모듈의 직접 합계

추상 대수학에서 직접 합은 여러 모듈을 새로운 큰 모듈로 결합한 구조다.모듈의 직접 합계는 "불필요한" 제약조건이 없는 하위 모듈로서 주어진 모듈을 포함하고 있는 가장 작은 모듈로서, 이 모듈들은 공동 제작의 예가 된다.이중 개념인 직접 제품과 대조된다.null

이 구성의 가장 친숙한 예는 벡터 공간(필드 위의 모듈)과 아벨리아 그룹(정수의 링 Z 위의 모듈)을 고려할 때 발생한다.이 공사는 바나흐 공간과 힐버트 공간을 커버하기 위해 확장될 수도 있다.null

벡터 공간 및 아벨 그룹 구축

우리는 이 두 가지 경우에 우리가 단지 두 가지 물건만을 가지고 있다는 가정 하에 먼저 공사를 맡긴다.그런 다음 임의의 모듈로 구성된 임의의 제품군을 일반화한다.일반건설의 핵심요소는 이 두 가지 사례를 심층적으로 고려함으로써 더욱 명확하게 파악된다.null

두 벡터 공간의 구성

V와 W가 K 필드 위의 벡터 공간이라고 가정합시다.데카르트 제품 V × W는 연산 구성요소를 다음과 같이 정의함으로써 K(Halmos 1974, §18) 위에 벡터 공간의 구조를 부여할 수 있다.null

• (v₁, w₁) + (v₂, w₂) = (v₁ + v₂, w₁ + w₂)
• α(v, w) = (α v, α w)

v, v₁, v₂ ∈ V, w, w₁, w, w w₂ W, α ∈ K의 경우.

결과 벡터 공간은 V와 W의 직접 합이라고 하며 보통 원 안에 있는 플러스 기호로 표시된다.

순서 합계의 요소는 순서 쌍(v, w)이 아니라 합계 v + w로 작성하는 것이 관례다.

V ∆ W의 하위 공간 V × {0}은 V와 이형성이며 종종 V와 동일하다. 마찬가지로 {0} × W와 W(아래 내부 직접 합 참조).이 식별을 통해 V w W의 모든 요소는 V의 원소와 W의 원소의 합으로 한 가지 방법으로만 쓸 수 있다.V ⊕ W의 치수는 V와 W의 치수의 합계와 같다.한 가지 기본적인 용도는 모든 아공간 W와 그 직교 보완물로부터 유한 벡터 공간을 재구성하는 것이다.

이 구조는 한정된 수의 벡터 공간으로 쉽게 일반화된다.null

두 아벨 그룹 건설

부가적으로 쓰여진 아벨 그룹 G와 H의 경우 G와 H의 직접 산출물을 직접 합계(Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)라고도 한다.따라서 카르테시안 제품 G × H는 운영 구성요소를 다음과 같이 정의함으로써 아벨리아 그룹의 구조를 갖추고 있다.null

(g₁, h₁) + (g₂, h₂) = (g₁ + g₂, h₁ + h₂)

g₁, g₂, h₁, h₂, h의 경우.

적분 배수는 다음과 같이 구성 요소별로 유사하게 정의된다.

n(g, h) = (ng, nh)

g in G, h in H 및 n 정수의 경우.이것은 벡터 공간의 스칼라 생산물의 확장을 위의 직접 합에 평행하게 한다.null

결과 아벨리아 그룹은 G와 H의 직접 합이라고 불리며 보통 원 안에 있는 플러스 기호로 표시된다.

순서 합계의 요소는 순서 쌍(g, h)이 아니라 합계 g + h로 작성하는 것이 관례다.

G ⊕ H의 부분군 G × {0}은 G와 이형성이며, 흔히 G로 식별된다. 마찬가지로 {0} × H와 H. (아래 내부 직접합계를 참조)이 식별을 통해 G h H의 모든 요소는 G의 원소와 H의 원소의 합으로 단 한 가지 방법으로만 쓰여질 수 있는 것이 사실이다.G ⊕ H의 등급은 G와 H의 등급 합계와 같다.

