스피너

Spinor
스피너는 뫼비우스 띠를 따라 가리키는 벡터로 시각화하여 360°[a]의 풀턴을 통해 원("물리계")이 연속적으로 회전할 때 기호 역전을 나타낸다.

기하학과 물리학에서 스피너 /spspnnr/유클리드 공간과 연관될 수 있는 복잡한 벡터 공간의 요소들이다.[b] 기하학적 벡터나 보다 일반적인 텐서처럼 스피너는 유클리드 공간이 약간(적소수) 회전할 때 선형적으로 변한다.[c] 그러나 그러한 작은 회전 순서를 구성(통합)하여 전체 최종 회전을 구성할 때, 그 결과로 발생하는 회전자 변환은 어떤 작은 회전 순서를 사용하느냐에 따라 달라진다. 벡터나 텐서와 달리 스피너는 공간이 0°에서 360°까지 완전히 회전할 때 음성으로 변환한다(그림 참조). 이 속성은 스피너의 특성을 나타낸다. 스피너는 벡터의 "제곱근"으로 볼 수 있다(이는 부정확하고 오해할 수 있지만 벡터 번들의 섹션의 "제곱근"으로 더 잘 볼 수 있다 - 등각재 번들의 외부 대수학 번들의 경우, 따라서 그들은 미분형의 "제곱근"이 된다).

스피너와 실질적으로 유사한 개념을 민코프스키 공간과 연관시킬 수도 있는데, 이 경우 특수상대성이론로렌츠 변환이 회전 역할을 한다. 스피너는 1913년 엘리 카르탄에 의해 기하학에서 도입되었다.[1][d] 1920년대에 물리학자들은 스피너가 전자와 다른 아원자 입자들의 본질적인 각도 운동량, 즉 "spin"을 설명하는데 필수적이라는 것을 발견했다.[e]

스피너는 회전 시 동작하는 구체적인 방법에 의해 특징지어진다. 그들은 전체 최종 회전뿐만 아니라 어떻게 회전이 달성되었는지에 대한 세부사항(회전 그룹의 연속 경로에 의해)에 따라 다른 방식으로 변화한다. 벨트 트릭 퍼즐에서 알 수 있듯이 동일한 전체 회전을 초래하는 회전을 통한 경로에는 위상학적으로 구분할 수 있는 두 가지 클래스(호모토피 클래스)가 있다. 이 두 불평등 계층은 반대편 기호의 스핀적 변형을 낳는다. 스핀 그룹은 클래스를 추적하는 모든 회전 그룹의 그룹이다.[f] 각 회전은 경로의 끝점으로서 두 가지 불평등한 방법으로 얻을 수 있기 때문에 회전 그룹을 두 배로 포괄한다. 정의에 의한 스피너의 공간에는 스핀 그룹의 (복잡한) 선형 표현이 장착되어 있는데, 이는 스핀 그룹의 요소들이 진정으로 호모토피 등급에 의존하는 방식으로 스피너의 공간에 선형 변환으로 작용한다는 것을 의미한다.[g] 수학적 용어로 스피너는 회전 그룹 SO(3)의 이중 값을 투영한 표현으로 설명된다.

스피너는 순전히 스핀 그룹의 표현 공간의 요소(또는 그것의 무한 회전의 리 대수)로 정의할 수 있지만, 그것들은 일반적으로 클리포드 대수학의 선형 표현을 전달하는 벡터 공간의 요소로 정의된다. 클리포드 대수학(Clifford 대수학)은 유클리드 공간과 그 내적 생산물로부터 기초 독립적으로 구성될 수 있는 연상 대수학이다. 스핀 그룹과 그것의 리 대수학 모두 클리포드 대수학 안에 자연적으로 내재되어 있으며, 응용 분야에서는 클리포드 대수학이 가장 쉽게 작업할 수 있는 경우가 많다.[h] 클리포드 공간은 스피너 공간에서 작동하며, 스피너 공간의 요소는 스피너다.[3] 유클리드 공간의 정형화된 기초를 선택한 후, 클리포드 대수학의 표현은 일련의 표준적인 반고정 관계를 만족하는 행렬인 감마 행렬에 의해 생성된다. 스피너는 이러한 행렬이 작용하는 기둥 벡터다. 예를 들어, 3개의 유클리드 치수에서 Pauli 스핀 행렬은 감마 행렬의 집합이며,[i] 이러한 행렬이 작용하는 2개의 구성 요소 복합 기둥 벡터는 스핀들이다. 그러나 클리포드 대수학의 특정한 행렬 표현, 따라서 정확히 "칼럼 벡터"(또는 스피너)를 구성하는 것은 기본과 감마 행렬의 선택을 필수적으로 수반한다. 스핀 그룹의 표현으로서, 치수가 홀수일 경우 스피너를 (복잡한[j]) 컬럼 벡터로 실현하는 것이 불가해해지거나, 치수가 짝수일 경우 소위 "반스핀" 또는 Weyl 표현으로 분해된다.[k]

소개

점진적인 회전은 공간의 리본으로 시각화할 수 있다.[l] 여기 벨트 트릭 퍼즐에는 등급이 다른 두 개의 점진적인 회전, 즉 1 ~ 360°와 1 ~ 720°가 묘사되어 있다. 퍼즐의 해결책은 벨트를 지속적으로 조작하여 끝점을 고정시키는 것으로, 그것을 풀지 않는 것이다. 360° 회전에서는 불가능하지만 720° 회전에서는 가능하다. 두 번째 애니메이션에서 볼 수 있는 솔루션은 720° 회전과 0° 회전 사이의 회전 그룹에서 명백한 호모토피를 제공한다.
벨트나 끈에 부착된 물체는 얽히지 않고 계속 회전할 수 있다. 큐브가 360° 회전을 완료한 후에는 Spiral(나선형)이 초기 구성에서 반전된다는 점에 유의하십시오. 벨트는 720°를 완전히 돌린 후 원래 구성으로 돌아간다.
이 기능이 임의의 수의 문자열에서 작동한다는 것을 보여주는 더 극단적인 예. 한계에서, 고체 연속 공간의 조각은 스스로 찢어지거나 교차하지 않고 이렇게 제자리에 회전할 수 있다.

스피너를 특징짓고 기하학적 벡터나 다른 텐터와 구별하는 것은 미묘하다. 시스템 좌표에 회전을 적용하는 것을 고려해 보십시오. 시스템 자체의 어떤 물체도 이동하지 않았고, 좌표만 이동했으므로, 시스템의 어떤 물체에 적용할 때 그러한 좌표값에는 항상 보상적인 변화가 있을 것이다. 예를 들어 기하학적 벡터는 좌표와 동일한 회전을 거치게 되는 구성 요소를 가지고 있다. 보다 광범위하게, 시스템과 관련된 모든 텐서(예를 들어, 일부 매체의 스트레스)는 좌표계 자체에 대한 변화를 보상하기 위해 조정되는 좌표 설명을 가지고 있다.

