삼각행렬

선형대수의 수학에서 삼각행렬은 특별한 종류의 정사각형 행렬이다.주 대각선 위의 모든 항목이 0인 경우 정사각형 행렬을 하위 삼각행렬이라고 합니다.마찬가지로, 주 대각선 아래의 모든 항목이 0인 경우 정사각형 행렬을 상위 삼각 행렬이라고 합니다.

삼각행렬이 있는 행렬 방정식은 더 쉽게 풀 수 있기 때문에 수치 해석에서 매우 중요합니다.LU분해 알고리즘에 따르면 모든 선행 주계조 행렬이 0이 아닌 경우에만 하위 삼각행렬 L과 상위 삼각행렬 U의 곱으로 반전행렬을 쓸 수 있다.

묘사

형식의 매트릭스

({displaystyle L=bmatrix}\ell _{1,1}&&0\ell _{2,2}&\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\dots &\\\\\\\\\\\\dots &\dots &\dell

아래쪽 삼각행렬 또는 왼쪽 삼각행렬이라고 불리며, 비슷하게 형태의 행렬이다.

\displaystyle U=bgin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,3}&u_{1,n}&\ldots &u_{2,2}&u_{2,3}&u_{2,n}&\ldots &\dots &\dots &\dots&\dots

위쪽 삼각 행렬 또는 오른쪽 삼각 행렬이라고 합니다.아래쪽 또는 왼쪽 삼각행렬은 일반적으로 변수 L로 표시되고 위쪽 또는 오른쪽 삼각행렬은 변수 U 또는 R로 표시됩니다.

위쪽과 아래쪽 삼각형의 행렬은 대각선입니다.삼각행렬과 유사한 행렬을 삼각행렬이라고 합니다.

대각선 위(아래)에 0이 있는 비제곱 행렬(때로는 임의)을 아래쪽(위) 사다리꼴 행렬이라고 합니다.0이 아닌 항목은 사다리꼴 모양을 형성합니다.

예

이 매트릭스

(\displaystyle {bmatrix}1&1\0&6\0&1\end {bmatrix})

이 행렬은 삼각형의 위쪽이고

(\displaystyle {bmatrix}1&0\2&96&0\4&9&69\\end {bmatrix})

아래쪽 삼각형입니다.

전진 및 후방 대체

L $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $=$ $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ {\ $displaystyle$ L $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {b} }$ $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ U $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $=$ {\ $displaystyle$ U $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {b} }$ $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 의 $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 행렬 방정식은 삼각행렬의 전진 치환 및 삼각행렬의 역치환이라는 반복 프로세스로 푸는 것이 매우 쉽다.하위 삼각행렬의 경우 $x_{1}$ ({ $displaystyle x_$ 1})을 계산한 후 $x_{2}$ ({ $style x_{$ 2 $x_{2}$ 를 풀기 위해 다음 방정식에 대입하여 $({$ 까지 반복하기 때문에 이 프로세스가 호출됩니다.상위 삼각행렬에서는 1은 뒤로, 첫 번째 co가 됩니다.mput $x_{n}$ n $(\$ 을 $x_{n}$ 한 후 $x_{n-1}$ n - $x_{n-1}$ (\ $displaystyle x_{n-1$ 을 $x_{n-1}$ 하기 위해 이전 방정식으로 되돌리고 x $(\$ 을 $x_{1}$ 합니다.

이 경우 매트릭스를 반전할 필요가 없습니다.

전진대체

행렬 방정식 Lx = b는 선형 방정식의 시스템으로 쓸 수 있다.

{\displaystyle{\begin{행렬}\ell _{1,1}x_{1}&,&&&&&&=&, b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&, +&, \ell _{2,2}x_{2}&,&&&&=&, b_{2}\\\vdots &,&\vdots &,&\ddots &,&&&\vdots _{m,1}x_{1}& \\\ell, +&, \ell _{m,2}x_{2}&, +&, \dotsb&+&, \ell _{m,m}x_{m}&, =&, b_{m}\.\\end{매트릭스}}}

