리치 곡률

미분 기하학에서 그레고리오 리치-쿠르바스트로(Gregorio Ricci-Curbastro)의 이름을 딴 리치 곡률 텐서는 다지관 위에 있는 리만 또는 사이비-리만 메트릭스의 선택에 의해 결정되는 기하학적 물체다. 이는 일반적으로 주어진 미터법 텐서의 기하학적 구조가 일반적인 유클리드 공간 또는 유사 유클리드 공간의 기하학적 구조와 국소적으로 다른 정도를 측정하는 척도로 간주할 수 있다.

Ricci 텐서는 공간 내 지오데틱을 따라 이동할 때 모양이 변형되는 정도를 측정하는 것으로 특징 지을 수 있다. 사이비-리만 설정과 관련된 일반 상대성에서는, 이것은 레이쇼우두리 방정식에 리치 텐서의 존재에 의해 반영된다. 부분적으로 이러한 이유로 아인슈타인 필드 방정식은 리치 텐서(Ricci tensor)와 우주의 물질 내용 사이에 현저하게 단순한 관계를 가진 사이비-리만 메트릭스(Spacetime)로 설명할 수 있다고 제안한다.

미터법 텐서처럼 Ricci 텐서는 다지관의 각 접선 공간에 대칭 이선 형태를 할당한다(87, 페이지 43 참조).^[1] 대체로, 기능 분석에서 리만 기하학에서 리치 곡률의 역할을 라플라시안의 것과 유사하게 할 수 있다. 이 비유에서 리치 곡률의 역할은 리치 곡률의 자연스러운 부산물인 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)는 함수의 두 번째 파생물의 전체 행렬에 해당할 것이다. 그러나, 같은 유추를 끌어내는 다른 방법들도 있다.

3차원 위상에서는 Ricci 텐서가 보다 복잡한 Riemann 곡률 텐서로 인코딩되는 모든 정보를 포함하고 있다. 부분적으로, 이러한 단순성은 많은 기하학적, 분석적 도구를 적용할 수 있게 해주며, 이로 인해 리차드 S의 작업을 통해 푸앵카레 추측의 해법이 나오게 되었다. 해밀턴과 그리고리 페렐만.

미분 기하학에서 리만 다지관의 리치 텐서 하한은 일정한 곡률 공간 형태의 기하학적 구조와 비교(cf. 비교 정리)하여 지구 기하학적, 위상학적 정보를 추출할 수 있다. 이는 마이어스의 정리를 통해 1941년에 처음 나타났듯이 리치 텐서 하한이 리만 기하학에서 기능하는 길이 기능을 연구하는 데 성공적으로 사용될 수 있기 때문이다.

Ricci 텐서의 한 가지 일반적인 출처는 공변량 파생물을 텐서 라플라시안과 교환할 때마다 발생한다는 것이다. 예를 들어, 이것은 리만 기하학에서 보편적으로 사용되는 보치너 공식에 그것의 존재를 설명한다. 예를 들어, 이 공식은 왜 신퉁 야우로 인한 구배 추정치(및 청야우 및 리야우 불평등과 같은 개발)가 거의 항상 리치 곡률에 대한 하한선에 의존하는지 설명한다.

2007년, 존 로트, 칼-테오도어 스터름, 세드릭 빌라니는 리치 곡률에 대한 하한을 리만 다지관의 미터법 공간 구조와 그 부피 형태에서 완전히 이해할 수 있다는 것을 결정적으로 증명했다.^[2] 이것은 리치 곡률과 와세르슈타인 기하학 그리고 최적의 운송 사이에 깊은 연관성을 확립했는데, 이것은 현재 많은 연구의 대상이 되고 있다.^{[citation needed]}

정의

여기서의 첫 번째 항은 선형 대수학 및 다변량 미적분학에 편안한 독자를 위한 Ricci 텐서의 정의를 나타내는 것이다. 후기 하위섹션에서는 보다 정교한 용어를 사용한다.

소개 및 로컬 정의

U를 ℝ의ⁿ 개방된 하위 집합으로 하고, 1과 n 사이의 각 숫자 i와 j 쌍에 대해_ij g : U → ℝ은 매끄러운 함수가 되도록 하며, U의 각 p에 대해 매트릭스라는 조건을 따른다.

${\displaystyle {\pmatrix}g_{11}(p)&\cdots &g_{1n}\\\vdots &\g_{n1}(p)&\cdots &g_{n}(p)\end{pmatrix}}}}}}}$

대칭적이고 되돌릴 수 없다. U의 각 p에 대해 [g^ij(p)]를 위의 행렬[g_ij(p)]의 역행으로 한다. R_ij 함수는 다음 공식으로 명시적으로 정의된다.

