텐서 이론 용어집

Glossary of tensor theory

이것은 텐서 이론의 용어집이다.다양한 관점에서 텐서 이론을 설명하려면 다음을 참조하십시오.

추상 이론의 일부 역사에 대해서는 다선형 대수학을 참조하십시오.

고전 표기법

리치 미적분

텐서 이론의 초기 기초 – 텐서 지수 표기법.[1]

텐서의 순서

기준과 관련된 텐서의 구성요소는 색인 배열이다.텐서의 순서는 필요한 지수의 수입니다.일부 텍스트는 학위 또는 순위사용하여 텐서 순서를 참조할 수 있습니다.

텐서의 순위

텐서의 순위는 텐서를 얻기 위해 합해야 하는 1등급 텐서의 최소 개수이다.랭크 1 텐서는 올바른 순서를 얻기 위해 필요한 0이 아닌 벡터 수의 외부 곱으로 표현 가능한 것으로 정의할 수 있다.

다이아딕 텐서

2차 텐서는 2차 텐서이며 정사각형 행렬로 표현될 수 있다.반대로, 다이애드는 특히 순위 1의 다이애드 텐서이다.

아인슈타인 표기법

이 표기법은 다차원 배열에 반복되는 인덱스 문자가 포함될 때마다 기본적으로는 인덱스의 모든 허용 값에 곱이 합산된다는 것을 이해한 것입니다.예를 들어 a가 매트릭스일 경우ij규칙ii 따라 a는 트레이스입니다.아인슈타인 법칙은 물리학과 공학 텍스트에서 널리 쓰이고 있는데, 합계를 적용하지 않는다면, 그것을 명시적으로 언급하는 것이 정상이다.

크로네커 델타
레비 시비타 기호
공변 텐서
역변 텐서

고전적인 해석은 성분별로 이루어집니다.예를 들어, 미분 형식 adx에서ii 성분i a는 공변 벡터입니다.이는 모든 지수가 더 낮다는 것을 의미하며, 반대로 모든 지수가 더 높다는 것을 의미합니다.

혼합 텐서

이는 하한과 상한 지수를 모두 갖는 텐서를 의미한다.

데카르트 텐서

데카르트 텐서는 유체 역학과 탄성 같은 연속체 역학의 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.고전 연속체 역학에서 관심 공간은 보통 3차원 유클리드 공간이며, 각 지점의 접선 공간도 마찬가지입니다.로컬 좌표를 관심 지점을 중심으로 동일한 척도의 데카르트 좌표로 제한하면 메트릭 텐서크로네커 델타입니다.이는 공변 성분과 반변 성분을 구별할 필요가 없으며 텐서와 텐서 밀도를 구별할 필요도 없음을 의미한다.모든 데카르트 텐서 지수는 첨자로 작성됩니다.데카르트 텐서는 일반성과 이론적 통찰력을 희생하면서 상당한 계산 단순화를 달성한다.

텐서의 수축
지수 상승 및 하강
대칭 텐서
반대칭 텐서
복수 크로스 제품

대수 표기법

이는 구성요소의 초기 사용을 피하고 텐서 곱 기호의 명시적 사용으로 구분된다.

텐서 곱

v와 w가 각각 벡터 공간 VW의 벡터일 경우,

의 텐서이다.

즉, operation 연산은 바이너리 연산이지만 값을 새로운 공간으로 가져옵니다(외부적인 의미에서는 매우 강력합니다).θ 연산은 쌍선형 맵이지만 다른 조건은 적용되지 않습니다.

순수 텐서

V w W의 순수 텐서는 v w w 형식의 텐서이다.

이것은 dyadicij ab, 또는 보다 정확하게ij abij e , f로 표기될 수 있다.여기i e는 V의 기준이고 fj W의 기준이다.따라서 V와 W의 치수가 동일하지 않으면 구성 요소의 배열이 정사각형일 필요는 없습니다.이러한 순수한 텐서는 일반적이지 않습니다.VW의 치수가 모두 1보다 크면 순수하지 않은 텐서가 존재하며 텐서가 만족하고 순수해야 하는 비선형 조건이 있습니다.자세한 내용은 Segre 임베딩을 참조하십시오.

텐서 대수

벡터 공간 V의 텐서 대수 T(V)에서 연산δ(\ 정규(내부) 이진 연산이 된다.그 결과 V가 0차원을 가지지 않는 한 T(V)는 무한차원을 갖는다.집합 X 위의 자유 대수는 실질적으로 X를 기준으로 하는 벡터 공간의 텐서 대수와 같다.

호지 별 연산자

외부 전원

쐐기곱은 θ 연산의 반대칭 형태입니다.내부연산이 되는 T(V)의 몫공간은 V의 외부대수이며, 등급화된 무게 k 조각Vk번째 외부승이라고 한다.

대칭력, 대칭대수

이것은 다항식 대수를 구성하는 불변의 방법이다.

적용들

미터법 텐서
변형률 텐서
응력-에너지 텐서

텐서장론

야코비 행렬
텐서장
텐서 밀도
거짓말 도함수
텐서 도함수
미분 지오메트리

추상 대수

장기의 텐서 곱

이 작업은 필드에 대한 작업이며 항상 필드를 생성하는 것은 아닙니다.

R-대수의 텐서 곱
클리포드 모듈

행렬 대수로서 클리포드 대수를 실현하는 클리포드 대수의 표현.

토함수

이것들은 텐서 곱의 파생 함수이며, 호몰로지 대수에서 강하게 특징지어진다.그 이름은 아벨 군 이론의 비틀림 부분군에서 유래했다.

불변 이론의 상징적 방법
파생 카테고리
그로텐디크 6개 수술

이것은 기하학의 일부에서 사용되는 매우 추상적인 접근법입니다.

스피너

참조:

스핀 그룹
스핀-C군
스피너
핀 그룹
Spinor 필드
스피너 죽이기
스핀 매니폴드

레퍼런스

  1. ^ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Absolute differential calculation methods & their applications], Mathematische Annalen (in French), Springer, 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201, S2CID 120009332

책들