암묵적 함수 정리

수학에서, 특히 다변량 미적분학에서, 암묵적 함수 정리는^[a] 여러 실제 변수의 함수로 관계를 변환할 수 있는 도구다. 그것은 관계를 함수의 그래프로 나타냄으로써 그렇게 한다. 그래프가 전체 관계를 나타낼 수 있는 함수는 한 개도 없을 수 있지만, 관계 영역의 제한에 대해서는 그러한 함수가 있을 수 있다. 암묵적 함수 정리는 그러한 함수가 있다는 것을 확신할 수 있는 충분한 조건을 준다.

더 정확히 말하면, $m$ $방정식 i$ f $(x 1, ...,$ $x n,$ $y 1,$ $y m)$ = $0, i$ = 1, $...,$ $m$ (종종 F $(x,$ y) = $0$ 으로 약칭)의 시스템을 감안할 때, 정리는 한 점에서 부분파생상품( $yss i$ , $y$ )에 대한 온화한 조건 하에서 $m$ $변수 i$ y는 점의 일부 근방에서 $x$ 의_j 서로 다른 함수라고 기술하고 있다. 이러한 함수들은 일반적으로 폐쇄적인 형태로 표현할 수 없기 때문에 방정식에 의해 암묵적으로 정의되며, 이는 정리의 이름에 동기를 부여한다.^[1]

즉, 부분파생상품의 경미한 조건 하에서 방정식 시스템의 0 집합은 국소적으로 함수의 그래프가 된다.

역사

아우구스틴-루이 카우치(1789–1857)는 암묵적 함수 정리의 첫 번째 엄격한 형태를 인정받고 있다. 율리세 디니(1845–1918)는 암묵적 함수 정리의 실제 변수 버전을 임의의 수의 실제 변수의 함수의 맥락으로 일반화했다.^[2]

첫 번째 예

단위 원은 f

(x,

y)

=

함수

f (x,

y)

= x +

y

의²²

1

로 지정할 수 있다. 점 A 주변에서

y

는

함수

y

(x

)로 표현할 수 있다

.

이

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

에서 이 함수는 g

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

(

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

x

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

)

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

= 1

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

-

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

g_{1}(x)={\sqrt{1-x^{2}}:

로 명시적으로 쓸 수 있지만, 많은 경우

g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};

그러한 명시적인 표현은 존재하지 않지만, 암시적 함수

y (x

)를 여전히 참조할 수 있다

.

B 지점 주변에는 그러한 기능이 존재하지 않는다.

$함수 2$ $f (x,$ y $)$ = x + $y$ 를² 정의하면 $f (x,$ $y)$ = $1$ 등식이 수준 집합 ${(x,$ $y) f(x,$ $y)$ = 1 $}$ 인 단위 원을 잘라낸다. $하나$ 의 변수 y = $g (x)$ 함수의 그래프로 단위 원을 나타낼 수 있는 방법은 없다. x $\in(-1,$ 1)의 각 선택에 대해y의 두 가지 선택, 즉 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ ± $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ - $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ {\ $displaystyle \pm {\sqrt{1-x^{1-x$ ^{2 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

그러나 원의 일부를 하나의 변수의 함수 그래프로 나타낼 수 있다. $g$ 1 $($ $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ) = $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ - $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\$ $-1$ ≤ x ≤ $1$ 을 $g_1(x) = \sqrt{1-x^2}$ 허용하면 $y$ = $g 1 (x)$ 의 그래프가 원의 위쪽 절반을 제공한다. 마찬가지로 g $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ ) $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ = $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ - $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ - $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\$ $y$ = $g 2 (x)$ 의 그래프는 원의 아랫부분을 나타낸다.

