텐서 밀도

미분 기하학에서 텐서 밀도 또는 상대 텐서는 텐서장 개념의 일반화다. 텐서 밀도는 좌표계로부터 다른 좌표계로 전달될 때 텐서장(텐서장 참조)으로 변환된다. 단, 좌표 전환 함수 또는 좌표 절대값의 Jacobian 결정 인자의 검정력 W에 의해 추가적으로 곱하거나 가중된다. (정확한) 텐서 밀도, 유사텐서 밀도, 고른 텐서 밀도 및 홀수 텐서 밀도 사이에서 구별된다. 때로는 음의 무게 W의 텐서 밀도를 텐서 용량이라고 한다.^[1][2][3] 텐서 밀도는 밀도 묶음을 가진 텐서 묶음의 텐서 생산물의 한 부분으로 간주될 수 있다.

동기

물리학이나 관련 분야에서는 물체 자체보다는 대수적 물체의 구성요소로 작업하는 것이 유용할 때가 많다. 예를 들면 벡터를 다음과 같은 일부 계수에 의해 가중된 기본 벡터의 합으로 분해하는 것이다.

${\displaystyle {\v}=c_{1}{\vec {e}_{1}+c_{2}}}{\vec{e}_{2}+c_{3}}}{\vec{e}_{3}}}$

여기서 $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은(는) 3차원 유클리드 공간의 벡터로서, ${\displaystyle c_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$r ${\displaystyle Rn}$과 e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle c_{i}\in \mathb {R}^{n}{n}{\vec{e$}}}}}}}}}}}}}{{{{{{\vec{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}{$i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 이는 보통 계산 목적에 필요하며 대수적 객체가 복잡한 추상화를 나타내지만 그 구성요소가 구체적인 해석을 가지고 있을 때 통찰력이 있는 경우가 많다. 그러나 이러한 식별을 통해 수량이 확장되는 기초의 변화를 추적하는 데 주의해야 한다. $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$이(가) 물리적 공간에 고정되어 있는$$ 동안, 계산 과정에서 기초를 변경하는 것이 편리해질 수 있다. 보다 일반적으로 대수적 물체가 기하학적 물체를 나타내지만 특정한 기초의 관점에서 표현된다면, 그 기초가 바뀌었을 때 그 표현도 바꿀 필요가 있다. 물리학자들은 종종 이러한 기하학적 물체의 표현을 선형의 기초변화가 주어진 일련의 선형 지도에 따라 변환한다면 텐서(tensor)라고 부를 것이다(다른 사람들은 혼란스러울 정도로 좌표변환 하에서 변하지 않은 밑바탕의 기하학적 물체를 "텐서(tensor)"라고 부르지만, 이 논문이 엄격히 회피하는 관습이다. 일반적으로 기하학적 불변제를 표현에서 재구성하는 방법에 따라 임의로 변형하는 표현들이 있다. 특별한 경우 텐서처럼 거의 변환되지만 변환에 비선형 인자가 추가되는 표현을 사용하는 것이 편리하다. 프로토타입 예는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 교차 제품(스팬 병렬사진 영역)을 나타내는 행렬이다$.$ 표현은 표준 기준에서 다음과 같이 제시된다.

${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$

만일 우리가 이제 근거가 표준 기준 이외에 이 같은 표정을 표현하려고 한다면, 매개 곤충의 요소들을 변화시킬 것입니다,[u1′ u2′]T=A[u1u2]T{\textstyle{\begin{bmatrix}u'_{1}&amp에 따르면;u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&, u_ 말한다.{2}\end{$bmatrix}^{\textsf{T}}$ 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$은(는) 실제 숫자의 2x2 행렬이다$$. spaned parallelogram(스팬스 평행사변형)의 영역이 기하학적 불변성이므로, 기초의 변경에 따라 변할 수 없었으므로, 이 행렬의 새로운 표현은 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle \left(A^{-1}\오른쪽)^{\textsf{T}{\begin{bmatrix}0&1\&0\end{bmatrix}}}}}A^{-1}$

확장된 것이 원래 표현이지만 $A{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ A$^{-1$}의 결정 인수에 곱한 경우$,$ 이 표현은 또한 $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{\det }{}$ A ${\$ 사실 이 표현은 두 개의 인덱스 텐서 변환으로 생각할 수 있지만, 그 대신에 계산적으로 10개의 인덱스 텐서 변환을 생각하는 것이 더 쉽다.sorr 변환 규칙은 $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{\det }{}$ A {\$textstyle {\frac {1}{\dete$ A}, $2개의$매트릭스 승수가 아닌 2개의 매트릭스 승수$($사실상 더 높은 차원에서는 $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ $n$$,n\time n$$}$ 매트릭스$$ 승수인데, 큰 $n{\displaystyle }${\$disables$는 완전히$$ 불가능하다. 이렇게 변형되는 물체는 영역과 부피에 관한 문제를 고려할 때 자연적으로 발생하기 때문에 텐서 밀도(tensor density)라고 불리며, 통합에 자주 사용된다.

