상품 사업자 $d$ 도 있다. 차등형식의 외부파생물은 $f c \infty$ C $(M)$ = $Ω 0 (M)$ 의 외부파생물이 $정확히$ f의 차등이라는 점에서 함수의 차등화를 일반화한 것이다. Ω = $f$ $dx$ 가^I 단순한 k-form이라면, $Ω$ = f $dx$ 는 계수함수의 차등을 취하여 정의된 ( $k +$ 1 $)-폼$ 이다.

d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\f}{\frac {\f^{i}}\,dx^{i}\fx^{n}}}I}

선형성을 통한 일반 k-forms 확장: $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ = $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ k $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ , $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ x $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ k $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ ( $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ ) ${\displaystyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal{J}_{k,n}a$ }{{I\in},n}a_ ${{{}$ a}}}}}} $I}\,dx^{$ $I}\\in \Oomega ^{k}(M$ 그러면 외부 파생 모델은

d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}_{k,n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{{{}}}}}}I}{{\partial x^{j}}\,dx^{j}\right)\웨지 dx^{{dx^}I}\in \Oomega ^{k+1}(M)

$R$ 에서³, 호지 항성 연산자와 함께, 외부 파생상품은 교차 제품과 같이, 더 높은 차원으로 일반화되지 않으며, 어느 정도 주의하여 취급해야 하지만, 구배, 굴곡, 발산 등에 해당한다.

외부 파생상품 자체는 임의의 유한한 차원에 적용되며, 차동 기하학, 미분 위상 및 물리학의 많은 영역에 폭넓게 적용되는 유연하고 강력한 도구다. 참고로, 위의 외부 파생상품의 정의는 국부좌표와 관련하여 정의되었지만, 미분양식의 외부대수에 대한 도 1의 반분으로서 완전히 좌표가 없는 방식으로 정의할 수 있다. 이 보다 일반적인 접근법의 이점은 다지관의 통합에 자연적인 좌표 없는 접근방식을 허용한다는 것이다. 또한 (일반화된) 스톡스의 정리라고 하는 미적분학의 기본 정리를 자연적으로 일반화할 수 있게 하는데, 이것은 다지관의 통합 이론의 중심 결과물이다.

미분학

$U$ 를 $R$ 의ⁿ 오픈 세트로 하자. 차동 0-형식("제로-폼")은 $U$ 에서 부드러운 함수 $f$ 로 정의되며, 그 집합은 $C \infty (U$ )로 표시된다 $.$ $v$ 가 $R$ 의ⁿ 벡터인 경우, $f$ 는 방향 파생 모델 ∂ $v f$ 를 가지며, $U$ 의 포인트 $p$ ∈ $U$ 에서의 값이 v $방향$ 의 $f$ 의 변화율( $p$ )이다.

(\displaystyle (\displaystyle _{v}f)(p)=\왼쪽).{\frac {d}{dt}f(p+tv)\오른쪽 _{t=0}

(이 개념은 정의의 p $지점$ 에서 $v$ 를 평가하여 $v$ 가 $U$ 의 벡터 필드인 경우 점으로 확장될 수 있다.)

특히 f의jth 좌표 기능에 관한 즉 미국에 그들의 생계 자체 정의에 의해 어디 x1, 미국,..., xn 있는 좌표 기능 부분적인 파생 상품 좌표의 선택을:의지하기 때문에, ∂f/∂xj고 있다면, v=ej은jth 좌표 벡턴 다음 ∂v f는 부분적인 파생한 새 좌표, y2 y1,..., yn이 소개됩니다,톤암탉

{\frac{\frac}{\frac}{\reason x^{j}{\frac {\fract y^{n}{\reason x^{j}{\fract f}{\frac}{\reason y^{i}}}}}.

미분형태로 이어지는 첫 번째 아이디어는 $\partial v$ $f$ ( $p)$ 가 $v$ :의 선형함수라는 관측이다.

{\v}f(\required _{v+w}f)(\required _{v}f)(p)+(\required _{w}f)\(\required _{v}f)(p)&=c(\v}f)(p)\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

벡터 $v$ , $w$ 및 실제 숫자 $c$ 에 대해. 각 p 지점에서 $R$ 에서ⁿ $R$ 까지의 이 선형 지도를 $df$ 로_p $표시$ 하며 $p$ 에서 f의 파생형 또는 차등형이라고 부른다. 따라서 $df p (v)$ = $\partial v$ $f (p$ )이다 $.$ 전체 집합에 걸쳐 확장된 객체 $df$ 는 $U$ 에서 벡터장을 취하는 함수로 볼 수 있으며, $f함수$ 의 벡터장을 따라 각 지점의 값이 파생된 실제 값 함수를 반환한다. 각 $p$ 에서 차동 $df$ 는_p 실제 숫자가 아니라 접선 벡터의 선형 기능이며 차동 1-폼의 프로토타입적인 예라는 점에 유의한다.

벡터 $v$ 는 그 구성요소의 선형 조합인 $ve$ $ve$ 이기^j_j 때문에 $df$ 는 각 $j$ 와 p ∈ $U$ 에 $대해$ $df p (e j)$ 에 의해 고유하게 결정되며, 이는 단지 f $on$ $U$ 에 대한 부분파생상품일 뿐이다. 따라서 $df$ 는 $f$ 의 부분파생상품을 인코딩하는 방법을 제공한다. 좌표 $x 1$ , $x 2$ , x, x $자체$ 가ⁿ $U$ 의 함수임을 알아채면 해독할 수 있으며, 따라서 차동 1형식 $dx 1$ , $dx 2$ , ..., $dx$ 를ⁿ 정의한다. $letf i$ = x. $\partial x i$ / $\partial x j$ = $Δ ij$ , Kronecker delta 함수인 만큼 다음과 같다.

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\frac {\f}{\properties x^{i}}\,dx^{i}.

(*)

이 표현식의 의미는 임의의 p $지점$ 에서 양쪽을 평가하여 주어진다: 오른쪽에는 합을 "지점"으로 정의하여 다음과 같이 한다.

df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\f}{\frac {\f}{\fil}}}{\film x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}}}}}}

$e$ 에_j 양쪽을 적용하면 $p$ 에서 $f$ 의 j번째 부분파생상품이 양쪽에 모두 해당된다. $p$ 와 $j$ 는 자의적이었기 때문에, 이것은 공식(*)을 증명한다.

