통상 모드

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발진계의 통상 모드는 시스템의 모든 부분이 동일한 주파수와 일정한 위상관계를 가지고 정현적으로 이동하는 운동 패턴입니다.일반 모드로 설명되는 자유 운동은 고정된 주파수에서 발생합니다.시스템의 일반 모드의 이러한 고정 주파수를 고유 주파수 또는 공진 주파수라고 합니다.건물, 다리 또는 분자와 같은 물리적 물체는 구조, 재료 및 경계 조건에 따라 달라지는 일련의 정상 모드와 고유 주파수를 가집니다.음악에서, 진동 악기의 정상적인 모드(현, 공기 파이프, 드럼 등)는 "조화" 또는 "중음"이라고 불립니다.

시스템의 가장 일반적인 움직임은 정상 모드의 중첩입니다.모드는 독립적으로 이동할 수 있다는 점에서 정상입니다.즉, 한 모드의 여기에서는 다른 모드의 모션이 발생하지 않습니다.수학 용어에서 정규 모드는 서로 직교입니다.

일반적인 정의

모드

물리학과 공학의 파동 이론에서 동적 시스템에서의 모드는 정재파 들뜸 상태이며, 이 모드에서는 시스템의 모든 구성요소가 그 모드와 관련된 일정한 주파수로 정현파적으로 영향을 받습니다.

어떤 실계도 정재파 프레임워크에 완전히 들어맞을 수 없기 때문에 모드 개념은 특정 진동 상태의 일반적인 특성화로서 받아들여지고, 따라서 상태의 선형 중첩을 실행할 수 있는 선형 방식으로 동적 시스템을 취급한다.

고전적인 예로는 다음이 있습니다.

• 진동로프는 로프가 매체이고 로프에 가해지는 응력이 들뜸이며 정지상태에 대한 로프의 변위가 모드변수인 가장 명확한 모드이다.
• 음향역학 시스템에서 단일 음고는 공기를 매개체로 하고 공기 중의 음압을 들뜸으로 하며 공기 분자의 변위가 모드 변수인 모드이다.
• 구조동력시스템에서 가장 굴곡축 아래에서 진동하는 고층건물은 적절한 수치적 단순화에 따라 건물의 모든 재료가 매체이고 지진/풍력/환경요구가 들뜸이고 변위가 모드변수인 모드이다.
• 입자 가속기의 중공 공간을 둘러싼 얇은 금속벽으로 이루어진 공명 공동이 순수 정재파계이며, 따라서 그 중공 공간을 매체로 하는 모드의 일례로서 RF원(클라이스트론 또는 다른 RF원)이 들뜸이고 전자장이 t인 것이 특징이다.모달 변수입니다.
• 음악과 관련하여, 진동 악기의 정상적인 모드(스트링, 공기 파이프, 드럼 등)는 "하모닉" 또는 "오버톤"이라고 불립니다.
• 정상 모드의 개념은 광학, 양자 역학, 대기 역학 및 분자 역학에도 적용됩니다.

대부분의 동적 시스템은 여러 모드에서 동시에 활성화될 수 있습니다.각 모드는 모드 변수 필드에 따라 하나 또는 여러 ^{[dubious – discuss]}주파수로 특징지어집니다.예를 들어, 2D 공간의 진동 로프는 단일 주파수(1D 축 변위)로 정의되지만, 3D 공간의 진동 로프는 2개의 주파수(2D 축 변위)로 정의됩니다.

모달 변수에서 주어진 진폭에 대해 각 모드는 사인파 들뜸으로 인해 특정 양의 에너지를 저장합니다.

다중 모드가 있는 시스템의 일반 모드 또는 지배 모드는 특정 모달 변수의 진폭에 대한 최소 에너지량을 저장하는 모드이거나, 동일한 양의 저장된 에너지량에 대해 지배 모드는 모달 변수의 최대 진폭을 적용하는 모드가 됩니다.

모드 번호

진동 모드는 모드 주파수와 모드 형상으로 특징지어진다.진동 내 반파 수에 따라 번호가 매겨집니다.예를 들어, 양끝이 핀으로 고정된 진동 빔이 사인파의 절반(진동 빔의 한 피크)의 모드 형태를 표시할 경우 모드 1에서 진동합니다.전체 사인파(피크 1개와 트로프 1개)가 있는 경우 모드 2에서 진동합니다.

