스퀴즈 맵핑

r = 3/2 스퀴즈 매핑

선형 대수학에서 스퀴즈 맵핑은 카르테스 평면에 있는 지역의 유클리드 영역을 보존하는 선형 맵의 일종이지만 회전이나 전단 맵핑은 아니다.

고정된 양의 실수 $a$ 의 경우, 매핑

(x,y)\mapsto(ax,y/a)}

매개 변수 $a$ 와 함께 스퀴즈 매핑이다. 이후

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {mathrm} \}

$u$ = $도끼$ 와 v = $y / a이면$ $uv$ = $xy$ 이고 스퀴즈 매핑 이미지의 포인트가 ( $x, y)$ 와 동일한 하이퍼볼라 위에 있다. 이 때문에 1914년 에밀 보렐이 그랬던 것처럼 ^[1]원을 보존하는 원형 회전과 유추하여 압착 맵핑을 쌍곡선 회전이라고 생각하는 것은 당연하다.

로그 및 쌍곡선 각도

스퀴즈 맵핑은 로그 개념의 개발을 위한 단계를 설정한다. 하이퍼볼라( $xy =1$ )로 경계된 영역을 찾는 문제는 사분법 중 하나이다 $.$ 1647년 그레고아르 드 생 빈센트와 알퐁스 안토니오 데 사라사가 발견한 이 솔루션은 새로운 개념인 자연 로그 함수를 필요로 했다. 로그에 대한 일부 통찰력은 쌍곡선을 통해 제공되며, 쌍곡선은 영역을 보존하면서 매핑을 짜서 순열한다. 쌍곡선 부분의 면적은 그 부문과 관련된 쌍곡선의 각도의 척도로서 취해진다. 쌍곡각 개념은 일반적인 원형 각도와는 상당히 독립적이지만, 그것과 불변성의 속성을 공유한다. 반면에 원곡각은 회전할 때 불변하는 반면, 쌍곡각은 압착 매핑 시 불변한다. 원형과 쌍곡선 모두 서로 다른 변환 그룹에 대해 불변 측정값을 생성한다. 쌍곡선을 인수로 삼는 쌍곡선 함수는 원형 각도 인수로 순환 함수가 수행하는 역할을 수행한다.^[2]

집단 이론

스퀴즈 맵핑은 한 보라색 쌍곡선 부문을 같은 영역을 가진 다른 부위로 이동시킨다.
파란색과 초록색 사각형도 짜낸다.

1688년에, 추상적인 그룹 이론 곧, 압착 매핑 유클리드 Speidell에 의해 하루의 측면에서:"설명한 스퀘어 Oblongs이 어떻게 곡선은 낳은 어떤 쌍곡선을 맞아 Angled 콘에 새겨진 같은 속성 또는 애정 Superficies, 각각의 정사각형을 하는에 대한 무한한 회사로부터 승인을 받았습니다"[3]

$r$ 과 $s$ 가 양의 실수인 경우, 압착 매핑의 구성은 제품의 압착 매핑이다. 따라서 스퀴즈 매핑의 집합은 양의 실수의 곱셈 그룹에 대해 1-모수 집단을 이형화한다. 이 그룹에 대한 추가 견해는 쌍곡선 부문과 쌍곡선 각도에 대한 고려에서 발생한다.

고전파 그룹의 관점에서 보면, 압착 매핑 그룹은 $SO + (1,1$ )로 $,$ 2차 형태 $u 2$ - $v$ 를² 보존하는 2×2 실제 행렬의 무기한 직교 그룹의 정체성 성분이다. 이는 기초변경을 통해 $xy형식$ 을 보존하는 것과 같다.

[\displaystyle x=u+v,\display y=u-v\}

그리고 기하학적으로 하이퍼볼레를 보존하는 것과 일치한다. 압착 매핑 그룹의 쌍곡선 회전으로 보는 관점은 그룹 $SO(2)($ 확정직교 그룹의 연결된 구성요소)를 $2차적 2$ 형태 x + $y$ 를² 원형 회전으로 보존하는 것과 유사하다.

" $SO +$ " 표기법은 반사가 있다는 사실과 일치한다는 점에 유의하십시오.

