치환 행렬

수학에서, 특히 행렬 이론에서, 치환 행렬은 각 행에 정확히 1의 엔트리가 있고 각 열과 0의 엔트리가 있는 정사각형 이진 행렬입니다.이러한 각 행렬( $예$ : P)은 m개의 $원소$ 의 순열을 나타내며, 다른 행렬( $예$ : A)을 곱할 때 $행렬$ A의 행(예: PA) 또는 열(예: AP)이 허용된다.

정의.

m개의 원소의 치환 $θ$ 가 주어지면,

\displaystyle \pi : \ldots 1,\ldots , m \rbrace \ to \lbrace 1,\ldots , m \rbrace }

2행 형태로 나타나다

{pmatrix} 1&\pi (1)&\pi (2)&\pi (m)\end {pmatrix

순열을 순열 행렬과 연관짓는 두 가지 자연적 방법이 있다. 즉, m × m 동일성 행렬에서 $시작$ 하여_m §에 따라 열을 허용하거나 행을 허용한다.치환행렬을 정의하는 두 가지 방법은 문헌에 나타나며, 하나의 표현으로 표현되는 특성은 다른 표현으로 쉽게 변환될 수 있다.이 문서에서는 주로 이러한 표현 중 하나를 다루고 다른 하나는 인식해야 할 차이가 있을 때만 언급합니다.

$항등행렬 m$ I의 열을 환산하여 얻은 m × m 치환행렬_$π$ P = (p_ij) 즉, 각 $i$ 에_ij 대해 j = $δ$ (i)이면 p = 1이고 $그렇지 ij$ 않으면 p = $0$ 이면 p = 1을 이 ^[1]기사에서 열 표현이라고 한다.i행의 엔트리는 모두0 이므로 1 $이$ 컬럼 ((i)에 표시되어 있는 것을 제외하고 기입할 수 있습니다.

P_{\pi }=display{bmatrix}\mathbf {e}_{\pi(1)\\mathbf {e}\vdots\mathbf {e}_{\pi(m)}\end{bmatrix}}}

$\mathbf {e} _{j}$ 서 e $\mathbf {e} _{j}$ j $\mathbf {e} _{j}$ 는 표준 기저 벡터이며, 길이 m의 행 벡터는 j번째 위치에 1, 기타 모든 ^[2]위치에 0입니다.

예를 들어 치환 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ ( $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ 5 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ ) $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ { $displaystyle$ \ $pi = displaystyle$ { $pmatrix }$ 1 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ & $2$ & $4$ & 5 \ $1$ & $4 & 5$ & $3 \ end$ { $pmatrix$ } } 에는 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ 다음과 같은 치환 행렬이_$π$ 있습니다.

P_{\pi}={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{\pi ᆨ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆩ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆪ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆫ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆬ}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{1}\\\mathbf{e}_{4}\\\mathbf{e}_{2}\\\mathbf{e}_{5}\\\mathbf{e}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&a.융점, 1&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0& 1\\0&1&0&0\end {bmatrix}.

$이제 5$ I 정체성 행렬의 j번째 열이 P의_$π$ $θ$ (j)번째 열로 나타나는 것을 관찰하십시오.

$항등행렬 m$ I의 행, 즉 각 j에_ij 대해 i = $δ$ (j)이면_ij p = 1, 그렇지 않으면 p = 0을 $대입$ 하여 얻은 다른 표현은 행 표현이라고 한다.

특성.

치환행렬의 열 표현은 특별히 지시된 경우를 제외하고 이 섹션 전체에서 사용됩니다.

열 $P_{\pi }$ g에 P ${\$ {\ $displaystyle$ P_ ${\pi$ }}를 $P_{\pi }$ $P_{\pi }$ 벡터의 행이 허용됩니다.

P_{\pi}\mathbf {g} =display{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (2)\vdots \\mathbf {e} _{\pi (n)\end {matrix} {g}

이 결과를 반복적으로 사용하면 M이 적절한 크기의 매트릭스일 $경우$ , $P_{\pi }M$ $P_{\pi }M$ M {\ $display$ P_{\ $pi }M}$ 은 $P_{\pi }M$ $M$ 의 행의 치환에 불과함을 알 수 있다.다만, 그것을 관찰하면

P_{\pi }\mathbf {e}_{k}^{\mathsf {T}=\mathbf {e}_{\pi ^{-1}(k)}^{\mathsf {T}}}

각

k에 대해 행의 순열은

θ

로⁻¹ 나타납니다. (

M^{\mathsf {T}}

T

M^{\mathsf {T}}

{\

displaystyle

M

^{\mathsf {T}}

는

M^{\mathsf {T}}

행렬

M의 전치).

치환행렬은 직교행렬이므로( $즉$ , P $t$ $P_{\pi }P_{\pi }^{\mathsf {T}}=I$ = $=$ I {\ $style$ P_ ${\$ pi $} P_$ {\pi $}^{\mathsf$ { $T}=$ I}), 역행렬은 존재하며 다음과 같이 쓸 수 있다.

{{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}=P_{\pi }^{\mathsf {T}}.}

행 벡터h에 P ${\$ {\ $displaystyle P_{\pi$ }}를 $P_{{\pi }}$ 곱하면 벡터의 열이 허용됩니다.