${\displaystyle {\reasoned}R_{ij}={}&, -{\frac{1}{2}}\sum _ᆭ^ᆮ\left({\frac{\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{}\partial x^{b}}}와{\frac{\partial ^{2}g_{에어로빅}}{\partial x^{나는}\partial x^{j}}}-{\frac{\partial ^{2}g_{ib}}{\partial x^{j}\partial x^{}}}-{\frac{\partial ^{2}g_{jb}}{\partial x^{나는}\partial x^{}}}\right)g^{농양}\\&, +{\frac{1}{2}}\sum _{a,b,c,d=1}^{n}\le.피트({\fraC{1}{2}}{\frac{\partial g_{교류}}{\partial x^{나는}}}{\frac{\partial g_{bd}}{\partial x^{j}}}+{\frac{\partial g_{ic}}{\partial x^{}}}{\frac{\partial g_{jd}}{\partial x^{b}}}-{\frac{\partial g_{ic}}{\partial x^{}}}{\frac{\partial g_{jb}}{\partial x^{d}}}\right)g^{농양}g^{cd}\\&, -{\frac{1}{4}}\sum _{a,b,c,d=1}^{n}\left(}{\frac{\partial g_{jc}{.\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{c}}}\right)\left(2{\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{ab}g^{cd},\end{aligned}}}$

여기서 x는ⁱ ℝ의ⁿ ith 좌표다. 이 공식의 검사에서 R은_ij 어떤 i와_ji j에 대해서도 R과 같아야 한다는 것을 직접 알 수 있다. 그래서 사람들은 R 함수를_ij U의 어떤 지점 p와 연관짓는 것으로 볼 수 있다. 대칭 n × n 행렬. U의 이 행렬 값 맵은 함수 g의_ij 집합과 연관된 Ricci 곡률이라고 불린다.

제시된 바와 같이 리치 곡률의 정의에는 직관적이거나 자연스러운 것이 없다. 그것은 다음의 주목할 만한 성질을 만족시킨다는 이유만으로 연구 대상으로 선정된다. V ⊂ ⊂ anotherⁿ 또 다른 오픈 세트가 되고 y : V → U가 첫 번째 파생상품의 매트릭스를 가진 매끄러운 지도가 되게 하라.

${\displaystyle J(q)={\begin{pmatrix}D_{1}y^{1}(q)&\cdots &D_{n}y^{1}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{1}y^{n}(q)&\cdots &D_{n}y^{n}(q)\end{pmatrix}}}$

q ∈ V의 어떤 선택에도 불변한다. 매트릭스 제품으로 g_ij : V → ℝ을 정의한다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {g}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {g}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text{T}{{{\begin{pmatrix}g_{11}(y(q)&\cdots &1n}\\{1n}(y)(q)\\\vdots \\\\g_{n1}(q)&\cdots &n}{n}(y(q)\end{pmatrix(q)},$

[R_ij(q)]을 [g_ij(q)]와 관련된 Ricci 곡면성이 되도록 한다. 그런 다음 제품 규칙과 체인 규칙을 사용하여 함수 g의_ij 집합의 Ricci 곡률과_ij 함수 g의 집합의 Ricci 곡률 사이의 다음과 같은 관계를 계산할 수 있다: V의 모든 q에 대해,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {R}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {R}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text{T}}{\begin{pmatrix}R_{11}(y(q))&\cdots &R_{1n}(y(q))\\\vdots &\ddots &\vdots \\R_{n1}(y(q))&\cdots &R_{nn}(y(q))\end{pmatrix}}J(q)}$

이는 G를_ij 정의하는 공식을 R을_ij 정의하는 공식에 직접 연결하면, R의_ij 정의의 처음 4개 용어의 두 번째 파생상품이 J의 구성요소에 작용하는 경우 발생하는 y의 세 번째 파생상품을 고려해야 할 것으로 보기 때문에 상당히 예상하지 못한 일이다. "기적"은 Ricci 곡률의 정의를 구성하는 첫 번째 파생상품, 두 번째 파생상품 및 그 반대편들의 당당한 수집이 완벽하게 설정되어 y의 상위 파생상품이 모두 취소되고, 하나는_ij R과_ij R과 관련된 현저하게 깨끗한 행렬식을 위에 남겨둔다는 것이다. R과_ij R에_ij 관련된 행렬 공식은 g와_ijij 관련된 행렬 공식과 동일할 정도로 항의 취소는 더욱 주목할 만하다.

일부 정교한 용어를 사용하여 Ricci 곡률의 정의는 다음과 같이 요약할 수 있다.

U를 ℝ의ⁿ 개방된 부분집합으로 하자. U에 대한 원활한 매핑 g를 고려할 때, 변환 불가능한 대칭 n × n 매트릭스의 공간에서 평가되는 경우, g의 Ricci 곡면성은 (g의 성분의 다양한 부분파생물을 포함하는 복잡한 공식에 의해) 대칭 n × 매트릭스의 공간에 대한 U로부터 매끄러운 매핑이 되도록 정의할 수 있다.