정의

일부 저자들은 이 글에서 텐서 밀도를 (인증) 텐서 밀도와 유사텐서 밀도라고 불리는 두 가지 유형으로 분류한다. 다른 저자들은 그것들을 고른 텐서 밀도와 홀수 텐서 밀도라고 불리는 유형으로 다르게 분류한다. 텐서 밀도 무게가 정수일 경우, 정수가 짝수인지 홀수인지에 따라 이러한 접근법 사이에 등가성이 있다.

이러한 분류는 방향 반전 좌표 변환에서 텐서 밀도가 다소 병리적으로 변형될 수 있는 다양한 방법을 설명한다는 점에 유의한다. 이러한 유형으로 분류되는 것과 관계없이, 방향 유지 좌표 변환 하에서 텐서 밀도가 변환되는 방법은 단 한 가지뿐이다.

이 기사에서는 공변량 지수로 표현된 미터법 텐서 결정 인수에 +2의 가중치를 할당하는 규약을 선택했다. 이 선택으로, 전하 밀도와 같은 고전적 밀도는 중량 +1의 텐서 밀도로 표현될 것이다. 일부 저자들은 여기에 제시된 가중치의 부정인 가중치에 대해 기호 규약을 사용한다.^[4]

이 글에서 사용된 의미와 대조적으로 일반 상대성 이론에서 "가사성"은 어떤 무게의 텐서나 상대 텐서처럼 변형되지 않는 물체를 의미하기도 한다.

텐서 및 유사센서 밀도

예를 들어 W 중량의 혼합 순위 2(인증) 텐서 밀도는 다음과 같이 변환된다.^[5][6]

${\displaystyle {\mathfrak{T}_{\beta }^{\\alpha }=\lift(\departial[{\frac {\x}^{x}^{\iota}}}{\partial {x}^{\gamma}}}\rigma}\오른쪽)^{{{{{{{{{{{{}}}}}}\rigma)}}}}}}}}}}}}}}\rigin)^{{{{{{{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$ ((정확한) 중량 W의 텐서 밀도

여기서 $'{\$는 x$'{\$ 좌표계의$$ 2위 텐서 밀도$$, T ${\$ ${\$$mathfak{T}}}}$는 $x{\displaystyle }$ ${\$좌표계의$$ 변환 텐서 밀도 밀도이며$$, 우리는 자코리안 결정제를 사용한다. 결정요소는 음수가 될 수 있기 때문에, 방향 역전 좌표 변환에 해당하기 때문에, 이 공식은 W가 정수일 때만 적용된다. (단, 아래의 짝수 텐서 밀도와 홀수 텐서 밀도를 참조한다.)

우리는 방향 반전 좌표 변환 아래에 추가 부호 플립이 있을 때 텐서 밀도는 유사 감도 밀도라고 말한다. 중량 W의 혼합 순위 2 유사 분석기 밀도는 다음과 같이 변환된다.

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$ (체중 W의 pseudotensor 밀도)

여기서 sgn( )은 인수가 양수일 때 +1을 반환하고 인수가 음수일 때 -1을 반환하는 함수다.

균등 및 홀수 텐서 밀도

짝수 텐서 밀도와 홀수 텐서 밀도에 대한 변환은 W가 정수가 아닐 때에도 잘 정의되는 이점이 있다. 따라서 무게 +2의 홀수 텐서 밀도 또는 무게 -1/2의 짝수 텐서 밀도라고 말할 수 있다.

W가 짝수 정수일 때 (확실한) 텐서 밀도에 대한 위의 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$ (무게의 고른 밀도 W)

마찬가지로 W가 홀수 정수일 때 (확실한) 텐서 밀도의 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\부분적인 {\bar {{x}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }\,{\bar {\mathfak{T}}}_{\epsilon }^{\delta }\}\,}$ (중량 W의 텐서 밀도 이상)

0과 1의 가중치

무게가 0인 모든 유형의 텐서 밀도를 절대 텐서라고 부르기도 한다. 0중량의 진짜 텐서 밀도는 보통 텐서라고도 불린다.

