이 항목에 대한 자세한 내용은 곡선 좌표 를 참조하십시오. 곡선 좌표 유체역학 과 연속역학 에서 물리량과 물질의 변형을 기술하기 위해 물리학과 공학 에서 중요한 응용을 통해 텐서 미적분학 으로 공식화될 수 있다.
3차원 곡선 좌표에서의 벡터 및 텐서 대수 참고: 반복 지수를 요약하는 아인슈타인 종합 관례 가 아래에 사용된다. 곡선 좌표에서의 초등 벡터 및 텐서 대수학 은 역학 과 물리학의 일부 구 과학 문헌에서 사용되며 1900년대 초중반부터 작업을 이해하는데 필수불가결한 것이 될 수 있다. 예를 들어 그린과 제르나의 텍스트와 같은 것이다.[1] 곡선 좌표의 벡터와 2차 텐서의 대수에서 유용한 관계가 이 절에 제시되어 있다. 표기법과 내용은 주로 오그덴,[2] [3] [4] [1] [5] [6]
좌표 변환 Consider two coordinate systems with coordinate variables ( Z 1 , Z 2 , Z 3 ) {\displaystyle (Z^{1},Z^{2},Z^{3})} ( Z 1 ´ , Z 2 ´ , Z 3 ´ ) {\displaystyle (Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})} Z i {\displaystyle Z^{i}} Z i {\ displaystyle ^{\acute{i}} {\displaystyle i} 우리는 이러한 좌표계가 3차원 유클리드 공간에 내장되어 있다고 가정한다. 좌표 Zi {\ displaystyle ^{i} Zi }{\ displaystyle ^{\acute{i}}} 이러한 방식으로 좌표 Z i {\ displaystyle Z^{i} Zi } {\ displaystyle Z^{\acute{i}}
Zi i Z 1 2 Z 3 {\displaystyle Z^{i}=f^{i}(Z^{\acute{1},Z^{\2}}, Z^{\acute{3})}} 1 2 {\displaysty i=1,2,3} 라고 쓸 수 있는.
Z i = Z i ( Z 1 ´ , Z 2 ´ , Z 3 ´ ) = Z i ( Z i ´ ) {\displaystyle Z^{i}=Z^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})=Z^{i}(Z^{\acute {i}})} i ´ , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3} 이 세 방정식을 함께 Zi {\ displaystyle Z^{\acute{i}} Zi {\ displaystyle ^{i}} . T {\displaystyle T} 변수 Zi }{\ displaystyle ^{i}} ) 좌표계 Zi {\ displaysty Z^{i}}} .
Z = T ( z ´ ) {\displaystyle Z=T({\acute{z}})} 마찬가지로 우리 i }{\ displaystyle Z^{\acute{i}} 다음 i {\ displaystyle Z^{i}
Z i" g i" Z 1 2 3 {\displaystyle ^{\acut{i}}=g^{\i}}}(Z^{1}, ^{2}, ^{3}) 대한 1 2 3 displaystystyle {i}=1,2,3} 유사하게 우리는 자유 방정식을 다음과 같이 더욱 간결하게 쓸 수 있다.
Z i ´ = Z i ´ ( Z 1 , Z 2 , Z 3 ) = Z i ´ ( Z i ) {\displaystyle Z^{\acute {i}}=Z^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})=Z^{\acute {i}}(Z^{i})} i ´ , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3} 이 세 방정식을 함께 Zi {\ displaystyle ^{i} Zi' {\ displaystyle Z^{\acut{i}} . 이 {\\displaystyle } . Z dis Playstyle Z^{i}} Zi {\ displaystyle Z^{\acute{i}}
z ´ = S ( z ) {\displaystyle {\acute{z}=S(z)} 변환 T {\displaystyle T} Z i {\ displaystyle Z^{i} Z i displaystyle Z^{i} 대해 허용 가능한 좌표 집합. T {\displaystyty } i {\ displaystysty ^{{{}:{i}}}}}:{ 부속 좌표계 라고 불리고, 그렇지 않으면 Z i {\ displaystyle ^{i}}} 곡선 좌표계 라고 한다
야코비안 좌표 Z i {\ displaystyle ^{i} Z i' {\ displaystyle ^{\ acute {i}}} 변수 i {\ displaystyle ^{i} Z displaystystyle Z^{{{
고려하다
∂ Z i ∂ Z i ´ {\displaystyle \partial {Z^{i}} \over \partial {Z^{\acute {i}}}} = d e f {\displaystyle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}} J i ´ i {\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}} i ´ , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3} J {\ displaystyle } 행렬 , Ji ' ' ' i displaystyle ^{} 행 ' t {\ displaystyle {\i}^{th}} J (\displaystyle J} = {\displaystyle =} ( J 1 ´ 1 J 2 ´ 1 J 3 ´ 1 J 1 ´ 2 J 2 ´ 2 J 3 ´ 2 J 1 ´ 3 J 2 ´ 3 J 3 ´ 3 ) {\displaystyle {\pmatrix} J_{\acute{1}^{1}&J_{\acute{2}}^{1}&J_{\acute{3}^{1}\\ J_{\acute{1}^{1}^{2}&J_{\acute{2}}^{2}&J_{\acut{3}^{}}\\ J_{\acute{1}^{1}^{3}&J_{\acute{2}}^{3}&J_{\acute{3}}{3}}\end{pmatrix}}}}}}}} = {\displaystyle =} ( ∂ Z 1 ∂ Z 1 ´ ∂ Z 1 ∂ Z 2 ´ ∂ Z 1 ∂ Z 3 ´ ∂ Z 2 ∂ Z 1 ´ ∂ Z 2 ∂ Z 2 ´ ∂ Z 2 ∂ Z 3 ´ ∂ Z 3 ∂ Z 1 ´ ∂ Z 3 ∂ Z 2 ´ ∂ Z 3 ∂ Z 3 ´ ) {\displaystyle{\begin{pmatrix}{\partial{Z^{1}}\over\partial{Z^{\acute{1}}}}&{\partial{Z^{1}}\over\partial{Z^{\acute{2}}}}&{\partial{Z^{1}}\over\partial{Z^{\acute{3}}}}\\{\partial{Z^{2}}\over\partial{Z^{\acute{1}}}}&{\partial{Z^{2}}\over\partial{Z^{\acute{2}}}}&{\partial{Z^{2}}\over\partial{Z^{\acute{3}.}}}\\{\partial{ Z^{3}} \partial{Z^{\acut{1}:{1}{\partial{Z^{3}} \partial{Z^{2}}~{\partial{Z^{3}}} \overpartial{Z^{3}}}}}}}} 그 결과의 행렬은 자코비안 행렬이라고 불린다.
곡선 좌표의 벡터 (b 1 , b 2 , b 3 ) 3차원 유클리드 공간의 임의적 기준이 되게 한다. 일반적으로 기본 벡터는 단위 벡터도 아니고 상호 직교도 아니다 . 그러나 그들은 선형적으로 독립적일 필요가 있다. 그러면 벡터 v 는 다음과[4] : 27
v = v k b k {\displaystyle \mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}}} 구성 요소k v는 벡터 v의 상반 된 구성 요소들이다.
역수 기준 (b 1 , b 2 , b 3 )은 관계에 의해 정의된다.
b i ⋅ b j = δ j i {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\mathbf _{j}^{i}}}}} 여기서 Δ 는i Kronecker delta 이다.
벡터 v 는 또한 역수 기준으로 표현될 수 있다.
v = v k b k {\displaystyle \mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b}^{k}}} 성분 v 는k 벡터 {\ displaystyle \mathbf {v} } 공변량 성분이다.
곡선 좌표의 2차 텐서 2차 시제는 다음과 같이 표현할 수 있다.
S = S i j b i ⊗ b j = S j i b i ⊗ b j = S i j b i ⊗ b j = S i j b i ⊗ b j {\displaystyle {\boldsymbol {S}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}= S_{~j}^{i}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b}^{j}= S_{i}^{~j}~\mathbf {b}^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}= S_{ij}~\mathbf {b}^{i}\otimes \mathbf {b}^{j}}} 성분 의ij S는 반향성 성분, S 혼합i 우측 공변성분 , S 혼합i 좌측 공변성분, Sij 2차 텐서의 공변성분 이라고 한다.
미터법 텐서 및 구성 요소 간의 관계 수량ij g, g 는ij 다음과[4] : 39
g i j = b i ⋅ b j = g j i ; g i j = b i ⋅ b j = g j i {\displaystyle g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b}_{ji}~~g^{ij}=\mathbf {b}^{i}\cdot \mathbf {b}^{j}=g^{ji}}}}}}}}}}. 위의 방정식으로부터 우리는
v i = g i k v k ; v i = g i k v k ; b i = g i j b j ; b i = g i j b j {\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}} 벡터의[4] : 30–32
v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = v k δ k i = v i {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{k}~{k}=v^{i}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = v k δ i k = v i {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}^{k}=v_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 또,
v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = g k i v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{k}~v^{k}}}}}}}}}}}}}}} v ⋅ b i = v k b k ⋅ b i = g k i v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b}^{i}=v_{k}~\mathbf {b}^{k}\cdot \mathbf {b}^{i}=g^{ki}~v_{k}}}}}}}}. 2차 텐서의 구성 요소는 다음과 같다.
S i j = g i k S k j = g j k S k i = g i k g j l S k l {\displaystyle S^{ij}=g^{ik}~~ S_{k}^{~j}=g^{jk}~ S_{~k}^{i}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}}}} 교대 텐서 정형외과적 오른손잡이 기준에서 3차 교대 텐서 는 다음과 같이 정의된다.
E = ε i j k e i ⊗ e j ⊗ e k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}=\varepsilon_{ijk}~\mathbf {e}^{i}\otimes \mathbf {e}^{j}\otimes \mathbf {e}^{k}}}}}}}}}} 일반적인 곡선 기준에서는 동일한 텐셔너를 다음과 같이 표현할 수 있다.
E = E i j k b i ⊗ b j ⊗ b k = E i j k b i ⊗ b j ⊗ b k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}} 라는 것을 알 수 있다.
