Hadamard 제품(매트릭스)

Hadamard product (matrices)
Hadamard 제품은 동일한 형태의 매트릭스에서 작동하며 동일한 크기의 세 번째 매트릭스를 생산한다.

수학에서 파이고 요소는 각 요소, j제품은 원래 두 matrice의 j는 피연산자와 같은 차원의 또 다른 매트릭스를 생성하는 같은 치수의 두 매트릭스는 아다마르 제품(또한element-wise 제품으로 알려진entrywise product[1][2]:ch.5~슈어 product[3])는 2항 작업이다.s 그것은 더 일반적인 매트릭스 제품과 구별되는 것이다. 그것은 프랑스의 수학자 자크 하다마드나 독일의 수학자 잇사이 슈르에게 기인하고 이름을 따서 명명되었다.

Hadamard 제품은 연관성이 있고 유통성이 있다. 매트릭스 제품과 달리, 그것은 또한 대응적이다.[4]

정의

동일한 치수 m × n의 두 행렬 AB에 대해, Hadamard 제품 A [1][5][6][7]는 피연산자와 동일한 치수의 행렬이며, 다음과[4] 같은 요소에 의해 주어진다.

차원이 다른 행렬(m × n p × q, 여기서 m ≠ p 또는 nq)의 경우, Hadamard 제품은 정의되지 않는다.

예를 들어, 3 × 3 매트릭스 B의 3 × 3 매트릭스 A에 대한 Hadamard 제품은 다음과 같다.

특성.

  • Hadamard 제품은 (커뮤니케이션 링과 작업할 때), 연관성이 있고 덧셈보다 분배성이 있다. 즉, A, B, C가 같은 크기의 행렬이고 k가 스칼라인 경우:
  • 2 m × n 행렬의 Hadamard 곱하기 아래의 ID 행렬은 모든 원소가 1과 동일m × n 행렬이다. 이는 주 대각선 원소만 1과 같은 정규 행렬 곱셈의 ID 행렬과는 다르다. 게다가, 만약 원소가 0이 아닌 경우에만, 하나의 행렬은 Hadamard 곱셈에서 역행한다.[8]
  • 벡터 xy, 그리고 이러한 벡터를 주 대각선으로 하는 해당 대각 행렬x Dy D의 경우, 다음과 같은 정체성이 유지된다.[2]: 479
    여기서 x* x결합 전이를 나타낸다. 특히, 이는 하나 이상의 벡터를 사용하여 Hadamard 제품의 모든 원소의 합이 ABT 흔적이며, 위첨자 T는 전치 행렬을 나타낸다. 정사각형 A와 B의 관련 결과는 Hadamard 제품의 행섬이 ABT 대각선 요소라는 것이다.[9]
    유사하게
  • 하다마드 제품은 크로네커 제품의 주요 서브트릭스다.
  • Hadamard 제품은 계급 불평등을 만족시킨다.
  • AB양립할 수 있는 행렬이라면, Hadamard 제품과 관련된 다음과 같은 불평등이 유효하다.[10]
    여기서 λi(A)A의 가장고유값이다.
  • DE대각 행렬인 경우[11]
  • 의 두 벡터의 Hadamard 제품은 다른 벡터의 해당 대각 행렬에 의한 한 벡터의 행렬 곱셈과 동일하다.

혼합물 속성

, where is Kronecker product
, where denotes face-splitting product.[12]
)( D)=( ) D) D 여기서 기둥-현 Khatri-rao 제품이다.

슈르 생산물 정리

두 개의 양성-세미드 피니트 행렬의 하다마드 제품은 양성-세미드 피니트다.[4][9] 이것은 러시아의 수학자 잇사이 슈르의 이름을 따서 슈르 제품 정리라고 알려져 있다.[8] 또한 두 가지 양-세미드 피니트 행렬 AB의 경우, Hadamard 제품의 결정요인이 각 결정요인의 산물보다 크거나 같은 것으로 알려져 있다.[9]

프로그래밍 언어에서

Hadamard 곱셈은 다양한 이름으로 특정 프로그래밍 언어에 내장되어 있다. MATLAB, GNU 옥타브, GAUSS, HP Prime에서는 어레이 곱셈, 줄리아브로드캐스트 곱셈으로 알려져 있으며 기호가 있다. .* .[13] Fortran, R,[14] APL, J, Wolfram Language (Mathematica)에서는 간단한 곱셈 연산자를 통해 이루어진다. *매트릭스 제품은 함수를 통해 수행되는 반면, matmul, %*%, +.×, +/ .* 그리고 . 각각 연산자. NumPy 숫자 라이브러리가 있는 파이썬에서는 객체를 로 배열하다. a*b Hadamard 제품을 생산하고, 곱셈을 다음과 같이 생산한다. a@b 매트릭스 제품을 생산한다. SymPy 심볼 라이브러리를 사용하면 어레이 개체를 두 개 모두로 곱할 수 있음 a*b 그리고 a@b 매트릭스 제품을 생산하고, Hadamard 제품은 다음과 같이 얻을 수 있다. a.multiply_elementwise(b).[15] C++에서 Eigen 라이브러리는 cwiseProduct Matrix 클래스에 대한 멤버 함수(a.cwiseProduct(b)() 아르마딜로 도서관은 운영자를 사용한다. % 콤팩트한 표현을 하다(a % b; a * b 매트릭스 제품). R 패키지 행렬계산 기능 도입 hadamard.prod() 숫자 행렬 또는 벡터의 Hadamard 제품.

