전치

행렬 A의 전치^T A는 주 대각선을 따라 원소를 반사하여 얻을 수 있다.전치된 행렬에서 프로세스를 반복하면 요소가 원래 위치로 돌아갑니다.

선형 대수학에서 행렬의 전치(transpose)는 행렬을 대각선 위로 플립하는 연산자이다. 즉, $행렬$ A의 행과 열 지수를 다른 행렬(다른 ^[1]표기법들 중에서 종종 $A$ 로^T 표시됨)로 전환한다.

행렬의 전치는 1858년 영국의 수학자 아서 ^[2]케일리에 의해 도입되었다.2치 관계 R을 나타내는 논리 행렬의 경우, 트랜스포즈는 역관계^T R에 대응한다.

행렬의 전치

정의.

$행렬$ $A$ 의 ^[3] $전치 ⊤$ ( $A^{\intercal }$ , A, A, A $,$ A ', {\ $displaystyle$ A $^{\intercal$ ^[4]^[5] $A',$ ^[6] $A tr$ , $A$ 또는 $A t$ )는^T 다음 중 하나의 방법으로 구성할 수 있습니다.

A를 주 대각선(왼쪽 위부터 오른쪽 아래까지)에 $반영$ 하여 A를 $구합니다 T$ .
A의 $행$ 을 $A$ 의^T 열로 씁니다.
A의 $열$ 을 $A$ 의^T 행으로 씁니다.

공식적으로 A의 $i번째 T$ 행, j번째 열 요소는 $A$ 의 j번째 행, i번째 열 요소이다.

\displaystyle \left[\mathbf {A}^{\operatorname {T}}\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}

$A$ 가 $m$ × $n$ 행렬이라면 $A$ 는^T $n$ × $m$ 행렬이다.

정사각형 행렬의 경우, $A$ 는^T $행렬$ A의 T번째 거듭제곱을 나타낼 수도 있다.혼란을 피하기 위해 많은 저자들은 왼쪽 어퍼스크립트를 사용합니다.즉, A로 $전치$ 되는 것을 나타냅니다.이 표기법의 장점은 ( $A) n$ = ( $A n)$ 처럼 $T$ $표기법 n$ A가 모호하지 않다는 것이다.

본 기사에서는 $기호$ T를 변수 이름으로 사용하지 않음으로써 이러한 혼동을 회피한다.

전이를 포함한 행렬 정의

전치가 자신과 같은 정사각형 행렬을 대칭 행렬이라고 한다. 즉, A는 $대칭$ 행렬이다.

\displaystyle \mathbf {A}^{\operatorname {T} =\mathbf {A} .}

전치가 음과 같은 정사각형 행렬을 스큐-대칭 행렬이라고 한다. 즉, A는 $다음$ 과 같은 경우 스큐-대칭 행렬이다.

\displaystyle \mathbf {A}^{\operatorname {T} =-\mathbf {A} .}

모든 엔트리가 복소공역행렬로 치환된 상태에서 전치가 행렬과 동일한 정사각형 복소행렬을 에르미트행렬(여기에 오버라인으로 표시됨)이라고 한다. $즉$ , A는 에르미트행렬이다.

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} = 오버라인 {\mathbf {A}}}

전치 행렬이 복소 켤레의 부정과 동일한 정사각형 복소 행렬은 스큐-헤르미트 행렬이라고 불린다. $즉$ , A는 스큐-헤르미트 행렬이다.

\mathbf {A}^{\operatorname {T}}=-{\overline {\mathbf {A}}

전치가 역행렬과 같은 정사각형 행렬을 직교 행렬이라고 한다. 즉, A는 $다음$ 과 같은 경우 직교 행렬이다.

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} =\mathbf {A} ^{-1}.

전치 행렬이 그것의 켤레 역행렬과 같은 정사각형 복소 행렬은 유니터리 행렬이라고 불린다. $즉$ , A는 다음과 같은 경우 유니터리이다.

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} = 오버라인 {\mathbf {A} ^{-1}}} 。

예

${bmatrix}1&2\end {bmatrix}^{\operatorname {T}}=,{\displaystyle {bmatrix}1\\end {bmatrix}$

${bmatrix} 1&2&4\end {bmatrix}^{\operatorname {T}}={bmatrix} 1&3&4\end {bmatrix$

${bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 5 & 6 \ end { bmatrix }^{ \ operatorname { T } = {{ { bmatrix } 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \ end { bmatrix$

특성.