E i j k = [ b i , b j , b k ] = ( b i × b j ) ⋅ b k ; E i j k = [ b i , b j , b k ] {\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]} 지금
b i × b j = J ε i j p b p = g ε i j p b p {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={p}}}}\sqrt{g}}\b}{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그러므로,
E i j k = J ε i j k = g ε i j k {\displaystyle {\mathcal{E}_{ijk}= J~\barepsilon _{ijk}={\sqrt{g}~\barepsilon _{ijk}} 비슷하게, 우리는 그것을 보여줄 수 있다.
E i j k = 1 J ε i j k = 1 g ε i j k {\displaystyle {\mathcal{E}^{ijk}={\cfrac {1}{J}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{1}{\sqrt{g}~\varepsilon ^{ijk}}}}}. 벡터 연산 신원 지도 I ⋅ v v {\ displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} } [4] : 39
I = g i j b i ⊗ b j = g i j b i ⊗ b j = b i ⊗ b i = b i ⊗ b i {\displaystyle \mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}} 스칼라(점) 제품 곡선 좌표에서 두 벡터의 스칼라 산출물은[4] : 32
u ⋅ v = u i v i = u i v i = g i j u i v j = g i j u i v j {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i^{ij}}=g^{ij}u^{j}=g^{ij}u}u_{ij}v_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. 벡터(크로스) 제품 두 벡터의 교차 산출물 은 다음과 같다.[4] : 32–34
u × v = ε i j k u j v k e i {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} =\barepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}}}}} 여기서 ε은ijk 순열 기호 , e 는i 곡선 좌표에서 등가 표현식은 다음과 같다.
u × v = [ ( b m × b n ) ⋅ b s ] u m v n b s = E s m n u m v n b s {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}} 여기서 Ei j k {\ displaystyle {\mathcal{E}_{ijk}} 3차 교대 텐서 다 두 벡터의 교차 산출물 은 다음과 같다.
u × v = ε i j k u ^ j v ^ k e i {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} =\barepsilon _{ijk}{\hat {u}_{j}{\hat{v}_{k}\mathbf {e} _{i}}}} 여기서 ε은ijk 순열 기호 이고 e {\ displaystyle \mathbf {e} _{i} 그러므로
e p × e q = ε i p q e i {\displaystyle \mathbf {e} _{p}\mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}}}} 그리고
b m × b n = ∂ x ∂ q m × ∂ x ∂ q n = ∂ ( x p e p ) ∂ q m × ∂ ( x q e q ) ∂ q n = ∂ x p ∂ q m ∂ x q ∂ q n e p × e q = ε i p q ∂ x p ∂ q m ∂ x q ∂ q n e i . {\displaystyle \mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\part ⅰal q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac{\p}{\p}{\frac{\p_{p}}{p}}}}{\frac{\p}{\p^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\mathb. } 그러므로,
( b m × b n ) ⋅ b s = ε i p q ∂ x p ∂ q m ∂ x q ∂ q n ∂ x i ∂ q s {\displaystyle (\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}} 벡터 제품으로 돌아가 관계 사용:
u ^ j = ∂ x j ∂ q m u m , v ^ k = ∂ x k ∂ q n v n , e i = ∂ x i ∂ q s b s , {\displaystyle {\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},} 다음과 같은 이점을 제공:
u × v = ε i j k u ^ j v ^ k e i = ε i j k ∂ x j ∂ q m ∂ x k ∂ q n ∂ x i ∂ q s u m v n b s = [ ( b m × b n ) ⋅ b s ] u m v n b s = E s m n u m v n b s {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n} \mathbf {b}^{s}={\mathcal {E}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b}^{s}}}}}}} 텐서 연산 I ⋅ v v {\ displaystyle {\mathsf {I}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v}} I {\ displaystyle {\mathsf I}} [4] : 39
I = g i j b i ⊗ b j = g i j b i ⊗ b j = b i ⊗ b i = b i ⊗ b i {\displaystyle {\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}} 벡터에 대한 2차 텐서의 작용 v S ⋅ u {\ displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {S}\cdot \mathbf {u}}은(
v i b i = S i j u j b i = S j i u j b i ; v i b i = S i j u i b i = S i j u j b i {\displaystyle v^{i}\mathbf {b} _{i}= S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}= S_{j}^{i}^{j}^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}= S_{ij}u^{i}\mathbf {b}^{i}= S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b}^{i}}} 2차 텐서 U S ⋅ T {\ displaystyle {\boldsymbol{U}}={\boldsymbol{S}}\cdot{\boldsymbol{T
U i j b i ⊗ b j = S i k T . j k b i ⊗ b j = S i . k T k j b i ⊗ b j {\displaystyle U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}= S_{ik}T_{. j}^{k}\mathbf {b}^{i}\otimes \mathbf {b}^{j}= S_{i}^{.k }}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}}}} 또는,
U = S i j T . n m g j m b i ⊗ b n = S . m i T . n m b i ⊗ b n = S i j T j n b i ⊗ b n {\displaystyle {\boldsymbol {U}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{}}}. m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b}^{n}=S^{ij}} T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}}} S {\ displaystyle {\boldsymbol{S}}
[ S ⋅ u , S ⋅ v , S ⋅ w ] = 퇴장시키다 S [ u , v , w ] {\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]} 여기서 u w {\ displaystyle \mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf { )
[ u , v , w ] := u ⋅ ( v × w ) . {\displaystyle \left[\mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf {w} \right]: =\mathbf {u} \cdot(\mathbf {v} \mathbf {w} ) } 곡선 벡터와 데카르트 기반 벡터 사이의 관계 Let (e 1 , e 2 , e 3 ) 유클리드 관심 공간에 대한 일반적인 데카르트 기반 벡터가 되고, let
b i = F ⋅ e i {\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}\cdot \mathbf {e} _{i}}}} 여기서 F i e 와i b 를i 그러면
b i ⊗ e i = ( F ⋅ e i ) ⊗ e i = F ⋅ ( e i ⊗ e i ) = F . {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.} 이 관계에서 우리는 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.
b i = F − T ⋅ e i ; g i j = [ F − 1 ⋅ F − T ] i j ; g i j = [ g i j ] − 1 = [ F T ⋅ F ] i j {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\cdot \mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}\cdot {\boldsymbol {F}}]_{ij}} J := Det F {\ displaystyle J:=\det {\boldsymbol{F}}} 그렇다면, 결정인자의 정의로 볼 때,
[ b 1 , b 2 , b 3 ] = 퇴장시키다 F [ e 1 , e 2 , e 3 ] . {\displaystyle \left[\mathbf {b}_{1},\mathbf {b}_{2}\mathbf {b}_{3}\right]=\det {\\boldsymbol {F}\{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e}\right}. 이후
[ e 1 , e 2 , e 3 ] = 1 {\displaystyle \left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1} 우리는 가지고 있다.
J = 퇴장시키다 F = [ b 1 , b 2 , b 3 ] = b 1 ⋅ ( b 2 × b 3 ) {\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})} 위의 관계를 이용하여 여러 가지 흥미로운 결과를 도출할 수 있다.
첫째, 고려하라.
g := 퇴장시키다 [ g i j ] {\displaystyle g:=\det[g_{ij}]} 그러면
g = 퇴장시키다 [ F T ] ⋅ 퇴장시키다 [ F ] = J ⋅ J = J 2 {\displaystyle g=\det[{\boldsymbol {F}^{\rm {T}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]= J\cdot J=J^{2}} 비슷하게, 우리는 그것을 보여줄 수 있다.
퇴장시키다 [ g i j ] = 1 J 2 {\displaystyle \det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}: 따라서 g i j ] i j ] 1 {\ displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1
∂ g ∂ g i j = 2 J ∂ J ∂ g i j = g g i j {\displaystyle {\cfrac {\partial g}{ij}}=2~J~{\cfrac {\partial j}{ij}}=g~g^{ij}} 또 다른 흥미로운 관계는 아래와 같다. 그것을 상기하다.
b i ⋅ b j = δ j i ⇒ b 1 ⋅ b 1 = 1 , b 1 ⋅ b 2 = b 1 ⋅ b 3 = 0 ⇒ b 1 = A ( b 2 × b 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})} 여기서 A 는 아직 확정되지 않은 상수다. 그러면
b 1 ⋅ b 1 = A b 1 ⋅ ( b 2 × b 3 ) = A J = 1 ⇒ A = 1 J {\displaystyle \mathbf {b} ^1}\cdot \mathbf {b} _{1}A~\mathbf {b} _{1}\cdot(\mathbf {b} _{2}\time \mathbf {b} _{3}=}) AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}} 이 관찰은 관계를 이끈다.
b 1 = 1 J ( b 2 × b 3 ) ; b 2 = 1 J ( b 3 × b 1 ) ; b 3 = 1 J ( b 1 × b 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})} 색인 표기법에서,
ε i j k b k = 1 J ( b i × b j ) = 1 g ( b i × b j ) {\displaystyle \varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})} 여기서 ε i j k {\ displaystyle \varepsilon _{ijk} 일반적 인 순열 기호 다.
곡선 베이스와 데카르트 베이스 사이의 매핑의 대체 형식이 더 유용하기 때문에 변환 텐서 F 지도화에서 충분히 부드럽다고 가정하고(그리고 약간의 표기법 오용도) 우리는
b i = ∂ x ∂ q i = ∂ x ∂ x j ∂ x j ∂ q i = e j ∂ x j ∂ q i {\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}} 마찬가지로
e i = b j ∂ q j ∂ x i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}{\j}{\mathbp {b}{\put q^{j}}}{\mathbf}}}}}}} 이 결과로부터 우리는
e k ⋅ b i = ∂ x k ∂ q i ⇒ ∂ x k ∂ q i b i = e k ⋅ ( b i ⊗ b i ) = e k {\displaystyle \mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}} 그리고
b k = ∂ q k ∂ x i e i {\displaystyle \mathbf{b} ^{k}={\frac {\frac q^{k}}{\mathbf{i}}}\mathbf {e} ^{i}}}}} 3차원 곡선 좌표에서의 벡터 및 텐서 미적분법 참고: 반복 지수를 요약하는 아인슈타인 종합 관례 가 아래에 사용된다. 시몬드는 그의 텐서 분석 에 관한 책에서 알버트 아인슈타인 의 말을[7] [4]
이 이론의 마법은 그것을 진정으로 이해한 사람이라면 누구에게도 강요하지 않을 것이다; 그것은 가우스, 리만, 리치, 레비시타가 세운 절대 미분학 방법의 진정한 승리를 나타낸다.
