스핀 텐서

수학, 수학 물리학, 이론 물리학에서 스핀 텐서는 스페이스타임에 입자의 회전 운동을 설명하는 데 사용되는 양이다. 텐서는 일반상대성이론과 특수상대성이론은 물론 양자역학, 상대론적 양자역학, 양자장 이론에도 응용이 가능하다.

직접 등각류의 특수 유클리드 그룹 SE(d)는 번역과 회전에 의해 생성된다. 그것의 Lie 대수학은 ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ (${\displaystyle d}$ )${\displaystyle {\mathfrak{se}(d)}$라고 쓰여 있다$.$

이 글은 데카르트 좌표와 텐서 인덱스 표기법을 사용한다.

노에더 전류 배경

공간에서의 번역을 위한 노에더 전류는 모멘텀인 반면 시간의 증분을 위한 전류는 에너지다. 이 두 문장은 스페이스타임에 하나로 결합된다. 즉, 두 사건 사이의 변위는 4-모멘텀 P에 의해 생성된다. 4-모멘텀의 보존은 연속성 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\...}$

여기서 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ $displaystyle T^{\mu \nu }\}\}}$는 응력-에너지 텐서이고, ∂은 네 구배를 구성하는 부분파생상품이다(카르트 좌표 이외의 좌표에서는 공변량파생물로 대체해야 한다). 공간을 통한 통합:

${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}({\vec {x},t)=P^{\mu }}$

시간 t에서 4음 벡터를 제공한다.

y 지점에 대한 회전에 대한 노에더 전류는 3차 순서의 텐서(Tensor)에 의해 $주어지며{\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ y ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ β ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}${\$displaystyle M_${y$}^{\alpha \beta \mu$로 표시된다. Lie 대수 관계 때문에.

$\displaystyle M_{y}^{\\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \beta \mu }}(x)+y^{\alpha \beta \mu }-y^{}\t^{\lapa \mu }}x(x)\}$

0 첨자가 원점을 나타내는 경우(모멘텀과 달리 각도 모멘텀은 원점에 따라 달라짐), 적분:

${\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x},t)}}$

각운동량 텐서 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu s}}^{}}$ $displaystyle M^{\mu \nu }\,}$을(를) 시간 t에 제공한다$$.

정의

스핀 텐서는 x 지점에서 x에 대한 회전 x에서 노에더 전류의 값으로 정의된다.

${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$

연속성 방정식

$\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\\#Alpha \beta \mu }=0\}}$

다음을 암시한다.

$\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \beta \beta \beta }}=T^{\beta \alpha \beta }}\neq 0}$

따라서 스트레스-에너지 텐서는 대칭 텐서가 아니다.

수량 S는 스핀 각도 운동량의 밀도(이 경우 스핀은 점처럼 생긴 입자뿐만 아니라 확장된 몸체에 대한 밀도), M은 궤도 각도 운동량의 밀도다. 총 각도 운동량은 항상 스핀과 궤도 기여의 합이다.

관계:

${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}}$

궤도 각도 운동량과 스핀 사이의 변환 속도를 보여주는 토크 밀도를 제공한다.

예

스핀 밀도가 0이 아닌 물질의 예로는 분자 유체, 전자기장 및 난류 유체가 있다. 분자 유체의 경우 개별 분자가 회전하고 있을 수 있다. 전자기장은 원형 극성을 가질 수 있다. 난류 유체의 경우, 우리는 임의로 장파장 현상과 단파장 현상을 구별할 수 있다. 장파장 vorticity는 난류를 통해 각운동량을 더 작고 더 작은 파장으로 전달하는 동시에 더 작은 파장으로 변환될 수 있다. 이것은 에이드 점도로 대략 추정할 수 있다.

참고 항목

• 벨리판테-로센펠트 스트레스-에너지 텐서
• 푸앵카레 군
• 로렌츠 군
• 상대론적 각운동량
• 질량 중심(상대적)
• 마티송-파페트로우-딕슨 방정식
• 파울리-루반스키 유사점자

참조

• A. K. Raychaudhuri; S. Banerji; A. Banerjee (2003). General Relativity, Astrophysics, and Cosmology. Astronomy and astrophysics library. Springer. pp. 66–67. ISBN 978-038-740-628-2.
• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 156–159, §5.11. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• L. M. Butcher; A. Lasenby; M. Hobson (2012). "Localizing the Angular Momentum of Linear Gravity". Phys. Rev. D. 86 (8): 084012. arXiv:1210.0831. Bibcode:2012PhRvD..86h4012B. doi:10.1103/PhysRevD.86.084012. S2CID 119220791.
• T. Banks (2008). "Modern Quantum Field Theory: A Concise Introduction". Cambridge University Press. ISBN 978-113-947-389-7.

• S. Kopeikin, M.Efroimsky, G. Kaplan (2011). "Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System". John Wiley & Sons. ISBN 978-352-763-457-6.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• W. F. Maher; J. D. Zund (1968). "A spinor approach to the Lanczos spin tensor". Il Nuovo Cimento A. 10. 57 (4). Springer. pp. 638–648. doi:10.1007/BF02751371.

외부 링크

• von Jan Steinhoff. "Canonical Formulation of Spin in General Relativity (Dissertation)" (PDF). Retrieved 2013-10-27.