그림 디스크와 같이 2개 이상의 치수를 가진 시스템에서는 각 치수에 모드 번호가 부여된다.극좌표를 사용하여 반경좌표와 각도좌표가 있습니다.중심에서 반경 좌표를 따라 바깥쪽으로 측정하면 전체 파형이 발생하므로 반경 방향의 모드 번호는 2입니다.다른 방향은 디스크의 반대칭(스큐-대칭이라고도 함) 특성으로 인해 디스크의 절반만 고려되기 때문에 더 까다롭습니다.따라서 각도 방향을 따라 180° 측정하면 반파가 발생하므로 각도 방향의 모드 번호는 1입니다.따라서 시스템의 모드 번호는 어떤 좌표가 "첫 번째"로 간주되고 어떤 좌표가 "두 번째" 좌표로 간주되는가에 따라 2-1 또는 1-2이다(따라서 항상 어떤 모드 번호가 각 좌표 방향과 일치하는지 표시하는 것이 중요하다).

선형 시스템에서는 각 모드가 다른 모든 모드와 완전히 독립적입니다.일반적으로 모든 모드는 주파수가 다르고(낮은 모드의 주파수가 더 낮음) 모드 모양도 다릅니다.

노드

주어진 모드의 1차원 시스템에서는 진동에는 노드 또는 변위가 항상 0인 장소가 있습니다.이러한 노드는 모드 셰이프가 0인 모드 셰이프의 점에 해당합니다.시스템의 진동은 모드 형상에 시간 함수를 곱한 것이므로 노드점의 변위는 항상 0으로 유지된다.

2차원 시스템으로 확장되면 이러한 노드는 변위가 항상 0인 선이 됩니다.위의 애니메이션을 보면 두 개의 원(가장자리와 중앙의 중간 정도)과 디스크 자체를 양분하는 직선이 나타나는데, 여기서 변위는 거의 0에 가깝습니다.이상화된 시스템에서는 이 선들은 오른쪽과 같이 정확히 0이 됩니다.

기계 시스템의 경우

결합 발진기

각각 질량 m이 스프링 상수 k를 갖는 세 개의 스프링에 부착된 두 개의 동일한 물체(중력의 영향을 받지 않음)를 고려해보자.이들은 다음과 같이 부착되어 물리적으로 대칭적인 시스템을 형성합니다.

에지 포인트가 고정되어 있고 이동할 수 없습니다.x(t)는 왼쪽 질량의 수평 변위를 나타내고 x₂(t)는 오른쪽 질량의 변위를 나타냅니다₁.

가속도(시간에 대한 x(t)의 2차 도함수)를 x$${\({$displaystyle\scriptstyle\dot$ {$x\})$로 나타낼 경우 운동방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle { displaystyle { snarged } _ { x } _ { 1 } & = - kx _ { 1 } + kx _ { 2}\\mbcddot {x2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}}\end {aligned}}$

정상 모드의 진동 모션이 예상되므로(여기서 θ는 두 매스에서 동일) 다음과 같이 시도합니다.

${\displaystyle {begin {aligned}x_{1}(t)&=A_{i\omega t}\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$

이를 운동 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {argent {aligned}-\obega ^{2}mA_{1}e^{i\obega t}+kA_{2}e^{i\Omega t}\\-\Omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\obega t}-2kA_{2}e^{i\obega t}\end{aligned}}$

지수 인자는 모든 항에 공통이므로 생략하고 다음과 같이 단순화합니다.

$(\displaystyle\displaystyle\aligned\(오메가^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

매트릭스 표현:

${\displaystyle {bmatrix}\obega ^{2}m-2k&k\\k&\obega ^{2}m-2k\end{bmatrix}{\displaystyle{pmatrix}}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}=0}$

왼쪽의 행렬이 반전될 수 있는 경우, 고유한 해는 (A₁, A₂) = (x₁, x₂) = (0,0)입니다.비소요 해법은 왼쪽의 행렬이 단수인 θ의 값에 대해 구해야 한다. 즉, 가역적이지 않다.따라서 행렬의 행렬식은 0이어야 합니다. 따라서 다음과 같습니다.

${\displaystyle(\obega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$

$§$ (\$displaystyle \obega$에 대한 해결에는 두 가지 긍정적인 솔루션이 있습니다.

$({displaystyle {aligned} \ obega _ {1} & = frac {k} {m} \ \ obega _ {2} & = frac { 3k } \ end { aligned } )$

행렬에 into를₁ 대입하여 (A₁, A₂)를 풀면 (1, 1)이 된다.,를₂ 대입하면 (1, -1)이 됩니다.(이 벡터는 고유 벡터이고 주파수는 고유값입니다.)

첫 번째 일반 모드는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {vec {eta}}_{1}=pmatrix {pmatrix} {{1}(t)\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}=c_{1}{\cos{{pmatrix}1\1\1\end{pmatrix}}}\cos{(\cos{{{{{(\obe {1}t}+{{pmatrix})})}}_{{{{{{{{1}}}}}}}}}}}}}})$

두 질량이 동시에 같은 방향으로 움직이는 것에 해당합니다.이 모드를 반대칭이라고 합니다.