일반 곡선 좌표의 벡터 및 텐서 미적분은 일반 상대성 ,[8] 곡면 조개 의 역학에서 4차원 곡선 다지관의 텐서 해석에 사용되며,[6] 메타물질 [9] [10] 맥스웰 방정식 의 비침윤성성 을 검사하는데 사용된다.
벡터와 곡선 좌표의 2차 텐서의 미적분학에서 유용한 관계가 이 절에 제시되어 있다. 표기법과 내용은 주로 Ogden,[2] [4] [1] [5] [6]
기본 정의 공간에서의 점의 위치는 세 개의 좌표 변수( q q q {\displaystyle (q^{1},q^{2,q^{3
좌표 곡선 q 는1 q 2 , q 가3 일정한 곡선을 나타낸다. x 는 어떤 원점에 상대적인 점의 위치 벡터 가 되게 하라. 그런 다음, 그러한 매핑과 그 역이 존재하며 연속적이라고 가정하면, 우리는 쓸 수 있다.
x = φ ( q 1 , q 2 , q 3 ) ; q i = ψ i ( x ) = [ φ − 1 ( x ) ] i {\displaystyle \mathbf {x} ={\mathsymbol {\barphi{1}}}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\q^{i}(\mathbf {x})=[\mathb{-1}:{-1}{x}}}i]^}}^{i]^{i]^. ψi x ) 필드는 곡선 좌표계 coordinate(x ) = φ −1 (x )의 곡선 좌표 함수라고 한다.
qi 좌표 곡선 은 다음과 같이 주어진 단일 매개변수 함수군에 의해 정의된다.
x i ( α ) = φ ( α , q j , q k ) , i ≠ j ≠ k {\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\i})(={\\barphi }}}}}}}\barphi }}}}}}\barphi }}}}(\reason,q^{k},q^{k}), ~i\neq j\neq} qj , qk 고정된
좌표 곡선에 대한 접선 벡터 x i x 에i 접선 벡터 (또는 x 지점 에서 좌표 곡선 qi )는 다음과 같다.
d x i d α ≡ ∂ x ∂ q i {\displaystyle {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}{\rm {{d}\mathbf {x}{\mathbf{ni}}}}\equiv {\mathbf {}{\mathbf q^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그라데이션 스칼라장 f (x )를 우주의 스칼라장이 되게 하라. 그러면
f ( x ) = f [ φ ( q 1 , q 2 , q 3 ) ] = f φ ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f[{\\mathsymbol {\\varphi }}}}}}(q^{1},q^{3})=f_{\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3}) 필드 f 의 그라데이션은 다음과 같이 정의된다.
[ ∇ f ( x ) ] ⋅ c = d d α f ( x + α c ) α = 0 {\displaystyle [{\mathbf{x}}}{\mathbf{c}}}}\cdot \mathbf {c}{\rm {{d}\c}}}f(\mathbf {x} +\mathbf {c} +\mathbf {c}}{{biggr}}}}}}}}}}}}}}}}}}\biggr =0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서 c 는 임의 상수 벡터다. c 의 성분 c 를i 정의하면 다음과 같다.
q i + α c i = ψ i ( x + α c ) {\displaystyle q^{i}+\c^{i}=\c^{i}(\mathbf {x} +\mathbf {c})} 그때
[ ∇ f ( x ) ] ⋅ c = d d α f φ ( q 1 + α c 1 , q 2 + α c 2 , q 3 + α c 3 ) α = 0 = ∂ f φ ∂ q i c i = ∂ f ∂ q i c i {\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr }_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}} f ψ x {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )} ( qi i displaysty q^{i}=\psi}(\mathbf x} ) .
[ ∇ ψ i ( x ) ] ⋅ c = ∂ ψ i ∂ q j c j = c i {\displaystyle [{\\mathbf{x}}}\i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\mathbf {c}{\mathbf {c}}{\mathbf \c}{j}}}~c^{j}=c^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 벡터 c 의 반대편 성분을 추출할 수 있는 수단을 제공한다.
b 가i b 가i
[ ∇ f ( x ) ] ⋅ c = ∂ f ∂ q i c i = ( ∂ f ∂ q i b i ) ( c i b i ) ⇒ ∇ f ( x ) = ∂ f ∂ q i b i {\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}} 이러한 기준 선택에 대한 간단한 근거는 다음 절에 제시되어 있다.
벡터장 벡터 필드 f (x )의 경사로에 도달하기 위해 유사한 프로세스를 사용할 수 있다. 구배는 다음에 의해 주어진다.
[ ∇ f ( x ) ] ⋅ c = ∂ f ∂ q i c i {\displaystyle [{\mathbf{x}}}\mathbf {f}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\mathbf {c}{}{\mathbf{f}{}}}\mathbf q^{i}}}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}}}} 위치 벡터 필드 r (x ) = x 의 구배를 고려한다면 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.
c = ∂ x ∂ q i c i = b i ( x ) c i ; b i ( x ) := ∂ x ∂ q i {\displaystyle \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}} 벡터 필드 b 는i qi 좌표 곡선에 접하고 곡선의 각 점에 자연적 기초 를 형성한다. 이 글의 첫머리에서 논의한 바와 같이 이 근거를 공변 곡선 기반이라고도 한다. 우리는 또한 상호적 , 또는 역방향 곡선적 b 를i 텐서 대수에 관한 섹션에서 논의된 바와 같이, 기본 벡터 사이의 모든 대수적 관계는 자연적 기초와 각 지점 x 에서 그것의 역수를 적용한다.
c 는 임의적이기 때문에 우리는 쓸 수 있다.
∇ f ( x ) = ∂ f ∂ q i ⊗ b i {\displaystyle{\mathbf{b}}}{\mathbf {x}}}{\mathbf {f}{}}{\mathbf {b} ^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}}}{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 반대방향 기준 벡터 b 는i i
b i = ∇ ψ i {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\bsymbol {\bla }\properties ^{i}}}} 제1종 크리스토펠 기호 제1종류의 크리스토펠 기호 는 다음과 같이 정의된다.
b i , j = ∂ b i ∂ q j := Γ i j k b k ⇒ b i , j ⋅ b l = Γ i j l {\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}} γ을ijk g 로ij 표현하기 위해 우리는 다음과 같이 언급한다.
g i j , k = ( b i ⋅ b j ) , k = b i , k ⋅ b j + b i ⋅ b j , k = Γ i k j + Γ j k i g i k , j = ( b i ⋅ b k ) , j = b i , j ⋅ b k + b i ⋅ b k , j = Γ i j k + Γ k j i g j k , i = ( b j ⋅ b k ) , i = b j , i ⋅ b k + b j ⋅ b k , i = Γ j i k + Γ k i j {\displaystyle{\begin{정렬}g_{ij,k}&, =(\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{j})_{,k}=\mathbf{b}_{i,k}\cdot \mathbf{b}_{j}+\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&, =(\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{k})_{,j}=\mathbf{b}_{i,j}\cdot \mathbf{b}_{k}+\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{k,j}=\Gamma._{ijk}+ \Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}} b i,j b 이기j,i ijk jik
Γ i j k = 1 2 ( g i k , j + g j k , i − g i j , k ) = 1 2 [ ( b i ⋅ b k ) , j + ( b j ⋅ b k ) , i − ( b i ⋅ b j ) , k ] {\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]} 제2종 크리스토펠 기호 제2종류의 크리스토펠 기호 는 다음과 같이 정의된다.
Γ i j k = Γ j i k {\displaystyle \감마_{ij}^{k}=\감마_{ji}^{k}}} 어떤 점에서
∂ b i ∂ q j = Γ i j k b k {\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}{\partial q^{j}}}=\감마 _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}}}}} 라는 뜻을 내포하고 있다.
Γ i j k = ∂ b i ∂ q j ⋅ b k = − b i ⋅ ∂ b k ∂ q j {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}} 그 외 이어지는 관계들은
∂ b i ∂ q j = − Γ j k i b k ; ∇ b i = Γ i j k b k ⊗ b j ; ∇ b i = − Γ j k i b k ⊗ b j {\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}} Christoffel 기호가 미터법 텐서 및 그 파생상품에만 의존한다는 것을 보여주는 또 다른 특히 유용한 관계는 다음과 같다.
Γ i j k = g k m 2 ( ∂ g m i ∂ q j + ∂ g m j ∂ q i − ∂ g i j ∂ q m ) {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)} 벡터 필드의 그라데이션에 대한 명시적 식 곡선 좌표에서 벡터 필드의 그라데이션에 대한 다음 표현은 상당히 유용하다.
∇ v = [ ∂ v i ∂ q k + Γ l k i v l ] b i ⊗ b k = [ ∂ v i ∂ q k − Γ k i l v l ] b i ⊗ b k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}} 물리적 벡터 필드 표시 벡터 필드 v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
v = v i b i = v ^ i b ^ i {\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}_{i}~{\hat {\mathbf{b}}}}}:{i}}}} 여기서 v i {\ displaystyle v_{i}} 요소 , v ^ displaystyle {\hat {v}_{ 없음 )
b ^ i = b i g i i {\displaystyle {\hat {\mathbf {b}}}^{\mathbf {b}={\mathbf {b}^{i}}{\sqrt{g^{i}}}}}}} 정규화된 역변위 기본 벡터 입니다.
2차 텐서 필드 두 번째 순서 텐서 필드의 그라데이션은 유사하게 다음과 같이 표현될 수 있다.
∇ S = ∂ S ∂ q i ⊗ b i {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}{\\boldsymbol {S}={\cfrac {\partial q^{i}}{\time \mathbf {b}^{i}}}}{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그라데이션에 대한 명시적 표현식 텐서 표현을 역행적 기준으로 본다면,
∇ S = ∂ ∂ q k [ S i j b i ⊗ b j ] ⊗ b k = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ k i l S l j − Γ k j l S i l ] b i ⊗ b j ⊗ b k {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}} 우리는 또한 쓸 수 있다.
