전단 매핑

Shear mapping
Mesh Shear 5/4
계수 m = 1.25를 갖는 평면의 수평 피복으로, 직사각형 그리드에 대한 효과(녹색)와 일부 그림(파란색)으로 설명된다.검은 점이 원조다.

평면 기하학에서, 전단 매핑은 각 점을 고정된 방향으로, 그 방향에 평행하고 원점을 통과하는 선으로부터 그것의 서명된 거리에 비례하는 양만큼 치환하는 선형 맵이다.[1]이러한 유형의 매핑을 전단 변환, 전이 또는 그냥 깎기라고도 한다.

예를 들어 좌표, y) (을(를) 사용하여 점+ , y) 을(를) 가리키는 매핑이 있다. 이 경우 변위는 고정선이 -축이고 서명 거리는 인 2의 인수에 의해 수평이다조정하다기준선의 반대편에 있는 점은 반대 방향으로 이동한다는 점에 유의하십시오.

전단 매핑은 회전과 혼동해서는 안 된다.면의 점 세트에 전단 지도를 적용하면 그 사이의 모든 각도(직각 제외)와 변위 방향에 평행하지 않은 모든 선 세그먼트의 길이가 변경된다.따라서 그것은 대개 기하학적 도형의 형태를 왜곡하게 되는데, 예를 들어 정사각형을 비제곱 평행사변형으로 만들고 을 타원으로 만드는 것이다.단, 피복은 기하학적 도형의 면적선형의 선형 및 상대적인 거리를 보존한다.전단 매핑은 직립 문자기울어진 문자(또는 기울어진 문자) 스타일 사이의 주요 차이점이다.

유체 역학에서 전단 매핑은 상대 운동에서 평행 판 사이의 유체 흐름을 나타낸다.

3차원 기하학에서는 고정면으로부터 거리를 측정하는 것을 제외하고는 동일한 정의가 사용된다.입체 피복 변환은 솔리드 피규어의 체적을 보존하지만 평면 피규어의 영역(변위와 평행한 영역은 제외)을 변경한다.이 변환은 플레이트 사이의 액체의 층류 흐름을 설명하는 데 사용되며, 하나는 평면에서 위로 이동하며 첫 번째 평면과 평행하게 움직인다.

일반 -차원 데카르트 공간 ^{에서 변위 방향에 평행인 고정 하이퍼플레인에서 거리를 측정한다 기하학적 변환은 선형 변환이다.

정의

평면의 수평 및 수직 전단

SVG로 코딩된 전단 매핑을 통해
직사각형평행이 되다

In the plane , a horizontal shear (or shear parallel to the x axis) is a function that takes a generic point with coordinates to the point ; where 고정된 매개변수로, 전단 계수라고 한다.

이 매핑의 효과는 점을 y 좌표에 비례하는 양만큼 수평으로 대체하는 것이다. -축 위의 모든 m >0 {\인 경우 오른쪽으로 m < {\인 경우 왼쪽으로 이동하며 지점은 고정되어 있다.

축에 평행한 직선은 유지되며 다른 모든 선은 다양한 각도로x {\ x -축을 가로지르는 지점에 대해 회전한다.특히 수직선은 / m 과 함께 경사선이 된다 따라서 전단계수 {\ 수직선이 기울어지는 각도 {\}의 등각선이다.

점의 좌표가 컬럼 벡터(2×1 행렬)로 작성된 경우, 전단 매핑은 2×2 행렬에 의한 곱셈으로 작성할 수 있다.

y의 역할이 스왑된다는 점을 제외하고 선의 수직 전단( y 축에 평행한 전단)은 유사하다.이는 좌표 벡터에 전치 행렬을 곱한 것에 해당한다.

수직 전단 변위는 기호에 따라 y y 오른쪽을 가리킨다 수직 선은 불변하게 유지되지만 다른 모두 y {\ -축과 만나는 지점에 대해 기울인다.특히 수평 선은 전단 각도 에 의해 기울어져 경사 이(가) 있는 선이 된다

일반 전단 매핑

벡터 공간 V와 하위 공간 W의 경우, 전단 고정 W는 모든 벡터를 W에 평행한 방향으로 변환한다.

좀 더 정확히 말하면, 만약 VW와 W의 직접적인 합이라면, 우리는 벡터를 다음과 같이 쓴다.

v = w + w′

이에 따라 일반적인 전단 L 고정 W는

L(v) = (Lw + Lw′) = (w + Mw′) + w′,

여기서 MW′에서 W로의 선형 매핑이다.따라서 블럭 행렬에서 L은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

적용들

다음과 같은 전단 매핑 적용은 윌리엄 킹돈 클리퍼드에 의해 주목되었다.

"시어들이 계속되면 직선으로 둘러싸인 어떤 수치도 동일한 면적의 삼각형으로 줄일 수 있을 것이다."
"… 우리는 어떤 삼각형이라도 직각 삼각형으로 찢을 수 있다. 그리고 이것은 그 면적을 바꾸지 않을 것이다.따라서 어떤 삼각형의 영역도 동일한 베이스에 있는 직사각형의 절반 면적이 되며 높이가 반대 각도에서 베이스에 수직인 것과 같다."[2]

전단 매핑의 면적 보존 특성은 면적을 포함하는 결과에 사용할 수 있다.예를 들어, 피타고라스 정리관련된 기하 평균 정리뿐만 아니라 전단 매핑으로[3] 설명되었다.

Alan W. Paeth에 기인하는 알고리즘은 세 개의 전단 매핑(수평, 수직, 다시 수평) 시퀀스를 사용하여 임의 각도로 디지털 이미지를 회전시킨다.알고리즘은 각 단계가 한 번에 한 열 또는 한 행의 픽셀만 처리하기 때문에 구현이 매우 간단하고 매우 효율적이다.[4]

타이포그래피에서 전단 매핑에 의해 변환된 일반 텍스트는 사선형으로 나타난다.

아인슈타인 이전의 갈릴레이 상대성에서 기준 프레임 사이의 변환은 갈릴레이 변환이라고 불리는 전단 매핑이다.이러한 것들은 "선호" 프레임에 상대적인 이동 기준 프레임을 설명할 때도 가끔 나타나며, 때로는 절대 시간공간이라고도 한다.

참고 항목

참조

  1. ^ Weisstein, Eric W에 따른 정의.MathWorld의 전단 - Wolfram Web Resource
  2. ^ 윌리엄 킹돈 클리퍼드(1885) 상식정확한 과학, 113페이지
  3. ^ Hohenwarter, 전단 매핑에 의한 M 피타고라스 정리; GeoGebra를 사용하여 만들어졌다.슬라이더를 끌어서 시어를 관찰하십시오.
  4. ^ Alan Paeth (1986), 일반 래스터 회전을 위한 고속 알고리즘.그래픽 인터페이스의 절차 '86, 77-81페이지.