두 번째 일반 모드는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {vec {eta }}_{2}^{2}(t)\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}=c_{2}{\display{pmatrix}1\1\end{pmatrix}}\cos {({오메가 {2}t}+varphi})_2}_{2})_{2})$

이는 질량의 중심이 정지된 상태에서 반대 방향으로 이동하는 질량에 해당합니다.이 모드를 대칭이라고 합니다.

일반적인 해결책은 c, c₂, c, θ₁ 및 θ가₂ 문제의 초기 조건에 따라 결정되는 일반₁ 모드의 중첩입니다.

여기서 설명하는 과정은 라그랑주 역학 또는 해밀턴 역학의 형식주의를 사용하여 일반화 및 공식화할 수 있습니다.

정재파

정상파는 정상 모드의 연속 형태입니다.정재파에서는 모든 공간 요소(즉, (x, y, z) 좌표)가 동일한 주파수와 위상(함께 평형점에 도달)으로 진동하지만 각각 다른 진폭을 가집니다.

정재파의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \Psi(t)=f(x,y,z)(A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)),$

여기서 θ(x, y, z)는 위치에 대한 진폭의 의존성을 나타내며 코사인\cosine\cors는 시간의 진동입니다.

물리적으로 정재파는 파도의 간섭(중첩)과 그 반사에 의해 형성된다.매체의 기하학적 모양에 따라 간섭 패턴이 결정되며, 따라서 정재파의 δ(x, y, z) 형태가 결정됩니다.이 공간 의존성을 일반 모드라고 합니다.

통상적으로 (x, y, z)에 계속 의존하는 문제의 경우 단일 또는 유한한 수의 일반 모드는 없지만 무한히 많은 일반 모드가 있습니다.문제가 한정되어 있는 경우(즉, 공간의 유한 부분에 정의되어 있는 경우) 정규 모드는 셀 수 없을 정도로 많다(보통 n = 1, 2, 3, ...).문제가 한정되지 않은 경우 정상 모드의 연속 스펙트럼이 존재합니다.

탄성 고체

어떤 온도에서든 1차 입자(예를 들어 원자 또는 분자)는 정지하지 않고 평균 위치에 대해 진동한다.절연체에서 고체의 열 에너지 저장 용량은 거의 전적으로 이러한 진동에 기인합니다.입자가 진동하는 주파수를 알면 고체의 많은 물리적 특성(탄성 계수 등)을 예측할 수 있다.(아인슈타인에 의한) 가장 간단한 가정은 모든 입자가 동일한 고유 주파수 θ로 평균 위치에서 진동한다는 것이다.이는 모든 원자가 주파수 θ로 독립적으로 진동한다는 가정과 같다.아인슈타인은 또한 이러한 진동에서 허용되는 에너지 상태가 고조파, 즉 hµ의 정수배수라고 가정했다.파형의 스펙트럼은 사인파 밀도 변동(또는 열포논)의 푸리에 시리즈를 사용하여 수학적으로 설명할 수 있습니다.

이후 Debye는 각 발진기가 항상 인접한 발진기와 밀접하게 결합되어 있음을 인식했습니다.따라서, 아인슈타인의 동일한 결합되지 않은 발진기를 같은 수의 결합 발진기로 대체함으로써, 데바이는 1차원 고체의 탄성 진동을 늘어뜨린 끈의 수학적으로 특별한 진동 모드의 수와 연관시켰다(그림 참조).최저 피치 또는 주파수의 순수한 톤을 기본이라고 하고, 그 주파수의 배수를 조화적 톤이라고 합니다.그는 발진기 중 하나에 고체 블록 전체의 기본 진동 주파수를 할당했다.그는 나머지 발진기에 그 기본의 고조파의 주파수를 할당했고, 이 모든 주파수 중 가장 높은 주파수는 가장 작은 1차 장치의 움직임에 의해 제한되었습니다.

결정의 정상적인 진동 모드는 일반적으로 많은 음의 중첩이며, 각각 적절한 진폭과 위상을 가집니다.긴 파장(저주파)의 포논은 정확히 소리의 이론에서 고려되는 음향 진동입니다.종파와 횡파 모두 고체를 통해 전파될 수 있지만 일반적으로 유체에 의해 지지되는 것은 종파뿐입니다.

세로 모드에서는 평형 위치에서 입자의 변위가 파동의 전파 방향과 일치한다.기계적 세로파는 압축파라고도 불립니다.가로 모드의 경우 개별 입자가 파동의 전파에 대해 수직으로 움직입니다.

양자이론에 따르면 고유주파수 θ를 갖는 결정성 고체의 정상진동모드의 평균에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle E(\nu)=param frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$

용어 (1/2)h repres는 "제로점 에너지" 즉, 발진기가 절대 0에서 갖게 되는 에너지를 나타냅니다.E(δ)는 고온에서 고전적인 값 kT를 갖는 경향이 있습니다.