Ricci 곡률의 놀랍고 예상치 못한 특성은 다음과 같이 요약할 수 있다.

J가 다른 오픈 세트 V에서 U까지의 차이점형 y의 제이콥 매트릭스를 나타내도록 하자. 매트릭스 제품 J^T(g∘y)J에 의해 주어진 매트릭스 값 함수의 Ricci 곡률은 매트릭스 제품^T J(Ryy)J에 의해 주어지며, 여기서 R은 g의 Ricci 곡률을 나타낸다.

수학에서, 이 특성은 리치 곡면성이 "수량"이라는 말로 언급되며, 미분 기하학 분야에서 뛰어난 의의로서, 복잡할지 모르지만 리치 곡면성을 정의하는 공식을 나타낸다.^[3] 물리적인 측면에서 이 속성은 "일반 공분산"의 발현이며, 일반 상대성을 형성할 때 알버트 아인슈타인이 R을_ij 정의하는 공식을 사용한 일차적인 이유다. 이러한 맥락에서, 지도 y를 선택할 가능성은 기준 프레임 사이에서 선택할 수 있는 가능성에 해당한다; Ricci 곡률의 "예상하지 않은 속성"은 물리학 방정식이 기준 프레임에 의존하지 않는다는 넓은 원리의 반영이다.

이는 기본 내용이 이 하위섹션의 내용과 사실상 동일하지만, 다음 하위섹션에서 서로 다른 다변도의 관점에서 논의된다.

매끄러운 다지관의 국부좌표를 통한 정의

(M, g) 매끄러운 리만족이나 사이비 리만족 n마니폴드가 되자. 평탄한 도표(U, )를 부여하면, 1과 n사이의 각 i와 j에 대해_ij 함수 g : (U) → ℝ^ij, g : (U) → ℝ이 있어 만족한다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}g_{kj}(x)={\case}1&i\0&i\neq j\end{case}}}}}$

모든 x in (U)에 대해 함수 g는_ij 좌표 벡터 필드에서 g를 평가하여 정의되는 반면 함수 g는^ij 매트릭스 값 함수로서_ij 매트릭스 값 함수 x ( g(x)와 반비례하도록 정의된다.

이제 1과 n 사이의 각 a, b, c, i, j에 대해 함수를 정의하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{aj}^{a}}{\partial x^{i}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$

지도 (U) → ℝ.

이제 (U, )와 (V, ψ)는 U와 V의 교차점이 비어 있지 않은 두 개의 부드러운 차트가 된다. 렛_ij R : (U) → ℝ은 차트(U, )를 통해 위와 같이 계산된 함수가 되고_ij, r : v(V) → ℝ은 차트(V, via)를 통해 위와 같이 계산된 함수가 된다. 그러면 체인 룰과 제품 룰을 가지고 계산해서 확인할 수 있다.

${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n_{kl}\왼쪽(\psi \circle \varphi ^{-1(x)\right)D_{i}{\Big }_{x}\왼쪽(\psi \circle \varphi ^{-1}\오른쪽)^{k}D_{j}{\Big }_{x}\좌측(\psi \circle \varphi ^{-1}\우측)^{l}}}}$

이는 다음의 정의가 (U, )의 선택에 달려 있지 않음을 보여준다. U에서 임의의 p에 대해, 양면 지도 Ric_p : TM_p × TM_p → ℝ by

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$

여기서 X¹, ..., Xⁿ¹ 및 Y, ..., Y는ⁿ (U, )의 좌표 벡터 필드에 상대적인 X와 Y의 성분이다.

위의 공식 발표를 다음과 같은 스타일로 줄여서 표현하는 것이 일반적이다.

M을 매끄러운 다지관이 되게 하고, g를 리만이나 사이비-리만 메트릭스가 되게 하라. 국소 평활 좌표에서 Christoffel 기호를 정의하십시오.

${\displaystyle {\begin{aigned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac{1}{1}{1}}}\왼쪽(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}-{l}g_{ij}\rig}\오른쪽)\R_{jk}&=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{정렬}}}$

는 것을 직접 확인할 수 있다.

${\displaystyle R_{jk}={\widetilde{R}_{ab}{\frac {\partial {x}^{a}{\partial x^{j}}{\frac {\partial x^{b}}}{b}{\partial x^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, {partial x^$

R이_ij M에 a (0,2)-텐서 필드를 정의하도록 한다. 특히 X와 Y가 M의 벡터 필드일 경우, X와 Y가 가지고 있는 모든 부드러운 좌표에 상대적이다.

${\displaystyle R_{jk}X^{j}Y^{k}=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.}$

마지막 줄에는 이선형 지도 Ric이 잘 정의되어 있어 비공식 표기법으로 훨씬 쉽게 작성할 수 있다는 데모가 포함되어 있다.