$A$ 와 B를 행렬, $c$ 를 스칼라로 하자.

$\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} =\mathbf {A} .}$
전치 조작은 혁신(자기 반전)입니다.
${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \오른쪽)^{\operatorname {T} =\mathbf {A} ^{\operatorname {T} } +\mathbf {B} ^{\operatorname {T}} } } } } }.$
전치에서는 덧셈이 고려됩니다.
$\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} =\mathbf {B} ^{\operatorname {T} ^{\operatorname {T} } }.$
요인의 순서는 반대입니다.이로부터 정사각형 $행렬$ A는 A가 가역인 $경우$ 에만^T 가역이며, 이 경우에는 ( $A -1) T$ = ( $A T) -1$ 가 있다는 것을 추론할 수 있다.유도에 의해, 이 결과는 다중 행렬의 일반적인 경우로 확장되며, 여기서 우리는 다음을 찾는다( $AA 12 ...$ $AA k -1 k) T = AA k T k -1 T ...$ $A 2 T A 1 T$ .
$\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} =c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$
스칼라의 전치는 같은 스칼라입니다.(2)와 함께, 이것은 전치가 $m$ × n $행렬$ 의 $공간$ 으로부터 $모든$ n × m 행렬의 공간까지의 선형 지도임을 나타낸다.
$\displaystyle \det \left(\mathbf {A}) ^{\operatorname {T} }\오른쪽)=\det(\mathbf {A}).}$
정사각형 행렬의 행렬식은 전치 행렬식의 행렬식과 같다.
두 열 $벡터$ $a$ 와 b의 점곱은 행렬 곱의 단일 항목으로 계산할 수 있습니다.
$\left[\mathbf {a} \right]=\mathbf {a}^{\operatorname {T}}\mathbf {b},$
아인슈타인 합산법에서는 $b$ 로ⁱ $표기$ 되어_i 있다.
$만약$ A가 실수 항목만 가지고 있다면, $AA$ 는^T 양의 반무한 행렬이다.
$\left(\mathbf {A} ^{\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} } }$
역행렬의 전치 역시 반전할 수 있으며, 역행렬의 역행렬은 원래 행렬의 역행렬은 원래 행렬의 역행렬의 전치입니다.A $표기$ 는^−T 이러한 동등한 표현 중 하나를 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.
A가 정사각형 행렬이면 $특성$ 다항식이 동일하므로 A의 고유값은 전치 고유값과 같습니다.

상품들

A가 $m$ × $n$ $행렬$ 이고^T A가 전치 $행렬$ 인 경우, 이 두 행렬을 사용한 행렬 곱셈의 결과는 두 개의 제곱 행렬이 됩니다. $A$ 는^T $m$ × $m$ , $A$ 는^Tn × $n$ 이다.또한 이 제품들은 대칭 매트릭스이다.실제로 $행렬곱 A$ 는^T $A행$ 의^T 내적이며 A행의 내적인 엔트리가 있다.그러나 A의 $열$ 은^T $A$ 의 행이므로 $A$ 의 두 행의 내적과 일치합니다.p가 제품의 엔트리인 $경우 i j$ $A$ 의 $i행$ 과 j행에서 구한다. $항목 j i$ p도 이러한 행에서 구하므로 $p i j$ = $p$ 이며_{j i}, 곱 행렬 $p$ 는_{i j} 대칭입니다. $마찬가지$ 로^T, 곱 A $A$ 는 대칭 행렬입니다.

$A$ 의^T $대칭성$ 에 대한 간단한 증거는 A가 전치라는 사실에서 비롯됩니다.

\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} \right)^{\operatorname {T} =\left(\mathbf {A} ^{\right}^{\operatorname {T} } ^{\mathbf

^[7]

컴퓨터에서의 매트릭스 전이의 실장

행 및 열 주순 그림

컴퓨터에서는, 같은 데이터에 다른 순서로 액세스 하는 것만으로, 메모리내의 매트릭스를 명시적으로 전치하는 것을 피할 수 있습니다.예를 들어, BLAS와 같은 선형 대수를 위한 소프트웨어 라이브러리는 일반적으로 데이터 이동의 필요성을 피하기 위해 특정 행렬이 전치된 순서로 해석되도록 지정하는 옵션을 제공합니다.