암묵적 함수 정리의 목적은 명시적 공식을 적을 수 없는 상황에서도 $g 1 (x)$ 나 $g 2 (x$ )와 같은 함수의 존재를 우리에게 알리는 것이다. $그것$ 은₁g( $x)$ 와₂ g $(x)$ 가 서로 다를 수 있음을 보증하며, $f (x,$ $y$ )에 대한 공식이 없는 상황에서도 작동한다 $.$

정의들

$f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ : $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ + $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ → $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ m ${\$ f $:\mathb {R} ^{n+m}\to \mathb {R}{m}}$ 은(는) 지속적으로 다른 함수가 되도록 한다 $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ . We think of $\mathbb {R} ^{n+m}$ as the Cartesian product $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ and we write a point of this product as ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldo$ $ts ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ $}}$ 주어진 함수 f로부터 시작하여 $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ , 우리의 목표는 $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ g : $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ n → $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ m $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ {\ $displaystyle g:\mathb {R}$ ^{ $n}\to \m}}{m}}$ 을 구성하는 것이다. 그래프 $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ (x, g(x)는 정확히 f(x, y) = 0인 모든 (x, y)의 집합이다.

위에서 언급한 바와 같이, 이것이 항상 가능한 것은 아닐 수 있다. 따라서 f(a, b) = (a₁, ..., a_n, a, b₁, b_m) = 0을 만족하는 점을 수정하고, 해당 지점(a, b)에 근접한 g를 요청한다. In other words, we want an open set $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ containing a, an open set $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ containing b, and a function g : U → V such that the graph of g satisfies the relation f = 0 on U × V, and that no other points within U × V do so. 기호로는

\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.

함수의 암묵적 정리를 기술하기 위해서는 f의 부분파생상품의 행렬인 f의 자코비안 행렬이 필요하다. 아브브레비네이팅(a₁, ..., a_n, b₁, b_m)에서 (a, b), 야코비안 행렬은 (b)이다.

{\displaystyle(Df)(\mathbf{},\mathbf{b})=\left는 경우에는{\begin{행렬}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf{},\mathbf{b})&, \cdots &,{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf{},\mathbf{b})\\\vdots, \ddots &, \vdots \\{\frac{\partial f_{m}};\cdots &{\partial x_{1}}}(\mathbf{},\mathbf{b})& &,{\frac{\par.tial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a},\mathbf {b} )\end{nd}\오른쪽 \왼쪽.{\begin{행렬}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf{},\mathbf{b})&, \cdots &,{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf{},\mathbf{b})\\\vdots, \ddots &, \vdots}{\partial y_{1}\\{\frac{\partial f_{m}}};\cdots &,{\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf{를},\mathbf{b}(\mathbf{},\mathbf{b})& &.)\\\end{매트릭스}}\right]=[X Y]}

여기서 X는 변수 x의_i 부분파생상품 행렬이고 Y는 변수 y의_j 부분파생상품 행렬이다. 암묵적 함수 정리는 Y가 변위할 수 없는 행렬이라면 원하는 대로 U, V, g가 있다고 말한다. 모든 가설을 함께 쓰면 다음과 같은 진술이 나온다.

정리명세서

$f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ : $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ n $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ + m $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ → $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\$ f $:\mathb {R} ^{n+m}\to \mathb {R}{m}}$ 은(는) 지속적으로 다른 함수가 되도록 $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ 하고, $\mathbb {R} ^{n+m}$ + $\mathbb {R} ^{n+m}$ ${\$ 은(x, y)이 되도록 $\mathbb {R} ^{n+m}$ 한다. f(a, b) = (a₁, …, a_n, a, b₁, …, b_m)를 0으로 고정하십시오. 여기서 $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ R $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ ${\$ 은 $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ 0 벡터입니다. Jacobian 행렬(이것은 앞의 절에 나타난 Jacobian 행렬의 오른쪽 패널)의 경우:

J_{f,\mathbf {y}}}(\mathbf {a},\mathbf {b} )=\왼쪽[{\frac {\partial f_{i}{\j}}}}(\mathbf {a},\mathbf {b} )\right]

변환할 수 없는 경우, 연속적으로 서로 다른 고유한 함수가

g:U\to \mathbb {R} ^{m}

개방형 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$

U\subset \mathbb {R} ^{n}

U

g:U\to \mathbb {R} ^{m}

U\subset \mathbb {R} ^{n}

U\subset \mathbb {R} ^{n}

{\

displaystyle

U\subset

{

g:U\to \mathbb {R} ^{m}

}^n}

이(가

)

있다

.

U\to \mathbb {R} ^{m}}

such that

g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}

, and

f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U

.