이 건축물은 한정된 수의 아벨리아 집단을 쉽게 일반화한다.null

임의 모듈 제품군을 위한 구성

두 벡터 공간의 직접 합과 두 아벨리안 집단의 정의 사이에 분명한 유사성을 주목해야 한다.사실 각각은 두 모듈의 직접 합계를 구축한 특수한 경우다.또한 정의를 수정함으로써 무한대의 모듈 계열의 직접적인 합을 수용할 수 있다.정확한 정의는 다음과 같다(Bourbaki 1989, §II.1.6).null

R을 링이 되게 하고, {M_i : i } I} 세트 I에 의해 색인화된 왼쪽 R-모듈의 패밀리.The direct sum of {M_i} is then defined to be the set of all sequences ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ where ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ and ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ for cofinitely many indices i. (The direct product is analogous but the indices do not need to cofinitely v아니쉬의)

또한 모든 I ∈ I에 대해 α(i) ∈ M_i, 그리고 동시에 많은 지수 i에 대해 α(i) = 0으로 모듈 M의_i 분리 결합에 대한 함수 α로 정의할 수 있다.이러한 기능은 지수 집합 ${\displaystyle I}$에 걸쳐 섬유 번들의 미세하게 지원되는 섹션으로 간주할 수 있으며, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \}}$ I ${\displaystyle i\in$ I$}$에 대한 섬유는 ${\displaystyle {Mi}_{}}$ ${\$이다$.$

이 세트는 구성 요소별 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해 모듈 구조를 계승한다.Explicitly, two such sequences (or functions) α and β can be added by writing ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$ for all i (note that this is again zero for all but finitely many indices), and such a function can be multiplied with an element r from R by defining ${\displaystyle r(\alpha {)}_i}$${\displaystyle {}_{}=}$ (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 모든 i에$$ 대해.이렇게 해서 직접 합은 좌 R-모듈이 되고, 이를 가리킨다.

It is customary to write the sequence ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ as a sum ${\displaystyle \Sigma \alpha _{i}}$. Sometimes a primed summation ${\displaystyle \Sigma '\alpha _{i}}$ is used to indicate that cofinitely many of the terms are zero.null

특성.

• 직접 합계는 모듈 M의_i 직접 생산물(Bourbaki 1989, §II.1.7)의 하위 집합이다.직접 생산물은 α_i(i)∈M과_i 모듈 M의 분리 결합까지 모든 기능 α의 집합이지만, 모든 기능 α(i)∈M을 제외하고 모두 소멸되는 것은 아니다.지수 세트 I이 유한하면, 직접 합과 직접 산출물은 동일하다.
• 각 모듈_i M은 i와 다른 모든 지수에서 소멸되는 함수로 구성된 직접 합계의 하위 모듈로 식별할 수 있다.이러한 식별을 통해, 직접 합계의 모든 요소 x는 모듈_i M으로부터 미세하게 많은 요소들의 합으로 한 가지 방법으로만 기록될 수 있다.
• M이_i 실제로 벡터 공간인 경우, 직접 합계의 치수는 M 치수의_i 합과 같다.아벨 그룹의 순위나 모듈의 길이도 마찬가지다.
• 필드 K의 모든 벡터 공간은 K의 복사본이 충분히 많은 직접 합에 이형성이므로 어떤 의미에서는 이러한 직접 합만 고려해야 한다.임의의 링을 초과하는 모듈에는 해당되지 않는다.
• 텐서 제품은 다음과 같은 의미로 직접 합에 걸쳐 분포한다:N이 어떤 올바른 R-모듈이라면, N의_i 텐서 제품(아벨 그룹)과 M의 직접_i 합과 함께 N의 텐서 제품에 대한 직접 합은 자연적으로 이형성이 있다.
• 직접 합계는 (이소모르프까지) 교감적이고 연상적인 것으로, 어떤 순서가 직접 합을 형성하는지는 중요하지 않다는 것을 의미한다.
• 직접 합에서 일부 좌측 R-모듈 L까지 R-선형 동형성의 아벨 그룹들은 자연적으로_i M에서 L까지 R-선형 동형성의 아벨 그룹들의 직접적인 산물에 이형성이 있다.
  $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\bigoplus _{i}}L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\좌(M_{i}}L\ri}오른쪽).}$$

  
  실제로 왼손에서 오른손까지 호모포피즘이 분명히 있는데, 여기서 ism(τ)(i)는 x∈M을_i x(x)로 보내는 R선형 호모포리즘이다(M의_i 자연적 합을 직접 합에 사용).동형상 τ의 역행은 다음과 같이 정의된다.
  $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta(i)(\alpha(i))}$$

  
  모듈 M의_i 직접 합계에 있는 α에 대하여.핵심은 α⁻¹(i)가 미세하게 많은 i를 제외한 모든 i에 대해 0이기 때문에 합이 유한하기 때문에 τ의 정의가 타당하다는 것이다.
  특히 벡터 공간의 직접 합계의 이중 벡터 공간은 그러한 공간의 이중의 직접 생산물에 대해 이형성이 있다.
• 모듈의 유한한 직접 합은 2중 유도(biproduct이다.만약
  $${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus \oplus A_{n}\to A_{k}}}}$$

  
  표준 투영 매핑 및
  $${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$

  
  포함 매핑,
  $${\displaystyle i_{1}\pair p_{1}+\cdots +i_{n}\pair p_{n}}}$$

  
  A₁ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ of_n A의 신분 형태론과 동일하며,
  $${\displaystyle p_{k}\properties i_{l}}$$

  
  사례 l = k에서 A의_k 정체성 형태론이며, 그렇지 않으면 제로맵이다.