보다 일반적으로 $U$ 의 모든 부드러운 함수 $g$ 와_i $h$ 에_i 대해, 우리는 다음과 같이 미분 1-형식 $α$ = = $g i$ $dh$ 를_i_i 정의한다.

\p}=\sum _{i}g_{i}(p)(p)(으)_{p}}}}{p}}}}

각 $p$ ∈ $U$ .에 대해 모든 미분 1 형태는 이러한 방식으로 발생하며, (*)을 사용함으로써 $U$ 에 대한 미분 1 형태 $α$ 는 다음과 같이 좌표로 표현될 수 있다.

\cHB =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}}

$U$ 의 $몇몇 i$ 부드러운 기능들을 위하여.

차등형식으로 이어지는 두 번째 아이디어는 다음과 같은 질문에서 나온다: $U$ 에 차등 1-형식 $α$ 가 주어진다면, 언제 $α$ = $df$ 와 같은 $함수$ f가 $U$ 에 존재하는가? 위의 확대는 부분파생상품 $\partial f$ / $\partial x$ 가ⁱ n $주어진$ 함수 $f$ 와_i 동일한 함수 $f$ 를 찾는 것으로 이 질문을 감소시킨다. $n$ > $1$ 의 경우, 그러한 기능이 항상 존재하는 것은 아니다: 모든 부드러운 함수 $f$ 가 만족한다.

{\frac {\fract ^{2}f}{\properties x^{i}\,\properties x^{j}}}}={\fract x^{2}f}{\propert x^{i}}}}}}}}}}

그래서 그런 $f$ 를 찾지 못하면 불가능할 것이다.

{\frac{\frac}{\frac f_{j}}{\properties x^{i}}-{\frac {\frac {\frac}{j}}=0

$저$ 나 $저$ 나 저나 다

$i$ 와 $j$ 의 왼쪽 측면의 스큐 대칭은 외부 제품인 미분 1-폼에 대칭 제품 $\land$ 을 도입하여 이러한 방정식을 하나의 조건으로 결합할 수 있도록 하는 것을 제안한다.

\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\f_{j}}{\flict x^{i}}\,dx^{i}\dx^{j}}}}}

여기서 $\land$ 은 다음과 같이 정의된다.

dx^{i}\filename dx^{j}=-dx^{j}\filename dx^{i}.

이것은 미분2형식의 예다. 이 2-형식을 $α$ = $σ n j =1$ f $dx$ 의_j^j 외부 파생상품 $dα$ 라고 한다. 그것은 에 의해 주어진다.

d\cHB =\sum _{j=1}{j}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\f_{n}{\frac{\f_{j}}{\frack x^{j}}}\dx^{i}\x^}\x^{j}.

요약하면: $dα$ = $0$ 은 $α$ = $df$ 를 갖는 $함수$ f의 존재에 필요한 조건이다.

미분 0형식, 1형식, 2형식은 미분형식의 특별한 경우다. 각 $k$ 에 대해, 차동 k-폼의 공간이 있는데, 이 공간은 다음과 같이 좌표 단위로 표현할 수 있다.

\sum_{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}\,dx^{1},dx^{1}}}\cdots \cdx^{x^{i_{i_}}}}}}}}}}}}}}}\cdx^{k}}}}}}}}}

$함수 i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ f의 집합에 대하여. 이미 2-폼에 대해 존재했던 대칭성은 그 합을 $i 1$ < i < $...$ 의₂ 지수 집합으로 제한할 수 있게 한다. $<$ i < $i k -1 k$ . i.

차동형식은 외부 제품을 사용하여 함께 곱할 수 있으며, 어떤 차동 k-형식 $α$ 에 $대해서$ 는 α의 외부 파생형이라고 하는 차동 $(k$ + 1)형 $dα$ 가 있다.

차동 형태, 외부 제품 및 외부 파생 모델은 좌표 선택과 무관하다. 따라서 그것들은 매끄러운 다지관 $M$ 에 정의될 수 있다. 이를 위한 한 가지 방법은 좌표 차트로 $M$ 을 커버하고 $M$ 에 있는 차동 k-폼을 중복에 대해 합의하는 각 차트의 차동 k-폼 계열로 정의하는 것이다. 그러나 좌표의 독립성을 나타내는 더 본질적인 정의가 있다.

내적 정의

$M$ 을 매끄러운 다지관이 되게 하라. $도$ k의 매끄러운 차등 형태는 $M$ 의 등각재 다발의 k번째 외부 동력의 매끄러운 부분이다. 다지관 $M$ 의 모든 차동 k-폼 세트는 벡터 공간이며 흔히 $Ω k (M)$ 으로 표시된다.

미분 형식의 정의는 다음과 같이 재작성할 수 있다. $어느$ 지점에서나 $k-form$ $β$ 는 원소를 정의한다.

\p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,

여기서 $TM$ 은_p $p$ 에서 $M$ 과 접선된 공간이고 $TM$ 은_p^* 이중 공간이다. 이 공간은 $M$ 의 접선다발의 k번째 외부전력의 이중다발 $p$ 의 섬유에 자연적으로 이형성이 있다. 즉, $β$ 도 선형 기능 ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ p : ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ β ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ → ${\$ $T_{p}M\to \mathbf {R}$ }, 즉 k번째 외부 전원의 이중은 이중의 k번째 외부 전원에 대해 이형성이 있다.

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}}

외부 파워의 보편적 특성에 의해, 이것은 균등하게 교번 다선형 맵이다.

\p}\filename \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .

따라서 차동 k-폼은 $M$ 의 동일한 지점 $p$ 에 대한 접선 벡터의 k-tuple에 대해 평가될 수 있다. 예를 들어, 차동 1-형식 $α$ 는 $TM$ 의_p $각$ 점에 선형 $함수$ $α$ 를_p 할당한다. $TM$ 의_p 내부 제품( $M$ 의 리만계 측정에 의해 유도됨)이 있는 경우, $α$ 는_p 접선 벡터 $X$ 를_p 가진 내부 제품으로 나타낼 수 있다. 미분 1-형식을 공변 벡터 필드, 코브터 필드 또는 "이중 벡터 필드"라고 부르기도 하는데, 특히 물리학 내에서는 더욱 그러하다.

