임계점(수학)

빨간색 원의 가로축(x 좌표)은 정지점이고 파란색 사각형은 변곡점입니다.

임계점은 수학의 많은 분야에서 사용되는 광범위한 용어이다.

실제 변수의 함수를 다룰 때, 임계점은 함수의 영역에서 함수를 미분할 수 없거나 ^[1]도함수가 0인 지점이다.복잡한 변수를 다룰 때, 마찬가지로, 임계점은 함수의 영역에서 완전형이 아니거나 도함수가 ^[2]^[3]0인 점입니다.마찬가지로, 여러 실제 변수의 함수의 경우, 임계점은 구배가 정의되지 않았거나 ^[4]0과 같은 영역의 값입니다.

임계점에서의 함수 값은 임계값입니다.

이러한 종류의 정의는 R과 Rⁿ 사이의^m 미분 가능한 맵으로 확장되며, 이 경우 야코비 행렬의 순위가 최대가 되지 않는 점이 임계점이다.야코비 행렬의 순위가 감소하는 점으로, 미분 가능한 다양체 사이의 미분 가능한 지도까지 확장됩니다.이 경우 임계점을 분기점이라고도 합니다.

특히, C가 암묵적 방정식 f(x,y) = 0으로 정의된 평면 곡선이라면, Y축에 평행한 X축에 대한 투영의 임계점은 C에 대한 접선이 Y축에 평행한 지점이다.

{\displaystyle\frac{\display y}(x,y)=0}

즉, 임계점은 암묵적 함수 정리가 적용되지 않는 지점이다.

임계점의 개념은 코페르니쿠스의 시대 이전에는 설명되지 않았던 천문 현상을 수학적으로 묘사할 수 있게 해준다.행성의 궤도에 있는 정지점은 행성의 움직임이 다른 방향으로 다시 시작되기 전에 멈추는 것처럼 보이는 천구상의 행성의 궤적 지점이다.이는 궤도를 황도 원에 투영하는 임계점 때문에 발생합니다.

단일 변수 함수의 임계점

단일 실수 변수 f(x)의 함수의 임계점은 f 영역의 값 x이며₀, 여기서 f는 미분할 수 없거나 그 도함수는 0이다(f δ(x₀) = 0).^[1]임계치는 임계점의 f 아래에 있는 이미지입니다.이러한 개념은 f: 그래프를 통해 시각화할 수 있습니다.중요한 점에서 그래프는 수평 접선을 할당할 수 있는 경우입니다.

미분 가능한 함수의 경우 임계점이 정지점과 어떻게 동일한지 주목하십시오.

그래프(곡선)에서 쉽게 시각화할 수 있지만 함수의 임계점 개념은 곡선의 임계점 개념과 혼동해서는 안 된다(자세한 정의는 아래 참조).만약 g(x,y)가 두 변수의 미분 가능한 함수라면, g(x,y) = 0은 곡선의 암묵적 방정식이다.이러한 곡선의 임계점은 y축에 평행한 투영(지도(x, y) → x)에 대해 ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ g ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ (\ $displaystyle$ {\ $frac g}{\displaystyle$ y $}}(x,y$ ) = $0$ 인 곡선의 접선이 Y축에 평행하다는 것을 의미합니다.x에서 y까지의 ction(암묵적 함수 정리 참조).(x₀, y₀)가 임계점일 경우₀, x는 대응하는 임계치입니다.이러한 임계점은 분기점이라고도 불리는데, 일반적으로 x가 변화할 때 곡선의 한 변에 x와 다른 변에 0의 두₀ 가지 가지가 있기 때문입니다.

이러한 정의로부터 미분 가능한 함수 f(x)에는 임계값이₀₀ y인 임계점₀ x가 있는 것은 (x₀, y₀)가 x축에 평행한 투영에 대한 그래프의 임계점이 되는 경우뿐입니다.접선이 Y축과 평행하게 되어 f가 x에서 미분할₀ 수 없는 경우₀, x는 다시 f의 임계점이 되지만, 이제 (x₀, y₀)는 Y축에 평행한 투영에 대한 그래프의 임계점이 됩니다.