(\displaystyle u\mapsto -u,\display v\mapsto -v}

are not allowed, though they preserve the form (in terms of $x$ and $y$ these are $x \mapsto y, y \mapsto x$ and $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; the additional " $+$ " in the hyperbolic case (as compared with the circular case) is necessary to specify the identity component because the group $O(1,1)$ has $4$ connected components, while the group $O(2)$ has $2$ components: $SO(1,1)$ has $2$ components, 반면 $SO(2)$ 는 1만 가지고 있다. 스퀴즈 변환이 영역과 방향을 보존한다는 사실은 이 경우 영역과 방향을 보존하는 특수 선형 변환 그룹에 쌍곡선 회전 부분군의 $부분군$ $SO$ $(1$ ,1) $SL(2)$ 을 포함하는 것과 일치한다. 뫼비우스 변환의 언어에서 압착 변환은 원소 분류에 있어서의 쌍곡성 원소들이다.

적용들

여기 일부 신청서는 역사적 참고자료로 요약되어 있다.

상대론적 공간 시간

Spacetime 기하학은 관례적으로 다음과 같이 개발된다. 스페이스의 "여기서 지금"에 대해 (0,0)을 선택하십시오. 이 중앙 이벤트를 통해 왼쪽과 오른쪽을 복사하는 빛은 (0,0)에서 떨어진 이벤트에 좌표를 제공하는 데 사용할 수 있는 두 개의 선인 스페이스 시간을 추적한다. 원래 타임라인(0,t)에 더 가까운 저속 트랙 궤적 그러한 속도는 로렌츠 부스트라고 불리는 압착 맵핑에서 제로 속도로 볼 수 있다. 이러한 통찰력은 광선 쌍에 해당하는 분할 복합 수 곱셈과 대각선 기반에 대한 연구에서 비롯된다. 공식적으로, 압착은 xy 형식으로 표현된 쌍곡선 계량계를 다른 좌표계로 보존한다. 상대성 이론의 이 적용은 1912년 윌슨과 루이스,^[4] 베르너 그루브,^[5] 루이 카우프만이 주목했다.^[6] 나아가 로렌츠 변환의 스퀴즈 맵핑 형태는 구스타프 헤르글로츠(1909/10)^[7]가 본 경직성을 논하면서 사용하였으며, 볼프강 린들러(Wolfgang Rindler)의 상대성 교과서에 의해 대중화되었는데, 그의 상대성에 관한 교과서에서 볼프강 린들러(Wolfgang Rindler)의 특징적인 속성을 실증할 때 사용하였다.^[8]

이 맥락에서 스퀴즈 변환이라는 용어는 광학에서 로렌츠 그룹과 존스 미적분을 연결하는 기사에서 사용되었다.^[9]

모서리 흐름

유체 역학에서, 압축할 수 없는 흐름의 근본적인 움직임 중 하나는 부동한 벽에 부딪혀 흐르는 흐름의 분리를 포함한다. 축 y = 0으로 벽을 나타내고 매개변수 r = exp(t)를 취하면, 여기서 t는 시간이며, 초기 유체 상태에 적용된 매개변수 r과 함께 압착 매핑은 축 x = 0의 왼쪽과 오른쪽 분기와 함께 흐름을 생성한다. 같은 모델은 시간이 거꾸로 흐를 때 유체 수렴을 제공한다. 사실, 쌍곡선 부분의 영역은 압박을 받고 있는 상태에서는 변하지 않는다.

쌍곡선을 이용한 흐름에 대한 또 다른 접근방식은 n = 2를 갖는 잠재적 흐름 § 전력 법칙을 참조하십시오.

1989년에 Ottino는^[10] "선형 이소차 2차원 흐름"을 다음과 같이 묘사했다.

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}:{1

여기서 K는 [-1, 1] 구간에 있다. 그 줄기는 곡선을 따라간다.

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

따라서 음의 K는 타원에 해당하고, 과볼라에는 양의 K에 해당하며, 압착 매핑의 사각 케이스는 K = 1에 해당한다.

스토커와 호소이는^[11] 코너 흐름에 대한 접근법을 다음과 같이 설명했다.

우리는 고원 경계와 부착된 액체 실의 흐름의 결정을 향한 상당한 분석적 진보를 가능하게 하는 쌍곡 좌표의 사용에 기초하여 코너와 같은 기하학을 설명하기 위한 대안적인 공식화를 제안한다. flow/2의 각도를 형성하고 좌우 대칭 평면으로 구분된 흐름 영역을 고려한다.