$\displaystyle E(\nu)=kT\left [1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu}}{k)T}}\오른쪽)^{2}+O\left({\frac {h\nu}}{kT}}\right)^{4}+\cdots\right]}$

열역학적 공식을 알면

${\displaystyle\frac{\partial E}}\right}_{N,V}=frac {1}{T}}}$

정상 모드당 엔트로피는 다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{d}T}}E\left(\nu\right){\frac {dT}{T}}\[10pt]&=paramfrac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu}}{k}T}}\right)\end {aligned}}$

자유 에너지는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(\nu)=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu}}{kT}}}\right)}$

kT > > h , 에서는, 다음의 경향이 있습니다.

$\displaystyle F(\nu)=kT\log \left({\frac {h\nu }{k})T}}\right)}$

내부 에너지와 비열을 계산하기 위해서는 θ와 θ + dθ 사이의 주파수의 정상 진동 모드 수를 알아야 합니다.이 숫자를 f(')d'로 합니다.통상 모드의 총수는 3N이므로 함수 f())는 다음과 같이 표시됩니다.

$\displaystyle \int f(\nu),d\nu = 3N}$

통합은 결정의 모든 주파수에 대해 수행됩니다.그러면 내부 에너지 U는 다음과 같이 공급됩니다.

$\displaystyle U=\int f(\nu)E(\nu),d\nu }$

양자역학에서

양자역학에서 시스템의 상태 $(\displaystyle$$\psi\$$rangle)$는 슈뢰딩거 방정식을 푸는 파동함수${\displaystyle \delta }$($x,$ $)$로 기술된다.절대값 ${\$의 제곱$(\displaystyle$ \psi$).$

${\displaystyle\P(x,t)=\psi(x,t)^{2}}$

시간 t에서 x 위치에 있는 입자를 측정하기 위한 확률 밀도입니다.

일반적으로, 어떤 전위를 수반할 때, 파동 함수는 에너지 고유 상태의 중첩으로 분해되며, 각각은 $\delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $E$ /$$ { $displaystyle$\ =$E_{n}/\hbar$의 주파수로 진동합니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle \psi (t)\rangle =\sum _{n}n\rangle \left\rangle n \psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }$

고유 상태는 직교 정규 기준보다 더 큰 물리적 의미를 가집니다.시스템의 에너지가 측정되면 파동 함수는 고유 상태 중 하나로 축소되므로 입자 파동 함수는 측정된 에너지에 대응하는 순수한 고유 상태로 설명됩니다.

지진학에서는

지구에서는 큰 지진에 의한 장파장 지진파가 간섭하여 정상파를 형성하고 있습니다.

탄성, 등방성, 균질 구면, 구상, 트로이덜 및 방사형(또는 호흡) 모드가 발생합니다.구형 모드는 P 및 SV 파형(Rayleigh 파형과 같은)만을 포함하며 오버톤 수 n과 각도 순서 l에 의존하지만 방위 순서 m의 축퇴성을 가진다.l을 증가시키면 기본 분지가 표면에 더 가까이 집중되며, 일반적으로 l은 레일리파가 되는 경향이 있습니다.트로이덜 모드는 SH 파형(Love 파형과 같은)만 포함하며 유체 외부 코어에는 존재하지 않습니다.방사형 모드는 l=0인 구상 모드의 하위 집합일 뿐입니다.축퇴는 회전, 타원성, 3D 이질적인 속도와 밀도 구조에 의해 파괴되기 때문에 지구에 존재하지 않는다.

각 모드를 분리할 수 있고 자가 결합 근사 또는 주파수 공진에서 가까운 많은 모드들이 교차 결합 근사인 것으로 가정할 수 있습니다.자가 결합은 위상 속도만 변화시키고 큰 원 주위의 파동 수는 변화하지 않으므로 정재파 패턴이 늘어나거나 축소됩니다.모달 교차 결합은 지구의 자전, 비구면 탄성 구조 또는 지구의 타원성으로 인해 발생하며 기본 구상 및 트로이덜 모드의 혼합으로 이어집니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 반공진
• 임계 속도
• 고조파 발진기
• 고조파 계열(음악)
• 적외선 분광법
• 리키 모드
• 기계적 공명
• 모달 분석
• 모드(전자파)
• 준정규 모드
• 스투름-리우빌 이론
• 비틀림 진동
• 원형막의 진동

원천

• Blevins, Robert D. (2001). Formulas for natural frequency and mode shape (Reprint ed.). Malabar, Florida: Krieger Pub. ISBN 978-1575241845.
• Tzou, H.S.; Bergman, L.A., eds. (2008). Dynamics and Control of Distributed Systems. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521033749.
• Shearer, Peter M. (2009). Introduction to seismology (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 231–237. ISBN 9780521882101.

외부 링크

• 일반 모드에 대한 하버드 강의 노트