내부직접합계

M이 어떤 R-모듈이고, M이_i I의 모든 I에 대한 M의 하위모듈이라고 가정하자.만일 M의 모든 x가 M의_i 미세하게 많은 원소의 합으로 한 가지 방법으로만 쓰여질 수 있다면, 우리는 M이 하위조항 M의_i 내부 직접 합이라고 말한다(Halmos 1974, §18).이 경우 M은 위에서 정의한 M의_i (외부) 직접합에 대해 자연적으로 이형성이 있다(Adamson 1972, p.61).null

M의 하위모듈 N은 M의 다른 하위모듈 N′이 존재하여 M이 N과 N의 내부 직접합인 경우 M의 직접합계다.이 경우 N과 N은 상호보완적인 하위조종이다.null

보편적 재산

범주 이론의 언어에서 직접 합은 합성이며, 따라서 좌 R-모듈의 범주에 있는 콜리밋으로, 다음과 같은 보편적 속성으로 특징지어진다.내 안에 있는 모든 사람들을 위해, 자연적인 임베딩이

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\오른쪽 화살표 \bigoplus _{i\in I}M_{i}}}}$

I를 제외한 모든 인수에 대해 0인 함수에 M의_i 요소를 보낸다.f_i : M_i → M이 모든 i에 대한 임의의 R-선형 지도라면, 정확히 하나의 R-선형 지도가 존재한다.

${\displaystyle f:\bigoplus _{i}{i}\오른쪽 화살표 M}$

그러한 f o_i j = f for_i all i.null

그로텐디크 군

직접 합은 물체의 추가가 정의되지만 뺄셈이 아니라는 점에서, 물체의 집합에 공통 단모형의 구조를 제공한다.사실, 뺄셈은 정의될 수 있고, 모든 역행성 모노이드들은 아벨 그룹까지 확장될 수 있다.이 확장자는 그로텐디크 그룹으로 알려져 있다.확장은 개체 쌍의 동등성 클래스를 정의하여 수행되며, 이를 통해 특정 쌍을 반대로 취급할 수 있다.그로텐디크 그룹에 관한 기사에서 상세히 기술된 이 건축물은 아벨리아 그룹에 공통적인 모노이드를 내장한 다른 어떤 것에 대해서도 고유하고 동형성이 있다는 점에서 "범용적"이다.null

추가 구조가 있는 모듈의 직접 합계

만약 우리가 고려하고 있는 모듈들이 어떤 추가적인 구조(예: 표준 또는 내부 제품)를 가지고 있다면, 모듈들의 직접적인 합은 종종 이 추가 구조물을 운반하도록 만들어질 수 있다.이 경우, 우리는 추가 구조물을 운반하는 모든 물체의 적절한 범주에서 결합재를 얻는다.Banach 공간과 Hilbert 공간에 대해 두 가지 두드러진 예가 발생한다.null

일부 고전 문헌에서는 알헤브라의 밭 위에 직접 합이 있다는 개념도 소개된다.그러나 이 구조는 알헤브라의 범주에 있는 결합재를 제공하는 것이 아니라 직접 생산물을 제공한다(아래 주석과 직접 반지의 양에 대한 언급 참조).null

알헤브라의 직접합

알헤브라스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 직접 합은 벡터 공간으로서의 직접 합이며, 제품은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2}=(x_{1}x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

다음과 같은 고전적인 예를 들어보자.

${\displaystyle \mathbf{R}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$은$($는) 링과 분할 복합 숫자에 이형이며 구간 분석에도 사용된다.

${\displaystyle C\mathbf{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ C ${\$는 제임스 코클이 1848년에 도입한 테사린의 대수다.