이어 스토커와 호소이는 "거대한 거리에서 자의적인 교란으로 유도된, 경직된 경계 사이의 구석에 있는 흐름"이라는 모파트의 배려를^[12] 회상한다. 스토커와 호소이에 따르면

사각 모서리에 있는 유체의 경우, Moffatt의 (대칭) 스트림 기능... 쌍곡 좌표는 실제로 이러한 흐름을 설명하기 위한 자연스러운 선택이다.

초월에 대한 교량

스퀴즈 맵핑의 영역 보존 특성은 초월 함수의 자연 로그와 그 역 지수 함수의 기초를 설정하는 데 응용된다.

정의: 섹터(a,b)는 (a, 1/a) 및 (b, 1/b)에 대한 중심 광선으로 얻은 쌍곡선 섹터다.

보조정리: 만약 bc = 광고라면, 섹터(a,b)를 섹터(c,d)로 옮기는 스퀴즈 맵핑이 있다.

증명: (u,v) = (rx, y/r) = (rx, y/r)가 (a, 1/a) ~ (c, 1/c) 및 (b, 1/b) ~ (d, 1/d)가 걸리도록 매개변수 r = c/a를 취한다.

정리(Greggoire de Saint-Vincent 1647) 만약 bc = ad이면, 점근증에 대한 하이퍼볼라 xy = 1의 4각형은 c와 d사이에 비해 a와 b사이의 면적이 동일하다.

교정: 영역의 삼각형 추가 및 빼기 인수 ½, 하나의 삼각형인 {(0,0), (0,1), (1,1)}은 쌍곡 섹터 영역이 점근 부위의 면적과 동일함을 보여준다. 이어 보조정리로부터 정리가 이어진다.

정리(Alphonse Antonio de Sarasa 1649) 무증상자에 대해 측정한 면적이 산술수열에서 증가함에 따라, 무증상자에 대한 투영은 기하학적 순서로 증가한다. 따라서 영역은 점근법 지수의 로그를 형성한다.

예를 들어, (1)에서 (x, 1/x)까지 이어지는 표준 위치 각도의 경우, "언제 쌍곡선이 1과 같으냐?"고 물을 수 있다. 답은 초월수 x = e이다.

r = e가 있는 스퀴드는 단위 각도를 (e, 1/e)와 (ee, 1/e) 사이의 각도로 이동시키고, 영역 1의 섹터도 하위화한다. 기하급수

e, e², e³, ..., eⁿ, ...

면적의 각 합으로 달성한 점근 지수에 해당한다.

하나, 둘, 셋, ..., n,...

즉, 양성자-일반적인 산술 진행 A + nd이고 여기서 A = 0, d = 1이다.

거짓말 변환

일정한 곡선의 표면에 대한 피에르 오스시안 보네(1867)의 조사에 이어 소푸스 리(1879)는 알려진 표면에서 새로운 유사구형 표면을 도출하는 방법을 찾아냈다. 이러한 표면은 Sine-Gordon 방정식을 만족한다.

{\frac {d^{2}\세타 }{ds\d\\sigma }}}=K\sin \theta

여기서 ( $(s,\sigma )$ , $(s,\sigma )$ ) $(s,\sigma )$ 은 두 개의 주 접선 곡선과 $\Theta$ $\Teta$ 각도의 $\Theta$ 점근 좌표다 $(s,\sigma )$ . $\Theta =f(s,\sigma )$ 는 $\Theta =f(s,\sigma )$ = $\Theta =f(s,\sigma )$ ( $\Theta =f(s,\sigma )$ , $\$ ) {\ $displaystyle \theta =f(s$ ,\sigma $)}$ 이(가) Sine-Gordon 방정식에 대한 해결책이라면 $\Theta =f(s,\sigma )$ , 다음과 같은 스퀴즈 매핑(현재 Lie transform^[13])은 해당 방정식의 다른 솔루션을 나타낸다.^[14]

\f\left(ms,\\\frac {\sigma }{m}\오른쪽)