다만, 메모리내의 매트릭스를 물리적으로 전치된 순서로 재정렬할 필요가 있는, 또는 바람직한 상황도 많이 남아 있습니다.예를 들어 행렬이 줄자 순서로 저장된 경우 행렬의 행은 메모리에 연속되고 열은 비연속적입니다.예를 들어 고속 푸리에 변환 알고리즘에서 컬럼에 대해 반복 연산을 수행해야 하는 경우, (컬럼을 연속적으로 만들기 위해) 메모리 내의 매트릭스를 전치함으로써 메모리 인접성을 증가시킴으로써 성능을 향상시킬 수 있습니다.

최소한의 추가 스토리지로 매트릭스를 전환하는 것이 이상적입니다.이로 인해 O(1) 추가 저장공간 또는 최대 저장공간이 mn보다 훨씬 적은 상태에서 n × m 행렬을 배치하는 문제가 발생한다.n µm의 경우, 여기에는 데이터 요소의 복잡한 치환이 수반되며, 이는 인플레이스 구현이 간단하지 않다.따라서 효율적인 내부 매트릭스 전이는 1950년대 후반부터 컴퓨터 사이언스의 수많은 연구 논문의 주제가 되어 왔으며, 몇 가지 알고리즘이 개발되어 왔다.

선형 지도와 쌍선형 형태의 전치

행렬을 선형 연산자와 일대일 대응 관계에 배치할 수 있습니다.선형 연산자의 전치는 행렬 표현을 고려할 필요 없이 정의할 수 있습니다.이는 행렬로 나타낼 수 없는 선형 연산자에 적용할 수 있는 전치(transpose)의 훨씬 더 일반적인 정의로 이어진다(예: 많은 무한 차원 벡터 공간 포함).

선형 지도의 전치

$X$ 는^# $R-모듈$ X의 대수적 이중 공간을 나타낸다. $X$ 와 Y를 R 모듈로 $합니다$ .u : $X$ → $Y$ 가 선형 지도일 $경우$ , 그 대수적 인접 또는 이중은 ^[8]f $f$ f ∘ $u$ 에 $의해$ 정의된 $u # #$ : $Y #$ → X 지도이다.결과적으로 발생하는 $함수 # u ($ f)를 u에 의한 $f$ 의 풀백이라고 합니다.다음 관계는 $u$ 의^[9] 대수적 인접을 특징짓는다.

모든 f ∈

Y #

및 x

x

X

에 대해 "

u #

(f), x"

=

"

f,

u (

x)"

여기서 $δ$ •는 자연 쌍( $즉,$ δh $, zθ$ : = $h (z$ )로 정의)이다.이 정의는 왼쪽 모듈 및 벡터 ^[10]공간에도 변경되지 않고 적용됩니다.

트랜스포스의 정의는 (아래) 인접과 달리 모듈의 어떤 쌍선형 형태와도 무관한 것으로 보일 수 있습니다.

위상 벡터 공간(TVS) $X$ 의 연속 이중 공간은 X $'$ 로 $표시$ 됩니다. $X$ 와 Y가 TV인 $경우$ 선형 $맵 u$ : X → Y는 u( $Y') x$ X $'$ 인 $경우$ 에만^# 약하게 연속됩니다. 여기서 u : $Y'$ $\to$ $X'$ 는 y'에 $대한$ u의 $제한$ 을^# $나타냅니다$ . $지도$ u는 $u$ 의 전치라고^[11] 불린다.

$행렬$ A가 $V$ 와 W의 $베이스$ 에 관한 선형 맵을 기술하는 경우, $행렬 T$ A는 이중 베이스에 관한 선형 맵의 전치를 기술한다.

쌍선형 형태의 전치

이중 $공간 u$ : X → $X$ 에^# 대한 모든 선형 맵은 B $(x, y$ ) $= u$ ( $x)(y)$ 관계를 $갖는$ 쌍선형 $형태$ $B$ : $X$ × X → F를 정의한다.이 쌍선형 형태의 전치(transpose)를 u : $X ##$ → $X #$ 즉, 전치( $transpose$ )에 의해 정의된 쌍선형 $형태$ B로 정의한다. $t B (y,$ $x)$ $=$ $u$ ( $δ(y)(x$ $),$ B $(x$ , y)= B $(y,$ $x$ ) $임$ 을 알 수 있습니다.여기서 $δ$ 는 자연 $동형사상$ $X ##$ → X이며 이중 쌍대이다.