∇ S = [ ∂ S i j ∂ q k + Γ k l i S l j + Γ k l j S i l ] b i ⊗ b j ⊗ b k = [ ∂ S j i ∂ q k + Γ k l i S j l − Γ k j l S l i ] b i ⊗ b j ⊗ b k = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ i k l S l j + Γ k l j S i l ] b i ⊗ b j ⊗ b k {\displaystyle {\begin{aigned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}&=\왼쪽[{\cfrac {\partial S^{ij}}}}}{\partial q^{k}}}}}}}+\감마 _{klklkl}^{ni}~ S^{lj}+\감마 _{kl}^{j}~~ S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~ S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~ S_{i}^{~l}\오른쪽]~\mathbf {b}^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b}^{k}\end}}}}}}}}}} 실제 2차 텐서 필드 표시 2차 텐서 필드의 물리적 구성요소는 정규화된 역변위 기준을 사용하여 얻을 수 있다.
S = S i j b i ⊗ b j = S ^ i j b ^ i ⊗ b ^ j {\displaystyle {\boldsymbol {S}=S_{ij}~\mathbf {b}^{i}}^{j}={\hatbf{{S}}}~{\hat{{}}}}}}}}}}}{^\hat {\mathbf{b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^} 모자이크 기본 벡터가 정규화된 위치. 이는 (합계 없음)을 암시한다.
S ^ i j = S i j g i i g j j {\displaystyle {\hat{S}_{ij}= S_{ij}~{\sqrt{g^{i}~{jj}}}}}} 발산 벡터장 벡터 필드(v {\ displaystyle \mathbf {v} }
칸막이하다 v = ∇ ⋅ v = tr ( ∇ v ) {\displaystyle \divname {div} ~\mathbf {v} ={\mathbolla {\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}}({\mathbf {v} )} 곡선 기준과 관련된 성분의 측면에서
∇ ⋅ v = ∂ v i ∂ q i + Γ ℓ i i v ℓ = [ ∂ v i ∂ q j − Γ j i ℓ v ℓ ] g i j {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}} 벡터장의 분산을 위한 대체 방정식이 자주 사용된다. 이 관계를 도출하려면 다음을 리콜하십시오.
∇ ⋅ v = ∂ v i ∂ q i + Γ ℓ i i v ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }}}}}}}} 지금
Γ ℓ i i = Γ i ℓ i = g m i 2 [ ∂ g i m ∂ q ℓ + ∂ g ℓ m ∂ q i − ∂ g i l ∂ q m ] {\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]} 참고로 g {\ displaystyle {\boldsymbol{g}} ,
g m i ∂ g ℓ m ∂ q i = g m i ∂ g i ℓ ∂ q m {\displaystyle g^{mi}~{\frac {\frac}{\\frac}{\reason q^{i}}}=g^{m}}}}{\frac {\frac g_{i\ell}{\reason q^{m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 우리는 가지고 있다.
∇ ⋅ v = ∂ v i ∂ q i + g m i 2 ∂ g i m ∂ q ℓ v ℓ {\displaystyle {\fla }\cdot \mathbf {v}={\frac v^{i}}}{\frac{g^{mi}}}+{\frac{\frac{\frac{\mi}}}}{\frac q^{}}{}}}}{{}}}}v^{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\cdotel }}}}}}}}}} [gij ] 성분이 g 인ij 행렬인 경우 행렬의 역행렬은 g i j ] g j ] {\displaystyle [g_{ij}]^{-1}=[g^{ij}]} . 행렬의 역행렬은 다음과 같다.
[ g i j ] = [ g i j ] − 1 = A i j g ; g := 퇴장시키다 ( [ g i j ] ) = 퇴장시키다 g {\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}={\cfrac {A^{ij}}}}{g}};~~g:=\det([g_{ij}])) =\det {\\symbol{g}} 여기서 A 는ij 성분 g 의ij Cofactor 행렬 이다. 매트릭스 대수학에서 우리는
g = 퇴장시키다 ( [ g i j ] ) = ∑ i g i j A i j ⇒ ∂ g ∂ g i j = A i j [\displaystyle g=\det([g_{ij}]) =\sum _{i}g_{ij}~~ A^{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}= A^{ij}} 그러므로,
[ g i j ] = 1 g ∂ g ∂ g i j {\displaystyle [g^{ij}]={\prox {1}{g}{\frac {\frac}{\property g_{ij}}}}}}}}}}} 이 관계를 발산 식에 연결하면
∇ ⋅ v = ∂ v i ∂ q i + 1 2 g ∂ g ∂ g m i ∂ g i m ∂ q ℓ v ℓ = ∂ v i ∂ q i + 1 2 g ∂ g ∂ q ℓ v ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{mi}}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }} 조금만 조작하면 좀 더 컴팩트한 형태가 된다.
∇ ⋅ v = 1 g ∂ ∂ q i ( v i g ) {\displaystyle {\scmsymbol {\bla}\cdot \mathbf {v} ={\n1}{\sqrt{g}}~{\frac{\fract q^{i}}}}(v^{i}~{\sqrt{g})}}}}}}}}} 2차 텐서 필드 2차 텐서 필드의 다양성 은 다음을 사용하여 정의된다.
( ∇ ⋅ S ) ⋅ a = ∇ ⋅ ( S ⋅ a ) {\displaystyle({\\boldsymbol {\nabla}}}\cdot \mathbf {\boldsymbol {\nabla}}}}={\boldsymbol {S}\cdot \mathbf {a}}}}}}}}} 여기서 a 는 임의의 상수 벡터다. [11]
∇ ⋅ S = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ k i l S l j − Γ k j l S i l ] g i k b j = [ ∂ S i j ∂ q i + Γ i l i S l j + Γ i l j S i l ] b j = [ ∂ S j i ∂ q i + Γ i l i S j l − Γ i j l S l i ] b j = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ i k l S l j + Γ k l j S i l ] g i k b j {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~ S^{lj}+\감마 _{il}^{j}~~ S^{{il}\오른쪽]~\mathbf {b} _{j}\[8pt]&=\왼쪽[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}}}{\partial q^{i}}}}}}+\감마 _{il}^{i}}}}}. S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~ S_{i}^{~l}\오른쪽]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aigned}}}} 라플라시안 스칼라장 스칼라장 φ(x )의 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.
∇ 2 φ := ∇ ⋅ ( ∇ φ ) {\displaystyle \barphi ^{2}\varphi :={\\bla }}\cdot({\bla }\barphi )} 벡터장의 분리에 대한 대체 표현을 사용하면
∇ 2 φ = 1 g ∂ ∂ q i ( [ ∇ φ ] i g ) {\displaystyle \barphi ={2}\varpi ={\prac {1}{\sqrt{g}}~{\frac {\fract }{\propert q^{i}}}([{\presymbol {\\\\\cla ]^{{\sqrt}}}}}}}}}}}}}}}}})}}}}}}}}}}}} 지금
∇ φ = ∂ φ ∂ q l b l = g l i ∂ φ ∂ q l b i ⇒ [ ∇ φ ] i = g l i ∂ φ ∂ q l {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} _{i}\quad \Rightarrow \quad [{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}} 그러므로
∇ 2 φ = 1 g ∂ ∂ q i ( g l i ∂ φ ∂ q l g ) {\displaystyle \barphi ={2}\{1}{\sqrt{g}}}~{\frac {\beca q^{i}}}}\{\frac {\beca \varphi }{l}}~{\sqrqrt{g\오른쪽)}}} 벡터 필드의 컬 공변 곡선 좌표에서 벡터 필드 v 의 컬은 다음과 같이 쓸 수 있다.
∇ × v = E r s t v s r b t {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }\time \mathbf {v} ={\mathbf{E}^{rst}v_{s r}~\mathbf {b}_{t}}}}} 어디에
v s r = v s , r − Γ s r i v i {\displaystyle v_{s}=v_{s,r}-\감마 _{sr}^{i}~v_{i}}}} 직교 곡선 좌표 이 절의 목적상 곡선 좌표계가 직교 라고 가정한다.
b i ⋅ b j = { g i i 만일 i = j 0 만일 i ≠ j , {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}={\case}g_{i}&{\text}{{}i=j\0&{\text}{}}{{i\neq j,\end{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 또는 동등하게
b i ⋅ b j = { g i i 만일 i = j 0 만일 i ≠ j , {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}={\case}g^{ii}&{\text{}{{}i=j\0&{\text}{}}{{i\neq j,\end{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 여기서 g i i g displaystyle g^{i}= {i 1 i, b {\ displaystyle \mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j} b 는i j 또한, (e1 2 , e, e 3 ) 배경, 고정, 데카르트 바탕이 되도록 한다. 직교 곡선 좌표 목록은 다음과 같다.
직교 곡선 좌표의 미터법 텐서 좌표계의 원점에 관하여 r (x )를 x 점의 위치 벡터 가 되게 한다. 표기법은 x = r (x )에 주목하여 단순화할 수 있다. 각 지점에서 우리는 작은 선 요소 dx를 구성할 수 있다. 선 요소의 길이의 제곱은 스칼라 제품 dx • dx이며 공간 의 미터법 이라고 불린다. 우리가 곡선 좌표를 이야기할 때 관심의 공간이 유클리드 라고 가정된다는 것을 상기하라. 위치 벡터를 배경, 고정, 데카르트 기반, 즉,
x = ∑ i = 1 3 x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}~\mathbf {e} _{i}}}} 그런 다음 체인 규칙 을 사용하여 dx를 3차원 직교 곡선 좌표(q 1 , q, q2 3 )로 표현할 수 있다.
d x = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ( ∂ x i ∂ q j e i ) d q j {\dplaystyle \mathbrm {d} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}{j=1}^{3}\left_{i}}}{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {d}q^{j}}}}}}}}}}}}}}}}{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 따라서 측정 기준은
d x ⋅ d x = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k d q j d q k {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}~\mathrm {d} q^{j}~\mathrm {d} q^{k}} 대칭수량
g i j ( q i , q j ) = ∑ k = 1 3 ∂ x k ∂ q i ∂ x k ∂ q j = b i ⋅ b j {\displaystyle g_{ij}(q^{i},q^{j})=\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}} 곡선 좌표에서 유클리드 공간 의 기본(또는 미터법) 텐서 라 불린다.
또한 이 점에 유의하십시오.
g i j = ∂ x ∂ q i ⋅ ∂ x ∂ q j = ( ∑ k h k i e k ) ⋅ ( ∑ m h m j e m ) = ∑ k h k i h k j {\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(\sum _{m}h_{mj}~\mathbf {e} _{m}\right)=\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}} 여기 서ij h는 라메 계수다.