가중치를 지정하지 않고 특정 가중치가 필요한 맥락에서 "상대적" 또는 "밀도"라는 단어를 사용하는 경우, 보통 가중치는 +1로 가정한다.

대수적 특성

1. 동일한 유형과 중량 W의 텐서 밀도의 선형 결합(가중치합)은 다시 해당 유형과 중량의 텐서 밀도가 된다.
2. 모든 유형의 두 개의 텐서 밀도와 중량 W와₁ W의₂ 텐서 밀도는 중량₁ W + W의₂ 텐서 밀도다.

   정품 텐서 밀도와 유사텐서 밀도의 생산물은 짝수 인자가 유사텐서 밀도일 때 진짜 텐서 밀도가 될 것이다; 홀수 인자가 유사텐서 밀도일 때 그것은 유사텐서 밀도가 될 것이다. 마찬가지로, 고른 수의 인자가 홀수 텐서 밀도일 때 고른 텐서 밀도와 홀수 텐서 밀도를 갖는 생산물은 짝수 텐서 밀도가 될 것이다; 홀수 수의 인자가 홀수 텐서 밀도일 때 홀수 텐서 밀도가 될 것이다.

3. 무게 W에 대한 텐서 밀도에서 지수의 수축은 다시 무게 W의 텐서 밀도를 산출한다.^[7]
4. (2)와 (3)을 사용하면 미터법 텐서(중량 0)를 사용하여 지수를 올리고 내리는 것은 가중치를 변경하지 않는 것을 알 수 있다.^[8]

텐서 밀도의 행렬 반전 및 행렬 결정인자

$T{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$이(가$$) 비성격 행렬이고 공변량 지수를 가진 W 등급 2 텐서 밀도 중량 -W일 경우 그 행렬 역행렬은 역행렬 지수를 갖는 2등급 텐서 밀도가 된다. 유사한 진술은 두 지수가 반비례적이거나 혼합 공변량과 반비례적일 때 적용된다.

If ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ is a rank-two tensor density of weight W with covariant indices then the matrix determinant ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ will have weight NW + 2, where N is the number of space-time dimensions. $T{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\mathfak{T}^{\alpha \beta}}}}}}}}$이(가) 역가 지수를 가진 W 등급 2 텐서 밀도인$$ 경우, 매트릭스 결정 물질 ${\displaystyle Det}$ $T$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\mathfak{T}^{\alpha \beta }}}}$은(중량) - 2가 된다$$. 매트릭스 결정인 ${\displaystyle dett}$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는$$) 중량이 NW이다.

일반상대성

Jacobian 결정요소와 측정기준 텐서와의 관계

임의의 노래 이외의 일반 텐서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 변환$$

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$

우측을 3개의 행렬의 산물로 볼 수 있는 곳 방정식의 양쪽의 결정인자를 취함(매트릭스 제품의 결정인자가 결정인자의 산물이라는 점을 이용), 양쪽을 ${\displaystyle 데트({\stackrel{}{}\kappa }_{}{\lambda }_{}}$ $){\$로 나눈 다음 제곱근을 구한다.

${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$

When the tensor T is the metric tensor, ${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda }}$, and ${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$ is a locally inertial coordinate system where ${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$ diag(−1,+1,+1,+1), the Minkowski 메트릭을 선택한 다음 ${\displaystyle det({\stackrel{\text{'}}{}s}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle det({}_{}{\det }_{}}$ ${\displaystyle {\eta }_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \det \leftleft\bar{g}_{\cappa \}\$$오른쪽)$$=\det(\eta _{\kappa \lambda }}=}$ -1$$ 등

${\displaystyle \left\vert \det {\frac {\bar}^{\iota}}{\x}^{x}}}{\x}^{}\iota}}}}}{\vert = {\sqrt {-{g}}}}\}}}\}}}}}}}}}}$

여기서 $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$μ$)$ {\$displaystyle$ {g$}=\det \left}g}_${\$mu$\nu }\오른쪽$$$)$은 메트릭 텐서 g ${\displaystyle {\mu }_{}}$의 결정인자$({\$ {g$}_{\mu \nu$ \nu$$$}).$

미터법 텐서 사용으로 텐서 밀도 조절

따라서 무게 W의 고른 텐서 밀도 $T{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}^{}}$ …$$… {\$displaystyle$ {\$mathfrak{T}_{\nu$ \dots$}^{\mu$ \dots$\}\}\}\}\}\}$의 형태로 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{T}_{\nu \dots }^{}^{\\mu \dots }={\sqrt{-g}\^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots}}}}}}$