게다가, g의 U의 일부를 파생 상품 매트릭스 제품별:[3]∂ g∂))−[Jf, 그건(x, g(x))]m×m− 1[∂ f∂)j(x, g(x))]m×1{\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_{j}}}(\mathbf{x})=-\left는 경우에는 J_{f,\mathbf{y}}(\mathbf{)},g(\math j())이 주어진다.남자 친구 ${x} )\오른쪽)_{m\m\m}^{-1}\왼쪽[{\frac {\f}{\flac {\f}{\mathbf {x},g(\mathbf {x} )\right]_{m\m\mpa1}$

상위파생상품

더욱이 f가 (a, b)의 근방에서 분석적이거나 지속적으로 다른 k 횟수를 갖는다면, U 내부의 g에 대해서도 동일한 것을 유지하기 위해 U를 선택할 수 있다. 분석 사례에서 이것을 분석적 암묵함수 정리라고 한다.

2D 케이스에 대한 증거

Suppose $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ is a continuously differentiable function defining a curve $F(\mathbf {r} )=F(x,y)=0$ . Let $(x_{0},y_{0})$ be a point on the curve. 위의 정리문은 다음과 같이 간단한 경우에 다시 쓸 수 있다.

정리 — if

왼쪽.{\frac {\partial F}{\partial y}}\오른쪽 _{(x_{0},y_{0}}}\neq 0}

그런 다음

(x_{0},y_{0})

(

(x_{0},y_{0})

(x_{0},y_{0})

,

(x_{0},y_{0})

(x_{0},y_{0})

)

(x_{0},y_{0}}

에

(x_0, y_0)

대해

y=f(x)

=

y=f(x)

(

y=f(x)

)

y=f(x)

라고 쓸 수 있다

y=f(x)

여기서

f

f

는 실제 함수다

f

.

증명. F는 구별이 가능하기 때문에 부분파생상품을 통해 F의 차등분을 작성한다.

{\daystyle \mathrm {d}F=\operatorname {grad}F\cdot \mathrm {d} ={\frac {\partial x}}}\mathrm {d}x+{\partial y}{\partial y}\mathrm {d}Y.}}}}

Since we are restricted to movement on the curve $\mathrm {d} F=0$ and by assumption ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ around the point $(x_{0},y_{0})$ (since ${\displaystyle {\tfrac {\partial F}{\pa$ $rtial y}}$ 은 $(x_{0},y_{0})$ 0 $(x_{0},y_{0})$ y $(x_{0},y_{0})$ ) ${\displaystyle (x_{0},y_{0}})$ 및 $(x_{0},y_{0})$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ ( $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ 0 $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ ) $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$ 0 ${\displaystyle \왼쪽$ )에서 연속된다 ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}$ $.$ ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\오른쪽$ _ ${(x_{0},y_{0}}}\neq 0}).$ 따라서 우리는 1차 일반 미분 방정식을 가지고 있다.

{\displaystyle \partial _{x}F\mathrm {d}x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0}=y_{0}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}}}})

이제 우리는 이 ODE에 대한 해결책을 그 지점 $(x_{0},y_{0})$ $(x_{0},y_{0})$ , $(x_{0},y_{0})$ $(x_{0},y_{0})$ $){\displaystyle (x_{0},y_{0}}}}$ 을(를) 중심으로 찾고 있는데, 이 지점의 $(x_{0},y_{0})$ 모든 지점에서 $\partial _{y}F\neq 0$ point $\partial _{y}F\neq 0$ $\partial _{y}F\neq 0$ $\partial _{y}F\neq 0$ $\partial _{y}F\neq 0$ ${\displaystyle \partial _{y}F\neq$ 0 $\partial _{y}F\neq 0$ 왜냐하면 F는 우리가 가지고 있는 가정과 지속적으로 다르기 때문이다.

\displaystyle \partial _{x}F <\partial _{y}F <\party,\partial _{y}F\neq 0.}

이를 통해 ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\$ x} $F}{\partial _{$ y}F}}}}}}}}이 ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ (가) 연속적이고 양 끝에 경계선이 있음을 알 수 있다. 여기서부터 우리는 - $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ x $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ ${\$ 이(가) x와 y 둘 다에서 Lipschitz 연속이라는 $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ 것을 안다. 따라서 Cauchy-Lipschitz 정리에 의해, 초기 조건과 함께 주어진 ODE에 대한 해결책인 고유한 y(x)가 존재한다. Q.E.D.