척도계수를 정의하면 hi , 다음을 사용하여
b i ⋅ b i = g i i = ∑ k h k i 2 =: h i 2 ⇒ ∂ x ∂ q i = b i = g i i = h i {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ii}=\sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}\quad \Rightarrow \quad \left {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right =\left \mathbf {b} _{i}\right ={\sqrt {g_{ii}}}=h_{i}} 기본 텐서 계수와 라메 계수 사이의 관계를 얻는다.
예제: 극좌표 R 에2 대해 극좌표를 고려할 경우, 다음 사항에 유의하십시오.
( x , y ) = ( r cas θ , r 죄를 짓다 θ ) {\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta )} (r, θ)는 곡선 좌표이며, 변환(r , θ) → (r cos, r sin θ)의 자코비안 결정요인은 r 이다.
직교 기준 벡터는 b r b θ = (-r sin θ, r cos θ)이다. 정규화된 기준 벡터는 e r e θ = (-sin θ, cos θ)이고 척도 계수 는r h θ = r 이다. 기본 텐셔너 는11 g =1 22 , g =r 2 , g 12 = g 21 = 0이다.
선 및 표면 통합 벡터 미적분 계산에 곡선 좌표를 사용하려면 선, 표면 및 볼륨 통합 계산에서 조정이 필요하다. 단순성을 위해 논의를 다시 3차원과 직교 곡선 좌표로 제한한다. 그러나 좌표계가 직교하지 않을 때 식에 일부 추가 용어가 있지만 n {\displaystyle n}
라인 통합 일반적으로 라인 통합 의 계산에서 우리는 계산에 관심이 있다.
∫ C f d s = ∫ a b f ( x ( t ) ) ∂ x ∂ t d t {\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x})(t)\왼쪽 {\partial \mathbf {x}\over \partial t}\right \;dt} 여기서 x t )는 C를 데카르트 좌표에서 파라메트리한다. 곡선 좌표에서 항
∂ x ∂ t = ∑ i = 1 3 ∂ x ∂ q i ∂ q i ∂ t {\displaystyle \왼쪽 {\mathbf {x}\over \mathbf {x}\over \mathbf}\right =\좌측 \over \mathbf{3}{}{i}{}\over \mathbf {x}{{i}}}\over \mathb}}} 사슬로 라메 계수의 정의로 볼 때론
∂ x ∂ q i = ∑ k h k i e k {\displaystyle {\mathbf {x}\over \cH^{i}=\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}}}} 따라서
∂ x ∂ t = ∑ k ( ∑ i h k i ∂ q i ∂ t ) e k = ∑ i ∑ j ∑ k h k i h k j ∂ q i ∂ t ∂ q j ∂ t = ∑ i ∑ j g i j ∂ q i ∂ t ∂ q j ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\left {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right &=\left \sum _{k}\left(\sum _{i}h_{ki}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)\mathbf {e} _{k}\right \\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j} g_{ij}~{\probac{\probled q^{i}}{\probled t}{\probled q^{j}}}{\probled}}}} 이제, g i j {\displaystyle g_{ij}=0} ≠ {\displaystyle i\neq } when을
∂ x ∂ t = ∑ i g i i ( ∂ q i ∂ t ) 2 = ∑ i h i 2 ( ∂ q i ∂ t ) 2 {\displaystyle \left {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right ={\sqrt {\sum _{i}g_{ii}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sum _{i}h_{i}^{2}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}} 정상적으로 진행할 수 있어
표면 통합 마찬가지로 표면 적분 에 관심이 있는 경우 카르테시안 좌표에서 표면의 매개변수화를 사용한 관련 계산은 다음과 같다.
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x})(왼쪽)\\partial s}\time {\partial \mathbf {x}\x}\partial \partial t}\partial t}\ds\d}t} 다시, 곡선 좌표에서,
∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t = ( ∑ i ∂ x ∂ q i ∂ q i ∂ s ) × ( ∑ j ∂ x ∂ q j ∂ q j ∂ t ) {\displaystyle \left {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right =\left \left(\sum _{i}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\times \left(\sum _{j}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\right } 그리고 우리는 곡선 좌표의 정의를 다시 사용해서
∂ x ∂ q i ∂ q i ∂ s = ∑ k ( ∑ i = 1 3 h k i ∂ q i ∂ s ) e k ; ∂ x ∂ q j ∂ q j ∂ t = ∑ m ( ∑ j = 1 3 h m j ∂ q j ∂ t ) e m {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}=\sum _{k}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\mathbf {e} _{k}~;~~{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}=\sum _{m}\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\math bf {e} _{m}} 그러므로
∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t = ∑ k ∑ m ( ∑ i = 1 3 h k i ∂ q i ∂ s ) ( ∑ j = 1 3 h m j ∂ q j ∂ t ) e k × e m = ∑ p ∑ k ∑ m E k m p ( ∑ i = 1 3 h k i ∂ q i ∂ s ) ( ∑ j = 1 3 h m j ∂ q j ∂ t ) e p {\displaystyle{\begin{정렬}\left{\partial \mathbf{)}\over s\partial}\right&=\left \sum _{k}\sum _ᆯ\left(\sum_{i=1}^{3}h_{해법.}일{\partial q^{나는}\over s}\partial \right)\left(\sum_{j=1}^{3}h_{mj}일{\partial q^{j}\over\partial t}\right)\mathbf{e}_{k}\times _{m}\right \\[8pt]{e}\mathbf{\partial \mathbf{)}\over\partial t}\times.&=\l eft \sum _{p}\sum _{k}\sum _{m}{\mathcal {E}}_{kmp}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{p}\right \end{aligned}}} 여기서 E {\ displaystyle {\mathcal {E} 순열 기호 입니다.
결정론적 형태에서 곡선 좌표 측면에서 교차 산출물은 다음과 같다.
e 1 e 2 e 3 ∑ i h 1 i ∂ q i ∂ s ∑ i h 2 i ∂ q i ∂ s ∑ i h 3 i ∂ q i ∂ s ∑ j h 1 j ∂ q j ∂ t ∑ j h 2 j ∂ q j ∂ t ∑ j h 3 j ∂ q j ∂ t {\displaystyle{\begin{vmatrix}\mathbf{e}_{1}&,\mathbf{e}_{2}&,\mathbf{e}_{3}\\&, &, \\\sum _{나는}h_{1i}{\partial q^{나는}\over s\partial}&\sum _{나는}h_{2i}{\partial q^{나는}\over s\partial}&\sum _{나는}h_{3i}{\partial q^{나는}\over s\partial}\\&, &, \\\sum _{j}h_{1j}{\partial q^{j}\over\partial t}&\sum _{j}h_{2j}{\partial q.^{j}\over\partial t}&\sum _{j}h_{3. j}{\\put q^{j} \over \cHB t}\end{vmatrix}}}} 그라드, 컬, 디브, 라플라시안 직교 곡선 좌표에서 3차원은 다음과 같다.
b i = ∑ k g i k b k ; g i i = 1 g i i = 1 h i 2 {\displaystyle \mathbf{b} ^{i}=\sum _{k^{ik}~{k}{b} _{k};~~g^{i}={\naac {1}{g_{i}}}}}={\mathac {1}{h_{i}^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 스칼라 또는 벡터 필드 의 경사 를 다음과 같이 표현할 수 있다.
∇ φ = ∑ i ∂ φ ∂ q i b i = ∑ i ∑ j ∂ φ ∂ q i g i j b j = ∑ i 1 h i 2 ∂ f ∂ q i b i ; ∇ v = ∑ i 1 h i 2 ∂ v ∂ q i ⊗ b i {\displaystyle \nabla \varphi =\sum _{i}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} ^{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~g^{ij}~\mathbf {b} _{j}=\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial f \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} _{i}~;~~\nabla \mathbf {v} =\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial \mathbf {v} \over \cHB q^{i}\여러 번 \mathbf {b} _{i}} 직교 기준의 경우
g = g 11 g 22 g 33 = h 1 2 h 2 2 h 3 2 ⇒ g = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle g=g_{11}~g_{22}~g_{33}=h_{1}^{2}~{2}^{2}~h_{3}^{2}\qrt \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\quad{\\\\quad{\\\\quad{\quad{\\\\quad{\quad{\quad{\qurt{\{\{\\{\qurt{ 벡터 장의 차이 는 다음과 같이 기록될 수 있다.
∇ ⋅ v = 1 h 1 h 2 h 3 ∂ ∂ q i ( h 1 h 2 h 3 v i ) {\displaystyle {\mathsymbol {\bla }\cdot \mathbf {v} ={\cdac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{3}}}{\frac {1}{\fract q^}}}(h_{1}h_{3}~v^{i})}}}})}}}}}}}}{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 또,
v i = g i k v k ⇒ v 1 = g 11 v 1 = v 1 h 1 2 ; v 2 = g 22 v 2 = v 2 h 2 2 ; v 3 = g 33 v 3 = v 3 h 3 2 {\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}\quad \Rightarrow v^{1}=g^{11}~v_{1}={\cfrac {v_{1}}{h_{1}^{2}}}~;~~v^{2}=g^{22}~v_{2}={\cfrac {v_{2}}{h_{2}^{2}}}~;~~v^{3}=g^{33}~v_{3}={\cfrac {v_{3}}{h_{3}^{2}}}} 그러므로
∇ ⋅ v = 1 h 1 h 2 h 3 ∑ i ∂ ∂ q i ( h 1 h 2 h 3 h i 2 v i ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~v_{i}\right)} 라는 점을 주목함 으로써 라플라시안의 표현을 비슷한 방법으로 얻을 수 있다.
g l i ∂ φ ∂ q l = { g 11 ∂ φ ∂ q 1 , g 22 ∂ φ ∂ q 2 , g 33 ∂ φ ∂ q 3 } = { 1 h 1 2 ∂ φ ∂ q 1 , 1 h 2 2 ∂ φ ∂ q 2 , 1 h 3 2 ∂ φ ∂ q 3 } {\displaystyle g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}=\left\{g^{11}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},g^{22}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},g^{33}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}=\left\{{\cfrac {1}{h_{1}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},{\cfrac {1}{h_{2}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\properties q^{2}}:{\parac {1}{h_{3}^{2}}:}{\frac {\propert \varphi }{\propert q^{3}}}}\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그러면 우리는
∇ 2 φ = 1 h 1 h 2 h 3 ∑ i ∂ ∂ q i ( h 1 h 2 h 3 h i 2 ∂ φ ∂ q i ) {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)} 그라데이션, 발산, 라플라시안 등의 표현은 n차원까지 직접 확장할 수 있다.
