대칭 텐서

Symmetric tensor

수학에서 대칭 텐서는 벡터 인수의 치환 에서 불변하는 텐서이다.

기호 {1, 2, ..., r}의 모든 순열 θ에 대해. 또는, r 지수를 가진 양으로 좌표로 표현되는 순서 r의 대칭 텐서는 다음을 만족한다.

유한 차원 벡터 공간 V 위의 순서 r의 대칭 텐서 공간은 V 차수 r의 균질 다항식 공간의 쌍수와 자연스럽게 동형이다.특성 0의 필드에 걸쳐 모든 대칭 텐서의 등급 벡터 공간은 V 위의 대칭 대수로 자연스럽게 식별될 수 있다.관련된 개념은 반대칭 텐서 또는 교대 형식의 개념이다.대칭 텐서는 공학, 물리학수학에서 광범위하게 발생합니다.

정의.

V를 벡터 공간으로 하고

순서 k의 텐서그렇다면 T는 대칭 텐서이다.

기호 {1,2,....,k}의 모든 치환 on과 관련된 편조 지도(또는 이러한 기호의 모든 치환에 대해 동등함)에 대한 것입니다.

V의 기저 {ei}이 주어졌을 때, k 등급대칭 텐서 T는 다음과 같이 쓸 수 있다.

지수에서 대칭인 일부 고유한 i { 1}기준 텐서의 성분)의 경우.즉,

모든 치환 σ에 대해.

V에 정의순서 k의 모든 대칭 텐서의 공간은 종종 S(V) 또는k Sym(V)로 표시됩니다k.그 자체가 벡터 공간이고, 만약 V가 N차원갖는다면, Sym(V)의k 차원은 이항 계수이다.

그런 다음 k = 0,1,2,...에 대한 Sym(V)의 직접k 합으로 Sym(V)을 구성한다.

대칭 텐서의 예는 많이 있습니다.여기에는 메트릭 텐서 {\\nu 아인슈타인 {\ Ricci 텐서 {\ 등이 포함됩니다.

물리학과 공학에서 사용되는 많은 재료 특성장은 대칭 텐서장으로 표현될 수 있습니다. 를 들어 응력, 변형률이방성 전도율입니다.또한 확산 MRI에서는 뇌나 신체의 다른 부분의 확산을 묘사하기 위해 대칭 텐서를 사용하는 경우가 많다.

타원체는 대수적 변종의 이며, 따라서 일반 등급에서는 균질 다항식을 가장한 대칭 텐서가 투영 변종을 정의하는데 사용되며, 종종 그렇게 연구된다.

Levi-Civita 연결 {\을 갖춘 리만다양체 (g {\ (g)}이 주어졌을 때, 공변 곡률 텐서는 벡터 V ( = T { V({의 대칭 차수 2 = Omega2} ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 }이다.2-형식의 T^{*}이는 R k ( T M 4 { R_\ell (T 4을 보면 k k {\ k }를 갖는다는 사실에 해당합니다. i - j k = R j - { } =_ { ij \ k[1] = R _ { \ }

텐서의 대칭 부분

V{\ V 특성 0 필드 위의 벡터 공간이라고 합니다.T vk V가텐서일 부분은 다음과 같이 정의되는 대칭 텐서이다.

k개의 기호에서 대칭군 위로 확장되는 합계.기초적인 관점에서, 그리고 아인슈타인 요약 규칙을 사용하는 경우,

그리고나서

오른쪽에 나타나는 텐서의 구성요소는 종종 다음과 같이 표시됩니다.

대칭화할 인덱스 주위에 괄호()가 표시됩니다.대괄호 []는 반대칭을 나타내는 데 사용됩니다.

대칭적

T가 단순 텐서일 경우, 순수 텐서 곱으로 주어진다.

그러면 T의 대칭 부분이 요인의 대칭 곱입니다.

일반적으로 우리는 교환 곱과 연관 곱 ⊙[2]을 정의함으로써 Sym(V)을 대수로 바꿀 수 있다.2개의 텐서1 T ) Sym(V2) k1 T ), Sym(V)에k2 대해 대칭 연산자를 사용하여 다음을 정의합니다.

(Kostrikin과 Manin이[2] 한 것과 같이) 결과물이 실제로 교환적이고 연관성이 있다는 것을 검증할 수 있다.경우에 따라 연산자가 생략됩니다.TT12 = T1 T2.

경우에 따라 지수 표기법이 사용됩니다.

여기서 v는 벡터입니다.⊙가 누락된 경우도 있습니다.

분해

대칭행렬의 이론과 유사하게, 순서 2의 (실제) 대칭 텐서는 "대각선화"될 수 있다.보다 정확하게는, 임의의 텐서 T ( Sym(V)에2 대해, 다음과 같은 정수 r, 0이 아닌 단위 벡터1 v,...vrr v V 및 가중치1 ,,..."가 존재한다.

이러한 분해가 가능한 최소 r은 T의 (대칭) 순위입니다.이 최소 표현식에 나타나는 벡터는 텐서의 주요 축이며 일반적으로 중요한 물리적 의미를 갖는다.를 들어, 관성 텐서의 주축은 관성 모멘트를 나타내는 포인소의 타원체를 정의합니다.실베스터의 관성의 법칙도 봐

임의 차수가 k인 대칭 텐서의 경우 분해

할 수도 있습니다.이러한 분해가 가능한 최소 수 r[3]T의 대칭 순위입니다.이 최소 분해는 워링 분해라고 불리며 텐서 순위 분해의 대칭 형태입니다.2차 텐서의 경우 이는 어떤 기준으로든 텐서를 나타내는 행렬의 순위에 해당하며, 최대 순위가 기본 벡터 공간의 차원과 같다는 것은 잘 알려져 있다.단, 고차일 경우 이를 유지할 필요가 없습니다.순위는 기본 벡터 공간의 차원 수보다 높을 수 있습니다.또한 대칭 텐서의 순위와 대칭 순위는 다를 [4]수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Carmo, Manfredo Perdigão do (1992). Riemannian geometry. Francis J. Flaherty. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8. OCLC 24667701.
  2. ^ a b Kostrikin, Alexei I.; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Linear algebra and geometry. Algebra, Logic and Applications. Vol. 1. Gordon and Breach. pp. 276–279. ISBN 9056990497.
  3. ^ Comon, P.; Golub, G.; Lim, L. H.; Mourrain, B. (2008). "Symmetric Tensors and Symmetric Tensor Rank". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 30 (3): 1254. arXiv:0802.1681. doi:10.1137/060661569.
  4. ^ Shitov, Yaroslav (2018). "A Counterexample to Comon's Conjecture". SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2 (3): 428–443. arXiv:1705.08740. doi:10.1137/17m1131970. ISSN 2470-6566.

레퍼런스

외부 링크