외부 대수학은 교대 지도를 이용하여 텐서 대수학에 내장할 수 있다. 교류 맵은 매핑으로 정의된다.

\operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

$p$ 지점의 텐서라면, tensor)는

\operatorname {Alt}(\omega _{p})(x_{1},\dots,x_{k}={\frac {1}{k!}}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega_{p}(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(k}),}}

여기서 $S$ 는_k k $원소$ 의 대칭 그룹이다. 교대지도는 대칭 2형식에 의해 생성된 텐서 대수에서 이상적인 코세트에 일정하게 나타나며, 따라서 임베딩으로 내려간다.

\operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

이 지도는 $완전$ 대칭 공변량 텐서(trank k) 분야로서 $β$ 를 나타낸다. $M$ 의 미분양식은 그러한 텐서 분야와 일대일 대응으로 되어 있다.

운영

벡터 공간 구조에서 발생하는 스칼라 연산에 의한 덧셈과 곱셈뿐만 아니라, 차등 형태에 대해 정의된 몇 가지 다른 표준 연산이 있다. 가장 중요한 작업은 두 가지 미분 형태의 외부 제품, 즉 단일 미분 형태의 외부 파생 제품, 미분 형태와 벡터 장의 내부 제품, 벡터 장에 대한 미분 형태의 Lie 파생 모델 및 벡토에 대한 미분 형태의 공변량 파생 제품이다.정의된 연결부가 있는 다지관의 r 필드.

외부 제품

k-form $α$ 와 $α β$ 로 표시된 oted-폼 $β$ 의 외부 제품은 a( $k$ + $+) 형$ 이다. 다지관 $M$ 의 각 지점 $p$ 에서 $형태$ α와 $β$ 는 $p$ 에서 등각선 공간의 외부 힘의 요소다. 외부 대수학을 텐서 대수의 인수로 볼 때, 외부 제품은 텐서 제품에 해당한다(외부 대수학을 정의하는 동등성 관계 modulo).

외부 대수학에 내재된 비대칭은 $α$ ∧ $β$ 를 다선기능으로 볼 때 교대하는 것을 의미한다. 그러나 외부 대수학에서 교대지도를 이용하여 텐서 대수 하위공간을 내장했을 때 텐서 제품 $α$ α $β$ 는 교대하지 않는다. 이 상황에서 외부 제품을 설명하는 명시적인 공식이 있다. 외관제품은

\displaystyle \cHB \cHB ={\frac {(k+\ell )!}}{k!\ell!}\operatorname {Alt}(\알파 \otimes \beta).}

이 설명은 명시적 계산에 유용하다. 예를 들어 $k$ = $ℓ$ = $1$ 이면 $α$ ∧ $β$ 는 p $지점$ 에서의 값이 다음에 의해 정의된 교번 이선형인 2-form이다.

{\displaystyle(\patch \reason \p)_{p}(v,w)=\p(v)\reason _{p}-\reason _{p}(w)\reason _{p}(v)}

$v$ 의 경우, $TM$ 을_p $사용$ 하십시오.

외부 제품은 양면: $α$ , $β$ , $and$ 이 어떤 미분형이고, $f$ 가 어떤 부드러운 함수라면,

\displaystyle \cHB(\displaystyle \cHB +\cHB )=\cHB \cHB \cHB \cHB ,}

\displaystyle \cdot \cdot \cdot \cdot \\cdot \cdot.}

α는 k형이고 $β$ 는 ℓ형이라면 $ℓ형$ 이다.

\displaystyle \cHB \cHB = (-1)^{k\ell }\cHB \cHB \cHB \cHB .}

리만 다양체

리만 다지관 또는 더 일반적으로 사이비-리만 다지관에서는 미터법이 접선 및 등선다발의 섬유현상 이형성을 정의한다. 이를 통해 벡터 필드를 코브터 필드로 변환할 수 있고 그 반대의 경우도 가능하다. It also enables the definition of additional operations such as the Hodge star operator $\star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)$ and the codifferential ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M$ $)\\오른쪽$ 화살표 $\Oomega$ ^{ $k-1(M$ 이며, $학위$ 는 -1이고 외부 차동 $d$ 에 연결된다.

벡터장구조

사이비-리만 다지관에서는 1-형식을 벡터장으로 식별할 수 있다; 벡터장은 맥락과 혼동을 피하기 위해 여기에 열거된 추가적인 구별되는 대수학적 구조를 가지고 있다.

첫째로, 각 (co) 접선 공간은 클리포드 대수학(Clifford 대수학)을 생성하는데, 여기서 자신과의 (co)벡터 산물은 2차 형태 값(이 경우, 미터법에 의해 유도되는 자연적인 것)으로 주어진다. 이 대수학은 미분형식의 외부 대수학과는 구별되는데, 이 대수학은 2차형 형태가 사라지는 클리포드 대수학이라고 볼 수 있다(자체를 가진 벡터의 외부 생산물이 0이기 때문이다). 그러므로 클리포드 알헤브라는 외부 대수학의 비항원적("퀀텀") 변형이다. 그들은 기하학 대수학으로 연구된다.

또 다른 대안은 벡터 필드를 파생으로 간주하는 것이다. 그들이 생성하는 미분 연산자의 (비확정) 대수학은 Weyl 대수학이며 벡터 장에서 대칭 대수학의 비확정적("양") 변형이다.

외부 디퍼렌셜 복합체

외부 파생상품의 한 가지 중요한 특성은 $d 2$ = $0$ 이다. 이는 외부 파생상품이 코체인 복합체를 정의하는 것을 의미한다.

0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.

이 콤플렉스는 de Rham complex라고 불리며, 그것의 cohomology는 정의상 $M$ 의 de Rham cohomology이다. 푸앵카레 보조정리기에 의해 데 람 콤플렉스는 $Ω 0 (M$ )을 제외하고 국소적으로 정확하다 $.$ $Ω 0 (M)$ 의 커널은 $M$ 의 로컬 상수 함수의 공간이다. 따라서 콤플렉스는 상수 피복 $R$ 의 분해능으로, 다시 데 람의 정리 형태를 내포하고 있다: 데 람 코호몰로지(de Rham cohomology)는 $R$ 의 피복 피복 코호몰리를 계산한다.