벡터 필드 의 컬 은 다음에 의해 주어진다.
∇ × v = 1 h 1 h 2 h 3 ∑ i = 1 n e i ∑ j k ε i j k h i ∂ ( h k v k ) ∂ q j {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}} 여기서 ε은ijk Levi-Civita 기호 다.
예: 원통 극좌표 원통형 좌표 의 경우
( x 1 , x 2 , x 3 ) = x = φ ( q 1 , q 2 , q 3 ) = φ ( r , θ , z ) = { r cas θ , r 죄를 짓다 θ , z } {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})={\boldsymbol {\varphi }}(r,\theta ,z)=\{r\cos \theta ,r\sin \theta ,z\}} 그리고
{ ψ 1 ( x ) , ψ 2 ( x ) , ψ 3 ( x ) } = ( q 1 , q 2 , q 3 ) ≡ ( r , θ , z ) = { x 1 2 + x 2 2 , 햇볕에 그을리다 − 1 ( x 2 / x 1 ) , x 3 } {\displaystyle \{\psi ^{1}(\mathbf {x} ),\psi ^{2}(\mathbf {x} ),\psi ^{3}(\mathbf {x} )\}=(q^{1},q^{2},q^{3})\equiv (r,\theta ,z)=\{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2 }^{2}}:},\tan^{-1}(x_{2}/x_{1}),x_{3}\}}} 어디에
0 < r < ∞ , 0 < θ < 2 π , − ∞ < z < ∞ ######################################################################### 그러면 공변량 및 역변량 기준 벡터는 다음과 같다.
b 1 = e r = b 1 b 2 = r e θ = r 2 b 2 b 3 = e z = b 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=\mathbf {e} _{r}=\mathbf {b} ^{1}\\\mathbf {b} _{2}&=r~\mathbf {e} _{\theta }=r^{2}~\mathbf {b} ^{2}\\\mathbf {b} _{3}&=\mathbf {e} _{z}=\mathbf {b} ^{3}\end{aligned}}} 여기서 e r e θ z \ mathbf r},\mathbf {e} _ theta},\mathbf e} _{z}} θ , z {\displaystyle r,\ta ,z}
미터법 텐서의 구성 요소는 다음과 같다.
g i j = g i j = 0 ( i ≠ j ) ; g 11 = 1 , g 22 = 1 r , g 33 = 1 {\displaystyle g^{ij}=g_{ij}=0(i\neq j)~;~{\sqrt{11}}=1,~{\sqrt{g^{22}}}}={\sqrt{1},{\sqr}}}}}}}}}}=1} 그 기초가 직교라는 걸 알 수 있지
제2종 크리스토펠 심볼의 0이 아닌 성분은
Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1 r ; Γ 22 1 = − r {\displaystyle \Gamma \{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}={\cfrac {1}{1}{r}~~\Gamma _{22}^{1}=-r} 물리적 벡터 필드 표시 원통형 극좌표에서 정규화된 역변위 기본 벡터는 다음과 같다.
b ^ 1 = e r ; b ^ 2 = e θ ; b ^ 3 = e z {\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{1}=\mathbf {e} _{r}~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{2}=\mathbf {e} _{\theta }~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{3}=\mathbf {e} _{z}} 벡터 v 의 물리적 구성요소는
( v ^ 1 , v ^ 2 , v ^ 3 ) = ( v 1 , v 2 / r , v 3 ) =: ( v r , v θ , v z ) {\displaystyle({\hat {v}_{1},{\hat {v}_{2},v_{3}=(v_{1},v_{3})=(v_{r},v_{r},v_},{\ta }}, v_{},v_{z}}}}}}}}} 스칼라 필드의 그라데이션 원통형 좌표에서 스칼라장 f (x )의 그라데이션은 이제 곡선 좌표에서 일반적인 식을 사용하여 계산할 수 있으며 형태를 갖췄다.
∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f={\cfrac {\partial f}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial f}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}} 벡터 필드의 그라데이션 마찬가지로 원통형 좌표에서 벡터장 v (x )의 구배도 다음과 같이 나타낼 수 있다.
∇ v = ∂ v r ∂ r e r ⊗ e r + 1 r ( ∂ v r ∂ θ − v θ ) e r ⊗ e θ + ∂ v r ∂ z e r ⊗ e z + ∂ v θ ∂ r e θ ⊗ e r + 1 r ( ∂ v θ ∂ θ + v r ) e θ ⊗ e θ + ∂ v θ ∂ z e θ ⊗ e z + ∂ v z ∂ r e z ⊗ e r + 1 r ∂ v z ∂ θ e z ⊗ e θ + ∂ v z ∂ z e z ⊗ e z {\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\nabla}};={\cfrac{\partial v_{r}}{r\partial}}{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}~\mathbf}\left({\cfrac{\partial v_{r}}{\partial \theta}}-v_{\theta}\right)~\mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\cfrac{\partial v_{r}}{z\partial}}{e}_{r}\otimes \mathb ~\mathbf{v}및 \mathbf.f{e }_ᆫ\\[8pt]&, +{\cfrac{\partial v_{\theta}}{r\partial}}}{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}~\mathbf \left({\cfrac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}}+v_{r}\right)~\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\cfrac{\partial v_{\theta}}{z\partial}};+{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_ᆽ\\[8pt]& ~\mathbf.{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}} 벡터장 발산 곡선 좌표에서 벡터장 발산 방정식을 사용하면 원통형 좌표에서의 분산을 알 수 있다.
∇ ⋅ v = ∂ v r ∂ r + 1 r ( ∂ v θ ∂ θ + v r ) + ∂ v z ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}} 스칼라 밭의 라플라시안 라플라시안은 ∇ 2 ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }^{ f={\boldsymbol nabla }}}}}\boldsymbol {\nabla }}
v = ∇ f = [ v r v θ v z ] = [ ∂ f ∂ r 1 r ∂ f ∂ θ ∂ f ∂ z ] {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f=\left[v_{r}~~v_{\theta }~~v_{z}\right]=\left[{\cfrac {\partial f}{\partial r}}~~{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~~{\cfrac {\partial f}{\partial z}}\right]} 그러므로,
∇ ⋅ v = ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ( 1 r ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ f ∂ r ) + ∂ 2 f ∂ z 2 = 1 r [ ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) ] + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{r}}\left[{\cfrac {\partial }{\partial r}}\l eft(r{\reasonac {\reason r}}}{\reason r}\right]+{{1}{1}{1}{1}{r^{1}:{1}}}}{\reason ^{2}}}{\time ^{2}}}}{\reason z^2}}:00}} 실제 2차 텐서 필드 표시 2차 텐서 영역의 물리적 구성요소는 텐서가 정규화된 역변위 기준으로 표현되었을 때 얻은 것이다. 원통형 극좌표에서 이러한 구성 요소는 다음과 같다.
S ^ 11 = S 11 =: S r r , S ^ 12 = S 12 r =: S r θ , S ^ 13 = S 13 =: S r z S ^ 21 = S 21 r =: S θ r , S ^ 22 = S 22 r 2 =: S θ θ , S ^ 23 = S 23 r =: S θ z S ^ 31 = S 31 =: S z r , S ^ 32 = S 32 r =: S z θ , S ^ 33 = S 33 =: S z z {\displaystyle {\begin{aigned}{\hat {S}_{11}&=S_{11}=: S_{rr},&{\hat {S}_{12}&={\frac {S_{12}}}{r}}=: S_{r\theta }},&{\hat {S}_{13}&=S_{13}=: S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}_{21}&={\frac {S_{21}}}}{r}}=: S_{\theta r},&{\hat {S}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}=: S_{\theta \theta },&{\hat {S}_{23}&={\frac {S_{23}}}{r}}=: S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}_{31}&=S_{31}=: S_{zr},&{\hat {S}_{32}&={\frac {S_{32}}}{r}}=: S_{z\theta },&#{\hat {S}_{33}&=S_{33}=: S_{zz}\end{aigned}}} 2차 텐서 필드의 그라데이션 위의 정의를 사용하여 원통형 극좌표에서 2차 텐서 필드의 구배를 다음과 같이 표현할 수 있음을 알 수 있다.
