텐서 연산자

Tensor operator

순수하고 응용된 수학, 양자역학, 컴퓨터 그래픽에서 텐서 연산자스칼라벡터연산자의 개념을 일반화한다. 이들 중 특별한 등급은 구면 기초구면 고조파의 개념을 적용하는 구면 텐서 연산자다. 구면 기초는 양자역학과 구면 조화함수의 각운동량 설명과 밀접하게 관련되어 있다. 텐서 연산자의 좌표 없는 일반화는 표현 연산자로 알려져 있다.[1]

스칼라, 벡터, 텐서 연산자의 일반적인 개념

양자역학에서 스칼라, 벡터, 텐서인 물리적 관측은 각각 스칼라, 벡터, 텐서 연산자로 나타내야 한다. 어떤 것이 스칼라, 벡터 또는 텐서인지 여부는 좌표 프레임이 서로 교대로 연관되어 있는 두 관찰자가 어떻게 보는가에 달려 있다. 또는 단일 관측자에 대해 시스템 상태가 회전할 경우 물리적 양이 어떻게 변하는지 물을 수 있다. 예를 들어 질량 {\ 분자로 구성된 시스템을 해 보십시오 중심 p p 을 y 축에 대해 만큼 돌리면 운동량이 p 변경된다. 그러나 분자의 질량 중심 운동 에너지는 / 2 스타일 에서 변하지 않을 것이다 운동 에너지는 스칼라이고 운동 에너지는 벡터이며, 이 두 양은 각각 스칼라와 벡터 연산자로 나타내야 한다. 특히 후자에 의해, 초기 상태와 회전 상태의 예상 값이 p p p인 연산자를 의미한다 반면에 운동 에너지는 스칼라 연산자에 의해 표현되어야 하며, 스칼라 연산자의 기대값은 초기 상태와 회전 상태에서 같아야 한다.

같은 방법으로 텐서 수량은 텐서 연산자가 나타내야 한다. (2위) 텐서 수량의 예로는 위 분자의 전기 4극 모멘트가 있다. 마찬가지로, 옥투폴과 육각포 모멘트는 각각 3위와 4위의 텐서일 것이다.

스칼라 연산자의 다른 예로는 총 에너지 연산자(더 흔히 해밀턴어로 불림), 전위 에너지 및 두 원자의 쌍극자-디폴 상호작용 에너지가 있다. 벡터 연산자의 예로는 모멘텀, 위치, 궤도 각도 모멘텀, {\ 스핀 각도 모멘텀 {\{\{S 등이 있다(정밀 인쇄: 각운동량은 회전에 관한 한 벡터(벡터)이지만, 위치나 운동량과 달리 공간 역전에 따라 부호를 바꾸지 않으며, 이 정보를 제공하고자 할 때는 유사운동자라고 한다.)

스칼라, 벡터, 텐서 연산자도 연산자의 생산물에 의해 형성될 수 있다. For example, the scalar product of the two vector operators, and , is a scalar operator, which figures prominently in discussions of the spin-orbit interaction. 마찬가지로, 우리의 예시 분자의 4극 모멘트 텐서는 9개의 성분을 가지고 있다.

.

여기서 지수 (또는 y y 의 값을 독립적으로 취할 수 있으며, 이는 세 가지 축에 해당하는 지수 α {\displaystystylepha \na 모든 입자(전자 및 nuledata.clei) 분자에서 (는) 입자 r 의 i {\ i이다. 합계의 각 항은 텐서 연산자다. 특히 9개 제품 i j 벡터 연산자 의 직접 제품을 스스로 취함으로써 형성된 2등급 텐서다.

양자 상태의 회전

양자회전 연산자

θ 각도를 통한 단위 벡터 n(회전 축 정의)에 대한 회전 연산자는 다음과 같다.

여기서 J = (Jx, Jy, Jz)는 회전 발전기(각운동량 행렬도):

그리고 =^ ( ^, ) 회전 행렬이 되게 한다. 로드리게스의 회전 공식에 따르면, 회전 운영자는 다음과 같다.