\displaystyle \mathbf {h} P_{\pi } = scd {bmatrix} h_{1}&\cdots &\{n}\end {bmatrix} {\pi(1)\\\mathbf {e} _\piots}

다시 이 결과를 반복 적용하면 $행렬$ M에 치환 $행렬 π$ $P$ 를 곱하면 $M$ 의_π $열$ 이 순화됨을 알 수 있다.또한 주의해 주세요.

\mathbf {e} _{k}P_{\pi }=\mathbf {e} _{\pi (k)}

m 원소의 $2개$ 의 순열 $θ$ 와 $θ$ 가 주어졌을 때, 컬럼 벡터에 작용하는 대응하는 순열 $행렬 π$ $P$ 와_σ P는 다음과 같이 구성된다.

\displaystyle P_{\sigma }P_{\pi },\mathbf {g}=P_{\pi},\displaystyle,\sigma},\mathbf {g}.}

행 벡터에 작용하는 동일한 행렬(즉, 곱셈 후)이 동일한 규칙에 따라 구성됩니다.

\mathbf {h} P_{\sigma}=\mathbf {h} P_{,\pi},\displaystyle,\sigma}}

알기 쉽게 하기 위해 위의 공식은 치환 합성에 프레픽스 표기법을 사용합니다.즉, 다음과 같습니다.

(\displaystyle)(\pi \,\displaystyle)(k)=\pi \left(\displaystyle(k)\right).}

Let $Q_{\pi }$ be the permutation matrix corresponding to $π$ in its row representation.이 표현의 속성은 Q $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ P $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ T $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ - $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ 1 . $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ { $display style$ Q_ ${\pi$ } = $P_{\pi }^{\mathsf {$ T} = $P_{\pi$ }^{- $1}$ } $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ 의 $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ 열 표현 속성에서 확인할 수 있습니다.

Q_{\pi }\mathbf {e}_{\mathsf {T}=P_{\pi}^{-1}}\mathbf {e}_{{\mathsf {T}=\mathbf {e}_{{\pi ^-1}} {e}_{\mathbf {e} {e}}} {mathbf} {e} {e} {mathbf} {e} {maths} {e} {e}

이것으로부터 다음과 같다.

\displaystyle Q_{\sigma },\mathbf {g} =Q_{,\sigma,\pi},\mathbf {g}.

유사하게,

\displaystyle \mathbf {h},Q_{\sigma },Q_{\sigma},\mathbf {h},Q_{\sigma \,\pi }.}

실수 엔트리가 있는 행렬로 볼 때 순열 행렬은 모두 ^{[citation needed]}음이 아닌 직교 행렬로 특징지을 수 있습니다.

행렬군

(1)이 항등변환을 나타내면 $P$ 는₍₁₎ 항등행렬이다.

$S$ 는_n {1,2,..., $n$ }에서 대칭 그룹 또는 순열 그룹을 나타냅니다.n $!$ 순열이 $있으므로$ n $!$ 순열 행렬이 $있습니다$ . $위$ 의 공식에 따르면 n × $n$ 치환행렬은 항등행렬을 항등원소로 하는 행렬 곱셈 아래 군을 형성한다.

열 표현에 순열을 보내는 $지도 n$ S → $GL(n,$ $Z 2)$ 은 충실한 표현이다.

이중 확률 행렬

치환행렬은 그 자체로 이중 확률행렬이지만, 이러한 행렬의 이론에서 특별한 역할을 하기도 한다.Birkhoff-von Neumann 정리는 모든 이중 확률적 실행렬은 같은 순서의 순열 행렬의 볼록한 조합이며, 순열 행렬은 정확히 이중 확률 행렬 집합의 극점이라고 말한다.즉, 이중 확률 행렬 집합인 Birkhoff polytope는 ^[3]치환 행렬 집합의 볼록 선체이다.

선형 대수 특성

치환 행렬의 궤적은 치환의 고정점 수입니다.순열이 고정점을 가지므로 $θ$ = ( $a 1)(a 2)...$ ( $a k)$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $θ$ 는_a₁ 고정점을 가지지 않으며, $e a 2,$ e, …, $e$ 는_{a_k} 순열 행렬의 고유 벡터이다.

$P_{\sigma }$ P ${\$ { \ $displaystyle$ P $_$ { \ $sigma }$ } $P_{\sigma }$ $\sigma$ $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ $C1$ $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ C $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ { $1$ } $C_{2$ }\ $cdots C_$ {t $\sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}$ of of of of of of of of of of of to of of to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to $to$ to to to to to $tyle l_{1},l_{2}...$ $l_{t$ 및 $R_{i}(1\leq i\leq t)$ $R_{i}(1\leq i\leq t)$ i $R_{i}(1\leq i\leq t)$ t $){$ $displaystyle R_{i}(1\leq$ i\ $leq$ t $)}$ 를 $R_{i}(1\leq i\leq t)$ $x^{l_{i}}=1$ $x^{l_{i}}=1$ $x^{l_{i}}=1$ $=$ 1({ $displaystyle$ x $^{l_i$ }= $1$ 의 복소해 세트라고 $R_{i}(1\leq i\leq t)$ . $R_{i}$ $\$ 의 $R_{i}$ 합계는 대응하는 치환 매트릭스의 고유값 세트입니다.각 고유값의 기하학적 다양성은 해당 ^[4]고유값을 포함하는 $R_{i}$ i $(\$ )의 $R_{i}$ 와 같습니다.