벡터장 분화를 통한 정의

(M, g)이 리바이-시비타 연결 ∇이 장착된 n차원 리만니아나 사이비-리만 다지관이라고 가정해 보자. M의 리만 곡률은 매끄러운 벡터장 X, Y, Z를 취하고 벡터장을 반환하는 맵이다.

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{X,Y]}Z}$

벡터 필드 X, Y, Z에. 이 매핑의 중대한 속성을 X, Y, Z, X', Y, Z' 매끄러우벡터 분야가 X및 X',, Y, Y'도 TpM의 같은 요소 정의하고, Z와 Z'도, 벡터 R(X,Y)Z과 R(X′,Y′)Z′ 또한 Tp의 같은 요소 정의하는 감독관 TpM의 같은 요소 정의하는 일부 접선 공간 TpM의 같은 요소 파악하는 것입니다.m

그 의미는 벡터 필드 입력과 벡터 필드 출력을 사용한 선행 매핑인 리만 곡면성은 실제로 접선 벡터 입력과 접선 벡터 출력을 사용한 매핑으로 볼 수 있다는 것이다. 즉, 각 p에 대해 M a (멀티라인) 지도에서 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {Rm} _{p:T_{p}M\time T_{p}M\time T_{p}M\to{p}M.}$

M의 각 ${\displaystyle p_{}}$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ 정의하라${\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$T_{p}M\time T_{p}M\to \mathb {R}$} } by$$ }

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\operatorname {tr} {\big(}X\mapsto \operatorname {Rm} _{p}(X,Y,Z){\big )}.}$

즉, Y와 Z를 고정시킨 다음 벡터 공간 TM의_p v₁, ..., v를_n 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}c_{ii}}}}$

여기서 고정 i에 대해 숫자 c_i1, ..., c는_in 기본_p v₁, ..., v_n. 이 정의가 기본 v₁, ..., v의_n 선택에 좌우되지 않음을 확인하는 (다중_i)선형 대수학의 표준 연습이다.

사인 규약. Note that some sources define ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ to be what would here be called ${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$ they would then define ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ as ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {Rm} _{$$p}(X,Y,Z)).$$}$ 리만 텐서(Riemann tensor)에 대해서는 사인 규약이 다르지만$$ 리치 텐서(Ricci tensor)에 대해서는 다르지 않다.

정의 비교

위의 두 정의는 동일하다. 좌표 접근법에서$$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 정의하는 공식은 Levi-Civita 연결을 통한 Riemann 곡률과 정확히 평행하다. 위에서 언급한 리만 텐서의 "크루셜 속성"은 M {\$displaystyle M}$을(를$)$ Hausdorff가 되어야 하기 때문에 국부 좌표를 직접 사용하는 정의가 바람직하다는 것은 논쟁의 여지가 있다. 이와는 대조적으로, 국부 좌표 접근방식은 매끄러운 지도책만 필요로 한다. 또한 국부적 접근법의 기초가 되는 「비교적」철학을 스피너 장과 같은 보다 이국적인 기하학적 객체를 구성하는 방법과 연결시키는 것도 어느 정도 용이하다.

소개 섹션에서$$ ${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 정의하는 복잡한 공식은 다음 절과 동일하다. 유일한 차이점은 ${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}}$을(를) 쉽게 볼 수 있도록 용어가 그룹화되었다는 점이다.$}$

특성.

비안치 정체성에서 알 수 있듯이 리만족 다지관의 리치 텐서는 대칭적인 것으로, 그 의미로는 리만족 다지관의 리치 텐서(Ricci tensor)가 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ric}(X,Y)=\operatorname {Ric}(Y,X)}$

따라서$$ 모든 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$. ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$ 따라서 Ricci 텐서는 단위 길이의 모든 벡터 X에 대한 수량 Ric(X,X)을 알고 완전히 결정된다는 것을 선형적으로 따른다. 단위 접선 벡터 세트의 이 기능은 Ricci 곡률 텐서(tensor)를 아는 것과 동등하기 때문에 Ricci 곡률이라고도 불린다.

리치 곡률은 리만 다지관의 단면 곡선에 의해 결정되지만, 일반적으로는 정보가 더 적다. 실제로 ξ이 리만 n-manifold의 단위 길이의 벡터라면, ric( containing, 2)은 all이 포함된 2-플레인을 모두 인수하여 단면곡률의 평균값의 정확히 (n - 1)배이다. 그러한 2-플레인의 (n - 2)차원 패밀리가 있으므로, 2차원과 3차원에서만 전체 곡률 텐서(tensor)를 결정한다. 주목할 만한 예외는 다지관이 유클리드 공간의 초대면으로서 선험적으로 주어지는 경우다. 가우스-코다치 방정식을 통해 완전한 곡률을 결정하는 두 번째 기본 형태는 그 자체로 리치 텐서(Ricci tensor)에 의해 결정되며, 초대면(hyperurface)의 주요 방향도 리치 텐서의 에겐데이션이다. 텐서는 리치가 이런 이유로 도입했다.