단일의 고립된 좌표 회전 특성에만 관심이 있는 경우, 스피너는 물리적 시스템에 대한 설명의 이 수준에는 나타나지 않는다. 오히려 단일 회전 대신 좌표계가 어떤 초기 구성과 최종 구성 사이에서 점진적으로(지속적으로) 회전한다고 생각할 때 스피너가 나타난다. 시스템과 관련된 친숙하고 직관적인("설명서") 수량의 경우, 변환 법칙은 좌표가 최종 구성에 어떻게 도달했는지에 대한 정확한 세부 정보에 의존하지 않는다. 반면에 스피너는 좌표의 점진적인 회전이 어떻게 그곳에 도착했는지에 민감하게 만드는 방식으로 구성된다. 그들은 경로 의존성을 보인다. 좌표의 최종 구성에 대해, 좌표계의 두 가지(상호학적으로) 불평등 점진적(연속적) 회전이 실제로 존재하며, 이 같은 구성을 초래한다는 것이 밝혀졌다. 이러한 모호성을 점진적인 회전의 호모토피 등급이라고 한다. 벨트 트릭 퍼즐(표시)은 두 개의 다른 회전을 보여주는데, 하나는 2㎛ 각도를 통과하고 다른 하나는 4㎛ 각도를 통과하며, 마지막 구성은 같지만 등급은 다르다. 스피너는 실제로 이 호모토피 수업에 진정으로 의존하는 반전을 나타낸다. 이것은 그들을 벡터나 다른 텐더와 구별하는데, 그 어느 것도 클래스를 느낄 수 없다.

스피너는 데카르트 좌표를 선택하여 콘크리트 객체로 전시할 수 있다. 예를 들어, 3개의 유클리드 치수에서 3개의 좌표 축에 해당하는 Pauli 스핀 행렬을 선택하여 스피너를 구성할 수 있다. 이것들은 복잡한 항목이 있는 2×2 행렬이며, 이러한 행렬이 행렬 곱셈에 의해 작용하는 2-성분 복합 열 벡터가 스핀들이다. 이 경우 스핀 그룹은 결정인자가 있는 2×2 유니터리 행렬의 그룹에 이형성이며, 이는 자연스럽게 매트릭스 대수 내에 위치한다. 이 그룹은 Pauli 매트릭스가 스스로 확장한 실제 벡터 공간에 결합하여 [m]작용하여 그들 사이의 회전 집단으로 인식하지만, 칼럼 벡터(즉, 스피너)에도 작용한다.[n]

보다 일반적으로 클리포드 대수학은 표준 도트 제품을 가진 유클리드 공간이나 표준 로렌츠 메트릭스를 가진 민코프스키 공간과 같이 (비생성) 2차 형태를 갖춘 벡터 공간 V로부터 구성될 수 있다. 스피너의 공간 V/ { { { { { { { { { { { 2 \\rfloor}}}}}}}의 성분으로 된 칼럼 벡터의 공간이다. 직교 리 대수학(즉, 극소수 "회전")과 2차 형태와 연관된 스핀 그룹은 모두 클리포드 대수학(캐논학적으로)에 포함되어 있으므로, 모든 클리포드 대수학 표현은 또한 리 대수학과 스핀 그룹의 표현을 정의한다.[o] 치수와 미터법 서명에 따라, 열 벡터로서 스피너의 실현은 되돌릴 수 없거나 소위 "반스핀" 또는 Weyl 표현으로 분해될 수 있다.[p] 벡터 공간 V가 4차원일 때, 대수학은 감마 행렬에 의해 설명된다.

수학적 정의

스피너의 공간은 공식적으로 클리포드 대수학기본적인 표현으로 정의된다. (이는 해석할 수 없는 표현으로 분해될 수도 있고 분해되지 않을 수도 있다.) 스피너의 공간은 직교 대수학스핀 표현으로도 정의될 수 있다. 이러한 스핀 표현은 또한 선형 표현을 통해 고려되지 않는 특수 직교 그룹의 유한 차원 투영적 표현으로 특징지어진다. 동등하게, 스피너는 중심이 비독점적으로 작용하는 스핀 그룹의 유한한 차원 그룹 표현의 요소다.

개요

스피너 개념을 보는 두 가지 기본틀이 있다.

표현 이론적 관점에서 볼 때, 직교 그룹의 Lie 대수학에는 일반적인 텐서 구조로 형성될 수 없는 어떤 표현들이 있다는 것을 미리 알고 있다. 이러한 누락된 표현은 스핀 표현과 그 구성 요소 스핀으로 분류된다. 이 보기에서 스피너는 (p, q)미터 시그니처가 있는 공간에서 일반화된 특수 직교 그룹 SO+(p,q, , 이중 커버(p, q, q) 또는 보다 일반적인 특수 직교 그룹 SO(p, q, style })의 이중 커버에 속해야 한다. 이러한 이중 커버는 스핀 그룹스핀(n) 또는 스핀(p, q)으로 불리는 리 그룹이다. 스피너의 모든 특성, 그리고 그 애플리케이션과 파생된 물체는 스핀 그룹에서 먼저 발현된다. 이러한 그룹의 이중 커버를 표현하면 그룹 자체의 이중 가치 투영적 표현을 산출한다. (이는 양자 힐버트 공간의 벡터에 대한 특정 회전 작용이 신호까지만 정의된다는 것을 의미한다.)

기하학적 관점에서 보면 스피너를 명시적으로 구성한 다음 관련 Lie 그룹의 동작에 따라 어떻게 동작하는지 검토할 수 있다. 이 후자의 접근방식은 스피너가 무엇인지에 대한 구체적이고 기본적인 설명을 제공할 수 있는 장점이 있다. 그러나 피에르즈 정체성과 같은 스핀들의 복잡한 특성이 필요할 때 그러한 설명은 다루기 어려워진다.

클리포드 알헤브라스

클리포드 알헤브라[4] 언어는 클리포드 알헤브라의 분류를 통해 모든 스핀 그룹의 스핀 표현과 그 표현들 사이의 다양한 관계에 대한 완전한 그림을 제공한다. 그것은 주로 임시 건설의 필요성을 제거한다.

세부적으로 V는 비감속 대칭 이선형 g를 갖는 유한차원 복합 벡터 공간이 되도록 한다. 클리포드 대수 Cℓ(V, g)은 반공관계 xy + yx = 2g(x, y)과 함께 V가 생성하는 대수다. 감마파울리 행렬에 의해 생성된 대수학의 추상적인 버전이다. V = 가) 표준 형식 g(x, y) = xyT = xy11 + ...인 경우 + xynn 우리는 Cℓn( })으로 클리포드 대수학을 나타낸다. 생각하기 때문에 정규직 교기의 선택에 의해non-degenerate 형태에 관한 모든 복잡한 vectorspace 이 표준에 동형은 만약 nx2k 심지어, Cℓn(C{\displaystyle \mathbb{C}})는 대수(고유하지 않은 방법으로)로 동형이다, 이 표기법 더 일반적으로 만약 어두운 C{\displaystyle \mathbb{C}}(V))n. t.에 악용되다그는 매트(2k, C{\displaysty 아래.2k × 2 복합k 행렬(Artin-Wedderburn 정리 및 Clifford 대수학이 중심 단순하다는 사실을 입증하기 쉬운 것)의 n = 2k + 1이 홀수인 경우, Cℓ2k+1( )은 대수k Matk(2, Ckk {에 이형적이다. 따라서 어느 경우든 Cℓ(V, g)은 차원 2의[n/2] Δ에 의해 일반적으로 나타내는 (단순 클리포드 모듈이라고도 함) 고유의 (이소모르파까지) 수정 불가능한 표현을 가지고 있다. 리 대수 so(V, g)가 리 브라켓으로 클리포드 대수 정류자를 장착한 Cℓ(V, g)에서 리 하위 대수로서 삽입되기 때문에, 공간 Δ도 so(V, g)의 리 대수표현이다. 만약 n이 이상하다면, 이 Lie 대수적 표현은 되돌릴 수 없다. n이 짝수일 경우, Weyl 또는 반스핀이라고 하는 두 개의 Δ = Δ+ Δ로 더 갈라진다.