예를²² 들어 x + y - 1 = 0의 단위 원의 임계점은 x축에 평행한 투영에 대해서는 (0, 1)과 (0, -1)이고, y축에 평행한 방향에 대해서는 (1, 0)과 (-1, 0)이다. $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 을 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 함수 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ f( $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $=$ $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ - $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 2({ $displaystyle$ f(x)= $qrt$ { $1-x^{$ 2 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 의 그래프로 생각하면, x = 0은 0과 같기 때문에 임계치 1이 되고, x=-1과 x=1은 미분류에 의해 임계치 0이 된다.

예

함수 f(x) = x² + 2x + 3은 도함수 f δ(x) = 2x + 2로 어디서나 미분할 수 있다.이 함수는 2x₀ + 2 = 0인 고유 숫자₀ x이기 때문에 고유한 임계점 -1을 가집니다.이 점은 f의 글로벌 최소값입니다.대응하는 임계치는 f11) = 2 입니다.f의 그래프는 위쪽으로 오목한 포물선, 임계점은 접선이 수평인 정점의 외측점, 임계치는 정점의 좌표로 이 접선과 Y축의 교점으로 나타낼 수 있습니다.
함수 f(x) = x는^2/3 모든 x에 대해 정의되며 f δ(x) = 2x^−1/3/3로 x δ 0에 대해 미분할 수 있다.f는 x=0과 f'(x)θ0에서 달리 미분할 수 없기 때문에 고유한 임계점이 된다.함수 f의 그래프에는 이 지점에 수직 접선이 있는 첨부가 있습니다.대응하는 임계치는 f(0)= 0 입니다.
절대값 함수 f(x) = x는 임계값이 0인 전역 최소점이 있는 임계점 x=0을 제외한 모든 곳에서 미분할 수 있습니다.
f(x) = 1/x 함수에는 임계점이 없습니다.점 x = 0은 함수의 영역에 포함되지 않으므로 임계점이 아닙니다.

임계점 위치

가우스-루카스 정리에 따르면, 복소 평면에서 다항식 함수의 임계점은 함수의 루트의 볼록한 선체 안에 있다.따라서 실수근만 있는 다항식 함수의 경우 모든 임계점은 실수이며 최대근과 최소근 사이에 있습니다.

Sendov의 추측은 함수의 모든 루트가 복소평면의 단위디스크에 있다면 주어진 루트의 단위거리 내에 적어도 하나의 임계점이 있다고 주장한다.

암묵 곡선의 임계점

임계점은 암묵적 방정식에 의해 정의된 평면 곡선의 연구, 특히 이를 스케치하고 위상을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.이 섹션에서 사용되는 임계점의 개념은 이전 섹션의 개념과 다르게 보일 수 있습니다.사실 이것은 아래에 제시된 임계점의 일반적인 개념의 단순한 사례에 대한 전문화이다.

따라서 우리는 암묵적 $f(x,y)=0$ f $f(x,y)=0$ $f(x,y)=0$ ) $=$ $f(x,y)=0$ ${\displaystyle$ f $(x,y$ )= $0$ 에 의해 정의된 $곡선$ C를 고려한다. $여기$ 서 f는 일반적으로 이변량 다항식인 두 변수의 미분 가능 함수이다.곡선의 점은 직교 좌표가 방정식을 만족시키는 유클리드 평면의 점들이다.project $\pi _{y}$ ( $\pi _{y}((x,y))=x$ , $\pi _{y}((x,y))=x$ ) $\pi _{y}((x,y))=x$ \ $\pi _{y}$ $display$ $style$ $\pi _{y}((x,y))=x$ \ $pi$ $\pi _{y}$ _ { $\pi _{y}$ $x$ $=$ x $\pi _{y}((x,y))=x$ （ x , y ） $\pi _{x}((x,y))=y,$ $\pi _{x}((x,y))=y,$ ( ( ( $\pi _{x}((x,y))=y,$ x $\pi _{x}((x,y))=y,$ ( $\pi _{x}((x,y))=y,$ $x$ , $\pi _{x}((x,y))=y,$ ) $\pi _{x}((x,y))=y,$ y , { display style \ $pi$ $_$ $\pi _{y}((x,y))=x$ { x } = $\pi _{x}((x,y))=y,$ y , y ) 、 $\pi _{x}((x,y))=y,$ 、、 \ $display$ style \ $pi$ { x } （ y ） $\pi _{y}((x,y))=x$ ) by by by by by by by by by by by by by by by by standard standard standard standard standard by by standard standard standard2 $\pi _{x}$ 。각각 Y축에 평행한 투영과 X축에 평행한 투영이라고 합니다.