제2의 비안치 정체성에서 알 수 있듯이, 사람은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 스칼라 곡면이며, 로컬 좌표에 $gi{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle J^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle$ g$^{ij}R_{ij}}}$로 정의된다.$$ 이것을 흔히 계약된 제2의 비안치 정체성이라고 부른다.

비공식 속성

리치 곡률(Ricci curtain)은 때때로 미터법 텐서(Chow & Knopf 2004, Lemma 3.32)의 라플라시안의 음배수로 생각되기도 한다. harv error: no target: CITREFChowKnopf2004 (도움말). 특히 고조파 로컬 좌표에서 구성 요소가 만족하는 경우

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{1}:{2}}\Delta \left(g_{ij}\오른쪽)+{\text{lower-order terms},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \nabla }$ ∇ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ {${$ {\$displaystyle$ \$Delta$=\$nabla$ \$cdot$ \$nabla }$은 라플라스-벨트라미 연산자로, 여기서 로컬로 정의된 함수_ij g에 작용하는 것으로 간주된다. 이 사실은 예를 들어, 측정계 열 방정식의 자연적 확장으로서 Ricci 흐름 방정식의 도입에 동기를 부여한다. 또는 p에 기반한 일반 좌표계, p점에 위치한다.

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {2}{3}}\Delta \left(g_{ij}\오른쪽).}$

직접 기하학적 의미

리만 다지관(M, g)의 어느 지점 p에 가까울 경우, 지질학적 정상 좌표라고 불리는 선호하는 국부 좌표를 정의할 수 있다. 이것들은 측정에 적응되어 p를 통한 측지학이 원점을 통과하는 직선에 대응하도록 하며, p로부터의 측지 거리가 원점으로부터의 유클리드 거리에 대응하도록 한다. 이 좌표에서 미터법 텐서는 유클리드 측정법에 의해 잘 추정되고, 정확한 의미에서 다음과 같다.

${\displaystyle g_{ij}=\cHB_{ij}+O\왼쪽(x ^{2}\오른쪽).}$

사실, 정상 좌표계의 방사형 지오데틱을 따라 자코비 필드에 적용된 측정지표의 테일러 확장을 취함으로써, 사람은 다음과 같은 것을 갖게 된다.

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(x{3}\오른쪽)}$

이러한 좌표에서 미터법 볼륨 요소는 p에서 다음과 같은 확장을 가진다.

${\displaystyle d\mu _{g}=\왼쪽[1-{\frac {1}{6}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(x^{3}\right)\d\mu _{\text{E클리드},},}},}$

계량계 결정요인의 제곱근을 확장하여 그 뒤를 잇는다.

따라서 리치 곡률 Ric(Ricci 곡률 Ric, vector)이 벡터 ξ의 방향으로 양수되는 경우, 길이 $[\displaystyle \varepsilon }$의 지리학적 세그먼트의 촘촘한 집단에 의해 휩쓸려 나가는 M의 원뿔 영역은 ξ 주위에 있는 작은 원뿔 안에 있는 초속도로, 해당 원뿔 영역보다 부피가 작을 갖게 된다. 적어도 ε ${\displaystyle \varepsilon }$이(가) 충분히$$ 작다면 유클리드 공간. 마찬가지로 리치 곡률이 주어진 벡터 ξ의 방향으로 음수인 경우, 다지관의 그러한 원뿔 영역은 대신 유클리드 공간에서의 그것보다 더 큰 부피를 가질 것이다.

Ricci 곡면성은 기본적으로 ξ을 포함한 평면의 곡선 평균이다. 따라서 초기 원형(또는 구형) 단면으로 방출된 원뿔이 타원형(엘립소이드)으로 왜곡되면 주축을 따라 왜곡된 왜곡이 서로 상쇄되면 볼륨 왜곡이 사라질 수 있다. 그때 리치 곡선은 ξ을 따라 사라지게 된다. 물리적 적용에서 비바니싱 단면 곡률의 존재는 반드시 국소적으로 질량의 존재를 나타내는 것은 아니다. 만약 세계선 원뿔의 초기 원형 단면이 나중에 부피를 변경하지 않고 타원이 된다면, 이것은 어떤 다른 위치에서 질량의 조석 효과 때문이다.

적용들

리치 곡면성은 아인슈타인 장 방정식의 핵심 용어인 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다.