∇ S = ∂ S r r ∂ r e r ⊗ e r ⊗ e r + 1 r [ ∂ S r r ∂ θ − ( S θ r + S r θ ) ] e r ⊗ e r ⊗ e θ + ∂ S r r ∂ z e r ⊗ e r ⊗ e z + ∂ S r θ ∂ r e r ⊗ e θ ⊗ e r + 1 r [ ∂ S r θ ∂ θ + ( S r r − S θ θ ) ] e r ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S r θ ∂ z e r ⊗ e θ ⊗ e z + ∂ S r z ∂ r e r ⊗ e z ⊗ e r + 1 r [ ∂ S r z ∂ θ − S θ z ] e r ⊗ e z ⊗ e θ + ∂ S r z ∂ z e r ⊗ e z ⊗ e z + ∂ S θ r ∂ r e θ ⊗ e r ⊗ e r + 1 r [ ∂ S θ r ∂ θ + ( S r r − S θ θ ) ] e θ ⊗ e r ⊗ e θ + ∂ S θ r ∂ z e θ ⊗ e r ⊗ e z + ∂ S θ θ ∂ r e θ ⊗ e θ ⊗ e r + 1 r [ ∂ S θ θ ∂ θ + ( S r θ + S θ r ) ] e θ ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S θ θ ∂ z e θ ⊗ e θ ⊗ e z + ∂ S θ z ∂ r e θ ⊗ e z ⊗ e r + 1 r [ ∂ S θ z ∂ θ + S r z ] e θ ⊗ e z ⊗ e θ + ∂ S θ z ∂ z e θ ⊗ e z ⊗ e z + ∂ S z r ∂ r e z ⊗ e r ⊗ e r + 1 r [ ∂ S z r ∂ θ − S z θ ] e z ⊗ e r ⊗ e θ + ∂ S z r ∂ z e z ⊗ e r ⊗ e z + ∂ S z θ ∂ r e z ⊗ e θ ⊗ e r + 1 r [ ∂ S z θ ∂ θ + S z r ] e z ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S z θ ∂ z e z ⊗ e θ ⊗ e z + ∂ S z z ∂ r e z ⊗ e z ⊗ e r + 1 r ∂ S z z ∂ θ e z ⊗ e z ⊗ e θ + ∂ S z z ∂ z e z ⊗ e z ⊗ e z {\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\nabla}}{\boldsymbol{S}}&={\frac{\partial S_{rr}}{r\partial}}{e}_{r}\otimes ~\mathbf \mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}{e}_{\theta}\mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes \left[{\frac{\partial S_{rr}}{\partial \theta}}-(S_{\theta r}+S_{r\theta})\right]~\mathbf.+{\f Rac{\partial S_{rr}}{z\partial}}\mathbf{e}_ᆱ\\[8pt]&, +{\frac{\partial S_{r\theta}}{r\partial}}\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}{e}_{r}\ \left[{\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial \theta}}+(S_{rr}-S_{\theta \theta})\right]~\mathbf{e}_{r}\otimes ~\mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes ~\mathbf.otim 에스 \mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{r\theta}}{z\partial}}~\mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_ᆴ\\[8pt]&, +{\frac{\partial S_{rz}}{r\partial}}{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}\left는 경우에는{\frac{\partial S_{rz}}{\theta\partial}}~\mathbf.-S_{ \theta z}\right]~\mathbf{e}_{r}\otimes}{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_ᆶ\\[8pt]& ~\mathbf, +{\frac{\partial S_{\theta r}}{r\partial}}{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}\left는 경우에는{\frac{\pa ~\mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{rz}}{z\partial}\mathbf.rtia LS_{r\theta}}{\theta\partial}}+(S_{rr}-S_{\theta \theta})\right]~\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{\theta r}}{z\partial}}{e}_ᆹ\\[8pt]& \mathbf, +{\frac{\partial S_{\theta \theta}}{r\partial}}{e}_{\theta}\oti ~\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes ~\mathbf.메스 \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otime S\mathbf{e}_ᆫ\\[8pt]&, +{\frac{\partial S_{\theta z}}{r\partial}}{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}\left[{\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial \theta}}+S_{rz}\right]~\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{\theta z}}{z\partial}~\mathbf.}~\m Athbf{e}_{\theta}\otimes{e}_{z}\otimes{e}_ᆯ\\[8pt]& \mathbf, +{\frac{\partial S_{zr}}{r\partial}}}{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}~\mathbf \left[{\frac{\partial S_{zr}}{\partial \theta}}-S_{z\theta}\right]~\mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\p \mathbf.arti 알 S_{zr}}{z\partial}}{e}_ᆱ\\[8pt]& \mathbf, +{\frac{\partial S_{z\theta}}{r\partial}}\mathbf{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}{e}_{z}\otimes ~\mathbf \left[{\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial \theta}}+S_{zr}\right]~\mathbf{e}_{z}\otimes{e}_{\theta}\ot \mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}\otimes ~\mathbf.imes \mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{z\theta}}{z\partial}}{e}_{\theta}\otimes \mathbf{e}_ᆲ\\[8pt]& \mathbf, +{\frac{\partial S_{zz}}{r\partial}}\mathbf{e}_{z}\otimes \mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}~{\frac{\partial S_{zz}}{\theta\partial}{e}_{z}\otimes ~\mathbf}{e}_{z}\otimes \mathbf{e}~\mathbf 즉{e}_{z}\otimes ~\mathbf.{z} \otimes \mathbf {e} _{\theta}+{\frac {\partial S_{zz}}{\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}? 2차 텐서장 차이 원통형 극좌표에서 2차 텐서 장의 분비는 다이디치 제품에서 두 외부 벡터의 스칼라 제품이 0이 아닌 항을 수집하여 그라데이션 식에서 얻을 수 있다. 그러므로
∇ ⋅ S = ∂ S r r ∂ r e r + ∂ S r θ ∂ r e θ + ∂ S r z ∂ r e z + 1 r [ ∂ S r θ ∂ θ + ( S r r − S θ θ ) ] e r + 1 r [ ∂ S θ θ ∂ θ + ( S r θ + S θ r ) ] e θ + 1 r [ ∂ S θ z ∂ θ + S r z ] e z + ∂ S z r ∂ z e r + ∂ S z θ ∂ z e θ + ∂ S z z ∂ z e z {\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\boldsymbol{S}}&={\frac{\partial S_{rr}}{r\partial}}~\mathbf{e}_{r}+{\frac{\partial S_{r\theta}}{r\partial}}~\mathbf{e}_{\theta}+{\frac{\partial S_{rz}}{r\partial}};+{\cfrac{1}{r}}\left는 경우에는{\frac{\partial S_{r\theta}}{\theta\partial}}+(S_{rr}{e}_ᆷ\\[8pt]& ~\mathbf.-S_{\the 강타 \theta})\right]~\mathbf{e}_{r}+{\cfrac{1}{r}}}\left[{\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial \theta}}+S_{rz}\right]~\mathbf, +{\frac{\partial S_{zr}}{z\partial}}{e}_{r}+{\frac{년 ~\mathbf{e}_{\theta}+{\cfrac{1}{r}{e}_ᆴ\\[8pt]& \left[{\frac{\partial S_{\theta \theta}}{\partial \theta}}+(S_{r\theta}+S_{\theta r})\right]~\mathbf.부분 ⅰal S_{z\theta }{\partial z}}~{e} _{\theta }+{\prac {\partial S_{z}}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end}}}}}}}} 참고 항목 참조 메모들 ^ Jump up to: a b c Green, A. E.; Zerna, W. (1968). Theoretical Elasticity . Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8 ^ Jump up to: a b c Ogden, R. W. (2000). Nonlinear elastic deformations . Dover. ^ Naghdi, P. M. (1972). "Theory of shells and plates". In S. Flügge (ed.). Handbook of Physics . VIa/2. pp. 425–640. ^ Jump up to: a b c d e f g h i j k Simmonds, J. G. (1994). A brief on tensor analysis . Springer. ISBN 0-387-90639-8 ^ Jump up to: a b Basar, Y.; Weichert, D. (2000). Numerical continuum mechanics of solids: fundamental concepts and perspectives . Springer. ^ Jump up to: a b c Ciarlet, P. G. (2000). Theory of Shells . 1 . Elsevier Science. ^ Einstein, A. (1915). "Contribution to the Theory of General Relativity". In Laczos, C. (ed.). The Einstein Decade . p. 213. ISBN 0-521-38105-3 ^ Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1973). Gravitation . W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0 ^ Greenleaf, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). "Anisotropic conductivities that cannot be detected by EIT". Physiological Measurement . 24 (2): 413–419. doi :10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 . ^ Leonhardt, U.; Philbin, T.G. (2006). "General relativity in electrical engineering". New Journal of Physics . 8 : 247. arXiv :cond-mat/0607418 Bibcode :2006NJPh....8..247L . doi :10.1088/1367-2630/8/10/247 . ^ "The divergence of a tensor field" . Introduction to Elasticity/Tensors . Wikiversity . Retrieved 2010-11-26 . 추가 읽기 Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis . New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3 Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9
외부 링크 
각각 
(가) 1에서 3까지 실행된다고 가정한다. 우리는 이러한 좌표계가 3차원 유클리드 공간에 내장되어 있다고 가정한다. 좌표 
![\mathcal{E}_{ijk} = \left[\mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j,\mathbf{b}_k\right] =(\mathbf{b}_i\times\mathbf{b}_j)\cdot\mathbf{b}_k ~;~~
\mathcal{E}^{ijk} = \left[\mathbf{b}^i,\mathbf{b}^j,\mathbf{b}^k\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8cee95f0d851c6e17855f9efa90baacfcb500)
![{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbed721be25f93b6f46d2152fcadb59c91738f2)
. 두 벡터의 
데카르트 기본 벡터다. 그러므로 
![{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6b6723d4ecd4b178fad61efa6ea6b0e8908c08)
(가) 2차 텐서인 경우, 관계별로 결정 요인이 정의된다. ![{\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d45df1a660b1f145e06b8f8b86f04d8d69fcf2c)
![{\displaystyle \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e2a58fd353028bb79dda5a46e874563e9ab21a)
![\mathbf{b}^i = \boldsymbol{F}^{-\rm{T}}\cdot\mathbf{e}^i ~;~~ g^{ij} = [\boldsymbol{F}^{-\rm{1}}\cdot\boldsymbol{F}^{-\rm{T}}]_{ij} ~;~~ g_{ij} = [g^{ij}]^{-1} = [\boldsymbol{F}^{\rm{T}}\cdot\boldsymbol{F}]_{ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdacfeb6f24e52d94cc79c806e68ff60f013a72f)
![\left[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\right] = \det\boldsymbol{F}\left[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fb40b2c4c5aff231420ea55a9fa2087acb5869)
![\left[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\right] = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acb2516827df5a7fa7b889b38161ea0c7edcd29)
![J = \det\boldsymbol{F} = \left[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\right] = \mathbf{b}_1\cdot(\mathbf{b}_2\times\mathbf{b}_3)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c246b146b59a610afbd5f727ed1d99ddd6dba4cb)
![{\displaystyle g:=\det[g_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862e1ae368f9114d096d6a73ea9b1c0e1dfe3863)
![g = \det[\boldsymbol{F}^{\rm{T}}]\cdot\det[\boldsymbol{F}] = J\cdot J = J^2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f8d6db9ee13068f9021b8025f691bfdc225f1e)
![\det[g^{ij}] = \cfrac{1}{J^2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddad469d755523d50e3eaad1cb5076f61f754e3)
![[g^{ij}] = [g_{ij}]^{-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4a027ea5efffa5271d721a669f1ead309ccec8)
![\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(q^1, q^2, q^3) ~;~~ q^i = \psi^i(\mathbf{x}) = [\boldsymbol{\varphi}^{-1}(\mathbf{x})]^i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c34e0633724c76fdaf5108d9c5cefd75527ba5)
![f(\mathbf{x}) = f[\boldsymbol{\varphi}(q^1,q^2,q^3)] = f_\varphi(q^1,q^2,q^3)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e2cb47b661ab275c69673064f911f3c6952e88)
![[\boldsymbol{\nabla}f(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{c} = \cfrac{\rm{d}}{\rm{d}\alpha} f(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})\biggr|_{\alpha=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e2cf640dacbf5040ea2d684b6ae6dfe899df71)
![[\boldsymbol{\nabla}f(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{c} = \cfrac{\rm{d}}{\rm{d}\alpha} f_\varphi(q^1 + \alpha~c^1, q^2 + \alpha~c^2, q^3 + \alpha~c^3)\biggr|_{\alpha=0} = \cfrac{\partial f_\varphi}{\partial q^i}~c^i = \cfrac{\partial f}{\partial q^i}~c^i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd5094724ed305233cbe03a4e794bc8da9a6971)