C에 $대한$ 탄젠트가 존재하며 Y축에 평행한 경우 $\pi _{y}$ y \ $displaystyle \pi$ _ ${y$ 에 대해 C의 $점$ 이 중요합니다.이 경우 임계점과 $\pi _{y}$ 의 ${\$ y \ $displaystyle \pi$ _ ${y}$ 에 $\pi _{y}$ 의한 화상은 임계치라고 불리는 X축의 같은 점이 됩니다.따라서 점의 좌표가 방정식 계통의 해인 경우 $\pi _{y}$ y \ $displaystyle \pi$ _ ${y}$ 에 $\pi _{y}$ 매우 중요합니다.

f(x,y)=param frac {\display y}(x,y)=0

이는 이 정의가 아래에 제시된 임계점의 일반적인 정의의 특수한 경우임을 의미한다.

§ $\pi _{x}$ \ $displaystyle \pi$ _ { $x}$ 의 $\pi _{x}$ 임계점의 정의는 유사합니다.C가 $y=g(x)$ y $y=g(x)$ ( $y=g(x)$ ) { $displaystyle$ y $=g(x$ 의 그래프인 $경우$ x가 $g$ 의 임계점이고 임계값이 동일한 $경우$ 에만 ( $x,$ $y)$ 가 $\pi _{x}$ x {\ $displaystyle \pi$ _ ${x}$ 에 $\pi _{x}$ 대해 중요합니다.

C의 $임계점$ 은 C뿐만 아니라 좌표축 선택에 따라 $다르지만$ $\pi _{x}$ x \ $displaystyle$ \ $pi$ _ { $x$ } 또는 $\pi _{x}$ $\pi _{y}$ y \ $displaystyle$ \ $pi _$ { y $\pi _{y}$ } 의 임계점으로 정의되는 저자도 있습니다.특이점을 임계점으로 간주하는 경우에도 저자에 따라 다르다.사실 단수점은 다음 조건을 만족시키는 포인트입니다.

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

(

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

)

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

(

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

)

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

f

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

(

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

)

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

{

display f ( x

,

y

) =

frac

{ \

display

f } { \

frac

f } { \

frac f （ x

, y

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

=

0 ,

즉, 임계점을 특징짓는 방정식의 어느 한 계통의 해이다.이 일반적인 정의에서는 $\pi _{y}$ y $\pi _{y}$ \ $displaystyle \pi$ _ ${y}$ 의 $\pi _{y}$ 임계점은 암묵적 함수 정리가 적용되지 않는 지점이다.

판별자의 사용

$곡선$ C가 대수적인 경우, 즉 이변량 $다항식$ f에 의해 정의되는 경우, 판별식은 임계점을 계산하는 데 유용한 도구입니다.

여기에서는 투영 ${\$ $\pi _{y}$ \ $displaystyle$ \ $pi _$ { y $\pi _{y}$ } ; $x$ 와 y 를 $교환$ 하여 ${\$ $\pi _{x}$ \ $displaystyle$ $\$ $pi$ _ { $x$ } 에 동일한 $\pi _{x}$ 결과가 적용됩니다.