${\displaystyle }$스플릿 바이쿼터니온이라고 불리는$$ ${\displaystyle \mathbf{H}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle H\mathbf{}}$, ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$는 1873년 윌리엄 킹돈 클리퍼드에 의해 소개되었다$.$

Joseph Wedderburn은 그의 하이퍼 복합수 분류에서 알제브라의 직접적인 총합 개념을 이용했다.151페이지의 매트릭스에 대한 그의 강의를 보라.Wedderburn은 알헤브라의 직접 총액과 직접 생산물의 구별을 분명히 한다.For the direct sum the field of scalars acts jointly on both parts: ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$ while for the direct product a scalar factor may be collected alternately with the parts, but not both: ${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lam$$bda x,y)=(x,\lambda y).$$\!}$ Ian$$ R. Portuled는 위의 세 가지 ${\displaystyle {}^{}}$ 합을 사용하여 클리포드 알헤브라와 클래식 그룹(1995년)을 분석할 때 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ R, 2 C${\displaystyle ,{}^{\mathrm{}}}$ $,$ {\$displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\{2}H}$를 스칼라의 고리로$$ 표현한다.null

위와 같이 기술된 구조와 웨더번에서 사용하는 직계 총액과 직계 산출물 용어의 사용은 범주 이론의 그것과는 다른 관례를 따른다.범주적 용어로 웨더번의 직접 합은 범주적 산물인 반면 웨더번의 직접 생산물은 공동 생산물(또는 범주적 합)으로, (상호적 알헤브라의 경우) 실제로 알헤브라의 텐서 생산물에 해당한다.null

구성 알헤브라스

합성 대수학$({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle }$) ${\displaystyle (A,\,^{\ast },n)$은 필드 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ A$,}$ 비자발성 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\,^{\state \,$ 그리고$$ "${\displaystyle \mathrm{norm}}$"${\displaystyle }$n${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystystysty n(x)=x^{*}$에 대한 대수학.$}$ ${\displaystyle K}$ $필드$는 $K{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ K$,}$ 및 사소한$$ 비자발성으로 시작하는 일련의 구성 알헤브라를 발생시켜$$ $n{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle n(x)=x^{2}.}}$$$ 시리즈에서 유도 단계는 직접 합계 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ A ${\displaystyle A\oplus$ A$}$을(를) 형성하고 새로운$$ 비자발성(${\displaystyle x}$ $,{\displaystyle y{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle y}$ .${\displaystyle (x,y)^{*}=x^{}-y}}}}$을(를) 사용하는 것을 포함한다.

레너드 딕슨은 케이리 숫자에 대해 이 공사를 2배수로 개발했으며, 직접 합계 A $⊕$ ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle A\oplus A}$을(를) 포함하는 2배법으로 케이리-딕슨 건설이라고 한다$$.$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle K=\mathb {R}($으)로 시작하는 예에서 시리즈는$$ 복잡한 숫자, 쿼터니언, 옥토니언 및 진정제를 생성한다$.$$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$과(${\displaystyle 와)}$ $n{\displaystyle }$= z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle n(z)=z^{2$}로 시작하는 시리즈는$$ 바이콤플렉스 수, 바이쿼터니언, 바이오ctonion으로 계속된다$.$null

맥스 조른은 고전적인 Cayley-Dickson 건설이${\displaystyle }$(C ,${\displaystyle {}^{}}$ $){\$ 시리즈$$, 특히 분할옥토니언에서 실제 아발게브라로 발생하는 일부 구성 알헤브라를 시공하지 못했다는 것을 깨달았다.변경된 Cayley-Dickson 구조는, 여전히 기본 $대수{\displaystyle }$A ,$${\$displaystyle$A}의$$ 직접 $합계{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \oplus }$ ⊕ ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle$ A$\oplus$ A$}$의 사용에 기초하여, 시리즈 $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R},},}$ 분할 복합$$ 수, 분할 수량 및 분할-쿼터니온을 표시하는 데 사용되었다$$.null

바나흐 공간의 직접 합계

The direct sum of two Banach spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ is the direct sum of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ considered as vector spaces, with the norm ${\displaystyle \ (x,y)\ =\ x\ _{X}+\ y\ _{Y}}$ for all ${\displaystyle$$x\in X}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle y\in$ Y$.}$

Generally, if ${\displaystyle X_{i}}$ is a collection of Banach spaces, where ${\displaystyle i}$ traverses the index set ${\displaystyle I,}$ then the direct sum ${\displaystyle \oplus _{i\in I}X_{i}}$ is a module consisting of all functions ${\displaystyle x}$ defined over ${\displaystyle I}$모든 $I{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle I}$ {\$displaystyle i}$에 대해 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ x$(i)\in$ $X_$${i}}$와 같은$$ ${\displaystyle I}$ 및