그룹 이론에서 우리는 어떤 치환도 전이의 산물로 쓰여질 수 있다는 것을 안다.따라서 행렬식 -1을 갖는 행 교환 기본 행렬의 곱인 모든 치환 $행렬$ P 요인.따라서 $치환행렬$ P의 행렬식은 대응하는 치환의 시그니처이다.

예

행 및 열의 순열

행렬 M에 왼쪽의 치환 행렬 P를 곱하여 PM을 만들면 M의 행을 허용한 결과입니다.특별한 경우로, M이 열 벡터일 경우 PM은 M의 엔트리를 허용한 결과입니다.

P · (1, 2, 3, ^T4 ) = (4, 1, 3, ^T2)

대신 M에 MP를 만들기 위해 오른쪽에 있는 치환 행렬을 곱하면 M의 열을 허용한 결과입니다.특별한 경우로서 M이 행 벡터일 경우 MP는 M의 엔트리를 허용한 결과입니다.

(1, 2, 3, 4) · P = (2, 4, 3, 1)

행의 순열

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ ( $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ 4 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ 2 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ $){$ $displaystyle \pi = spmatrix }1&2&3&5\1&4&5&3\end{pmatrix}}$ 에 대응하는 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}$ 치환행렬_π P는 다음과 같다.

P_{\pi}={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{\pi ᆨ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆩ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆪ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆫ}\\\mathbf{e}_{\pi ᆬ}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{1}\\\mathbf{e}_{4}\\\mathbf{e}_{2}\\\mathbf{e}_{5}\\\mathbf{e}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&a.융점, 1&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0& 1\\0&1&0&0\end {bmatrix}.

벡터 g가 주어지면

P_{\pi }\mathbf {g} = syslog {bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (2)\mathbf {e} _{\pi (3)\mathbf {e} {\pi} {\f}

설명.

치환 행렬은 항상 다음과 같습니다.

{bmatrix}\mathbf {e}_{a_{1}\\mathbf {e}\vdots \\mathbf {e}_{a_{j}}\\end{bmatrix}}}\mathbf {e

여기서_{a_i} e는 R의^j ih 베이스 벡터(행으로서)를 나타냅니다.

{bmatrix}1&\ldots & j\a_{1}&a_{2}&a_{j}\end{bmatrix}

는 치환 행렬의 치환 형식입니다.

행렬 곱셈을 할 때 기본적으로 첫 번째 행렬의 각 행과 두 번째 행렬의 각 열의 점곱을 형성합니다.이 경우, 우리는 이 행렬의 각 행의 도트곱을 우리가 순열하고 싶은 요소의 벡터로 형성할 것이다.즉, 예를 들어 v = (g₀,......^Tg₅),

e_{a_i}·v = g_{a_i}

따라서, 위의 벡터 v를 가진 치환 행렬의 곱은 벡터 (g_a₁, g_a₂, ..., g_{a_j})가 될 것이고, 이것은 우리가 치환 형태가 다음과 같다고 말했기 때문에 v의 치환이다.

({displaystyle {pmatrix} 1&2&\ldots &j\a_{1}&a_{2}&a_{j}\end{pmatrix})}

즉, 치환 행렬은 벡터에 요소를 곱한 순서를 실제로 가능하게 합니다.

제한된 양식

Costas 배열, 엔트리 간의 변위 벡터가 모두 다른 치환 행렬
대각선 및 반대각선 각각에 최대 1개의 엔트리가 있는 순열 행렬인 n자 퍼즐

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 용어는 표준어가 아닙니다.대부분의 저자들은 자신이 도입한 다른 표기법과 일치하도록 하나의 표현을 선택하기 때문에 일반적으로 이름을 입력할 필요가 없습니다.
^ 브루알디 (2006) 페이지 2
^ 브루알디 (2006) 19페이지
^ J Najnudel, A Nikeghbali 2010 페이지 4

Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4. Zbl 1106.05001.
Joseph, Najnudel; Ashkan, Nikeghbali (2010), The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices, arXiv:1005.0402, Bibcode:2010arXiv1005.0402N

[1] 용어는 표준어가 아닙니다.대부분의 저자들은 자신이 도입한 다른 표기법과 일치하도록 하나의 표현을 선택하기 때문에 일반적으로 이름을 입력할 필요가 없습니다.

[Bru2-2] 브루알디 (2006) 페이지 2

[Bru19-3] 브루알디 (2006) 19페이지

[J_Najnudel2010_4-4] J Najnudel, A Nikeghbali 2010 페이지 4

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
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목차

정의.

특성.

행렬군

이중 확률 행렬

선형 대수 특성

예

행 및 열의 순열

행의 순열

설명.

제한된 양식

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