V가 실제 벡터 공간인 경우 실물에 대한 해석 불가능한 표현은 훨씬 더 복잡하며, 더 자세한 내용은 클리포드 대수 기사를 참조한다.

그룹 회전

스핀 표현 Δ는 (특수) 직교 그룹의 표현을 통해 고려되지 않는 스핀 그룹의 표현을 갖춘 벡터 공간이다. 수직 화살표는 짧은 정확한 순서를 나타낸다.

스피너는 회전 그룹의 표현을 통해 고려되지 않는 스핀 그룹의 선형 그룹 표현을 갖춘 복잡한 숫자에 걸쳐 벡터 공간을 형성한다(도표 참조). 스핀 그룹은 호모토피 클래스를 추적하는 회전 그룹이다. 회전 그룹의 위상에 관한 기본적인 정보를 인코딩하는 데 스피너가 필요한 이유는 그 그룹이 단순히 연결되어 있는 것이 아니라 단순히 연결된 스핀 그룹이 그것의 이중 커버이기 때문이다. 그래서 매 회전마다 그것을 나타내는 스핀 그룹의 두 가지 요소가 있다. 기하학적 벡터와 다른 텐서는 이 두 원소의 차이를 느낄 수 없지만, 그것들은 표현 하의 어떤 스피너에 영향을 줄 때 반대 신호를 만들어 낸다. 스핀 그룹의 원소를 1-모수 회전 계열의 호모토피 등급으로 생각하면서, 각 회전은 정체성의 경로에 대한 두 개의 뚜렷한 호모토피 등급으로 표현된다. 하나의 매개변수 회전 집단이 공간의 리본으로 시각화되고, 그 리본의 호 길이 매개변수가 매개변수(접선, 정상, 이항 프레임은 실제로 회전을 제공함)가 된다면, 이 두 개의 뚜렷한 호모토피 클래스는 벨트 트릭 퍼즐의 두 상태(위)에서 시각화된다. 스피너의 공간은 좌표로 명시적으로 구성될 수 있는 보조 벡터 공간이지만, 좌표계 등 자의적 선택에 의존하지 않는 '자연적'의 시공은 없다는 점에서 궁극적으로 이소모르피즘까지만 존재한다. 스피너의 개념은 보조수학적 객체로서 표준 도트 제품을 가진 유클리드 공간과 같은 2차적 형태를 갖춘 벡터 공간이나 로렌츠 측정값을 가진 민코프스키 공간과 연관될 수 있다. 후자의 경우, "회전"에는 로렌츠 부스트가 포함되지만, 그렇지 않으면 이론은 실질적으로 유사하다.

물리학의 스피너 필드

위에서 주어진 구조는 클리포드 대수학이나 표현 이론의 관점에서, 0차원 공간 시간에서 스피너를 기하학적 물체로 정의하는 것으로 생각할 수 있다. 디락 스피너와 같은 물리학의 스피너를 얻기 위해서는 4차원 공간 시간(Minkowski 공간)에 스핀 구조를 얻기 위해 구조를 확장한다. 효과적으로 각 지점은 SO(3,1) 대칭이 있는 4차원 벡터 공간인 시공간의 접선 다지관에서 시작하여 각 지점에서 스핀 그룹을 형성한다. 점의 주변은 부드러움과 차별성의 개념이 부여된다. 표준구축은 섬유 묶음 중 하나이며, 섬유는 스핀 그룹 아래에서 변형되는 부속 공간이다. 섬유 번들을 구성한 후에는 Dirac 방정식과 같은 미분 방정식이나 섬유 번들의 Weyl 방정식을 고려할 수 있다. 이러한 방정식(Dirac 또는 Weyl)은 위에서 설명한 (0차원) 클리포드 대수/스핀 표현 이론에서 얻은 과 같이 섬유의 대칭 특성을 갖는 평면파인 용액을 가지고 있다. 그러한 미분 방정식의 평면파 용액(또는 다른 용액)은 적절히 페르미온이라고 불릴 수 있다. 페르미온은 스피너의 대수적 특성을 가지고 있다. 일반적인 관례에 따르면, "페르미온"과 "스피너"라는 용어는 종종 물리학에서 다른 하나의 동의어로 상호 교환적으로 사용된다.

자연에서 스핀-1/2인 모든 기본 입자중성미자를 제외하고 디락 방정식에 의해 설명되는 것으로 보인다. 이것이 사실일 것이라는 선험적인 이유는 없어 보인다. 스피너에 대해 완벽하게 유효한 선택은 Majorana 스피너Cℓ2,2( })의 비복제 버전일 것이다.[5] 또한 Weyl Spinter가 자연에서 기본 입자로 나타나는 것을 특별히 금지한 것 같지는 않다.

디락, 웨일, 메이저나 스피너들은 서로 연관되어 있으며, 그들의 관계는 실제 기하학 대수학을 기초로 해명될 수 있다.[6] 디락과 웨일 스피너는 복잡한 표현인 반면 메이저나 스피너는 실제 표현이다.

Weyl 평면파 용액은 빛의 속도로 이동하기 때문에 Weyl 스피너는 전자와 같은 거대한 입자를 설명하기에 불충분하다. 거대한 입자의 경우 Dirac 방정식이 필요하다. 입자 물리학의 표준 모델의 초기 구성은 전자와 중성미자 둘 다 질량이 없는 Weyl 스피너로 시작한다; 힉스 메커니즘은 전자에게 질량을 준다; 고전적인 중성미자는 질량이 없는 상태로 남아 있었고, 따라서 Weyl 스피너의 한 예였다.[q] 그러나 관찰된 중성미자 진동 때문에, 이제는 그들이 웨일 스피너가 아니라 아마도 그 대신 메이저나 스피너라고 믿어지고 있다.[7] 자연에 Weyl Spinor 기본 입자가 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.

응축 물질 물리학의 상황은 다르다. 반도체에서 훨씬 더 이국적인 물질에 이르는 다양한 물리적 물질로 2차원 및 3차원 "공간"을 구성할 수 있다. 2015년 프린스턴대 과학자가 이끄는 국제팀은 웨일 페르미온처럼 행동하는 퀘이시피건을 발견했다고 발표했다.[8]

표현 이론의 스피너

스피너 구성의 주요한 수학적 적용은 특수 직교 그룹의 리 알헤브라명시적인 선형 표현과 결과적으로 그룹 자체의 스피너 표현을 가능하게 하는 것이다. 보다 심오한 수준에서 스피너는 아티야-싱어 지수 정리에 대한 접근법의 핵심이며, 특히 반이행 집단의 이산 직렬 표현을 위한 구조를 제공하는 것으로 밝혀졌다.

특수 직교 리알헤브라의 스핀 표현은 웨일 건축이 가중치에 의해 주어진 텐서 표현과 구별된다. 텐서표현의 가중치는 리 대수학의 뿌리의 정수 선형 결합인 반면, 스핀표현의 가중치는 반정수의 선형 결합이다. 자세한 내용은 스핀 표현 기사에서 확인할 수 있다.

직관적인 이해 시도

스피너는 "물리적 공간의 회전과 특별한 방식으로 관련된 공간의 벡터"[9]라고 간단히 설명할 수 있다. 다르게 명시됨:

스피너 ...는 의 숫자 n 치수가 있는 공간에서 회전 그룹의 선형 표현을 제공하며, 각 스피너에는 {\ 2의 성분이 있다. 서 n= + +1}또는 2 [2]

매일의 유사성을 설명하는 여러 가지 방법들이 의 속임수, 탱글러이드, 그리고 방향의 얽힘의 다른 예들의 측면에서 공식화되었다.