연산자 은(는) 다음과 같은 경우 단일 변환 U 아래에 불변함

이 경우 회전 ()

각도 모멘텀 고유 개스킷

총각운동량에 대해 설정된 직교기준은 , 이고 여기서 j는 총각운동량 양자수, m은 자기각운동량 양자수로서 -j, -j + 1, ..., j. 일반상태

공간은 다음과 같이 새로운 상태 , 로 회전한다.

완전성 조건 사용:

우리는 가지고 있다.

Wigner D 매트릭스 요소 소개:

행렬의 곱하기:

1 베이시스 케트의 경우:

궤도 각도 모멘텀의 경우, 궤도 각도 모멘텀 L의 l, m {\ langle 과 3d 구체의 라플레이스 방정식 해법은 구형 고조파다.

여기서 Pm 연관된 레전드르 다항식이고, ℓ은 궤도 각운동량 양자수이며, m은 궤도 자기 양자수로서 -ℓ, -ℓ + 1, ...의 값을 취한다. ℓ - 1, ℓ 구형 고조파 형식주의는 응용 수학에서 응용 범위가 넓으며, 아래와 같이 구형 텐서의 형식주의와 밀접한 관련이 있다.

구형 고조파는 극각과 방위각의 함수인 ϕθ으로, 이러한 각도의 방향을 가리키는 단위 벡터 n(θ, ϕ)으로 편리하게 수집할 수 있으며, 데카르트 기준으로 다음과 같다.

So a spherical harmonic can also be written . Spherical harmonic states rotate according to the inverse rotation matrix , while 은(는) 초기 회전 행렬 ( R)에 의해 회전한다

텐서 연산자 회전

초기 상태에 대한 원래 연산자 의 기대값이 회전 상태에 대한 회전 연산자의 기대값과 같도록 요구하여 연산자 회전을 정의한다.

자, 이제.

우리는 가지고 있다.

{\}은(는 임의적이므로,

스칼라 연산자

스칼라 연산자는 회전할 때 불변한다.[2]

이는 스칼라 작업자가 회전 발전기와 통근한다는 것과 같다.

스칼라 연산자의 예는 다음과 같다.

  • 에너지 운영자:
  • 전위 에너지V(중앙 전위만 있는 경우)
  • 운동 에너지T:
  • 스핀-프로세서 커플링:

벡터 연산자

벡터 연산자(및 유사벡터 연산자)는 다음에 따라 회전할 수 있는 3개 연산자의 집합이다.[2]

이것과 최소 회전 연산자 및 그 에르미타 에서( ) 2 의 2차 항을 무시하고 회전 발전기와 정류 관계를 도출할 수 있다

여기서 εijk 모든 벡터 연산자가 만족해야 하는 리바이스-시비타 기호로, 시공에 의한 것이다. 기호 εijk 가성방사기이므로 가성방사기는 적절한 회전을 위해 +1, 부적절한 회전을 위해 -1까지 불변한다.

벡터 연산자:

  • 포지션 오퍼레이터:
  • 모멘텀 연산자:

그리고 peusodector 연산자는 다음을 포함한다.

  • 궤도 각도 운동량 연산자:
  • 또한 스핀 연산자 S, 따라서 총 각도 운동량

Dirac 표기법에서:

그리고 ψ⟩은 어떤 양자 상태라도 되기 때문에, 동일한 결과가 뒤따른다.

여기서 "벡터"라는 용어는 두 가지 다른 방식으로 사용된다. 즉, ψ⟩과 같은 kets는 추상적인 Hilbert 공간의 요소인 반면, 벡터 연산자는 회전 시 특정 방식으로 구성요소가 변형되는 수량으로 정의된다.

구형 벡터 연산자

구면 기준으로 벡터 연산자는 V = (V+1, V, V)이며0−1, 여기서 구성 요소는 다음과 같다.[2]

회전 발전기가 있는 정류자는 다음과 같다.

여기서 q는 구면 기준 레이블(+1, 0, -1)의 자리 표시자 및:

(일부 저자는 방정식의 왼쪽에 1/2 인자를 놓고 (J+) 또는 그 이하 (J) 총 자기 양자수 m을 한 단위씩 올릴 수 있다. 구면 기준에서 발전기는 다음과 같다.