Lie(1883)는 다음과 같은 두 가지 다른 유사구면 변환과의 관계를 알아챘다.^[15] 베클룬트 변환 (Albert Victor Becklund가 1883년에 소개함)은 리 변환과 비안치 변환 (Luigi Bianchi가 1879년에 소개함)을 결합한 것으로 볼 수 있다. 이와 같은 유사구형 표면의 변형은 개스톤 다르부스(1894),^[16] 루이지 비안치(1894),^[17] 루터 파흘러 아이젠하르트(1909)의 미분 기하학 강의에서 자세히 논의되었다.^[18]

Li 변환(또는 압착 매핑)은 Terng와 Uhlenbeck(2000년)가 지적한 대로 라이트콘 좌표 측면에서 로렌츠 부스트에 해당한다고 알려져 있다.^[13]

Sophus Lie는 SGE [Sinus-Gordon 방정식]이 로렌츠 변환에서 불변성이라는 것을 관찰했다. 라이트 콘 좌표에 해당하는 점근 좌표에서 로렌츠 변환은 ( $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ x $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ , $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ ) $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ ↦ $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ ( $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ , $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ t ) ↦ (1 λ x , λ $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ ) ${\$ )} 입니다 $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$

이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle{\begin{행렬}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline{\begin{정렬}ct'&, =ct\gamma-x\beta \gamma&&,=ct\cosh \eta-x\sinh \eta \\x'&, =-ct\beta \gamma +x\gamma&&=-ct\sinh \eta+x\cosh \eta \end{정렬}}\\\hlineu=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}}=e^{\eta}\\u'={\frac{.u}{k}}v'=kv\\\hline ,\마'v'=uv\end{matrix}}

여기서 k는 본디 k-미적분에서 도플러 인자에 해당하며, η은 신속도다.

참고 항목

참조

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[1] 에밀 보렐 (1914) Geomel Borel (1914) Geometrique a Quelques Théories Physiques, 29페이지, Gautier-Villars, 코넬 대학교 역사 수학 모노그래프 링크

[2] 멜렌 W. Haskell (1895) 쌍곡함수의 개념 소개 미국수학학회 1:155–9, 특히 방정식 12, 159페이지

[3] 유클리드 스피델 (1688) 로가리스모테니아: 구글 북스에서 로그라고 불리는 숫자 만들기

[4] 에드윈 비드웰 윌슨 & 길버트 N. 루이스(1912년) "시공간 상대성의 다지관. 기계학과 전자석의 비유클리드 기하학", 미국 예술 과학 아카데미의 진행 48:387–507, 각주 페이지 401

[5] W. H. Greub(1967) 선형 대수, Springer-Verlag. 272페이지에서 274페이지 참조

[6] 루이스 카우프만(1985) "특수 상대성에서의 변화", 국제 이론 물리학 저널 24:223–36

[7] Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208

[8] 볼프강 린들러, 필수 상대성, 1969년판 45페이지의 방정식 29.5, 1977년판 37페이지의 방정식 2.17, 2001년판 52페이지의 방정식 2.16

[9] 대주 한, 영 서 김 & 마릴린 E. Noz(1997) "로렌츠 그룹의 대표로서의 존 매트릭스 형식주의" 미국 광학 협회 A14(9) 저널:2290–8

[10] J. M. Ottino (1989) 믹싱의 운동학: 스트레칭, 혼돈, 교통, 29페이지, 캠브리지 대학 출판부

[11] 로만 스타커 & A.E. 호소이(2004) "유료 액상 필름에 코너가 흐른다", 공학수학저널 50:267–88

[12] H.K. Moffatt(1964) "급진 모퉁이 근처에 있는 비스코스와 저항성 에디", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18

[terng-13] Terng, C. L., & Uhlenbeck, K. (2000). "Geometry of solitons" (PDF). Notices of AMS. 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

[14] Lie, S. (1881) [1879]. "Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind". Fortschritte der Mathematik. 11: 529–531. 리의 수집된 논문, 제3권 392~393권에 다시 인쇄되었다.

[15] Lie, S. (1884) [1883]. "Untersuchungen über Differentialgleichungen IV". Christ. Forh.. 리의 수집된 논문, 제3권 556~560권에 재인쇄되었다.

[16] Darboux, G. (1894). Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie. Paris: Gauthier-Villars. pp. 381–382.

[17] Bianchi, L. (1894). Lezioni di geometria differenziale. Pisa: Enrico Spoerri. pp. 433–434.

[18] Eisenhart, L. P. (1909). A treatise on the differential geometry of curves and surfaces. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

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