풀백

$f$ : M → $N$ 이 매끄럽다고 가정한다. $f$ 의 $차등분$ 은 $M$ 과 N의 접선다발 사이의 매끄러운 $지도 df$ : $TM$ → TN이다. 이 지도는 $f$ 로도_∗ 표기되어 있으며 푸시포워드(pushforward)라고도 한다. 어떤 지점 $p$ ∈ M $및$ 탄젠트 벡터 $v$ ∈ $TM$ 에_p 대해 $TN$ 에는_f(p) 잘 정의된 푸시포워드 벡터 $f * (v)$ 가 있다. 그러나 벡터장에서는 그렇지 않다. $f$ 가 주입되지 않은 경우, $q$ ∈ $N$ 은 둘 이상의 사전 이미지를 가지고 있기 때문에 벡터 장은 $TN$ 에서_q 둘 이상의 구별되는 벡터를 결정할 수 있다. $f$ 가 허탈하지 않으면 $f$ 가_∗ 접선 벡터를 전혀 결정하지 않는 지점 $q$ ∈ $N$ 이 있을 것이다. $N$ 의 벡터 필드는 $정의상$ N의 모든 점에서 고유한 접선 벡터를 결정하므로 벡터 필드의 푸시포워드가 항상 존재하는 것은 아니다.

이와는 대조적으로, 항상 차동형태를 후퇴시키는 것이 가능하다. $N$ 의 미분 형태는 각 접선 공간의 선형 기능으로 볼 수 있다. 이 기능을 차동 $df$ 로 $사전$ 컴파일하면 : $TM$ → $TN$ 은 M의 각 접선 공간에 선형 기능을 정의하고, $따라서$ M의 차동 형태를 정의한다 $.$ 풀백의 존재는 미분형 이론의 주요 특징 중 하나이다. 그것은 드 람 코호몰로지에서의 풀백 동형식과 같은 다른 상황에서 풀백 지도의 존재로 이어진다.

형식적으로는 $f$ : M → $N$ 을 매끄럽게 하고, $N$ 에서는 $Ω$ 을 매끄러운 k-폼으로 한다. 그 다음 $M$ 에는 $Ω$ 의 풀백이라고 하는 차동형 $Ω$ 이^∗ 있는데, $f$ 에 대해 $Ω$ 의 동작을 포착한다. 풀백을 정의하려면 지점 $P$ 의 $M$ 과 접선 벡터 $v 1$ , ..., $v-M$ 을_k $p$ 에 고정하십시오. $Ω$ 의 풀백은 공식으로 정의된다.

(f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots,v_{k}}=\omega _{f(p)}(f_{*v_{1},\ldots ,f_{*v_{k}).

이 정의를 볼 수 있는 몇 가지 더 추상적인 방법이 있다. $Ω$ 이 $N$ 에 대한 1형식인 경우 $N$ 의 동축 번들 $TN$ 의^∗ 한 부분으로 볼 수 있다. 이중 맵을 나타내기 $위해$ f의 차이에 대한 이중은 ( $df) *$ : $TN *$ → $TM$ 이다^∗. $Ω$ 의 풀백은 복합체로 정의할 수 있다.

M\{\stackrel {f}{\}}}\N\\오메가}{\\}}}{*\stackrel {(df)^{*}}{\long rightarrow }}}{\long rightarrow{*}M.

이것은 $M$ 의 코탄젠트 번들의 한 섹션이며 따라서 $M$ 의 차동 1-폼이다. 전체적으로 ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ ( ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ ) $∗{\$ 을(를) 차이에 대한 듀얼 맵의 k번째 외부 파워를 나타내도록 ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ 한다. 그러면 k-폼 $Ω$ 의 풀백은 복합체다.

M\{\stackrel {f}{\}}\N\\\stackrel {\omega}{\\\}\\to }\\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackwedge }^{k}(df)^{*}{{*}}}{{\longrightarrow }\\텍스트 스타일 \bigwedge }^{k}}T^{*}M.

풀백을 보는 또 다른 추상적인 방법은 k-폼 $Ω$ 을 접선 공간의 선형 기능으로 보는 것이다. 이 관점에서 $Ω$ 은 벡터 번들의 형태론이다.

{\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\\}\ N\times \mathbf {R},

여기서 $N$ × $R$ 은 $N$ 에 대한 하나의 사소한 순위 묶음이다. 합성 지도

{\textstyle \bigwedge }^{k}TM\{\stackwedge }^{k}df}{\longwrightarrow }\\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\\}\ N\times \mathbf {R}}

$M$ 의 각 접선 공간에 선형 기능을 정의하고, 따라서 그것은 사소한 번들 $M$ × $R$ 을 통해 인자를 구한다. 벡터 번들 형태론 ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ → ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\$ 이러한 방식으로 정의된 ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ $TM\to M\times \mathbf {R}$ }은(는) $fΩ$ 이다^∗.

풀백은 양식에 대한 모든 기본 작업을 존중한다. $Ω$ 과 $η$ 이 형식이고 $c$ 가 실수인 경우

{\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{정렬}}

양식의 풀백도 좌표로 작성할 수 있다. $x 1$ , ..., $x$ 는^m $M$ 의 좌표, $y 1$ , ..., $y$ 는ⁿ $N$ 의 좌표라고 가정하고, 이러한 좌표계는 모든 $i$ 에 $대해 i$ y = $f i (x 1 m, ...,$ x $)$ 공식에 의해 연관되어 있다고 가정한다. $로컬$ 로 N, $Ω$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\omega =\sum_{i_{1}\cdots <i_{k}}\i_{k}}\i^{1}\cdots i_{1}\cdots \cdots \cdots \cdy^{i_{k},},

여기서, $i 1$ , ..., $i k$ , $Ω$ 은_{i₁⋅⋅⋅i_k} 각각 $y 1$ , ..., $y$ 의ⁿ 실제 값 함수다. 풀백의 선형성과 외부 제품과의 호환성을 이용하여 $Ω$ 의 풀백에는 공식이 있다.

f^{*}\omega =\sum _{i_{k}}(\cdots <i_{1}\cdots i_{k}\cdots i_{k}\,df_{1}}\df_{1}\cdots \f_{i_{k}}}}}}}}}}}

각 외부 파생상품 $df$ 는_i $dx 1$ , ..., $dx m$ 단위로 확장할 수 있다. 결과 k-form은 Jacobian 행렬을 사용하여 작성할 수 있다.

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.