구면 기준의 회전 변환(원래는 데카르트 기준으로 작성됨)은 다음과 같다.

벡터 연산자 개념을 다음에 나타낸 것과 같이 쉽게 시제 연산자에게 일반화할 수 있다.

텐서 연산자 및 환원 가능 및 환원 불가능 표현

텐서 연산자는 다음과 같이 회전할 수 있다.[2]

성분 = b 이(가) 있는 다이디치 텐서를 고려하십시오 이 회전은 다음에 따라 무한 회전한다.

형식에 대한 데카르트 디아디치 텐서

여기서 ab는 두 개의 벡터 연산자:

환원 가능. 즉, ab의 관점에서 0 텐서(제곱)에 1 텐서(대칭 텐서)를 더하고 2 텐서(추적이 0인 대칭 텐서)를 더한 값으로 재평가할 수 있다.

첫 학기가 있는 곳에서.

스칼라로 균등하게 작성된 (a·b)/3, 두 번째 성분만 포함

(a×b)/2의 성분과 세 번째 성분을 동등하게 포함하는 세 개의 독립적인 성분을 포함한다.

5개의 독립적인 구성요소를 포함한다. 전체적으로 Δij 정체성 행렬의 성분인 크로네커 델타다. 위첨자 괄호 안의 숫자는 텐서 순위를 나타낸다. 이 세 가지 용어는 수정할 수 없으며, 이는 더 이상 분해할 수 없으며 불변해야 하는 정의된 변환 법칙을 충족시키는 텐서라는 것을 의미한다. 이는 또한 ℓ = 0, 1, 2에 대한 구형 고조파 함수의 수 2 1 + 1에 해당하며, 각 텐서별 순위와 동일하다. 각각의 불가해한 표현 T(1), T(2) ...는 독립 구성 요소의 수에 따라 각운동량 고유현상과 같이 변한다.

텐서 연산자의 예,

  • 쿼드폴 모멘트 운영자,
  • 두 개의 텐서 연산자를 곱하여 다른 텐서 연산자를 부여할 수 있다.
    대체적으로.

참고: 이는 단지 하나의 예에 지나지 않으며, 일반적으로 위의 예에서와 같이 텐서 연산자는 두 텐서 연산자의 곱으로 표기할 수 없다.

구면 텐서 연산자

2차 순서 디아디치 텐서 T = ⊗ b의 이전 예를 계속하여 ab를 구면 기준으로 각각 주조하고 T로 대체하면 2차 순서의 구면 텐서 연산자가 다음과 같이 된다.

극소 회전 연산자와 그 에르미타르의 결합을 사용하여 구면 기준으로 환산 관계를 도출할 수 있다.

구면 기준의 유한 회전 변환은 다음과 같다.

일반적으로 텐서 연산자는 두 가지 관점에서 구성할 수 있다.[3]

한 가지 방법은 구면 텐서가 물리적 회전 하에서 어떻게 변하는지 구체화하는 것이다. 즉 집단 이론적 정의. 회전 각운동량 고유상태는 초기 고유상태의 선형 조합으로 분해될 수 있다. 선형 조합의 계수는 Wigner 회전 행렬 항목으로 구성된다. 구형 텐서 연산자는 회전하는 동안 고유개킷과 마찬가지로 변환하는 연산자 집합으로 정의되기도 한다.

구면 T ) }}}}에 따라 Tq′( 로 회전하도록 정의된다.

여기서 q = k, k - 1, ..., -k + 1, -k. 구형 텐서의 경우, kq는 구형 고조파에서 각각 과 m과 유사한 라벨이다. 일부 저자는 T 대신q(k) T라고kq 쓰고, 괄호는 순위번호 k를 둘러싸거나 말거나 한다.

또 다른 관련 절차에서는 회전 발전기x J, Jy, Jz - 대수적 정의와 관련하여 구면 텐서가 특정 정류 관계를 만족해야 한다.