그럼에도 불구하고, 이 개념은 일반적으로 이해하기 어려운 것으로 악명 높은 것으로 여겨지고 있는데, 이는 디라크의 전기 작가 그레이엄 파멜로가 설명한 마이클 아티야의 진술에서 알 수 있다.

아무도 스피너를 완전히 이해하지 못한다. 그들의 대수학은 공식적으로 이해되지만 일반적인 의미는 신비롭다. 어떤 의미에서 그들은 기하학의 "제곱근"을 묘사하고 있으며, -1의 제곱근을 이해하는 데 수세기가 걸린 것처럼, 스피너도 마찬가지일 수 있다.[10]

역사

가장 일반적인 형태의 스피너는 1913년 Elie Cartan에 의해 발견되었다.[11] 스피너(spinor)라는 단어는 폴 에렌페스트가 양자물리학에 관한 연구에서 만들어낸 말이다.[12]

스피너는 1927년 볼프강 파울리가 그의 스핀 매트릭스를 소개하면서 수학 물리학에 처음 적용되었다.[13] 이듬해 폴 디락은 스피너와 로렌츠 그룹의 연관성을 보여줌으로써 전자 스핀의 완전한 상대론적 이론을 발견했다.[14] 1930년대까지 닐스 보어 연구소(당시 코펜하겐 대학의 이론물리학 연구소)의 디락, 피에트 하인 등이 스핀들의 미적분을 가르치고 모형화하기 위해 탕로이드와 같은 장난감을 만들었다.

스피너 공간은 1930년에 G. 주벳[15] 프리츠 사우터가 매트릭스 대수학의 왼쪽 이상으로 표현했다.[16][17] 보다 구체적으로 말하면, Pauli가 했던 것처럼 스피너를 복잡한 값의 2D 열 벡터로 표현하는 대신, 그들은 왼쪽 열의 요소만 0이 아닌 복잡한 값의 2 × 2 행렬로 표현했다. 이러한 방식으로 스피너 공간은 Mat(2, C [r][19]에서 최소 좌회전 이상적이 되었다.

1947년 마르셀 리에즈클리포드 알헤브라의 최소 좌익 이상 요소로서 스피너 공간을 건설했다. 1966/1967년, David Hestenes[20][21] 스피너 공간을 Spacetime 대수 Cℓ1,3( 짝수 하위 Geebra Cℓ01,3( 으로 대체했다.[17][19] 1980년대를 기점으로 데이비드 봄바질 힐리를 중심으로 한 비르크벡대학의 이론물리학 그룹은 최소한의 좌뇌 이상을 가진 스피너에 대한 사우터와 리에스의 식별에 기반을 둔 양자 이론에 대한 대수학적 접근법을 개발해 왔다.

저차원의 스피너에 대한 간단한 예는 클리포드p, q 대수 C R {\{R의 고른 등급 아발그라를 고려하는 데서 비롯된다. 이것은 n = p + q의 직교 벡터 기초에서 얻은 대수로서, 덧셈과 곱셈에 따른 상호 직교 벡터로서, p는 기준 벡터에 대한 제품 규칙과 함께 표준 +1과 q를 가지고 있다.

2차원

클리포드 대수학 Cℓ2,0( )은 1단위 스칼라, 1, 2개의 직교 단위 벡터, σ1 σ2, 1단위 유사수칼라 i = σσ12 기초에서 구축된다. 위의 정의에서 보면 (σ12)2 = ()) = ())2 = 1, (σ12) ((σ12) = -11122 것이 분명하다.

짝수2,0 지브라 C {\displaystyle { })짝수 기본 요소( {\displaystyle })에 의해 확장되는 이등 지브라 C02,0(( {R} })은 그 표현을 통해 스피너의 공간을 결정한다. 1과 σ12 실제 선형 결합으로 이루어져 있다. 실제 대수로서 Cℓ02,0( )은 복합수 C{\의 분야와 이형성이 있다 그 결과 Clifford 요소의 역류라고 불리는 결합 연산(복제적 결합에 대한 아날로그)을 인정한다.

클리포드 관계에 의해 쓰여질 수 있는 것

Cℓ2,0( })의 1단계 요소로 간주되는 벡터에 대한 짝수 Clifford02,0 요소 γ ∈({\ )의 동작은 일반 벡터 u11 = a + + 22 벡터에 매핑하여 결정된다.

여기서 γ γ의 결합이며, 제품은 클리포드 곱셈이다. 이런 상황에서 스피너[s] 보통 복잡한 숫자다. 스피너 φ에 대한 γ의 작용은 일반적인 복합 곱셈에 의해 주어진다.

( )= {

이 정의의 중요한 특징은 일반 벡터와 스피너의 구별이며, 고른 점수를 받은 원소가 각각 다른 방식으로 작용하는 방법에 나타나 있다. 일반적으로 클리포드 관계를 재빨리 확인하면 고른 성분의 원소가 일반 벡터와 결합한다는 것을 알 수 있다.

한편, 스피너에 대한 작용 ((φ) = γφ에 비해 일반 벡터에 대한 작용 γ은 스피너에 대한 작용의 제곱 역할을 한다.

예를 들어, 평면 회전에 대한 함의를 생각해 보십시오. θ의 각도를 통하여 벡터를 회전시키는 것은 γ2 = exp(θθ12, corresponds so)에 해당하므로 스피너에 대한 해당 작용은 γ = ± exp(θθ12/2)를 경유한다. 일반적으로 로그 분지 때문에 부호를 일관성 있게 선택할 수 없다. 따라서 스피너에 대한 평면 회전의 표현은 두 가지 값을 가진다.

2차원의 스피너 적용에서는 짝수 원소(복잡한 숫자의 고리일 뿐)의 대수학이 스피너의 공간과 동일하다는 점을 악용하는 것이 일반적이다. 그래서 언어의 남용으로 두 사람은 자주 혼동된다. 그런 다음, "벡터 위에서 회전자의 작용"에 대해 말할 수 있다. 일반적인 환경에서는 그러한 진술이 무의미하다. 그러나 2차원과 3차원의 경우(예: 컴퓨터 그래픽에 적용되는 경우) 그것들은 이치에 맞는다.

  • 짝수 원소
vector에서 around 방향으로1 90°의2 벡터 회전에 해당하며, that을 확인함으로써 확인할 수 있다.
단, 45°의 스피너 회전에 해당한다.
  • 이와 유사하게 짝수 등급 원소 element = -σσ12 벡터 회전 180°에 해당한다.
단 90°의 회전 속도:
  • 더 나아가, 짝수 등급 원소 element = -1은 360°의 벡터 회전에 해당한다.
하지만 180° 회전.

삼차원

클리포드 대수학 Cℓ3,0( {)은 1단위 스칼라, 1, 3개의 직교 단위 벡터, σ1, σ, σ223, σ31, σ3, pseud, 3단위 바이벡터 i12, pseoscalar i = σ123 기초에서 구축된다. (σ1)2 = (σ2)2 = (σ) = (σ3)2 = 1, (σ12)2 = (σ23)2 = (σ) = (σ31)2 = (σ123)2 = -1임을 보여주는 것은 간단하다.

반반한 원소의 하위 골격은 스칼라 팽창으로 이루어져 있다.

벡터 회전

어디에

1)

단위 벡터 v = 11 + 22 + 33 정의된 축에 대한 각도 θ을 통한 벡터 회전에 해당한다.