$\operatorname {Disc} _{y}(f)$ y $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ ( $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ ) { $displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(f)}$ 를 $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ $x$ 의 다항식 계수로 $y$ 의 다항식으로 보는 $f$ 의 판별자라고 하자.따라서 이 판별식은 $x$ 의 다항식이며, 그 근원에는 임계값이 $\pi _{y}$ y(\ $displaystyle \pi$ _ ${y})$ 이다 $\pi _{y}$ .

보다 정확하게는 $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ y $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ δ ( $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ ) \ $displaystyle$ $\operatorname$ ${Disc$ $}$ _ { $}$ ( f $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ )의 $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ $\pi _{y}$ 은 $\pi _{y}$ y의 임계치이며, 이에 대응하는 임계점은 단점도 아니고 변곡점도 아니며, y축과 평행한 점근의 x 좌표는 y이다.gent "at infinite"에서 변곡점(추상 점근선)으로 이동합니다.

판별자의 복수근은 동일한 임계치를 공유하는 여러 임계점 또는 변곡점근 또는 변곡점인 임계점 또는 특이점에 대응한다.

여러 변수

여러 실제 변수의 함수에서 점 P(즉, R에서 점으로 간주되는ⁿ 입력 변수의 값 집합)는 기울기가 정의되지 않았거나 기울기가 ^[4]0인 점일 경우 매우 중요합니다.임계값은 임계점에서의 함수 값입니다.

임계점(기능이 미분 가능한 경우)은 국소 최대점, 국소 최소점 또는 안장점이 될 수 있습니다.함수가 적어도 2회 연속적으로 미분할 수 있는 경우에는 2차 도함수의 헤시안 행렬의 고유값을 고려하여 다른 경우를 구별할 수 있다.

헤시안 행렬이 비특징인 임계점은 비특징이라고 하며, 헤시안 고유값의 부호가 함수의 국소적 거동을 결정한다.단일 변수의 함수의 경우, 헤시안(Hessian)은 단순히 2차 도함수이며, 1×1 행렬로 간주되며, 이는 0이 아닌 경우에만 비싱글이 된다.이 경우 비퇴화 임계점은 두 번째 도함수의 부호에 따라 로컬 최대값 또는 로컬 최소값이 되며, 로컬 최소값은 양수이고 로컬 최대값은 음수입니다.2차 도함수가 null인 경우 임계점은 일반적으로 변곡점이지만 국소 최소값 또는 국소 최대값이 될 수 있는 파동점이 될 수도 있습니다.

변수가 n개인 함수의 경우 임계점에 있는 헤시안 행렬의 음의 고유값 수를 임계점 지수라고 합니다.비퇴화 임계점은 지수가 n인 경우에만 또는 동등하게 헤시안 행렬이 음의 유한인 경우에만 국소 최대값이다. 지수가 0인 경우 국소 최소값으로, 동등하게 헤시안 행렬이 양의 유한인 경우 국소 최소값이다.지수의 다른 값의 경우, 비퇴화 임계점은 안장점, 즉 어떤 방향에서는 최대점이고 다른 방향에서는 최소점이다.

최적화에의 적용

페르마의 정리에 따르면, 연속 함수의 모든 국소 최대값과 최소값은 임계점에서 발생한다.따라서 미분 가능한 함수의 국소 최대값과 최소값을 구하기 위해 이론적으로 구배 0과 이들 0에서 헤시안 행렬의 고유값을 계산하는 것으로 충분하다.이는 어려운 작업인 비선형 연립 방정식 해법을 필요로 하기 때문에 실제로는 잘 작동하지 않는다.일반적인 수치 알고리즘은 국소 극단을 찾는 데 훨씬 더 효율적이지만 모든 극단이 발견되었음을 증명할 수는 없습니다.특히, 글로벌 최적화에서는 이러한 방법으로는 출력이 글로벌 최적임을 보증할 수 없습니다.

최소화하는 함수가 다변량 다항식일 때 임계점과 임계치는 다항식 시스템의 해법이며, 이러한 시스템을 해결하기 위한 최신 알고리즘은 글로벌 최소값을 구하기 위한 경쟁력 있는 인증된 방법을 제공한다.