첫 번째 방정식( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ , $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ 1 $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ 1 ({ $displaystyle \ell$ _ { $1,1} x_{$ 1} = $b_{1$ } $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ ))은 $x_{1}$ x 1 ({ $displaystyle$ x_ ${1$ 만을 $x_{1}$ 하므로 x $x_{1}$ ({ $displaystyle x_{1$ })에 $x_{1}$ $x_{1}$ 직접 풀 수 있습니다.두 번째 방정식은 $(\$ 과 $x_{1}$ $(\$ 만 $x_{1}$ 되므로 $(\$ 에 $x_{1}$ 이미 해결된 값을 대입하면 해결됩니다.이 방법으로 k $(\displaystyle$ k $)$ -th $k$ $k$ 은 $x_{1},\dots ,x_{k}$ $\$ 만을 $x_{1},\dots ,x_{k}$ 합니다. $style x_{1},\dots,x_{$ $k}$ 및 x $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ - 1 $($ k-1 $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ 에 $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ 이전에 해결한 값을 사용하여 $x_{k}$ k {\ $displaystyle$ $x_{1$ },\dots,x_ ${k-1$ })에 $x_{k}$ 대해 해결할 수 있습니다. $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ : 다음 공식의 오류:결과 수식은 다음과 같습니다.

{displaystyle}x_{1}&=flac {b_{1}},\x_{2}-\ell _{2}-x_{1}}{\ell _{2,2}},\\\\\\\\\\vots \x_{b=frac {\frac}\end { aligned}

상위 삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 유사한 방법으로 풀 수 있으며, 오직 거꾸로만 작용한다.

적용들

순방향 대체는 수익률 곡선을 구성하기 위해 재무 부트스트래핑에서 사용됩니다.

특성.

상위 삼각 행렬의 전치는 하위 삼각 행렬이며, 그 반대도 마찬가지입니다.

대칭행렬과 삼각행렬은 모두 대각선이다.비슷한 맥락에서 정규행렬(AA^* = AA^*, 여기서^* A는 켤레 전치)과 삼각행렬도 대각선이다.이것은 AA와^* AA의^* 대각선 엔트리를 보면 알 수 있습니다.

삼각행렬의 행렬식과 영구식은 직접 계산으로 확인할 수 있는 대각선 엔트리의 곱과 같다.

사실 더 많은 것이 사실이다: 삼각행렬의 고유값은 정확히 대각선 항목이다.또한 각 고유값은 대각선에서 정확히 k회 발생하며, 여기서 k는 대수적 배수이다. 즉, A의 특성 $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ p $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ( $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ) $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ( x $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ) \ $displaystyle$ p_ ${A}$ (x) $= \det$ (xI-A $)$ } 의 $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ 근으로서의 배수이다.즉, 삼각형 n×n 행렬 A의 특성 다항식은 정확히 다음과 같다.

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

A

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

(

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

)

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

(

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

-

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

(

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

-

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

22

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

(

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

-

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

){

display

style

p

_ { A

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

} ( x -

a

_ {

11

} ) = ( x - a _ {

22

} \

cdots

( x - a _ { n

}

) ,

즉, 루트가 A의 대각선 엔트리(복수 포함)인 고유한 차수 n 다항식이다. $xI-A$ 를 확인하려면 x $xI-A$ I - $xI-A$ ( \ $displaystyle xI$ - $xI-A$ A )도 $xI-A$ $xI-A$ 이므로 그 $\det(xI-A)$ det ( $\det(xI-A)$ I - $\det(xI-A)$ $)$ ( $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ I - $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ ) display $\det(xI-A)$ 、 \ $display$ style \ $det$ ( $xI$ - A $\det(xI-A)$ ) $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ （ x - $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ 11 $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ ） $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ x - $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ a $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ ）（ x - $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ ） $displaystylestylestylestylestyle$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( （ x _ $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ （ $11$ （ x - a n ）） to ( ( ) $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ to ( ( ( ( ( ( ( ( (

특수 양식

단위각행렬

(위 또는 아래) 삼각행렬의 주 대각선 항목이 모두 1이면 행렬을 (위 또는 아래) 단위각행렬이라고 합니다.

이러한 행렬에 사용되는 다른 이름은 단위(위 또는 아래) 삼각형이거나 매우 드물게 규격화된(위 또는 아래) 삼각형입니다.그러나 단위 삼각행렬은 단위행렬과 동일하지 않으며, 표준 삼각행렬은 행렬 노름의 개념과는 아무런 관련이 없습니다.

모든 유한한 단위각행렬은 전능하지 않다.

엄밀한 삼각행렬

(위 또는 아래) 삼각 행렬의 주 대각선 항목도 모두 0이면 행렬을 엄밀하게 (위 또는 아래) 삼각 행렬이라고 합니다.

케일리-해밀턴 정리의 결과로서 모든 유한한 삼각행렬은 지수 n의 효력이 없다.