적용들

Hadamard 제품은 JPEG와 같은 손실 압축 알고리즘에 나타난다. 디코딩 단계에는 엔트리 포 엔트리 제품, 즉 하다마드 제품이 포함된다.[citation needed]

기계학습 문헌에서도 사용되는데, 예를 들어 재발 신경망의 구조를 GRULSTM으로 기술하는 데에도 사용된다.[citation needed]

유사 연산

다른 하다마드 연산도 다음과 같은 행렬에 대해 정의된 수학 문헌, [16]하다마드 근원하다마드 힘(분수 지수로 인해 사실상 동일한 것임)에서 볼 수 있다.

을 위해

그리고 위하여

Hadamard 역은 다음과 같다.[16]

Hadamard 분할은 다음과 같이 정의된다.[17][18]

침투 면 제품

행렬의 침투 면 제품

V의 정의에 따르면. 슬리퍼사(Sliusar)는 pg 블록(=[ 과 n차원 B n > 1)의 관통면 제품은 형태 {\displaystyle {의 매트릭스다[19]

만약

그때

주특성

[19];
= M [ ( ) {

여기서 }은 행렬의 얼굴 주름 제품을 의미한다.

= [ M 여기서 은 벡터다.

적용들

침투면 제품은 디지털 안테나 어레이의 텐서-매트릭스 이론에 사용된다.[19] 이 조작은 인공신경망 모델, 특히 경련층에서도 사용될 수 있다.[20]

참고 항목

참조

  1. ^ Jump up to: a b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
  2. ^ Jump up to: a b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix analysis. Cambridge University Press.
  3. ^ Davis, Chandler (1962). "The norm of the Schur product operation". Numerische Mathematik. 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329.
  4. ^ Jump up to: a b c Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). buzzard.ups.edu. Retrieved September 6, 2020.
  5. ^ "Hadamard product - Machine Learning Glossary". machinelearning.wtf.
  6. ^ "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". Mathematics Stack Exchange.
  7. ^ "Element-wise (or pointwise) operations notation?". Mathematics Stack Exchange.
  8. ^ Jump up to: a b Million, Elizabeth. "The Hadamard Product" (PDF). Retrieved 2 January 2012.
  9. ^ Jump up to: a b c Styan, George P. H. (1973), "Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis", Linear Algebra and Its Applications, 6: 217–240, doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2, hdl:10338.dmlcz/102190
  10. ^ Hiai, Fumio; Lin, Minghua (February 2017). "On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product". Linear Algebra and Its Applications. 515: 313–320. doi:10.1016/j.laa.2016.11.017.
  11. ^ "Project" (PDF). buzzard.ups.edu. 2007. Retrieved 2019-12-18.
  12. ^ Slyusar, V. I. (December 27, 1996). "End products in matrices in radar applications" (PDF). Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50–53.
  13. ^ "Arithmetic Operators + - * / \ ^ ' -". MATLAB documentation. MathWorks. Archived from the original on 24 April 2012. Retrieved 2 January 2012.
  14. ^ "Matrix multiplication". An Introduction to R. The R Project for Statistical Computing. 16 May 2013. Retrieved 24 August 2013.
  15. ^ https://docs.sympy.org/latest/modules/matrices/common.html?highlight=multiply_elementwise#sympy.matrices.common.MatrixCommon.multiply
  16. ^ Jump up to: a b Reams, Robert (1999). "Hadamard inverses, square roots and products of almost semidefinite matrices". Linear Algebra and Its Applications. 288: 35–43. doi:10.1016/S0024-3795(98)10162-3.
  17. ^ Wetzstein, Gordon; Lanman, Douglas; Hirsch, Matthew; Raskar, Ramesh. "Supplementary Material: Tensor Displays: Compressive Light Field Synthesis using Multilayer Displays with Directional Backlighting" (PDF). MIT Media Lab.
  18. ^ Cyganek, Boguslaw (2013). Object Detection and Recognition in Digital Images: Theory and Practice. John Wiley & Sons. p. 109. ISBN 9781118618363.
  19. ^ Jump up to: a b c Slyusar, V. I. (March 13, 1998). "A Family of Face Products of Matrices and its properties" (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999. 35 (3): 379–384. doi:10.1007/BF02733426.
  20. ^ Ha D., Dai A.M., Le Q.V. (2017). "HyperNetworks". The International Conference on Learning Representations (ICLR) 2017. – Toulon, 2017.: Page 6. arXiv:1609.09106.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)