Ricci 곡면성은 Ricci 흐름 방정식에서도 나타나는데, 여기서 리만 지표의 특정 1-모수 집단이 기하학적으로 정의된 부분 미분 방정식의 해법으로 선택된다. 이 방정식 체계는 열 방정식의 기하학적 아날로그라고 생각할 수 있으며, 리차드 S에 의해 처음 도입되었다. 1982년 해밀턴 열은 신체가 일정한 온도의 평형 상태에 도달할 때까지 고체를 통해 퍼지는 경향이 있기 때문에, 만일 한 사람이 다지관을 갖게 된다면, 리치 흐름은 아인슈타인이나 일정한 곡률의 '평형' 리만 계량체를 만들기를 희망할 수도 있다. 그러나 많은 다지관이 많은 지표를 지원할 수 없기 때문에 그러한 깨끗한 "융합" 그림은 달성될 수 없다. 주로 해밀턴과 그리고리 페렐만에게 기인하는 Ricci 흐름의 해결책의 성격에 대한 상세한 연구는, 수렴의 실패에 해당하는 Ricci 흐름을 따라 발생하는 "가수성"의 유형이 3차원 위상에 대한 깊은 정보를 암호화하는 것을 보여준다. 이 작품의 절정은 1970년대 윌리엄 서스턴이 처음 제안한 기하학적 추측의 증거로서, 콤팩트한 3마니폴드의 분류라고 생각할 수 있다.

칼러 다지관에서는 리치 곡률이 다지관의 첫 번째 체르누스 등급(모드 비틀림)을 결정한다. 그러나 리치 곡률에는 일반적인 리만 다지관에 대한 유사한 위상학적 해석이 없다.

전역 지오메트리 및 위상

여기 긍정적인 Ricci 곡면성을 가진 다지관에 관한 전지구적 결과의 간단한 목록이 있다. 리만 기하학의 고전적 이론도 참조한다. 간단히 말해서, 리만 다지관의 양의 리치 곡면성은 강력한 위상학적 결과를 가지고 있는 반면, (최소한 3차원) 음의 리치 곡면성은 위상학적 영향을 끼치지 않는다. (Ricci 곡률 함수 Ric(Ric)가 0이 아닌 접선 벡터 ξ의 집합에서 양이면 Ricci 곡률도 양수라고 한다.) 일부 결과는 사이비-리만 다양체에서도 알려져 있다.

1. 마이어스는 정리의(1941년)은 만약 리치 곡률 아래에서부터 완벽한 n-manifold(n− 1)k 을에 의해 리만에;0을 다스릴 수 있는 다음 다양하고 있직경 ≤ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/√k. 커버 공간 인수에 의해, 양성 Ricci 곡률의 모든 콤팩트 매니폴드는 유한한 기본 그룹을 가져야 한다는 것을 따른다. 청(1975)은 이 설정에서 다지관 등축이 일정한 곡률 k의 구에 도달하는 경우에만 직경 불평등의 균등이 일어난다는 것을 보여주었다.
2. 비숍-그로모프 불평등은 완전한 n차원 리만 다지관이 비음성 리치 곡률을 가지고 있다면, 지오데틱 공의 부피는 유클리드 n-공간에서 같은 반경의 지오데틱 공의 부피보다 작거나 같다고 명시하고 있다. 더욱이 v_p(R)가 다지관에서 중심 p와 반지름 R을 가진 공의 체적을 나타내고 V(R) = cR이_nⁿ 유클리드 n-공간에서 반지름 R의 체적을 나타내는 경우 v_p(R)/V(R) 함수는 증가하지 않는다. 이는 리치 곡률에 대한 어떤 하한선(비네거티성만이 아니라)으로 일반화될 수 있으며, 그로모프의 콤팩트성 정리 증명의 핵심이다.)
3. The Cheeger–Gromoll splitting theorem states that if a complete Riemannian manifold (M,g) with Ric ≥ 0 contains a line, meaning a geodesic ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ such that d(γ(u),γ(v)) = u − v for all u, v ∈ ℝ, then it is isometric to a product space ℝ × L. Consequently, a complete manifold of positive Ricci 곡면성은 최대 하나의 위상학적 끝을 가질 수 있다. 또한 이 정리는 비음성 Ricci 텐서(Galloway 2000)를 가진 완전한 로렌츠 다지관(미터 시그니처(+ - ...)에 대한 일부 추가 가설에서도 사실이다.
4. 해밀턴의 리치 흐름의 첫 번째 정합화 정리는, 코롤리학으로서 리만이 양성 리치 곡률의 측정 기준을 가지고 있는 유일한 콤팩트한 3-매니폴드는 적절하게 불연속적으로 작용하는 SO(4)의 이산 하위집단에 의한 3-sphere의 몫이라는 것을 가지고 있다. 그는 나중에 이것을 부정적으로 Ricci 곡면성을 허용하기 위해 연장했다. 특히 3-sphere 자체가 단순하게 연결될 수 있는 유일한 가능성이다.

이러한 결과들, 특히 마이어스와 해밀턴의 결과는 긍정적인 리치 곡면성이 강력한 위상학적 결과를 가지고 있음을 보여준다. 대조적으로, 표면의 경우를 제외하고, 음의 Ricci 곡면성은 현재 위상학적 영향이 없는 것으로 알려져 있다; Lohkamp(1994)는 2보다 큰 치수의 어떤 다지관도 음의 Ricci 곡면성의 완전한 리만 메트릭을 인정한다는 것을 보여주었다. 2차원 다지관의 경우 리치 곡률의 부정성은 가우스 곡률의 부정성과 동의어로서 위상학적 함의가 매우 뚜렷하다. 가우스 곡률 음의 리만 지표들을 인정하지 않는 2차원 다지관은 거의 없다.