원자 삼각 행렬

원자(위 또는 아래) 삼각행렬은 단일 열의 항목을 제외하고 모든 비대각 원소가 0인 특수한 형태의 단위각행렬입니다.이러한 행렬은 프로베니우스 행렬, 가우스 행렬 또는 가우스 변환 행렬이라고도 불립니다.

삼각 가시성

삼각행렬과 유사한 행렬을 삼각행렬이라고 합니다.Abstractly, 이 깃발을 안정화하도록:위쪽 삼각형 매트릭스가 바로 그런 경험들은 표준{\displaystyle(e_{1},\ldots{n,e_})}기준(e1,…, en)명령을 받고 결과로 국기 0<>에 의해서 주어진다 표준 국기,;⟨ e1⟩<>⟨ e1, e2⟩<>⋯<>⟨ e1지역을 해당합니다.,…, eN⟩)Kn.{\displaystyle 0<,\left\langle e_{1}\right\rangle<>\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle<>\cdots <,\left\langle e_{1},\ldots =K^{n},e_{n}\right\rangle.}모든 깃발은 켤레(일반 선형 그룹 타동적으로 기지에 도움이 돼), 그래서 그것은 깃발 stabilises 어떤 행렬은 sta을 안정시키고 비슷하다고.ndard 국기입니다.

모든 복소수 정사각형 행렬은 ^[1]삼각형이 가능합니다.실제로 A의 모든 고유값을 포함하는 필드 위의 행렬 A는 삼각형 행렬과 유사합니다.이는 A가 고유 벡터를 가지고 있다는 사실에 유도를 사용하여 고유 벡터에 의한 몫 공간을 취하고 A가 플래그를 안정화하며 따라서 해당 플래그에 대한 기초에 대해 삼각형이 가능하다는 것을 보여줌으로써 입증될 수 있다.

보다 정밀한 진술은 요르단의 정규 형식 정리에 의해 제시되는데, 이 상황에서 A는 매우 특정한 형태의 상부 삼각 행렬과 유사하다는 것이다.그러나 더 간단한 삼각화 결과는 종종 충분하며, 어떤 경우에도 요르단의 정규 형태 ^[1]^[2]정리를 증명하는데 사용된다.

복소행렬의 경우, 삼각화에 대해 더 많은 것을 말할 수 있다. 즉, 임의의 정사각형행렬 A는 슈어 분해를 가지고 있다.즉, A는 상부 삼각 행렬과 단일 행렬이 동일하며(즉, 단일 행렬을 기준 변경으로 사용), 플래그에 대한 에르미트 기준을 취한다.

동시 삼각 가시성

$A_{1},\ldots ,A_{k}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $Ak(\$ 1},\ $ldots,A_{$ k $A_{1},\ldots ,A_{k}$ })는 모두 위쪽 삼각형이 되는 기저가 있으면 동시에 삼각형이 가능하며, 마찬가지로 위쪽 삼각형이 단일 유사행렬 P에 의해 삼각형이 가능한 것으로 한다.이러한 행렬 집합은 행렬이 생성하는 행렬의 대수, 즉 $A_{i},$ $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ [ $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ 1 $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ , $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ , $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ . $A_{i},$ \ $A_{i},$ $displaystyle$ K [ $A$ _ { $1$ , \ $ldots$ , $A$ _ { $k$ } 에서의 $A_{i},$ 모든 다항식을 고려함으로써 보다 쉽게 이해할 수 있다 $.$ ③동시삼각화성은 $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ 이 대수가 상부삼각행렬의 Lie 서브대수에 공역하는 것을 의미하며, 이 대수가 보렐 서브대수의 Lie 서브대수에 해당한다 $.$

기본적인 결과는 (대수적으로 닫힌 필드를 통해) 통근 $행렬$ A $,$ $또는$ 보다 $일반적$ 으로 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 1, $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ k \ $displaystyle A_{1},\ldots, A_{k}$ 가 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 동시에 삼각형이 됩니다.이것은 먼저 통근 행렬이 공통 고유 벡터를 가지고 있다는 것을 보여준 후 이전과 같이 차원에 인덕트함으로써 입증될 수 있다.이것은 1878년에 통근 행렬에서 논의된 것처럼 통근 쌍을 위해 시작된 프로베니우스에 의해 증명되었습니다.단일 행렬의 경우, 복소수에 걸쳐 단일 행렬로 삼각화할 수 있습니다.