원의 예

유닛 서클의 예로 돌아가 보자. 이 경우 n = m = $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ 과 f $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ ( $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ , y $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ ) $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ = $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ 2 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ + $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ - 1 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ . 부분파생상품의 행렬은 다음과 같이 주어지는 1×2 행렬에 불과하다.

(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\bfrac {\partial f}{\partial x}}}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}={begin{bmatrix}a&bb\{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}ndatax}}}}}}}}}}}}}

따라서 여기서 정리문장의 $Y$ 는 숫자 $2b$ 에 불과하다; 그것에 의해 정의된 선형 지도는 $b$ ≠ $0$ 일 경우에만 변환이 가능하다. 암묵적 함수 정리에 의해 $우리$ 는 y ≠ $0$ 이 있는 모든 점에 대해 $y$ = $g (x)$ 형식으로 원형을 국소적으로 작성할 수 있음을 알 수 있다. $(\pm1, 0)$ 의 경우 앞에서 언급한 바와 같이 우리는 문제에 부딪친다. 묵시적 함수 $정리$ 는 $x=h(y)$ 를 $y$ , 즉 x $x=h(y)$ = h ( $x=h(y)$ ) $displaystyle x=h(y)}$ 의 함수로 써서 이 두 점에 여전히 적용될 수 있다 $x=h(y)$ 이제 함수의 그래프는 $\left(h(y),y\right)$ ( h ( y $\left(h(y),y\right)$ ) $\left(h(y),y\right)$ , $\left(h(y),y\right)$ ) ${\$ ), y $\right}$ 이 될 것이다 $\left(h(y),y\right)$ 여기서 $b$ = 0은 $a$ = $1$ 이고 $함수$ 를 t로 국소적으로 표현하기 위한 조건이다.그의 폼은 만족스럽다.

x에 관한 y의 암묵적 파생상품과 y에 관한 x의 암묵적 파생상품은 암묵적 함수 x $x^{2}+y^{2}-1$ + $x^{2}+y^{2}-1$ 2 $x^{2}+y^{2}-1$ - $x^{2}+y^{2}-1$ $x^{2}+y^{2}-1$ 를 완전히 구별하고 $x^2+y^2-1$ 0:00과 동일시함으로써 찾을 수 있다.

2x\,dx+2y\,dy=0,}

부여

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}}

그리고

{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.

용도: 좌표 변경

Suppose we have an $m$ -dimensional space, parametrised by a set of coordinates $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ . We can introduce a new coordinate system $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ by supplying m functions $h_{1}\ldots h_{m$ $}$ 각자는 $h_{1}\ldots h_{m}$ 계속 다를 수 있다. These functions allow us to calculate the new coordinates $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ of a point, given the point's old coordinates $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ using $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ . One might want to verify if the opposite is possible: given coordinates $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ , can we 'go back' and calculate the same point's original coordinates $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ) ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m$ 암묵적 함수 정리는 이 질문에 대한 답을 제공할 것이다. (신규 및 구) 좌표 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ , $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ … $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ , $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ m $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ , $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ , $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ ) ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m},\ldots ,x_$ {1}, \ldots , $x_{m}}}}}}}$ 은 $(x'_1,\ldots,x'_m, x_1,\ldots,x_m)$ (와)와 f = 0과(와 관련이 있다.

f(x'_{1},\ldots,x_{m},\ldots,x_{m}}=(h_{1},\ldots,x_{m})-x'{1},\ldots, h_{m}(x_{1},\ldots,x_{m}).

이제

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

지점(a, b) [ a =

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

( x

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

matrix , …

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

, x

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

)

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

,

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

=

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

(

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

… ,

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

m

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

)

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}), b=(x_{1},\ldots,x_{m}}}}

]

a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})

가 주어진다.