미분 가능한 지도의 임계점

R에서^m R로의 미분ⁿ 가능한 맵 f가 주어졌을 때, f의 임계점은 R의^m 점이며, 여기서 f의 야코비 행렬의 순위는 ^[5]최대가 아니다.f 아래의 임계점 이미지는 임계치라고 불립니다.임계값 집합의 보완점을 정규값이라고 합니다.Sard의 정리는 매끄러운 지도의 임계치 집합이 0을 측정한다고 말한다.

일부^[6] 저자는 약간 다른 정의를 제공한다: f의 임계점은 f의 야코비안 행렬의 순위가 n보다 작은 R의^m 지점이다.이 표기법에서는 m < n일 때 모든 포인트가 중요합니다.

이러한 정의는 다음과 같은 방법으로 미분 가능한 다양체 간의 미분 맵으로 확장된다. $f:V\rightarrow W$ $f:V\rightarrow W$ V $f:V\rightarrow W$ { $displaystyle$ f $:$ $V\rightarrow W}$ 는 $f:V\rightarrow W$ 각 치수 m과 n의 두 $매니폴드$ $V$ 와 W 사이의 미분 지도이다.차트는 V $및$ $f(p$ )의 점 p 근방에서 $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ : V $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ m $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ \ $displaystyle$ \ $varphi : V$ \ $rightarrow$ \ $mathbf { R$ } ^ { $m}$ 및 $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ : $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ . $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ n . \ $displaystyle \$ pi : $W\right 화살표 \mathbf {R}^{n}}$ $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ $\varphi (p)$ p는 f에 $대해$ 중요합니다 $\varphi (p)$ f $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ $\varphi (p)$ $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ on the $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ （ p $）$ \ $displaystyle \ pi$ \ $circ$ f \ $circ$ \ $varphi$ $^$ { - $1$ }.이 $\varphi (p)$ 정의는 그래프 선택에 의존하지 않습니다 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ .이러한 차분 맵은 그래프에 의해 곱셈됩니다.es Jacobian 행렬의 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ f $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ - $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ . $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ { $displaystyle \psi \circ$ f $\circ \varphi ^{-1}$ M이 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ 힐버트 다양체(유한 차원은 아님)이고 f가 실수치 함수인 경우 ^[7]p는 p에서 f의 임계점이라고 합니다.

응용 프로그램에서 토폴로지로

임계점은 다양체 및 실제 대수 변종의 위상을 연구하는데 기초적이다.특히, 그것들은 모르스 이론과 재앙 이론의 기본 도구이다.

임계점과 토폴로지 사이의 링크는 이미 하위 추상화 수준에서 나타납니다.예를 들어 V{\ $displaystyle$ V $}$ 를 $V$ $\mathbb {R} ^{n},$ n $,$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n},$ P를 $\mathbb {R} ^{n},$ $외부$ 점으로 $합니다$ $.$ {\ $displaystyle$ V $}$ 의 $V.$ $V$ $V$ 점까지의 $거리$ 의 제곱은 V $style$ 의 $각$ 구성요소가 포함된 미분 맵입니다.최소 임계점, 즉 거리가 최소인 경우.따라서 V{\ $displaystyle$ V $}$ 의 $V$ 연결된 컴포넌트 수는 임계점 수에 따라 제한됩니다.

실제 대수적 변종의 경우, 베주 정리와 관련된 이 관찰을 통해 우리는 그 변종을 정의하는 다항식의 차수 함수에 의해 연결된 성분의 수를 제한할 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 유지보수: 기타 (링크)
^ Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.
^ Larson, Ron (2010). Calculus. Edwards, Bruce H., 1946- (9th ed.). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.
^ ^a ^b Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. p. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.
^ Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
^ Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.
^ Serge Lang, 미분기하학의 기초, 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

[:0-1] Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 유지보수: 기타 (링크)

[2] Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.

[3] Larson, Ron (2010). Calculus. Edwards, Bruce H., 1946- (9th ed.). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.

[:1-4] Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. p. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.

[5] Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.

[6] Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.

[7] Serge Lang, 미분기하학의 기초, 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

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