등정 재조정 시 동작

일치 요인 e에^2f 메트릭 g를 곱하여 메트릭 g를 변경하면, 일치 관련 새 메트릭 g̃ = 예: Ricci 텐서(예^2f: 1987, 페이지 59 제외)가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric}}}=\operatorname {Ric} +(2-n)\왼쪽[\nabla df-df\otimes df\rig]+\왼쪽[\Delta f-(n-2)\df\{2}\rig,},},}$

여기서 Δ = d*d는 (양 스펙트럼) Hodge Laplacian, 즉 헤시안의 통상적인 추적과 반대되는 것이다.

특히, 리만 다지관의 포인트 p가 주어지면, 리치 텐서가 p에서 사라지는 주어진 미터법 g에 부합하는 지표를 항상 찾을 수 있다. 그러나 이것은 단지 점근법적 주장일 뿐이며, 일반적으로 리치 곡률의 순응적 재배치에 의해 전체 다지관에서 동일하게 사라지게 하는 것은 불가능하다.

2차원 다지관의 경우, 위의 공식은 f가 조화 함수인 경우, 등정^2f 스케일링 g g은 Ricci 텐서를 변경하지 않는다는 것을 보여준다(f = 0이 아닌 한 여전히 메트릭에 대한 추적을 변경함).

트레이스 프리 리치 텐서

리만 기하학과 사이비-리만 기하학에서 리만 또는 사이비-리만 n-manifold(M, g)의 트레이스프리 리치 텐서(추적리스 리치 텐서라고도 함)는 에 의해 정의되는 텐서다.

${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}Rg,}$

여기서 Ric와 R은 g의 Ricci 곡률과 스칼라 곡률을 의미한다. 이 물체의 이름은 추적이 ${\displaystyle \mathrm{자동}}$으로 사라진다는 사실을 반영한다: ${\displaystyle {\mathrm{tr}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle \equiv }$ g ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.$$}}$그러나$$ 리치 텐서의 '직교적 분해'를 반영하고 있기 때문에 상당히 중요한 텐서다.

리치 텐서의 직교 분해

사소한 것은, 한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}Rg.}$

오른쪽에 있는 두 용어가 서로 직교한다는 것은 덜 즉각적이다.

${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}Rg\rig\rigle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{n}-{n}}Rg_{ab}\rig}\rig)=0.}$

이것과 밀접하게 연관되어 있는 정체성은 (그러나 직접적으로 증명될 수 있는) 이다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}^{2}= Z _{g}^{2}+{\frac {1}{n}R^{2}}}$

추적 불가능한 Ricci 텐서 및 아인슈타인 메트릭스

By taking a divergence, and using the contracted Bianchi identity, one sees that ${\displaystyle Z=0}$ implies ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0.}$ So, provided that n ≥ 3 and ${\displaystyle M}$ is connected, the vanishing of ${\displaystyle Z}$ implies that the scalar 곡면성은 일정하다. 그러면 다음과 같은 것이 동등하다는 것을 알 수 있다.

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \mathrm{Ric}}$= $number$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}($일부 번호: ${\displaystyle \lambda })$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}Rg}$

리만니아 설정에서 위의 직교 분해는 ${\displaystyle {R2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{Ric}}$ric ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$ R$^{2}=n \operatorname {Ric} ^2}}$도 이러한 조건과 동등하다는$$ 것을 보여준다. In the pseudo-Riemmannian setting, by contrast, the condition ${\displaystyle Z _{g}^{2}=0}$ does not necessarily imply ${\displaystyle Z=0,}$ so the most that one can say is that these conditions imply ${\displaystyle R^{2}=n \operatorname {Ric} _{g}^{2}.$$}$

특히 미량 리치 텐서의 소멸은 숫자 $\lambda$에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{Ric}}$= ${\displaystyle \lambda }$ g ${\$$displaystyle \$$operatorname {Ric} =\$$lambda$ $g$$}$이라는 조건에 의해 정의된 대로 아인슈타인 다지관을 특징짓는다$.$ 일반 상대성에서는 (M, g) 우주와 함께 아인슈타인의 진공장 방정식의 해법이라고 명시한다.상수

칼러 다지관

Kahler 다지관 X에서 Ricci 곡률은 표준 선다발(Moroianu 2007, 12장)의 곡률 형태를 결정한다. 표준 라인 번들은 홀로모르픽 Kahler 디퍼렌셜의 번들의 최고 외부 파워다.