{\displaystyle(Df)(a,b)=\left는 경우에는{\begin{행렬}-1&, \cdots, 0\\\vdots &, \ddots &, \vdots \\0&, \cdots &, -1\end{매트릭스}}\left{\begin{행렬}{\frac{\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&, \cdots &,{\frac{\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &, \ddots &, \vdots}{\partial x_{1}}}(b)& \\{\frac{\partial h_{m}, \cdots &a &.융점,{\frac{\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{{118}\오른쪽.\right]=[-I_{m}J].}

여기서 나는_m m × midentity 행렬을

나타내며

, J는 (a, b)에서 평가한

부분파생물

의 m ×

m

행렬이다.(위에서는 이러한 블록들이 X와 Y로 표시되었다. 이 정리의 특정한 적용에서는 어느 행렬도 a에 의존하지 않는다.) 암묵적 함수 정리에서는 J가 변절불능일 경우

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

(x_{1},\ldots ,x_{m})

(

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

(x_{1},\ldots ,x_{m})

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

,

(x_{1},\ldots ,x_{m})

… ,

(x_{1},\ldots ,x_{m})

x

(x_{1},\ldots ,x_{m})

)의 함수로써

(x_1,\ldots,x_m)

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

(

x1

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

,

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

,x_{m

(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

{\

displaystyle (x'_{1},\ldots ,x_{m})}

의

(x_{1},\ldots ,x_{m})

함수로 로컬로 표현할 수 있다고 지금 명시하고 있다. 요구 J가 변위할 수 없다는 것은 det J ≠ 0에 해당하므로, Jacobian J의 결정요소가 0이 아니면 원점 좌표에서 원점 좌표로 돌아갈 수 있다는 것을 알 수 있다. 이 진술은 역함수 정리라고도 한다.

예제: 극좌표

위의 간단한 적용으로 극좌표 $(R,$ $θ)$ 에 의해 매개변수화된 평면을 고려한다. 함수 $x (R,$ $θ)$ = R $cos(θ),$ $y (R,$ $θ)$ = $R$ $sin(()$ 을 정의함으로써 새로운 좌표계( $카르트$ 좌표)로 갈 수 있다. 이것은 해당하는 데카르트 좌표 $(x,$ $y$ )를 찾을 수 있는 $임의$ 의 지점 $(R$ , θ $)$ 을 지정할 수 있게 한다 $.$ 언제 돌아가서 데카르트 좌표를 극좌표로 변환할 수 있을까? 앞의 예에 의해, $det$ $J$ ≠ $0$ 을 갖는 것으로 충분하다.

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.

det

J

=

R

이기 때문에

R

≠

0

이면 극좌표로의 복귀가 가능하므로 케이스

R

= 0을

확인

하는 것이 남아 있다.

R

=

0

인 경우에 우리의 좌표 변환은 되돌릴 수 없는 것이 아님을 쉽게 알 수 있다: 원점에서 θ의 값이 잘 정의되어 있지 않다.

일반화

바나흐 스페이스 버전

바나흐 공간의 역함수 정리에 기초해, 암묵적 함수 정리를 바나흐 공간 가치의 매핑까지 확장할 수 있다.^[5]^[6]

X, Y, Z를 바나흐 공간이 되게 하라. 맵핑 $f$ : $X$ × $Y$ → $Z$ 가 계속 다를 수 있도록 한다. 만약(x0, y0)∈ X×Y{\displaystyle(x_{0}일 경우 ,y_{0})\in X\times Y}, f(x0, y0)=0{\displaystyle f(x_{0}일 경우 ,y_{0})=0}및 Y에서 Z에 y↦ Df(x0, y0)(0, y){\displaystyle y\mapsto Df(x_{0}일 경우 ,y_{0})(0,y)}은 바나흐 공간 동형 이성 다음 neighbourhoods Ux0의 와 Vy0이 존재한다. and f(x, g(x)) = 0 및 f(x, y) = 0인 경우에만 0인 F(x, g) = 0인 F(x, y) = 0인 모든 $(x,y)\in U\times V$ , $(x,y)\in U\times V$ ) $(x,y)\in U\times V$ $(x,y)\in U\times V$ $(x,y)\in U\times V$ ${\displaystyle (x,y)\in$ U $\times$ V $(x,y)\in U\times V$