특별한 경우로서, v = σ이면3, 이는 이전 절에서 고려12 rotation rotation 회전을 재현하고, 그러한 회전을 통해 벡터의 계수가 σ방향3 불변성으로 남게 되는 것을 쉽게 알 수 있다.

바이벡터 σσ23, σσ31, σσ12 사실 1843년에 발견된 해밀턴의 쿼터니온 i, j, k이다.

H quaternion의 대수학 H {\displaystyle \mathb {H}}을(를) 사용하여 균등화된 원소를 식별하면, 2차원의 경우와 마찬가지로, 균등화된 원소의 대수학만이 그 자체에 표현된다.[t] 따라서 3차원에서의 (실제[u]) 스피너는 쿼터니온이며, 스핀기에 대한 짝수 등급 원소의 작용은 보통의 쿼터니온 곱셈에 의해 주어진다.

θ 각도를 통한 벡터 회전에 대한 식(1)은 γ에서 나타나는 각도가 반감되었다는 점에 유의한다. 따라서 스피너 회전 γ(ψ) = γψ(일반적인 quaternionic 곱셈)은 해당 벡터 회전 각도의 측정값의 1/2을 통해 스피너 ψ을 회전시킨다. 다시 한번 θ/2 대신 (180° + θ/2)가 있는 식(1)은 같은 벡터 회전을 생성하지만, 스피너 회전의 음은 된다.

3D 회전의 스핀/쿼터니온 표현은 해당 스핀 매트릭스의 주목할 만한 간결성과 그것들을 함께 곱하여 다른 축에 대한 연속 회전의 결합 효과를 계산할 수 있는 단순성 때문에 컴퓨터 기하학 및 기타 애플리케이션에서 점점 더 보편화되고 있다.

명시적 구성

스피너 공간은 구체적이고 추상적인 구조로 명시적으로 건설될 수 있다. 이러한 구성의 등가성은 복잡한 클리포드 대수학의 스피너 표상 고유성의 결과물이다. 치수 3의 전체 예는 3차원의 스피너를 참조하십시오.

컴포넌트 스피너

벡터 공간 V와 2차 형태 g가 주어진 경우 클리포드 대수 Cℓ(V, g)의 명시적 행렬 표현은 다음과 같이 정의할 수 있다. 정형외과적 기준 선택 e1... en V의 경우(: g(eeμν) = ημνμμ 여기서 where = ±1ημν = μ 의 경우 0. k = n/2⌋로 한다. 2k × 2k 행렬의 세트 고정 γ1 ... γnμν γγ + γγνμ = 2η1μν (즉, 감마 행렬에 대한 규약을 수정한다.) 그러면 할당 eμ γμ 클리포드 대수학에서 단수μ1 e ⋅⋅ e eμk γμ1 γ γ icesγμk γ γ γ γ γ의 산물에 보내고 선형적으로 확장함으로써 대수 동형성 Cℓ(Vk g) }} )에 고유하게 확장된다. 감마 행렬이 작용하는2k 공간 Δ = C 은(는) 이제 스핀들의 공간이 되었다. 그러나 그러한 매트릭스를 명시적으로 구축할 필요가 있다. 차원 3에서 감마 행렬을 Pauli sigma 행렬로 정의하면 상대론적이지 않은 양자 역학에서 사용되는 익숙한 두 가지 성분 스피너가 발생한다. 마찬가지로 4 × 4 Dirac 감마 행렬을 사용하면 3+1 차원 상대론 양자장 이론에 사용되는 4개의 성분 Dirac 스피너가 발생한다. 일반적으로 필요한 종류의 감마 행렬을 정의하기 위해서는 Weyl-Brauer 행렬을 사용할 수 있다.

이 구조에서 클리포드 대수 Cℓ(V, g), Lie 대수 so(V, g), 스핀 그룹 Spin(V, g)의 표현은 모두 정형외과적 기준의 선택과 감마 행렬의 선택에 달려 있다. 이것은 관습에 대한 혼란을 야기할 수 있지만, 흔적과 같은 불변은 선택과 무관하다. 특히, 물리적으로 관측 가능한 모든 양은 그러한 선택으로부터 독립적이어야 한다. 이 구조에서 스피너는 2개의k 복잡한 숫자의 벡터로 나타낼 수 있으며 스피너 지수(일반적으로 α, β, γ)로 표시된다. 물리학 문헌에서 추상적인 스피너 지수는 추상적인 스피너 구조를 사용해도 스피너를 나타내는 데 종종 사용된다.

추상 스피너

스피너를 추상적으로 정의하는 방법에는 최소한 두 가지가 있지만 본질적으로 동등한 방법이 있다. 하나의 접근방식은 스스로 Cℓ(V, g)의 왼쪽 행동을 위한 최소한의 이상을 식별하는 것을 추구한다. Cℓ(V, g)Ω 형식의 클리포드 대수학 하위공간으로, Cℓ(V, g)의 왼쪽 곱셈에 의한 명백한 작용을 인정한다: c : cxΩ. 이 주제에는 두 가지 변형이 있다: 하나는 클리포드 대수에서 영점 원소인 원시 원소 Ω을 찾을 수 있거나, 하나는 공전 원소인 것이다. 영점 원소를 통한 구조는 그 때 그것으로부터 유휴점이 만들어질 수 있다는 점에서 더 근본적이다.[22] 이렇게 해서 스피너 표현은 클리포드 대수 자체의 특정 하위공간과 동일시된다. 두 번째 접근방식은 V의 구별된 하위공간을 이용하여 벡터공간을 구성한 다음, 그 벡터공간으로 외부적으로 클리포드 대수학의 작용을 명시하는 것이다.

어느 접근법에서나 근본적인 개념은 등방성 아공간 W의 개념이다. 각각의 구조는 이 아공간을 선택할 때 초기 자유에 의존한다. 물리적인 측면에서 이는 V의 우선적 기준이 주어지더라도 스핀 공간의 기준을 지정할 수 있는 측정 프로토콜이 없다는 사실에 해당한다.

위와 같이 (V, g)은 비분해 이선형 형태를 갖춘 n차원 복합 벡터 공간이다. 만약 V는 진정한 벡터 공간, 그때 우리가 그것의 complexification V⊗ R{\displaystyle \mathbb{R}}C{\displaystyle \mathbb{C}에 의해}과 gV에 R{\displaystyle \mathbb{R}}C{\displaystyle \mathbb{C}⊗은 주입된 쌍일차식 의미}. 즉 최대의 부분 공간 W는 최대 등방성 부분 공간, V대체하고 있다.V의 gW=0. 만약 nx2k은 심지어, 한 후에 W′ 등방성 subspac.W를 보완한다. n = 2k + 1이 홀수인 경우 W W W = = 0의 최대 등방성 아공간으로 하고 UWW orth의 직교보완물로 한다. 짝수 및 홀수 차원 사례에서 모두 W와 W는 치수 k를 가진다. 홀수차원 사례에서 U는 단위 벡터 u에 의해 확장된 1차원이다.

최소 이상

W은 등방성이므로 Cℓ(V, g) 에서의 W elements 원소의 곱셈은 스큐이다. 따라서 W 안티 커뮤트, Cℓ(W′, g ) = Cℓ(W′, 0)의 벡터는 단지 외부 대수학 λW일 뿐이다. 따라서 Wk 자체와 함께 하는 Wfold의 k-폴드 제품은 1차원이다. ΩWk의 발생기로 한다. 기초 w′,1 ..., wk관점에서, 하나의 가능성은 설정이다.