Here, ${\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}$ denotes the determinant of the matrix whose entries are ${\frac {\partial f_{i_{m}$ $}}{\property x^{j_{$ n ${\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}$ $1\leq m,n\leq k$ $1\leq m,n\leq k$ $1\leq m,n\leq k$ $1\leq m,n\leq k$ $1\leq m,n\leq k$ $1\leq m,n\leq k$ .

통합

차동 k-폼은 지향적인 k-차원 다지관을 통해 통합될 수 있다. k-폼이 $n$ > $k$ 와 함께 n-차원 다지관에 정의될 때 k-폼은 과방향 k-차원 서브매니폴드를 통합할 수 있다. $k$ = $0$ 일 경우, 0차원 아차원의 통합은 단지 통합의 합계에 불과하며, 그러한 점의 방향에 따라 지점에서 평가된다. $k$ = 1 $,$ 2, $3$ , $...$ 의 다른 값은 라인 통합, 표면 통합, 볼륨 통합 등에 해당한다. 공식적으로 미분 형태의 적분을 정의하는 몇 가지 동등한 방법이 있는데, 이 모든 방법은 유클리드 공간의 경우로 축소하는 것에 달려 있다.

유클리드 공간의 통합

$U$ 를 $R$ 의ⁿ 공개 하위 집합으로 하고 $R$ 에ⁿ 표준 방향을 부여하고 $U$ 에 그 방향을 제한한다. $U$ 의 모든 매끄러운 n-폼 $Ω$ 은 형태를 가진다.

\omega =f(x)\,dx^{1}\cdots \cdots \cdots \cdx^{n}}

어떤 부드러운 함수 $f$ : $R n$ → $R$ . 그러한 함수는 통상적인 리만 또는 르베그 감각에 통합되어 있다. 이를 통해 $Ω$ 의 적분을 $f$ 의 적분으로 정의할 수 있다.

\int _{U}\omega \{\stackrel {\def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.

방향을 고정하는 것은 이것이 잘 정의되기 위해 필요하다. 미분형식의 스큐 대칭은 예를 들어 $dx 1$ ∧ $dx$ 의² 적분은 $dx 2$ ∧ $dx$ 의¹ 적분인 음수여야 함을 의미한다. 리만과 르베그 통합은 좌표 순서에 대한 이러한 의존성을 볼 수 없기 때문에 일체형의 기호를 정하지 못한 채 남겨둔다. 방향은 이 애매함을 해결한다.

체인을 통한 통합

$M$ 을 n-manifold로 하고 $M$ 에 n-form을 $Ω$ 으로 한다. 첫째, 유클리드 공간의 열린 부분집합에 의한 $M$ 의 파라메트리제이션이 있다고 가정한다. 즉, 차이점형성이 존재한다고 가정한다.

\displaystyle \varphi \colon D\to M}

여기서 $D$ ⊆ $R n$ . M에게 $φ$ 에 의해 $유도$ 된 방향을 제시한다. 그 다음 (Rudin 1976년)은 $M$ 에 대한 $Ω$ 의 적분을 $D$ 에 대한 $Ω$ 의^∗ 적분으로 정의한다. 좌표에서 이것은 다음과 같은 식을 가지고 있다. 좌표 $x 1, ...,$ $x$ 를ⁿ $사용$ 하여 M에 차트를 고정하십시오. 그러면

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}a_{n1},\ldots,i_{n}}({\mathbf {x}}}}}\dx^{1}\cdots \cdx^{x^{i_{n}}.

$φ$ 은 다음에 의해 정의된다고 가정하자.

\varphi({\mathbf {u}}}}}=(x^{1})({\mathbf {u}}),\ldots ,x^{n}({\mathbf {u}}}}}})=(x^{\mathbf {u}}}}).

그러면 적분은 다음과 같이 좌표로 기록될 수 있다.

\int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},

어디에

{\frac {\preason(x^{i_{1},\ldots,x^{i_{n}}}}}{\ldots, u^{n}}}}}}}}

야코비안의 결정요인이다 야코비안은 $φ$ 이 서로 다르기 때문에 존재한다.

일반적으로 n-manifold는 $R$ 의ⁿ 열린 부분집합에 의해 파라메트리될 수 없다. 그러나 그러한 파라메트리제이션은 항상 로컬에서 가능하기 때문에 임의의 다지관에 대한 통합을 로컬 파라메트리제이션 컬렉션에 대한 통합의 합으로 정의함으로써 정의할 수 있다. 더욱이 $k$ < $n$ 에 대한 k차원 서브셋의 파라메트리제이션도 정의할 수 있으며, 이를 통해 k-폼의 통합을 정의할 수 있다. 이를 정밀하게 하기 $위해서$ 는^k R에서 표준 $도메인$ D, 보통 큐브나 심플렉스 등을 고정하는 것이 편리하다. k체인(k-chain)은 매끄러운 임베딩 $D$ → $M$ 의 공식 합이다. 즉, 매끄러운 임베딩의 집합체로서, 각각의 임베딩에는 정수 복수성이 할당되어 있다. 매끄러운 각 임베딩은 $M$ 의 k차원 서브매니폴드를 결정한다. 체인이 있는 경우

c=\sum _{i=1}^{rm_{i}\varphi _{i}}

$그$ 다음 k-form $Ω$ Ω over c:의 조건에 대한 통합의 합으로 정의된다.

\int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega.

통합을 정의하는 이 접근방식은 전체 다지관 M에 $걸친$ 통합에 직접적인 의미를 부여하지 않는다. 그러나 모든 매끄러운 다지관은 본질적으로 고유한 방법으로 매끄럽게 삼각측정이 될 수 있고, $M$ 에 대한 적분은 삼각측정에 의해 결정된 체인에 대한 적분으로 정의될 수 있기 때문에 그러한 의미를 간접적으로 부여할 수 있다.