텐서 연산자와 각운동량 성분의 정류 관계는 다음과 같다.

단위 벡터뿐만 아니라 위치 벡터도 아닌 모든 3d 벡터의 경우:

구면 텐서(구면 텐서)는 이 벡터 a의 함수로서 구면 고조파(구면 고조파)이며, 디락 표기법에서는 다음과 같다.

(초과 첨자는 구면 텐서와 구면 고조파에서 사용하는 해당 라벨의 위치를 £ km q로 바꾼다.)

구형 고조파 상태와 구형 텐서 또한 클렙슈-고단 계수로 구성할 수 있다. 불분명한 구형 텐서는 더 높은 등급의 구형 텐서를 구축할 수 있다. Aq1(k1) Bq2(k2) 각각 등급 k1 k2 구형 텐서인 경우:

K등급의 구면 텐서 입니다.

구면 텐서의 은둔자 부호는 다음과 같이 정의될 수 있다.

위상 요인의 선택에는 일부 재정적인 부분이 있다. 즉, (-±q1)을 포함하는 요인은 감화 관계를 만족시킬 것이다.[4] 위의 단계 선택은 실제라는 이점과 통근하는 두 에르미타인 운영자의 텐서 생산물이 여전히 에르미타인이라는 이점이 있다.[5] 일부 저자는 k 없이 q에 다른 기호로 정의하거나 k바닥만 사용한다.[6]

각운동량 및 구형 고조파

궤도 각도 운동량 및 구형 고조파

궤도 각도 운동량 측정 시스템에는 다음과 같은 사다리 측정 시스템이 있다.

궤도 자기 양자수 m 1단위씩 올리거나 내린다. 이것은 일정한 승법요인을 제외하고 구면기준과 거의 똑같은 형태를 가지고 있다.

구형 텐서 연산자와 양자 스핀

구면 텐서는 또한 총 양자수 j = + + s(및 = = 0)의 스핀 시스템에 대해 행렬로서 스핀 연산자 Sx, Sy, Sz 대수적 조합으로 형성될 수 있다. 스핀 오퍼레이터는 다음과 같은 사다리 오퍼레이터를 보유하고 있다.

스핀 자기 양자수 ms 1단위씩 올리거나 내린다.

적용들

구면기초는 구면기오메트리가 발생하는 순수 및 응용수학 및 물리과학에서 광범위한 응용을 한다.

단일 전자 원자의 쌍극복 복사 전환(알칼리)

전환 진폭은 초기 상태와 최종 상태 사이의 쌍극자 연산자의 매트릭스 요소에 비례한다. 우리는 원자에는 정전기, 스핀리스 모델을 사용하고 초기 에너지 레벨 E에서nℓ 최종 레벨 E로의n′ℓ′ 전환을 고려한다. 에너지가 자기 양자수 m 또는 m³에 의존하지 않기 때문에 이러한 수준은 퇴보한다. 파동 함수는 형태를 가지고 있고

쌍극자 연산자는 전자의 위치 연산자에 비례하므로, 우리는 형태의 행렬 원소를 평가해야 한다.

여기서 초기 상태는 오른쪽에, 마지막 상태는 왼쪽에 있다. 포지션 오퍼레이터 r은 3개의 구성요소를 가지며, 초기 레벨과 최종 레벨은 각각 2㎛ + 1과 2㎛ + 1의 퇴보 상태로 구성된다. 따라서 스펙트럼 라인의 강도를 관측할 수 있는 대로 평가하려면 실제로 3(2㎛+1) 매트릭스 요소(예: 3×3×5 = 45)를 3d → 2p 전환에서 평가해야 한다. 이것은 실제로 우리가 볼 수 있듯이 많은 매트릭스 원소들이 사라지지만, 여전히 계산되어야 할 많은 비반복 매트릭스 원소들이 있기 때문에 과장된 것이다.