![[\boldsymbol{\nabla}\psi^i(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{c} = \cfrac{\partial \psi^i}{\partial q^j}~c^j = c^i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847afff4038df4bb39dbd5e678418aff6499c908)
![[\boldsymbol{\nabla}f(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{c} = \cfrac{\partial f}{\partial q^i}~c^i = \left(\cfrac{\partial f}{\partial q^i}~\mathbf{b}^i\right)
\left(c^i~\mathbf{b}_i\right) \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{\nabla}f(\mathbf{x}) = \cfrac{\partial f}{\partial q^i}~\mathbf{b}^i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b14602ba6c3cdd88ec4de14a3a127961863024)
![[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{f}(\mathbf{x})]\cdot\mathbf{c} = \cfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial q^i}~c^i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff66797d897da6fcaf85f3cd5be458b47ad2947)
![\Gamma_{ijk} = \frac{1}{2}(g_{ik,j} + g_{jk,i} - g_{ij,k})
= \frac{1}{2}[(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} + (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} - (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d392a16c26aff559865df3e48ad9d7f3038d76)
![\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \left[\cfrac{\partial v^i}{\partial q^k} + \Gamma^i_{lk}~v^l\right]~\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^k \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial v_i}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~v_l\right]~\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^k
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685b79a086642ff7b74216d9820eeaa5f9c22566)
필드의 공변량 구성 
![\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} = \cfrac{\partial}{\partial q^k}[S_{ij}~\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j]\otimes\mathbf{b}^k
= \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j\otimes\mathbf{b}^k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6717cded84ac72ae4358ad4be35b9a013088b0f3)
![\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S^{ij}}{\partial q^k} + \Gamma^i_{kl}~S^{lj} + \Gamma^j_{kl}~S^{il}\right]~\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j\otimes\mathbf{b}^k \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial S^i_{~j}}{\partial q^k} + \Gamma^i_{kl}~S^l_{~j} - \Gamma^l_{kj}~S^i_{~l}\right]~\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j\otimes\mathbf{b}^k \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial S_i^{~j}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ik}~S_l^{~j} + \Gamma^j_{kl}~S_i^{~l}\right]~\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j\otimes\mathbf{b}^k
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb600be33948beb2496b92771f836436d221eaa2)
![\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \cfrac{\partial v^i}{\partial q^i} + \Gamma^i_{\ell i}~v^\ell
= \left[\cfrac{\partial v_i}{\partial q^j} - \Gamma^\ell_{ji}~v_\ell\right]~g^{ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6988b2d766476c9d8e96fed44b54211daa91cb)
![\Gamma_{\ell i}^i = \Gamma_{i\ell}^i = \cfrac{g^{mi}}{2}\left[\frac{\partial g_{im}}{\partial q^\ell} +
\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial q^i} - \frac{\partial g_{il}}{\partial q^m}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b047dc2304c669fa1ac0c7f7f1a764eb7a0e6e)
![[g_{ij}]^{-1} = [g^{ij}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa63db94365634cc1cdb250153352f3c52fb119)
![[g^{ij}] = [g_{ij}]^{-1} = \cfrac{A^{ij}}{g} ~;~~ g := \det([g_{ij}]) = \det\boldsymbol{g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421dea6d9ffb9c4b1c8145836b1f6b50f7da5e01)
![g = \det([g_{ij}]) = \sum_i g_{ij}~A^{ij} \quad \Rightarrow \quad
\frac{\partial g}{\partial g_{ij}} = A^{ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c507da82e6929c55024bbe9023132dfb42b3f7)
![[g^{ij}] = \cfrac{1}{g}~\frac{\partial g}{\partial g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d562b6ccba7d0e712ab74ce7a4dcce58fa1d86a3)
![\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}^j \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial S^{ij}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^{lj} + \Gamma^j_{il}~S^{il}\right]~\mathbf{b}_j \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial S^i_{~j}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^l_{~j} - \Gamma^l_{ij}~S^i_{~l}\right]~\mathbf{b}^j \\[8pt]
& = \left[\cfrac{\partial S_i^{~j}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ik}~S_l^{~j} + \Gamma^j_{kl}~S_i^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}_j
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fad1b0228d189867b87f1d770c3968e4394860)
![\nabla^2 \varphi = \cfrac{1}{\sqrt{g}}~\frac{\partial }{\partial q^i}([\boldsymbol{\nabla} \varphi]^i~\sqrt{g})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4050e9f0a19cfbad5ba6dc5cf8a9b255b9ef9b)
![\boldsymbol{\nabla} \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial q^l}~\mathbf{b}^l = g^{li}~\frac{\partial \varphi}{\partial q^l}~\mathbf{b}_i
\quad \Rightarrow \quad
[\boldsymbol{\nabla} \varphi]^i = g^{li}~\frac{\partial \varphi}{\partial q^l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37e69ce68c3bb110a443796e6f27fb3e8e4deec)
![\begin{align}
\left|{\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right| & = \left| \sum_k\left(\sum_i h_{ki}~\cfrac{\partial q^i}{\partial t}\right)\mathbf{e}_k\right| \\[8pt]
& = \sqrt{\sum_i\sum_j\sum_k h_{ki}~h_{kj}\cfrac{\partial q^i}{\partial t}\cfrac{\partial q^j}{\partial t}} = \sqrt{\sum_i\sum_j g_{ij}~\cfrac{\partial q^i}{\partial t}\cfrac{\partial q^j}{\partial t}}
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df87fcb92b899e0c92a5406fa23fcf57240f9c77)
(를) when을(를)
![\begin{align}
\left|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right|
& = \left|
\sum_k \sum_m \left(\sum_{i=1}^3 h_{ki}~{\partial q^i \over \partial s}\right)\left(\sum_{j=1}^3 h_{mj}~{\partial q^j \over \partial t}\right) \mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_m
\right| \\[8pt]
& = \left|\sum_p \sum_k \sum_m \mathcal{E}_{kmp}\left(\sum_{i=1}^3 h_{ki}~{\partial q^i \over \partial s}\right)\left(\sum_{j=1}^3 h_{mj}~{\partial q^j \over \partial t}\right) \mathbf{e}_p \right|
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f57e1fe69fd45a46a61b013df668d3921ffcb09)
r,
![\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \cfrac{\partial v_r}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial v_r}{\partial \theta} - v_\theta\right)~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta + \cfrac{\partial v_r}{\partial z}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \cfrac{\partial v_\theta}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + v_r \right)~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta + \cfrac{\partial v_\theta}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \cfrac{\partial v_z}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial v_z}{\partial \theta}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta + \cfrac{\partial v_z}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7285d16335aefea8e8f9682612e397efb70663)
![\mathbf{v} = \boldsymbol{\nabla}f = \left[v_r~~ v_\theta~~ v_z\right] = \left[\cfrac{\partial f}{\partial r}~~ \cfrac{1}{r}\cfrac{\partial f}{\partial \theta}~~ \cfrac{\partial f}{\partial z} \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b40b85224ce20bf037fac2e02a46395ee0ad75f)
![\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \boldsymbol{\nabla}^2 f = \cfrac{\partial^2 f}{\partial r^2} +
\cfrac{1}{r}\left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial^2f}{\partial \theta^2} + \cfrac{\partial f}{\partial r} \right)
+ \cfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}
= \cfrac{1}{r}\left[\cfrac{\partial}{\partial r}\left(r\cfrac{\partial f}{\partial r}\right)\right] + \cfrac{1}{r^2}\cfrac{\partial^2f}{\partial \theta^2} + \cfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4140151e9340dc7f835e7cb6b745ddc3f0c70ef3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{11}&=S_{11}=:S_{rr},&{\hat {S}}_{12}&={\frac {S_{12}}{r}}=:S_{r\theta },&{\hat {S}}_{13}&=S_{13}=:S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}}_{21}&={\frac {S_{21}}{r}}=:S_{\theta r},&{\hat {S}}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}}=:S_{\theta \theta },&{\hat {S}}_{23}&={\frac {S_{23}}{r}}=:S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}}_{31}&=S_{31}=:S_{zr},&{\hat {S}}_{32}&={\frac {S_{32}}{r}}=:S_{z\theta },&{\hat {S}}_{33}&=S_{33}=:S_{zz}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df61068b926a6e824c7ab7bd30c7f5e63e6d70ee)
![\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{S} & = \frac{\partial S_{rr}}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rr}}{\partial \theta} - (S_{\theta r}+S_{r\theta})\right]~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{rr}}{\partial z}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{r\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial \theta} + (S_{rr}-S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{rz}}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rz}}{\partial \theta} -S_{\theta z}\right]~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{rz}}{\partial z}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{\theta r}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial \theta} + (S_{rr}-S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial \theta} + (S_{r\theta}+S_{\theta r})\right]~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{\theta z}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial \theta} + S_{rz}\right]~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{zr}}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{zr}}{\partial \theta} - S_{z\theta}\right]~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{zr}}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{z\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial \theta} + S_{zr}\right]~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta\otimes\mathbf{e}_z \\[8pt]
& + \frac{\partial S_{zz}}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +
\cfrac{1}{r}~\frac{\partial S_{zz}}{\partial \theta}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_\theta +
\frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e4bfc2558587fc7fc8f8380c1fdbf7c7310ee6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63523689efdcb26ba570073d9620fc0da086a0a)