여기서 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}^{}}$… ${\displaystyle {}_{}^{}}$… $displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$은(는) 일반적인 텐서다$$. In a locally inertial coordinate system, where ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }}$, it will be the case that ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ and ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ will be represented with 같은 수

미터법 연결(Levi-Civita 연결)을 사용할 때, 짝수 텐서 밀도의 공변량 파생물은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathfrak{T}_{\nu \dots ;\alpha }^{\\sqrt{-g}\^{\w}T_{\nu \dots ;\lapa }^{}}={\sqrt{-g}};^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^}W}\왼쪽({\sqrt {-g}\;^{-W}{\mathfrak {T}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\오른쪽)_{;\alpha }\,}$

임의 연결의 경우 공변량 파생상품은 추가 용어(즉, 추가 용어)를 추가하여 정의된다.

${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfak {T}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}}}}}}}}}}}}$

일반 텐서의 공변량 파생상품에 적합한 표현으로.

동등하게, 제품 규칙은 준수된다.

${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}$

여기서, 미터법 연결의 경우, $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ g_${\kappa \dada }}$의 어떤 함수의 공변량 파생상품은 항상 0이다$$.

${\displaystyle {\displaysty}g_{\kappa \dada ;\not }&=0\\\sqrt {-g}\;^{W}\오른쪽)_{;\알파 }&=\왼쪽({\sqrt{-g}\;^{W}\오른쪽)_{,\알파 }-W\감마 _{~\delta \alpha \delta }^{\sqrt{-g}\^{\sqrt{-g}\;^{}W}={\frac{W}{2}}g^{{}g^{\lambda }g_{\cappa \lambda,\alpha }{\sqrt {-g}\^{W}-W}-W_{\delta \delta \lpha }{sqrt{-g}}}};}}^.W}=0\,.\end{aigned}}$

예

$-{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{g}}$ ${\$이라는 표현은$$ 스칼라 밀도 입니다. 이 기사의 관례에 따라 그것은 +1의 무게를 가진다.

The density of electric current ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$ (e.g., ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$ is the amount of electric charge crossing the 3-volume element ${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$ divided by that element — do not use the metric in this 계산)은 무게 +1의 역방향 벡터 밀도다. It is often written as ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$ or ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!}$, where ${\displaystyle J^{\mu }$$\,}$과(와) 미분형 $J{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$γ {\$displaystyle${\$mathcal{J}_${\\alpha $\beta$ \$gamma$$}}}}}}}$은 절대 텐서이며, $여기$서 ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ $\${\$displaystylepton$ \$valphilon$ ^{\$ma$\va $\va$ \$va$ \beta \bepilon $}}}}}}}}$은 리바이타 \c.

The density of Lorentz force ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$ (i.e., the linear momentum transferred from the electromagnetic field to matter within a 4-volume element ${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$ divided by that element — do not use the metric in this calculation)은 중량 +1의 공변량 벡터 밀도다.

N차원 공간 시간에서 Levi-Civita 기호는 N등급 공변량(odd) 정통 텐서 밀도 중량 -1(migrade_α1⋯αN) 또는 N등급 반크라바리안트(odd) 정통^α₁⋯α_N 텐서 밀도 +1(migrate)로 간주할 수 있다. Levi-Civita 기호(그러므로 간주)는 미터법 텐서(tensor)로 지수를 올리거나 내리는 일반적인 관례를 따르지 않는다는 점에 유의하십시오. 즉, 라는 것은 사실이다.

$\displaystyle \varepsilon ^{\now \buff \no}\,g_{\buffa \no}\,=\\bapepsilon _{\appa \mu \nu \nu \},g\cappa \mu \nu \no,g\no.$

그러나 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 항상 음수인 일반 상대성에서는, 이것은 결코 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ ν ${\$과(와) 같지 않다$.$

미터법 텐서 결정요인,

${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\오른쪽)={\frac {1}{4!}}}\barepsilon ^{\reason \cHB \cHB \barepsilon ^{\bappa \mu \nu \nu }g_{\bu \g_{\buffa \mu }g_{}g_{\bu \nu \nu \nu \}}}$

무게 +2의 진정한 스칼라 밀도(짝수)이다.

참고 항목

• 상대 스칼라
• 유사센서
• 노에더의 정리
• 변동 원리
• 보존법
• 작용(물리학)

메모들

참조

• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I (3rd ed.), p. 134.
• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Tensor Density", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Charles Misner; Kip S Thorne & John Archibald Wheeler (1973). Gravitation. W. H. Freeman. p. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5