규범은 위의 합계로 주어진다.이 규범과 직접적인 합은 다시 바나흐 공간이다.null

For example, if we take the index set ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ and ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ then the direct sum ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ is the space ${\displaystyle \ell _{1},}$ which consists of all the sequences ${\displaystyle ({}_{}}$${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)$$$\backslash$$displaystyle \left(a_{i}\right)$의 정규 $\mathrm{분포}$가 norm = real$\underset{}{}{i}_{}$ . ${\textstyle$\$a\ =\sum _{i}\left a_{i}\i$}\right $.}$

A closed subspace ${\displaystyle A}$ of a Banach space ${\displaystyle X}$ is complemented if there is another closed subspace ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle X}$ is equal to the internal direct sum ${\displaystyle A\oplus B.}$ Note that not every closed sub공간이 보완됨. 예: $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$에서${\displaystyle {}^{}}$보완되지$않음$. {\$displaystyle \$ell ^{\$fty }}}$

양면형식이 있는 모듈의 직접 합계

$\{{\displaystyle }$( ${\displaystyle M_{}}$ I${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$} ${\$은(으) 이선형식이 장착된 $모듈$의 I$$ ${\\displaystystyledes I}$에 의해 인덱싱된 패밀이 되도록 한다$$.직교직접합은 $B형식{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 정의된$$^[1] 모듈직접합이다.

대부분의 용어만 0이 아니기 때문에$$ 무한 인덱스 $집합{\displaystyle }$ I {\$displaystyle I}$에도 합계가 타당하다.null

힐버트 공간의 직접 합계

Hilbert 공간 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle H_{}}$ n ${\$이 주어지면 위와 같이 직교 직교 직계 합을 구성할 수 있어(벡터 공간이기 때문에) 내제품을 다음과 같이 정의할 수 있다.

결과적인 직접 합은 힐버트 공간이며, 힐버트 공간은 상호직교 서브스페이스로서 주어진 힐버트 공간을 포함한다.null

$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in$ I}에$$ 대한 Hilbert 공간 ${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\$가 무한히 많이 주어진다면$$ 동일한 구성을 수행할 수 있으며, 내부 제품을 정의할 때는 엄밀히 말해서 많은 합계만 0이 아닐 것이라는 점에 유의하십시오.그러나 결과는 내부 제품 공간일 뿐 반드시 완성되지는 않을 것이다.그런 다음 Hilbert 공간 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle$H_{$i}$의 직접 합을 이 내부$$ 제품 공간의 완성으로 정의한다.null

Alternatively and equivalently, one can define the direct sum of the Hilbert spaces ${\displaystyle H_{i}}$ as the space of all functions α with domain ${\displaystyle I,}$ such that ${\displaystyle \alpha (i)}$ is an element of ${\displaystyle H_{i}}$ for every ${\displaystyle i\in I}$$$ 및:

그런 다음 두 가지 함수 α와 β의 내부 생산물을 다음과 같이 정의한다.

이 공간은 완성되었고 우리는 힐버트 공간을 얻는다.null

For example, if we take the index set ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ and ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ then the direct sum ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ is the space ${\displaystyle \ell _{2},}$ which consists of all the sequences ${\displaystyle ({}_{}}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ of reals with finite norm ${\textstyle \ a\ ={\sqrt {\sum _{i}\left\ a_{i}\right\ ^{2}}}.}$ Comparing this with the example for Banach spaces, we see that the Banach space direct sum and the Hilbert space direct sum are not necessarily the same.그러나, 비록 규범이 다르겠지만, 만약 최종적으로 많은 수의 요약만이 있다면, 바나흐 공간 직접 합은 힐버트 공간 직접 합과 이형성이 된다.null

모든 힐버트 공간은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle 또는\mathbb{}}$ C${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {R}{\text{ 또는 }}\mathbb {C}}$ 베이스 필드의 복사본의 직접적인 합에 이형성이 있다$.$ 이는$$ 모든 힐버트 공간은 정형화된 기초를 가지고 있다는 주장과 동등하다.보다 일반적으로 힐버트 공간의 모든 닫힌 하위 공간은 직교 보완을 허용하기 때문에 보완된다.반대로, 린덴스트라우스-자프리 정리는 바나흐 공간의 모든 닫힌 하위공간이 보완된다면, 바나흐 공간은 힐버트 공간과 이소모픽(토폴로지적으로)이라고 주장한다.null

참고 항목

• 바이프로덕트
• 외설 모듈
• 요르단-홀더 정리
• 크롤-슈미트 정리
• 정확한 시퀀스 분할

참조

• Adamson, Iain T. (1972), Elementary rings and modules, University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1991), Abstract algebra, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.