인접

벡터 $공간$ $X$ 와 Y가 각각 비퇴행성 쌍선형 $형태 X$ $B$ 와_Y B를 갖는 경우, 트랜스포스와 밀접하게 관련된 인접으로 알려진 개념을 정의할 수 있다.

u : $X$ → $Y$ 가 벡터 $공간$ $X$ 와 Y 사이의 선형 맵인 $경우$ $,$ $g$ : Y → $X$ 가 다음을 만족하는 $경우$ g를 $u$ 의 인접으로 $정의$ 한다.

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

X (

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

,

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

(

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

)

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

Y (

u

( x

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

) ,

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

) { \

displaystyle B

_ { X

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

} { \ big (

}x

, g (

y

) { \ big } =

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

B

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

_ { Y } { \

big ( u

(

x

, y ) }}

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

( x , y )

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

\in

Y

) 。

이 쌍선형 형태는 $X$ 와^# X, $그리고$ Y와 $Y$ 와^# Y 사이의 동형성을 정의하며, 결과적으로 $u$ 의 전치사와 인접사이의 동형성을 초래한다.지도의 인접행렬은 베이스가 쌍선형 형태에 대해 직교하는 경우에만 전치행렬이다.그러나 이 문맥에서 많은 저자들은 여기서 정의한 인접을 나타내기 위해 transpose라는 용어를 사용합니다.

인접을 통해 g : $Y$ → $X$ 가⁻¹u : $Y$ → $X$ 와 $동일$ 한지 여부를 고려할 수 있습니다. 특히, 이것은 2차 형식을 가진 $벡터$ 공간 X 위의 직교 그룹을 인접이 역행하는 모든 선형 $지도$ X → $X$ 의 집합으로 행렬을 참조하지 않고 정의할 수 있습니다.

복소 벡터 공간에 걸쳐, 사람들은 종종 쌍선형 형태 대신에 세스키선형 형태(한 인수의 공역-선형)로 작업한다.그러한 공간들 사이의 지도의 에르미트 인접은 유사하게 정의되며, 기저가 직교 정규일 경우 에르미트 인접 행렬은 켤레 전치 행렬에 의해 주어진다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Retrieved September 8, 2020.
^ Arthur Cayley (1858) "행렬 이론에 관한 회고록, 런던 왕립학회 철학 거래, 148:17-37."전치(또는 "전치")는 31페이지에 정의되어 있습니다.
^ T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
^ "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Retrieved 4 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)
^ "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Retrieved 4 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)
^ Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-08.
^ Gilbert Stren (2006) 선형대수와 그 응용, 제4판, 51페이지, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6
^ Shaefer & Wolff 1999, 페이지 128.
^ Halmos 1974, 44파운드
^ 부르바키 1989, II 22 . 5
^ 트라이브 2006, 240페이지

추가 정보

Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Chapters 1-3 [Algèbre: Chapitres 1 à 3] (PDF). Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156.

를 클릭합니다Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. pp. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. pp. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

외부 링크

MIT 오픈 코스웨어의 Gilbert Stren(2010년 봄) 선형 대수

[1] Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Retrieved September 8, 2020.

[2] Arthur Cayley (1858) "행렬 이론에 관한 회고록, 런던 왕립학회 철학 거래, 148:17-37."전치(또는 "전치")는 31페이지에 정의되어 있습니다.

[Whitelaw1991-3] T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.

[4] "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Retrieved 4 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)

[5] "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Retrieved 4 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)

[6] Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-08.

[7] Gilbert Stren (2006) 선형대수와 그 응용, 제4판, 51페이지, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6

[FOOTNOTESchaeferWolff1999128-8] Shaefer & Wolff 1999, 페이지 128.

[9] Halmos 1974, 44파운드

[10] 부르바키 1989, II 22 . 5

[FOOTNOTETrèves2006240-11] 트라이브 2006, 240페이지

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변화 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
카테고리 개요 수학 포털

Search

전치

네임스페이스

더

목차

행렬의 전치