통근 행렬이 공통 고유 벡터를 갖는다는 사실은 힐버트의 Nullstellensatz의 결과로 $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ 될 수 $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ 통근 행렬은 K $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ A $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ , $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ k $]$ {\ $displaystyle$ K $[A_{1},$ \ $ldots, A_{k}}$ } $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ K [ $x$ , $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ $k_1]$ k차원 아핀 공간의 다양성 및 (공통) 고유값(따라서 공통 고유벡터)의 존재는 (약) ^{[citation needed]}늘스텔렌사츠의 내용인 (비어 있지 않은) 점을 갖는 이 다양성에 해당된다.대수학 용어로, 이러한 연산자는 k 변수에서 다항식 대수의 대수 표현에 해당합니다.

이는 리의 정리에 의해 일반화되는데, 리 대수의 어떤 해결 가능한 표현도 동시에 상위 삼각형이 된다는 것을 보여준다. 통근 행렬은 아벨리안 리 대수의 경우이고 아벨리 대수는 2차 해결 가능이다.

$A_{1},\ldots ,A_{k}$ 일반적이고 정확하게 행렬 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $($ , …, $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ { $k})$ 는 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ p $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ A $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ k $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ [ $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ j $](\displaystyle$ $p$ $(A_{1},$ \ $ldots, A_{k})$ 의 경우에만 동시에 삼각형이 가능합니다. $A_{i},A_{j}}$ 는 $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ k개의 비정류 변수의 모든 다항식 p에 대해 0 효력이 없습니다. 여기서 $[A_{i},A_{j}]$ [ $[A_{i},A_{j}]$ $]\displaystyle [A_{i},$ $A_{j}$ 는 $[A_{i},A_{j}]$ 정류자입니다. $A_i$ 에서는 정류자가 소실되어 이 상태가 유지됩니다.이는 (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951)에서 입증되었다. 간단한 증거는 (Prasolov 1994 , 페이지 178–179)에 제시되어 있다.한 가지 방향은 분명합니다. 매트릭스가 동시에 삼각형이 될 $[A_{i},A_{j}]$ [ $]\style [A_{$ i}를 표시합니다. $A_{j}}$ 는 $[A_{i},A_{j}]$ 엄밀하게 삼각화 가능한 상한(즉, nilpotent)으로, 임의의 $A_{k}$ $(\$ 또는 $A_{k}$ 이들의 조합에 의해 보존됩니다.삼각화 기준의 대각선에는 0이 계속 표시됩니다.

삼각행렬의 대수

F 연산을 사용하여₂ 곱한 2진수 하부 단위 각도 토플리츠 행렬.이들은 Z의₄ 케일리 표를 형성하고 4비트 그레이 코드 순열의 거듭제곱에 대응합니다.

삼각형의 상위는 많은 연산을 통해 유지됩니다.

두 개의 상위 삼각 행렬의 합은 상위 삼각 행렬입니다.
두 개의 상위 삼각 행렬의 곱은 상위 삼각 행렬입니다.
위쪽 삼각행렬의 역행렬이 있으면 위쪽 삼각행렬입니다.
상부 삼각행렬과 스칼라의 곱은 상부 삼각행렬이다.

이러한 사실들은 상부 삼각 행렬이 주어진 크기에 대한 정사각형 행렬의 연관 대수의 하위 대수를 형성한다는 것을 의미한다.또한, 이것은 위쪽 삼각행렬이 정류자 ab - ba에 의해 주어지는 Lie 괄호 [a, b]에서 고정된 크기의 정사각형 행렬의 Lie 대수의 Lie 하위 대수로 볼 수 있음을 보여준다.모든 상위 삼각행렬의 Lie 대수는 해결 가능한 Lie 대수이다.이것은 종종 모든 정사각형 행렬의 리 대수의 보렐 하위 대수로 언급된다.

이 모든 결과는 상위 삼각형이 하위 삼각 행렬로 대체될 경우 유지되며, 특히 하위 삼각 행렬도 Lie 대수를 형성합니다.그러나 일반적으로 삼각행렬의 상부와 하부를 혼합한 연산에서는 삼각행렬이 생성되지 않습니다.예를 들어, 위쪽 삼각 행렬과 아래쪽 삼각 행렬의 합은 모든 행렬일 수 있습니다. 아래쪽 삼각 행렬과 위쪽 삼각 행렬의 곱이 반드시 삼각형일 필요는 없습니다.

단일 각도 행렬 집합이 Lie 그룹을 형성합니다.