구별할 수 없는 함수의 암시적 함수

함수 f가 다를 수 없는 경우를 위해 다양한 형태의 암묵적 함수 정리가 존재한다. 국소적으로 엄격한 단조로움이 한 차원만 만족하는 것은 표준이다.^[7] 다음과 같은 보다 일반적인 형태는 지톤트룸의 관찰에 근거하여 쿠마가이에 의해 증명되었다.^[8]^[9]

Consider a continuous function $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ such that $f(x_{0},y_{0})=0$ . There exist open neighbourhoods $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ and $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ 각각 x와₀ y의 $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ ₀ {m}{m $}$ x와 $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ 의 ${\displaystyle$ $B$ $\subset \mathb {R$ $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ $^{$ m}, $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ 즉 B의 모든 y에 $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ → $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ f $(\cdot;y):$ , 만약 공개적인 이웃 A0⊂ Rn{\displaystyle A_{0}\subset \mathbb(^{n}}와 B0⊂ Rm{\displaystyle B_{0}\subset \mathbb x0과 y0의(^{m}}, 모든 y에 대한, ∈ B0{\displaystyley\in B_{0}}, 그 방정식 f(), y)=존재하 A\to \mathbb{R}^{n}}현지에서 일대일이다. 0 독특한 해결책을 가지고 있다.

x=g(y)\in A_{0}

여기서 g는 B에서₀ A로₀ 이어지는 연속 함수다.

참고 항목

역함수 정리
상수 순위 정리: 암묵적 함수 정리나 역함수 정리 모두 상수 순위 정리의 특수한 경우라고 볼 수 있다.

메모들

^ 이탈리아에서는 피산학파에 의해 디니의 정리라고도 한다. 영문학에서 디니의 정리는 수학적 분석에서 다른 정리다.

참조

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 204–206. ISBN 0-07-010813-7.
^ Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). The Implicit Function Theorem. Modern Birkhauser Classics. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.
^ de Oliveira, Oswaldo (2013). "The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs". Real Anal. Exchange. 39 (1): 214–216. doi:10.14321/realanalexch.39.1.0207. S2CID 118792515.
^ Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. p. 34. ISBN 9780387953953.
^ Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. pp. 15–21. ISBN 0-387-98593-X.
^ Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. pp. 417–418. ISBN 0-486-68336-2.
^ Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Implicit function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
^ Jittorntrum, K. (1978). "An Implicit Function Theorem". Journal of Optimization Theory and Applications. 25 (4): 575–577. doi:10.1007/BF00933522. S2CID 121647783.
^ Kumagai, S. (1980). "An implicit function theorem: Comment". Journal of Optimization Theory and Applications. 31 (2): 285–288. doi:10.1007/BF00934117. S2CID 119867925.

추가 읽기

Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1990). Advanced Calculus (Revised ed.). Boston: Jones and Bartlett. pp. 164–171. ISBN 0-86720-122-3.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Implicit Function Theorems. Jacobians". Intermediate Calculus (2nd ed.). New York: Springer. pp. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.

[1] 이탈리아에서는 피산학파에 의해 디니의 정리라고도 한다. 영문학에서 디니의 정리는 수학적 분석에서 다른 정리다.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 204–206. ISBN 0-07-010813-7.

[3] Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). The Implicit Function Theorem. Modern Birkhauser Classics. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.

[4] Oliveira, Oswaldo (2013). "The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs". Real Anal. Exchange. 39 (1): 214–216. doi:10.14321/realanalexch.39.1.0207. S2CID 118792515.

[5] Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. p. 34. ISBN 9780387953953.

[6] Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. pp. 15–21. ISBN 0-387-98593-X.

[7] Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. pp. 417–418. ISBN 0-486-68336-2.

[8] Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Implicit function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[9] Jittorntrum, K. (1978). "An Implicit Function Theorem". Journal of Optimization Theory and Applications. 25 (4): 575–577. doi:10.1007/BF00933522. S2CID 121647783.

[10] Kumagai, S. (1980). "An implicit function theorem: Comment". Journal of Optimization Theory and Applications. 31 (2): 285–288. doi:10.1007/BF00934117. S2CID 119867925.

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