Ω2 = 0(즉, Ω은 순서 2의 nilpotent)이며, 더욱이 = 0모든 w′ w W for에 대해 유의한다. 다음과 같은 사실은 쉽게 증명할 수 있다.

  1. n = 2k일 경우 왼쪽 이상 Δ = C c(V, g)Ω은 최소 왼쪽 이상이다. 더욱이 이것은 짝수 클리포드 대수의 작용 제한에 대한 두 개의 스핀 공간 Δ+ = CℓΩeven Δ = CℓΩ으로odd 분할된다.
  2. n = 2k + 1일 경우, 왼쪽 이상 Cv(V, g)Ω에 대한 단위 벡터 u의 작용은 공간을 각각의 고유값 +1과 -1에 해당하는 이소모르픽 무reducible eigenspaces(둘 다 Δ로 표시) 쌍으로 분해한다.

세부적으로 예를 들어, n이 짝수라고 가정해 보자. Cℓ(V, g)Ω에 포함된 0이 아닌 왼쪽 이상이라고 가정하자. 우리는 그것이 Ω의 0이 아닌 스칼라 배수를 포함하고 있다는 것을 증명함으로써 가 Cv(V, g)Ω과 같아야 한다는 것을 보여줄 것이다.

W의 기준 wi W보완적i 기준을 다음과 같이 수정한다.

wwij′ +wwwji = Δij, and
(wi)2 = 0, (wi′)2 = 0.

I의 어떤 원소도 I c C((V, g) Ω이라는 우리의 가정 때문에 αΩ 형식을 가져야 한다는 점에 유의한다. αΩ는 그런 어떤 원소가 되게 하라. 선택된 기준을 사용하여, 우리는 글을 쓸 수 있다.

여기서 ai1...ip 스칼라이고, Bj 클리포드 대수학의 보조요소다. 지금 제품을 관찰하십시오.

원소 wi:에서 최대 균질도를 가진 α의 팽창에서 0이 아닌 단항 a를 선택한다.

= … i i }}w_{i_요약적인 합계 없음),

그때

필요한 경우 Ω의 0이 아닌 스칼라 배수.

n 짝수인 경우에도 이 계산은 다음과 같은 것을 보여준다.

= ( W) = ( W ) {\ (W^{*}right

벡터 공간으로서 마지막 평등에서 우리는 다시 W가 등방성이라는 것을 사용했다. 물리학 용어로 Δ는 진공 Ω으로 작용하는 W에서 반커밍 생성 연산자를 사용하여 스피너를 생성함으로써 Δ가 Fock 공간처럼 구축된다는 것을 알 수 있다.

외부 대수구축

최소 이상 구조를 가진 계산은 스피너 표현도 등방성 아공간 W외부 대수 λ W = j λj W를 사용하여 직접 정의할 수 있음을 시사한다. Δ = λ W는 벡터 공간으로만 간주되는 W의 외부 대수 algebra을 의미한다. 이것이 스핀 표현일 것이며, 그것의 요소들은 스핀이라고 불릴 것이다.[23][24]

Δ에 대한 클리포드 대수학의 작용은 먼저 Δ에 대한 V 원소의 작용을 부여한 다음, 이 작용이 클리포드 관계를 존중하고 따라서 클리포드 알헤브라의 보편적 특성에 의한 내형성 고리 End(Δ)로 완전한 클리포드 대수학의 동형성으로 확장된다는 것을 보여줌으로써 정의된다. 세부적인 내용은 V의 치수가 짝수인지 홀수인지에 따라 조금씩 다르다.

조광(V)이 짝수일 때 V = W ⊕ W W where 여기서 W은 선택된 등방성 보완물이다. 따라서 v v VwWw W함께 v = w + w 로 고유하게 분해된다. 스피너에 대한 v의 동작은 다음과 같다.

여기서 i(w)VV 식별하기 위해 비데오제 2차 형태를 사용하여 w가 있는 내부 제품이며, ε(w)는 외부 제품을 나타낸다. 이 동작을 클리포드 제품이라고 부르기도 한다. 는 것이 증명될 수 있다.

그래서 c는 클리포드 관계를 존중하고 클리포드 대수에서 끝(Δ)에 이르는 동형성으로 확장된다.

스핀 표현 Δ는 더 나아가 Δ를 통해 스핀 그룹의[25] 한 쌍의 되돌릴 수 없는 복잡한 표현으로 분해된다(반 스핀 표현 또는 Weyl 스피너).

딤(V)이 홀수일 경우 V = WUW ′ 여기서 UW에 직교하는 단위 벡터에 의해 스팬된다. 클리포드 작용 cWW에서 전과 같이 정의되는 반면, (u의 배) u의 클리포드 작용은 다음과 같이 정의된다.

전과 같이 c가 클리포드 관계를 존중한다는 것을 검증하고, 그래서 동형성을 유도한다.

은둔자 벡터 공간과 스피너

벡터 공간 V가 그것의 복잡화를 두 개의 최대 등방성 하위공간으로 분해하는 추가적인 구조를 가지고 있다면, (어느 방법을 사용하든) 스피너의 정의는 자연스러워진다.

대표적인 예가 실제 벡터 공간 V은둔자 벡터 공간(V, h),VV의 내제품 g에 관한 직교 변환인 복합구조 J를 갖추고 있는 경우다. 그런 다음 V 가) J의 ±i eigenspaces에서 갈라진다. 이러한 아이겐스페이스는 g의 복합화를 위해 등방성이며, 복합 벡터 공간(V, J)과 복합 결합(V, -J)으로 식별할 수 있다. 따라서 은둔자 벡터 공간(V, h)의 경우 벡터 공간 λV
(및 그것의 복잡한 결합 λV
)는 기초적인 실제 유클리드 벡터 공간을 위한 스핀러 공간이다.

클리포드 작용이 위와 같으나 은둔자 형태를 이용한 수축과 함께 이 구조는 거의 은둔자 다지관의 모든 지점에 스피너 공간을 제공하며, 거의 모든 복잡한 다지관(특히 모든 공통 다지관)이 스핀c 구조를 갖는 이유다. 마찬가지로, 다지관의 모든 복잡한 벡터 번들은 스핀c 구조를 가지고 있다.[26]

클렙슈-고단 분해

한 스핀을 다른 스핀과 함께 사용하는 텐서 곱에서는 여러 가지 클렙슈-고단 분해 작업이 가능하다.[27] 이러한 분해는 직교 그룹의 교대 표시 측면에서 텐서 제품을 표현한다.

실제 또는 복잡한 경우, 교대 표현은

  • γr = λVr, 랭크 r의 스큐 텐서 상에 직교 그룹의 표현.

또한 실제 직교 그룹의 경우 세 개의 문자(1차원 표현)가 있다.

  • σ+ : O(p, q) → σ+(R) = -1부여한 {-1, +1}, R이 V의 공간적 방향을 반대로 하는 경우, R이 V의 공간적 방향을 보존하는 경우(공간적 문자).
  • σ : O(p, q) → -(R) = -1부여한 {-1, +1}, R이 V의 시간적 방향을 반대로 하는 경우, RV의 시간적 방향을 보존하는 경우. (시간적 문자)
  • σ = σσ+ . (방향 문자)

클렙슈-고단 분해를 통해 다음과 같은 사항들을 정의할 수 있다.

짝수 치수

n = 2k가 짝수일 경우 Δ의 역발상표현상 tensor 제품은 다음과 같이 분해된다.