통합 파티션을 사용한 통합

(Dieudonne 1972) harv 오류에 요약된 또 다른 접근방법이 있다: 대상 없음: CATEREFDieudonne1972 (도움말)은 $M$ 을 통한 통합에 직접적으로 의미를 부여하지만, 이 접근방식은 $M$ 의 방향을 고정할 필요가 있다. n-차원 다지관의 n-폼 $Ω$ 의 적분은 차트에서 작업함으로써 정의된다. 먼저 $Ω$ 이 단일 양의 방향 차트에서 지원된다고 가정해 보십시오. 이 차트에서, 그것은 $R$ 의ⁿ 열린 부분집합에 있는 n-폼으로 다시 당겨질 수 있다. 여기서 형태는 전과 같이 리만이나 르베그 일체형이 잘 규정되어 있다. 계량형 공식의 변경과 차트의 방향이 양적으로 일치한다는 가정은 $Ω$ 의 적분이 선택한 차트와 독립적이라는 것을 보장한다. 일반적인 경우, $Ω$ 을 n-forms의 합으로 쓰기 위해 Ω의 분할을 사용하며, 각각은 단일한 방향 차트에서 지원되며, $Ω$ 의 적분은 Ω의 분할에 있는 각 용어의 통합의 합으로 정의한다.

또한 이 보다 본질적인 접근방식을 이용하여 지향적인 k-차원 서브매니폴드에 k-폼을 통합하는 것도 가능하다. 폼은 하위 manifold로 다시 당겨지며, 여기서 적분은 이전과 같이 차트를 사용하여 정의된다. 예를 들어, 경로 $γ (t)$ γ( $t)$ → $R$ 에² 주어진 경우, 경로에 1-폼을 통합하는 것은 $단순히$ [0 $,$ 1]에서 $형태$ 를f( $t) dt$ 형태로 되돌리는 것이며, 이 적분은 간격에 $f (t)$ 함수 f(t)의 적분이다.

섬유에 따른 통합

푸비니의 정리는 제품인 세트에 대한 적분은 제품의 두 가지 요인에 대한 반복 적분으로 계산될 수 있다고 말한다. 이것은 제품에 대한 미분 형식의 적분 또한 반복적 적분으로 계산할 수 있어야 함을 시사한다. 차등 형태의 기하학적 유연성은 이것이 제품뿐만 아니라 더 일반적인 상황에서도 가능하다는 것을 보장한다. 어떤 가설에서는 평탄한 지도의 섬유질을 따라 통합하는 것이 가능하며, 후비니의 정리의 아날로그는 이 지도가 제품에서 그 요소 중 하나로 투영되는 경우다.

서브매니폴드 위에 미분 형태를 통합하는 것은 방향을 고정하는 것을 요구하기 때문에, 섬유들을 따라 통합하기 위한 전제조건은 그러한 섬유들에 잘 정의된 방향의 존재다. $M$ 과 $N$ 을 각각 순수한 $치수$ m과 $n$ 의 두 방향 다지관이 되게 한다. $f$ : M → $N$ 이 허탈적 침하라고 가정한다. 이는 각 섬유 $f -1 (y)$ 가 $(m$ - $n)$ 차원이고, $M$ 의 각 지점 주변에 $f$ 가 제품에서 그 요소 중 하나로 투영되는 것처럼 보이는 차트가 있음을 의미한다. $x$ ∈ $M$ 을 고정하고 $y$ = $f (x$ )를 설정하십시오 $.$ 라고 가정해 보자.

{\bigwedge }^{m}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aigned}}

그리고 그 $쳉$ 은_y 사라지지 않는다. 다음 (Dieudonne 1972) harv 오류: 대상 독특한 것이 있다.

\sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n_{x}^{*(f^{-1})(y)

$η$ 에_y 관해서 $Ω$ 의_x 섬유 부분이라고 생각할 수 있다. 보다 정확하게는 $j$ : $f -1 (y)$ → $M$ 을 포함으로 정의한다. 그러면 $σ$ 은_x 다음 재산에 의해 정의된다.

\omega _{x}=(f^{*}\eta _{y}}_{x}\note \\textstyle \bigwedge }^{m})T_{x}^{*}M,

어디에

\sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M

$(m$ - n $)-$ 벡터:

\exma _{x}=j^{*}\filma '_{x}.

$σ형식$ 도_x $Ω x$ / $η$ 으로_y 표기할 수 있다.

더욱이 고정 $y$ 의 경우, x에 $관해서도$ $σ$ 은_x 매끄럽게 변화한다. 즉, 라고 가정한다.

\omega \colon f^{-1(y)\to T^{*}M

투영 맵의 매끄러운 부분이며, $Ω$ 은 $f -1 (y$ )를 따라 $M$ 에 매끄러운 미분 m-폼이라고 한다 $.$ $그리고 -1$ f $(y)$ 에는 $매끄러운$ 미분 $(m$ - $n)$ 형태 $σ$ 이 있으며, 이는 각 x ∈ $f -1 (y$ )에서 $,$

\ex}=\omega _{x}/\eta _{y}.

이 형식은 $Ω / η$ 로_y 표시된다. $Ω$ 이 섬유근처에 있는 m형식이라면 동일한 공법이 작동하며, 동일한 표기법을 사용한다. 결과는 각 섬유 $f -1 (y)$ 가 방향을 잡을 수 있다는 것이다. $특히$ , $M$ 과 N의 방향 양식 선택은 $f$ 의 모든 섬유에 대한 방향을 정의한다.

푸비니의 정리의 아날로그는 다음과 같다. 전과 같이 $M$ 과 $N$ 은 순수한 치수 $m$ 과 $n$ 의 두 방향 다지관이며, $f$ : M → $N$ 은 굴절성 침하물이다. $M$ 과 $N$ 의 방향을 고정하고 각 f 섬유에 $유도$ 방향을 부여한다. $θ$ 은 $M$ 에 대한 m-폼이 되게 하고, $ζ$ 은 $N$ 에 대한 방향과 관련하여 거의 모든 곳에서 긍정적인 n-폼이 되게 한다. 그러면 거의 모든 $y$ ∈ $N$ 에 대해 for / $ζ y$ 형식은 $f -1 (y$ )에 잘 정의된 $통합형$ $m$ - n 형식이다 $.$ 더욱이, $N$ 에는 다음과 같이 정의되는 통합 가능한 n-폼이 있다.

y\mapsto {\bigg (}\int _{f^-1(y)}\theta /\zeta _{y}{\bigg )}\,\zeta _{y}.

다음을 기준으로 이 양식 표시

{\bigg(}\int _{f^{-1})(y)\theta /\zeta {\bigg )\,\zeta .

그렇다면 (Dieudonne 1972) (도움말)는 일반화된 푸비니 공식을 증명한다.