${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Oomega _{X}.}$

X의 미터법에 해당하는 Levi-Civita 연결은 κ의 연결을 발생시킨다. 이 연결의 곡면성은 다음에 의해 정의된 두 가지 형식이다.

${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\dext}{def}{=}\}\operatorname {Ric}(JX,Y)}$

여기서 J는 Kahler 다지관의 구조에 의해 결정되는 접선다발의 복잡한 구조도이다. 리치 양식은 폐쇄형 2형식이다. 그것의 코호몰로지 클래스는 실제 상수 인자에 이르기까지 표준 번들의 첫 번째 체르누스 클래스로, 따라서 X의 위상과 복합 구조의 호모토피 클래스에만 의존한다는 점에서 X(콤팩트 X의 경우)의 위상학적 불변성이다.

반대로 Ricci 형식은 Ricci tensor를 다음과 같이 결정한다.

${\displaystyle \operatorname {Ric}(X,Y)=\rho(X,JY).}$

국소적 홀로모픽 좌표 z에서^α Ricci 형식은 다음에서 주어진다.

${\displaystyle \rho =-i\datable {\overline {\reverline}\\log \좌측(g_{\repa{\overline {\reverline}}\오른쪽)}$

여기서 ∂은 돌베오 연산자 및

${\displaystyle g_{\cHB{\cHB}}=g\left\frac {\refline}{\refline }{\refline {\buffline{\z}}}}오른쪽).}$

Ricci stensor가 소멸되면 표준 번들은 평평하므로 구조 그룹은 특수 선형 그룹 SL(n,C)의 하위 그룹으로 국소적으로 축소될 수 있다. 그러나 Kahler 다지관은 U(n)에 이미 홀노미를 가지고 있으므로 Ricci-flat Kahler 다지관의 (제한된) 홀노미는 SU(n)에 포함되어 있다. 반대로 2n차원 리만 다지관의 (제한된) 홀노미가 SU(n)에 포함되어 있다면, 다지관은 리치 플랫 칼러 다지관(코바야시 & 노미즈 1996, IX, §4)이다.

연결부 부착에 대한 일반화

Ricci 텐서는 임의의 아핀 연결에도 일반화될 수 있는데, 여기서 그것은 투영 기하학(비모수적 지오다이오드학 관련 지오메트리) 연구에 특히 중요한 역할을 하는 불변성 물질이다(Nomizu & Sak사키 1994). ∇이 아핀 연결을 나타내는 경우, 곡률 텐서 R은 다음에 의해 정의된 (1,3)-텐서가 된다.

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{X,Y]}Z}$

벡터 필드 X, Y, Z에 대해. Ricci 텐서는 추적으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ric}(X,Y)=\operatorname {tr} {\big(}Z,X)Y{\big ).}$

이러한 일반적인 상황에서 Ricci 텐서는 연결에 대한 병렬 볼륨 형식이 로컬로 존재하는 경우에만 대칭이다.

이산 리치 곡률

이산 다지관의 Ricci 곡률 개념은 그래프와 네트워크에 정의되어 있으며, 여기서 가장자리의 국소적 발산 특성을 정량화한다. 올리버의 Ricci 곡면성은 최적의 운송 이론을 사용하여 정의된다.^{[citation needed]} 두 번째 개념인 포먼의 리치 곡면성은 위상학적 논거에 기초한다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 리만 다지관의 곡률
• 스칼라 곡률
• 리치 미적분학
• 리치 분해
• 리치-플랫 다지관
• 크리스토펠 기호
• 커브드 스페이스타임 수학 기본소개

각주

참조

• Besse, A.L. (1987), Einstein manifolds, Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet & Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: an introduction, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3515-7.
• Eisenhart, L.P. (1949), Riemannian geometry, Princeton Univ. Press.
• Galloway, Gregory (2000), "Maximum Principles for Null Hypersurfaces and Null Splitting Theorems", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 1 (3): 543–567, arXiv:math/9909158, Bibcode:2000AnHP....1..543G, doi:10.1007/s000230050006, S2CID 9619157.
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Interscience.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, Joachim (1994), "Metrics of negative Ricci curvature", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 140 (3): 655–683, doi:10.2307/2118620, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118620, MR 1307899.
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry, London Mathematical Society Student Texts, 69, Cambridge University Press, arXiv:math/0402223, doi:10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, Takeshi (1994), Affine differential geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Ricci, G. (1903–1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Veneto, 63 (2): 1233–1239.
• L.A. Sidorov (2001) [1994], "Ricci tensor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• L.A. Sidorov (2001) [1994], "Ricci curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Najman, Laurent and Romon, Pascal(2017): 이산 곡률에 대한 현대적 접근법, 스프링어(Cham), 수학 강의 노트

외부 링크

• Z. Shen, C. 소르마니 "비부정 리치 곡률의 개방 다지관의 위상"(조사)
• 지웨이, "리치 곡률 하한선 매니폴드"(조사)