cartesian 기초가 아닌 구형 기초에 관해서 r의 구성요소를 표현함으로써 큰 단순화를 달성할 수 있다. 먼저 정의하자면

다음으로, Yℓm tables의 표를 조사함으로써, = = 1의 경우,

여기서 우리는 각 Y에1m 반경 r을 곱했다. 오른쪽에는 위치 벡터 r의 구면 성분 r이q 보인다. 결과는 다음과 같이 요약할 수 있다.

q = 1, 0, -1에 대해, 여기서 q는 자기 양자 숫자로 명시적으로 나타난다. 이 방정식은 벡터 연산자와 각운동량 값 ℓ = 1, 우리가 현재 더 많이 말할 수 있는 것 사이의 관계를 보여준다. 이제 매트릭스 원소는 방사상 적분 곱하기 각 적분,

우리는 3개의 자석 양자수(m³,q,m)에 대한 모든 의존도가 적분의 각 부분에 포함되어 있음을 알 수 있다. 또한, 각 적분은 3-Yℓm 공식으로 평가될 수 있으며, 이때 클렙슈-고단 계수에 비례하게 된다.

방사상 적분은 3개의 자석 양자수(m³, q, m)와는 무관하며, 우리가 방금 사용한 트릭은 그것을 평가하는 데 도움이 되지 않는다. 그러나 그것은 단지 하나의 통합일 뿐이고, 그것이 이루어진 후에는 다른 모든 통합들은 단지 클렙슈-고단 계수를 계산하거나 조회하는 것만으로 평가될 수 있다.

클렙슈-고단 계수의 선택 규칙 m′ = q + m은 통합의 많은 부분이 소멸됨을 의미하므로 우리는 해야 할 통합의 총수를 과장했다. 그러나 만약 우리가 r의 카르테시아 성분들과i 함께 일했다면, 이 선택 규칙은 분명하지 않았을지도 모른다. 어쨌든 선택 룰을 가지고도, 여전히 0이 아닌 통합이 많이 있을 수 있다(9, 경우는 3d → 2p). 방금 우리가 쌍극자 전환을 위한 매트릭스 요소의 계산을 단순화시킨 예는 실제로 위그너-에카르트 정리를 적용한 것인데, 이 주석에 우리가 나중에 차지하는 것이다.

자기 공명

구형 텐서 형식주의는 핵자기 공명에서의 일관성과 이완을 치료하는 공통의 플랫폼을 제공한다. NMREPR에서 구면 텐서 연산자는 밀도 매트릭스 엔트리에 대한 운동 방정식을 이용하여 입자 스핀의 양자 역학을 표현하거나, Louville 공간의 운동 방정식 측면에서 역학을 공식화하기 위해 사용된다. 운동의 Louville 공간 방정식은 스핀 변수의 관측 가능한 평균을 지배한다. 리우빌 공간에서 구면 텐서 베이스를 사용하여 이완을 공식화하면 이완 매트릭스가 스핀 관측 가능성의 교차 완화를 직접 보여주기 때문에 통찰력을 얻는다.[3]

이미지 처리 및 컴퓨터 그래픽

참고 항목

참조

메모들

  1. ^ Jeevanjee, Nadir (2015). An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists (2nd ed.). Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4714-8.
  2. ^ Jump up to: a b c d E. Abers (2004). "5". Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 978-0-13-146100-0.
  3. ^ Jump up to: a b R.D. Nielsen; B.H. Robinson (2006). "The Spherical Tensor Formalism Applied to Relaxation in Magnetic Resonance" (PDF). pp. 270–271. Archived from the original (PDF) on 2014-04-07. Retrieved 2013-06-13.
  4. ^ McCarthy, Ian E.; Weigold, Erich (2005). Electron-Atom Collisions (Volume 5 of Cambridge Monographs on Atomic, Molecular and Chemical Physics). Cambridge University Press. p. 68. ISBN 9780521019682.
  5. ^ Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. p. 78. ISBN 9780691025896.
  6. ^ Degl'Innocenti, M. Landi; Landolfi, M. (2006). Polarization in Spectral Lines. Springer Science & Business Media. p. 65. ISBN 9781402024153.

원천

추가 읽기

구형 고조파

각운동량 및 스핀

응축물리학

자기 공명

이미지 처리

외부 링크