엄밀하게 상위(또는 하위) 삼각행렬 집합은 n $.\displaystyle\mathfrak$ {n $}$ 로 ${\mathfrak {n}}.$ 되는 영소수 Lie 대수를 형성합니다.} 이 ${\mathfrak {n}}.$ 대수는 모든 삼각행렬의 Lie 대수인 b ${\displaystyle$ {\ $mathfrak$ {b ${\mathfrak {b}}$ 의 ${\mathfrak {b}}$ 파생된 ${\mathfrak {b}}$ 대수입니다 $.$ $기호$ 에서는 ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ n ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ [ b ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ , ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ $]$ . { display $style {\mathfrak$ {b} } = [\ $mathfrak {$ b}, {b}} }.} $n$ { $n}}$ 은 ${\mathfrak {n}}$ 단위각행렬의 Lie 그룹의 Lie 대수이다 $.$

사실, 엥겔의 정리에 따르면, 어떤 유한 차원 영위 리 대수도 엄밀하게 상위 삼각 행렬의 하위 대수에 공역한다. 즉, 유한 차원 영위 리 대수는 동시에 엄밀하게 상위 삼각화 가능하다.

상위 삼각행렬의 대수는 힐베르트 공간에 내포 대수를 산출하는 함수 해석에서 자연스러운 일반화를 가지고 있다.

보렐 부분군 및 보렐 부분군

주어진 종류(위 또는 아래)의 가역 삼각 행렬 집합은 그룹을 형성합니다. 실제로 Lie 그룹은 모든 가역 행렬의 일반 선형 그룹의 하위 그룹입니다.삼각행렬은 대각선 항목이 0이 아닌 반전이 가능한 경우 정확하게 반전이 가능합니다.

실수에 걸쳐 이 그룹은 연결이 끊겨 각 대각선 엔트리가 양수 또는 음수이므로 그에 따라 $(\$ 2 $^{n})$ 의 $2^{n}$ 컴포넌트가 있습니다.동일성분은 대각선에 양의 엔트리가 있는 가역 삼각행렬이며, 모든 가역 삼각행렬의 그룹은 이 그룹의 반직접 곱이며, 대각선에 ± $(\displaystyle$ \ $pm$ 1 $)$ 이 $\pm 1$ $\pm 1$ 있는 대각행렬의 그룹입니다.

가역 삼각행렬의 Lie 그룹의 Lie 대수는 모든 상위 삼각행렬의 집합이며, 반드시 가역할 필요는 없으며, 해결 가능한 Lie 대수이다.이들은 각각 Lie 그룹_n GL의 표준 Borel 부분군 B와 Lie_n 대수 gl의 표준 Borel ${\mathfrak {b}}$ b $($ 스타일 ${mathfrak {$ b $})$ 이다.

위쪽 삼각형 행렬은 정확히 표준 플래그를 안정시키는 행렬입니다.이들 중 가역 부분군은 일반 선형 그룹의 부분군을 형성하며, 그 켤레 부분군은 일부(다른) 완전 플래그의 안정기로 정의된 부분군입니다.이러한 부분군은 Borel 부분군입니다.역순으로 표준 기준과 연관된 표준 플래그의 안정기이기 때문에 역삼각행렬 그룹은 이러한 부분군입니다.

표준 플래그의 일부를 잊어버린 부분 플래그의 스태빌라이저는 블록 상부 삼각 행렬 집합으로 설명할 수 있습니다(단, 그 요소는 모두 삼각 행렬은 아닙니다).이러한 그룹의 켤레는 일부 부분 플래그의 안정기로 정의된 부분군입니다.이러한 부분군을 포물선 부분군이라고 합니다.

예

2×2 상부 단위각 행렬의 그룹은 스칼라 영역의 가법 군과 동일하며, 복소수의 경우 포물선 뫼비우스 변환으로 형성된 그룹에 해당하며, 3×3 상부 단위각 행렬은 하이젠베르크 그룹을 형성한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c (Axler 1996, 86-87, 169)
^ (허스타인 1975, 285–290페이지)

Axler, Sheldon (1996), Linear Algebra Done Right, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951), "Some theorems on commutative matrices", J. London Math. Soc., 26 (3): 221–228, doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221
Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (2nd ed.), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-01090-1
Prasolov, Viktor (1994), Problems and theorems in linear algebra, ISBN 9780821802366

[axler-1] (Axler 1996, 86-87, 169)

[herstein-2] (허스타인 1975, 285–290페이지)

[1]

[2]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
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