분해 가능한 원소 αΩ βΩ에 대한 클리포드 대수학의 작용을 (명시적 구조에서) 고려함으로써 명백하게 볼 수 있다. 가장 오른쪽 공식은 호지 항성 연산자의 변환 특성에서 따온 것이다. 짝수 클리포드 대수학 제한에 대해 쌍체 합계 andsp ⊕ ⊕ γ은 이형이지만 완전한 클리포드 대수학에서는 그렇지 않다.

클리포드 대수에서 Δ의 결합을 통한 역순 표현으로 Δ를 자연적으로 식별한다.

그래서 Δ Δ Δ 또한 위의 방법으로 분해된다. 게다가 짝수 클리퍼드 대수학에서는 반 스핀 표기가 분해된다.

실제 클리포드 알헤브라의 복잡한 표현에 대해, 복잡한 클리포드 대수학의 관련 현실 구조는 스피너들의 공간(예를 들어 최소한의 이상에 관한 명시적 구성을 통해)으로 내려간다. 이렇게 해서 우리는 Δ라는 표현에 대한 복합 결합 Δ를 얻으며, 다음과 같은 이형성이 유지되는 것으로 보인다.

특히 직교 스핀 그룹의 표현 Δ는 단일 표현이라는 점에 유의한다. 일반적으로 클렙슈-고단 분해가 있다.

미터법 시그니처(p, q)에서 다음과 같은 이형성들은 공극 반 스핀 표현을 유지한다.

  • If q is even, then and
  • If q is odd, then and

이러한 이형성을 이용하여 반spin 표현 Δ± Δ± 텐서 생성물에 대해 유사한 분해물을 추론할 수 있다.

홀수 치수

n = 2k + 1이 홀수인 경우

실제의 경우, 다시 한 번 이소모르프주의가 버티고 있다.

따라서 클렙슈-고단 분해가 있다(Hodge star를 사용하여 이원화함).

결과들

스피너 공간의 클레브슈-고단 분해에는 광범위한 결과가 있다. 이것들 중 가장 근본적인 것은 디락(Dirac)의 전자 이론과 관련이 있는데, 그 기본 요건은 다음과 같다.

  • 두 개의 스피너 제품을 스칼라로 사용하는 방식. 물리적인 측면에서 스피너는 양자 상태대한 확률 진폭을 결정해야 한다.
  • ψϕ 제품을 벡터로 하는 방법. 이것은 스피너 형식주의를 물리적 공간의 기하학과 결부시키는 디락 이론의 본질적인 특징이다.
  • ψvψ과 같은 표현에 의해 스피너를 벡터에 작용하는 것으로 간주하는 방식. 물리적인 측면에서 이것은 맥스웰의 전자기 이론전류, 또는 더 일반적으로 확률 전류를 나타낸다.

저차원의 요약

  • 1차원(사소한 예)에서 단일 스피너 표현은 공식적으로 Majorana로 변형되지 않는 실제 1차원 표현이다.
  • 2 유클리드 치수에서 왼손잡이 와 오른손잡이 와일 스피너는 1-성분 복합 표현이다. 즉, 각 by에 의한 회전에 따라 e±/2 곱하는 복잡한 숫자들이다.
  • 3 유클리드 치수에서 단일 스피너 표현은 2차원 및 4차원이다. 3차원의 스피너의 존재는 복잡한 2-구성 요소 기둥(스핀터)에 대한 스핀(3)의 작용을 정의할 수 있는 그룹 SU(2) Spin(3)의 이형성으로부터 따르며, SU(2)의 생성자는 Pauli 행렬로 쓸 수 있다.
  • 4 유클리드 치수에서 해당 이형성은 스핀(4) SU(2) × SU(2)이다. 2개의 불평등 쿼터니온 2-성분 Weyl 스피너가 있으며, 각각은 SU(2) 요인 중 하나에서만 변형을 한다.
  • 5 유클리드 치수에서 관련 이형성은 스핀(5) 4 USp(4) Sp(2)로 단일 스피너 표현은 4차원 및 쿼터니온임을 암시한다.
  • 6 유클리드 치수에서 이형성 스핀(6) SU(4)는 서로 복잡한 결합체인 2개의 4차원 복합 웨일 표현이 있음을 보장한다.
  • 7 유클리드 치수에서 단일 스피너 표현은 8차원적이고 실제적이다. 다른 시리즈(A 또는 C)의 리 대수학에 대한 이형성은 이 치수부터 존재하지 않는다.
  • 8 유클리드 치수에는 삼차성이라고 불리는 스핀(8)의 특수 속성에 의한 8차원 리얼 벡터 표현과 관련된 2개의 Weyl-Majorana 실제 8차원 표현이 있다.
  • d + 8차원에서, 구별할 수 없는 스피너 표현 횟수와 그 현실(실제든, 가성적이든, 복잡하든)은 d차원의 구조를 모방하지만, 그 차원은 16배 더 크다. 이렇게 하면 나머지 모든 경우를 이해할 수 있다. Bot 주기성을 참조하십시오.
  • p 공간적 및 q 시간적 방향의 공간적 시간에서 복잡한 숫자에 걸쳐 치수로 보는 치수는 (p + q) 차원 유클리드 공간의 경우와 일치하지만, 실제 투영은 p - q 유클리드 치수의 구조를 모방한다. 예를 들어, 3+1차원에는 2개의 비등가 Weyl 복합체(2차원처럼) 2-구성 요소(4차원처럼) 스피너가 있는데, 이는 이형성 SL(2, C style 스핀(3,1)에서 따온 것이다.
미터법 서명 바일, 콤플렉스 결합 디락,
복합적인
메이저라나-와일, 진짜 메이저나나
진짜
왼손잡이 오른손잡이 왼손잡이 오른손잡이
(2,0) 1 1 상호 2 2
(1,1) 1 1 셀프 2 1 1 2
(3,0) 2
(2,1) 2 2
(4,0) 2 2 셀프 4
(3,1) 2 2 상호 4 4
(5,0) 4
(4,1) 4
(6,0) 4 4 상호 8 8
(5,1) 4 4 셀프 8
(7,0) 8 8
(6,1) 8
(8,0) 8 8 셀프 16 8 8 16
(7,1) 8 8 상호 16 16
(9,0) 16 16
(8,1) 16 16