\int _{M}\theta =\int _{N}{\bigg (}\f^{-1}(y)\theta /\zeta {\bigg )\,\zeta .

또한 잠수섬유를 따라 다른 도들의 형태를 통합하는 것도 가능하다. 이전과 동일한 가설을 $가정$ 하고, M에서 $α$ 를 콤팩트하게 지지하는 $(m$ $-$ n + $k)$ 형식으로 한다. $그$ 다음, N에는 $f$ 의 섬유질을 따라 $α$ 를 통합한 결과인 k-form $γ$ 이 있다. $α$ 형식은 각 $y$ ∈ $N$ 에서 $어떻게$ α가 y에서 각 $k-벡터$ $v$ 에 대해 쌍을 이루는지 명시함으로써 정의되며, 그 쌍의 $값$ 은 $α$ , v $및$ $M$ 과 N의 방향에만 $의존$ 하는⁻¹ f $(y)$ 에 대한 적분이다. 보다 정확히 말하면, 각 $y$ ∈ $N$ 에는 이형성이 있다.

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{y}^{*}N

인테리어 제품에 의해 정의되는

\\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \\zeta _{y}.}

$x$ ∈ $f -1 (y)$ 인 경우, $y$ 에서 k-벡터 $v$ 가 풀백으로 $x$ 에서 $(m$ - k $)-$ 코브럭터를 결정한다.

f^{*}(\mathbf {v}\,\lrcorner \,\zeta _{y}\\\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{x}^{*}M).

이들 탐촉자는 각각 $α$ 에 대한 외부 제품을 가지고 있으므로, 에 의해 정의된 $f -1 (y)$ 를 따라 $M$ 에 $(m$ - $n)$ 형태의 $β$ 가_v 있다.

(\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.

이 형식은 $N$ 의 방향에 따라 달라지지만 $ζ$ 의 선택은 아니다. 그러면 k-form $γ$ 은 속성에 의해 고유하게 정의된다.

\langle \light _{y}\mathbf {v} \rangele =\int _{f^{-1(y)}\mathbf {v} },

그리고 $γ$ 은 매끄러운 (Dieudonne 1972) 이 형태는 또한 $α$ 를^♭ $나타내며$ f의 섬유질을 따라 $α$ 의 적분을 불렀다. 섬유를 따르는 통합은 드 람 코호몰로지(De Rham cohomology)에서 기신 지도(Gysin map)의 구축에 중요하다.

섬유에 따른 통합은 투영 공식(Dieudonne 1972) $만약$ $λ$ 이 N에 있는 어떤 ℓ형식이라면,

\cHB \cHB \}\cHB \cHB \da =(\cHB \f^{*}\cHBDA )^{\cHB }}

스토크스 정리

외부 파생상품과 통합 사이의 근본적 관계는 스톡스의 정리에 의해 주어진다. $Ω$ 이 $M$ 에 콤팩트하게 지지되는 ( $n$ - $1$ )형이고, $\partialM$ 이 유도 방향의 M의 경계를 나타내는 경우,

{\디스플레이 스타일 \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega.}

A key consequence of this is that "the integral of a closed form over homologous chains is equal": If $ω$ is a closed $k$ -form and $M$ and $N$ are $k$ -chains that are homologous (such that $M - N$ is the boundary of a $(k + 1)$ -chain $W$ ), then $\textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }$ , since the difference is $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ = $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ W $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ = 0 ${\$ .

예를 들어, $Ω$ = $df$ 가 $평면$ 이나ⁿ R에서 잠재적 함수의 파생인 경우, $a$ 에서 b까지의 경로에 $걸쳐$ Ω의 적분은 ( $적분$ 은 f $(b)$ - $f$ ( $a$ )이다)의 선택에 의존하지 않는다. 왜냐하면 주어진 엔드포인트를 가진 서로 다른 경로가 동질적이기 때문에, 따라서 동질(약체 조건)이다. 이 경우를 구배 정리라고 하며, 미적분학의 근본 정리를 일반화한다. 이 경로 독립성은 등고선 통합에 매우 유용하다.

이 정리는 또한 de Rham cohomology와 사슬의 homology 사이의 이중성의 기초가 된다.

조치와의 관계

(추가 구조 없이) 일반 상이한 다지관에서는 다지관의 서브셋에 걸쳐 미분형태를 통합할 수 없다. 이러한 구별은 체인이나 지향적인 서브매니폴드에 걸쳐 통합된 미분형식과 서브셋에 걸쳐 통합된 조치의 구분에 핵심적이다. 가장 간단한 예는 [ $0, 1]$ 간격에 걸쳐 1-form $dx$ 를 통합하려고 시도하는 것이다 $.$ Assuming the usual distance (and thus measure) on the real line, this integral is either $1$ or $-1$ , depending on orientation: $\textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}$ , while $\textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$ . By contrast, the in간격에 대한 측정 $dx$ 의 tegral은 명확하지 않은 $1$ 이다(즉, 이 측정과 관련된 상수함수 $1$ 의 적분은 $1$ 이다). 마찬가지로 좌표 변화 하에서 차동 n-폼은 Jacobian $결정요인$ J에 의해 변화하고, 측정치는 Jacobian $결정요인$ J의 절대값으로 변화하며, 이는 방향의 문제를 더욱 반영한다. 예를 들어, 선상의 지도 $x$ ↦ $-x$ 아래에서, $dx$ 는 $-dx$ 로 후퇴한다; 방향은 역전되었다; 여기서 $dx$ 를 나타내는 르베그 측도는 dx로 후퇴한다; 그것은 $변하지$ 않는다.

방향의 추가 데이터가 있는 경우, 전체 다지관 또는 전체 콤팩트 서브셋에 걸쳐 n-형식(상면형식)을 통합할 수 있다. 전체 다지관에 대한 통합은 다지관의 기본 등급에 걸쳐서 형태를 통합하는 것과 일치한다. [ $M].$ 방향성이 존재하는 경우, 형식적으로는 어떤 것이 식별될 수 있다.다지관의 밀도가 있는 y-형식; 밀도는 측정치를 정의하므로 통합될 수 있다(Folland 1999, 섹션 11.4, 페이지 361–362).