참고 항목

메모들

  1. ^ 3차원의 스피너는 투사면의 원뿔 위에 있는 선다발의 점이다. 3차원 의사-유클리드 공간인 시그니처(1,2)의 스피너와 연관된 이 그림에서 원뿔은 평범한 실제 원뿔(여기 원), 선다발은 뫼비우스 번들, 스핀 그룹은 SL2( style 이다. 유클리드 시그니처에는 투사면, 원뿔, 선다발이 대신 콤플렉스 위에 있고, 이 그림은 실제 슬라이스에 불과하다.
  2. ^ 스피너는 항상 복잡한 숫자에 걸쳐 정의될 수 있다. 그러나 어떤 서명에는 실제 스핀들이 존재한다. 자세한 내용은 스핀 표현에서 확인할 수 있다.
  3. ^ 이 수준에서 스피너의 공식적 정의는 스피너의 공간이 특정 종류극미량 회전의 리 대수학선형적으로 나타낸다는 것이다.
  4. ^ "스파이너는 그 이름으로 물리학자들이, 양자역학 분야에서 처음 사용했다. 가장 일반적인 형태에서 스피너는 1913년 이 작품의 저자에 의해 발견되었는데, 단순한 그룹의 선형적 표현*에 관한 그의 연구에서 발견되었다; 그것들은 각각의 2㎛ 의 크기를 가진 의 회전 그룹의 선형 표현을 제공한다. 여기서 = + 또는 [2] 별(*)은 카르탄(1913)을 가리킨다.
  5. ^ 보다 정확히 말하면 스핀-1/2페르미온들이 스피너에 의해 기술되는 것인데, 이것은 상대론적 이론과 비상대론적 이론 모두에서 사실이다. 비상대적 전자의 파동함수는 3차원 극소수 회전하에서 2-성분 스피너에 변화를 주는 값을 가지고 있다. 전자에 대한 상대론적 디락 방정식은 최소 로렌츠 변환 하에서 4-성분 스피너 변환에 대한 방정식으로, 스피너 이론은 실질적으로 유사한 이론이 존재한다.
  6. ^ 공식적으로 스핀 그룹은 회전 그룹에 고정된 엔드포인트가 있는 상대 호모토피 클래스의 그룹이다.
  7. ^ 보다 공식적으로 스피너의 공간은 회전군(일반적으로 직교군 정체성의 연결된 구성요소)의 표현을 통해 고려되지 않는 스핀군(불가역)의 표현으로 정의할 수 있다.
  8. ^ 기하대수는 적용된 설정에서 클리포드 대수학의 이름이다.
  9. ^ Pauli 행렬은 세 개의 좌표 축에 대한 각도 모멘트 연산자에 해당한다. 이것은 그들을 약간 비정상적인 감마 행렬로 만든다. 왜냐하면 반공관계 외에도 그들은 교화관계도 만족시키기 때문이다.
  10. ^ 미터법 시그니처 또한 실제 스핀들과 관련이 있다. 스핀 표현을 참조하십시오.
  11. ^ 대표성이 분해되는지 여부는 스핀군(또는 그 리 대수)의 표현으로 간주되는지에 따라 달라지는데, 이 경우 짝수이긴 하지만 홀수 치수는 아닌 것으로 분해되는 경우, 또는 반대로 클리포드 대수학으로 분해된다. 이 분해 이외의 다른 구조도 존재할 수 있다; 정확한 기준은 스핀 표현클리포드 대수학에서 다룬다.
  12. ^ 리본의 TNB 프레임은 호 길이 파라미터의 각 값에 대해 연속적으로 회전을 정의한다.
  13. ^ 이것은 2×2 복합 미량 은둔자 행렬의 세트다.
  14. ^ 동일한 회전으로 이동하는 스핀 그룹의 두 가지 다른 요소에 해당하는{± 1커널을 제외한다.
  15. ^ 그래서 스피너 자체를 식별하는 데 있어서의 애매성은 집단 이론의 관점에서 지속되며, 여전히 선택에 달려 있다.
  16. ^ 클리포드 대수학에는 감마에서의 정도 평준화에서 짝수/이상 등급을 부여할 수 있으며, 스핀 그룹과 그 리 대수학 모두 짝수 부분에 놓여 있다. 여기서 "표현"에 의해 우리가 스핀 그룹의 표현을 의미하든, 또는 클리포드 대수학을 의미하든, 그들의 축소 가능성 결정에 영향을 미칠 것이다. 이 분할 이외의 다른 구조도 존재할 수 있다; 정확한 기준은 스핀 표현클리포드 대수에서 다룬다.
  17. ^ 더 정확히 말하면, 전자는 왼손과 오른손 두 개의 질량이 없는 웨일 스피너로 시작한다. 대칭이 깨지면 둘 다 덩어리가 생기고, 결합되어 디락 스피너를 형성한다.
  18. ^ The matrices of dimension N × N in which only the elements of the left column are non-zero form a left ideal in the N × N matrix algebra Mat(N, ) – multiplying such a matrix M from the left with any N × N matrix A gives the result AM that is again an N × N matrix in which only the elements of the left column 0이 아니다. 더구나 최소한의 좌익 이상임을 보여줄 수 있다.[18]
  19. ^ 이들은 2차원의 오른손잡이 웨일 스피너들이다. 왼손잡이 Weyl 스피너의 경우 ϕ( =) = γϕ을 통해 표현된다. Majorana Spinter는 Weyl 표현에 대한 일반적인 실제 표현이다.
  20. ^ 왜냐하면, 스큐 필드의 경우, 대표성의 커널은 사소한 것이어야 하기 때문이다. 그래서 불평등한 표현은 오직 꼬치장의 자동화를 통해서만 나타날 수 있다. 이 경우 등가 표현인 γ(ϕ) =γϕ, 그 quaternionic conjectionate γ(ϕ)=ϕγ의 쌍이 있다.
  21. ^ 복합 스피너는 텐서 제품 } C { = Matt2( 의 표현으로 구한다 이것들은 3차원의 스피너에서 더 자세히 고려된다.

참조

  1. ^ 카르탄 1913.
  2. ^ Jump up to: a b Elie Cartan의 인용문: 스피너스의 이론, 헤르만, 파리, 1966년, 페이지 번호가 시작되기 전, 책의 시작 부분에 소개 섹션의 첫 번째 문장.
  3. ^ Rukhsan-Ul-Haq (December 2016). "Geometry of Spin: Clifford Algebraic Approach". Resonance: 1105–1117.
  4. ^ 윌리엄 킹돈 클리포드의 이름을 따서 명명되었고
  5. ^ Ettore Majorana의 이름을 따서 명명되었다.
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  15. ^ Juvet, G. (1930). "Opérateurs de Dirac et équations de Maxwell". Commentarii Mathematici Helvetici (in French). 2: 225–235. doi:10.1007/BF01214461. S2CID 121226923.
  16. ^ Sauter, F. (1930). "Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren". Zeitschrift für Physik. 63 (11–12): 803–814. Bibcode:1930ZPhy...63..803S. doi:10.1007/BF01339277. S2CID 122940202.
  17. ^ Jump up to: a b Pertti Loungesto: Crumeyrolle's bivectors and spinors, pp. 137–166, In: Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto (eds.): Clifford algebras and spinor structures: A Special Volume Dedicated to the Memory of Albert Crumeyrolle (1919–1992), ISBN 0-7923-3366-7, 1995, p. 151
  18. ^ 참고 항목: Pertti Loungesto: Clifford Algebras and Spinters, London Matheical Society 강의 노트 시리즈 286, Cambridge University Press, Second Edition 2001, ISBN 978-0-521-00551-7, 페이지 52
  19. ^ Jump up to: a b Pertti Loungesto: 클리포드 알헤브라와 스피너, 런던수학학회 강의 노트 시리즈 286, 캠브리지 대학 출판부, 2001년 세컨드 에디션, ISBN 978-0-521-00551-7, 페이지 148 F. 및 페이지 327 F.
  20. ^ D. 헤스테네스: Space-Time 대수학, Gordon and Break, New York, 1966, 1987, 1992
  21. ^ Hestenes, D. (1967). "Real spinor fields". J. Math. Phys. 8 (4): 798–808. Bibcode:1967JMP.....8..798H. doi:10.1063/1.1705279. S2CID 13371668.
  22. ^ 이 공사는 카탄(1913년) 때문이다. 여기서의 치료법은 체발리(1954) 대상 (에 근거한다.
  23. ^ 이 하위 섹션의 한 출처는 Fulton & Harris(1991)이다.
  24. ^ Jurgen Jost, "리만 지오메트리와 기하학적 분석"(2002) Springer-Verlag Univeritext ISBN 3-540-42627-2. 1장을 참조하십시오.
  25. ^ 고른 클리포드 대수학을 통해.
  26. ^ 1989년 법률가 & 미셸슨, 부록 D.
  27. ^ 1935년 브루어 & 웨일

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