방향성이 있지만 방향성이 없는 다지관에는 두 가지 방향이 있다. 어느 한 쪽을 선택해도 소형 서브셋보다 n-폼을 통합할 수 있고, 두 가지 선택은 기호로 다르다. 비방향성 다지관에서는 n-형태와 밀도를 식별할 수 없다. (특히, 비방향성 다지관에는 부피 형태가 없지만) 상위 차원 형태는 어딘가로 사라져야 하지만 비방향성 다지관에는 부피 형태가 없다. 따라서 콤팩트 서브셋에 대한 밀도를 통합할 수 있지만 n-폼은 통합할 수 없다. 대신 1차원 사이비형식으로 밀도를 식별할 수 있다.

오리엔테이션이 있는 경우에도 주변 방향을 k-차원 서브셋에 사용할 수 있는 일관된 방법이 없기 때문에 $일반적$ 으로 k < $n$ 의 서브셋에 k-폼을 통합하는 의미 있는 방법은 없다. 기하학적으로 k-차원 부분집합을 제자리에 돌려서 반대 방향으로 동일한 부분집합을 산출할 수 있다. 예를 들어, 평면의 수평 축은 180도 회전할 수 있다. n-차원 공간에서 $k$ 벡터 집합의 Gram 결정 인자를 비교하십시오. $이$ 인자는 n 벡터의 결정 인자와 달리 제곱 숫자에 해당하는 항상 양의 값이다. 따라서 k-submanifold의 방향은 주변 매니폴드에서 파생할 수 없는 추가 데이터다.

리만 다지관에서는 어떤 $k$ (정수 또는 실제)에 대한 k-차원 하우스도르프 측정치를 정의할 수 있으며, 이는 다지관의 k-차원 하위 집합에 통합될 수 있다. 이 Hausdorff 측정치가 k-차원 하위 집합에 걸쳐 통합될 수 있는 함수 시간은 k-폼의 통합에 대한 측정-이론적 아날로그를 제공한다. n차원 하우스도르프 측정치는 위와 같이 밀도를 산출한다.

전류

분포 또는 일반화 함수의 미분형 아날로그를 전류라고 한다. $M$ 에서 k-전류의 공간은 차동 k-폼의 적절한 공간에 대한 이중 공간이다. 전류는 체인과 비슷하지만 심지어 체인보다 더 유연한 통합의 일반화된 영역의 역할을 한다.

물리학의 응용

다른 형태는 몇몇 중요한 물리적 맥락에서 발생한다. 예를 들어 맥스웰의 전자기학 이론에서 패러데이 2형식, 즉 전자기장 강도는

{\textbf{F}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\}}}

여기서 $f$ 는_ab 전자기장 ${\vec {E}}$ → ${\$ ${\vec {B}}$ B ${\vec {E}}$ ${\vec {B}}$ → ${\$ 예: $f 12$ = $E z$ / $c$ , $f 23$ = $-B z$ 또는 동등한 정의에서 형성된다.

이 형태는 전자성과 일반 게이지 이론을 모두 설명할 수 있는 U(1)주다발의 곡률 형태의 특별한 경우다. 주요 번들의 연결 형태는 벡터 전위로, 일반적으로 일부 게이지에 표시될 때 $A$ 로 표시된다. 그 중 하나가 가지고 있다.

{\textbf {F}=d{\textbf {A}.

현재 3-폼은

{\textbf{J}={\frac {1}{6}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\d}\}}}}}

여기서 $j$ 는^a 전류 밀도의 네 가지 성분이다. (여기서는 f $대신 ab$ $F$ 를_ab 쓰는 것, 즉 대문자를 쓰는 것, j $대신 a$ $j$ 를^a 쓰는 것이 관례의 문제다. 그러나 벡터 rsp. 텐서 구성 요소와 위에서 언급한 형태는 물리적인 치수가 다르다. 더욱이 국제순수적용물리학연맹의 국제위원회의 결정에 의해 자기 양극화 벡터를 ${\vec {J}}$ → ${\$ 라고 ${\vec {J}}$ 하는데, 일부 출판사 $J$ 에 의해 같은 이름이 다른 양에 사용되기도 한다.)

위에서 언급한 정의를 사용하여 맥스웰 방정식은 기하학적 단위로 매우 압축적으로 작성할 수 있다.

{\displaystyle{\begin}d{\textbf {F}&={\textbf {0}\d}\d}\star {\textbf {F}&={\textbf {J},\end{aigned}}}}}}}}}}

여기서 $\star$ $\star$ 은(는) Hodge star 연산자를 의미한다 $\star$ . 유사한 고려사항들은 일반적으로 게이지 이론의 기하학을 설명한다.

패러데이 형식에 이중인 2형식 ${\star }\mathbf {F}$ ${\star }\mathbf {F}$ ${\$ 도 맥스웰 2형식이라고 한다 ${\star }\mathbf {F}$

전자기학은 U $(1)$ 게이지 이론의 한 예다. 여기서 더 리 집단은 1차원 유니터리 집단인 $U($ 1)로, 특히 아벨리안이다. 양-밀스 이론과 같이 리 집단이 아벨리안이 아닌 게이지 이론이 있다. 그 경우, 여기서 설명한 것과 유사한 관계를 갖게 된다. 그러한 이론에서 필드 $F$ 의 아날로그는 연결의 곡률형식으로, 리 대수치 값 단형 $A$ 로 게이지에 표현된다. 양-밀스 필드 F는 $다음$ 으로 정의된다.

\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A

전자석학 등 아벨의 $경우$ A $a$ A = $0$ 이지만 이것은 일반적으로 유지되지 않는다. 마찬가지로 게이지 그룹의 구조 방정식 때문에 $필드$ $방정식$ 은 A와 F의 외부 제품을 포함하는 추가 용어로 수정된다.

기하학적 측도 이론에서의 적용

복잡한 분석 다지관에 대한 수많은 최소성 결과는 2-폼에 대한 Watheringer 불평등에 기초한다. 허버트 페더러의 고전적인 텍스트 기하학적 측정 이론에서 간결한 증거가 발견될 수 있다. 우터링거 불평등은 수축기하 기하학에서 복잡한 투영적 공간에 대한 그로모프의 불평등의 핵심 요소이기도 하다.

참고 항목

메모들

^ Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332
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참조

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외부 링크

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Bachman, David (2003), A Geometric Approach to Differential Forms, arXiv:math/0306194, Bibcode:2003math......6194B, 학부 텍스트.
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[1] Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332

[2] Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.

[1]

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