수치안정성

Numerical stability

수치해석의 수학적 하위분야에서 수학적 안정성은 일반적으로 바람직한 수치 알고리즘의 속성이다. 안정성에 대한 정확한 정의는 맥락에 따라 달라진다. 하나는 수치 선형 대수학이고, 다른 하나는 이산형 근사치에 의한 일반 미분방정식과 부분 미분방정식을 풀기 위한 알고리즘이다.

수치 선형 대수에서 주요 관심사는 매우 작거나 거의 충돌하는 고유값과 같은 다양한 종류의 특이점에 근접하여 야기되는 불안정성이다. 한편, 미분방정식에 대한 수치 알고리즘에서는 정확한 해답으로부터 큰 편차를 야기할 수 있는 반올림 오류의 증가 및/또는 초기 데이터의 작은 변동이다.[citation needed]

일부 수치 알고리즘은 입력 데이터의 작은 변동(오류)을 감쇠시킬 수 있고, 다른 알고리즘은 그러한 오류를 확대할 수 있다. 근사 오차를 확대하지 않는 것으로 증명할 수 있는 계산을 숫자적으로 안정적이라고 한다. 수치 분석의 일반적인 작업 중 하나는 강력한 알고리즘을 선택하는 것이다. 즉, 입력 데이터의 매우 작은 변화에도 전혀 다른 결과를 생성하지 않는 것이다.

정반대의 현상은 불안정한 것이다. 일반적으로 알고리즘은 근사 방법을 포함하며, 경우에 따라 알고리즘이 어느 정도 한계(부동점 번호가 아닌 실제 실수를 사용할 때)에서 올바른 솔루션에 접근한다는 것을 증명할 수 있다. 이 경우에도 정확한 해법으로 수렴한다는 보장은 없다.왜냐하면 부동소수점 라운드오프나 잘림 오류가 축축하지 않고 확대되어 정확한 해법으로부터의 편차가 기하급수적으로 커질 수 있기 때문이다.[1]

수치 선형대수의 안정성

안정의 개념을 공식화하는 방법에는 여러 가지가 있다. 전진, 후진, 혼합 안정성에 대한 다음과 같은 정의가 수치 선형대수학에서 자주 사용된다.

정방향 오류 Δy 및 역방향 오류 Δx와 정확한 솔루션 맵 f 및 수치 솔루션 f*와의 관계를 보여주는 다이어그램.

숫자 알고리즘으로 해결할 문제를 데이터 x를 솔루션 y에 매핑하는 함수로서 고려한다. 알고리즘의 결과는, 예를 들어 y*로, 대개 "진정한" 솔루션 y에서 벗어나게 된다. 오류의 주요 원인은 반올림 오류와 잘림 오류다. 알고리즘의 전방 오류는 결과와 해결책의 차이다. 이 경우 Δy = y* - y. 후진오차는 f(x + Δx) = y*와 같은 가장 작은 Δx이다. 즉, 후진오차는 알고리즘이 실제로 어떤 문제를 해결했는지 알려준다. 전방과 후방 오차는 조건 번호에 의해 연관된다. 전방 오차는 최대 후진 오차의 크기를 곱한 값만큼 크다.

많은 경우에 상대적인 오류를 고려하는 것이 더 자연스럽다.

절대 오차 Δx 대신.

알고리즘은 모든 입력 x에 대해 후진 오차가 작을 경우 후진 안정성이 있다고 한다.물론 "소형"은 상대적인 용어이고 그 정의는 맥락에 따라 달라질 것이다. 종종, 우리는 오차가 장치 라운드오프와 같은 순서 또는 아마도 몇 개의 크기보다 더 큰 순서일 것이다.

혼합 안정성은 전진 오류와 후진 오류의 개념을 결합한다.

일반적인 수치 안정성의 정의는 전방 오류와 후방 오류를 결합한 혼합 안정이라고 불리는 보다 일반적인 개념을 사용한다. 알고리즘은 Δx가 작고 f (x + Δx) - y*가 둘 다 작을 정도로 Δx가 존재한다면, 이러한 의미에서의 알고리즘은 안정적이다. 따라서 후진 안정 알고리즘은 항상 안정적이다.

알고리즘의 전방 오차를 문제의 조건 번호로 나눈 값이 작을 경우 전방 안정적이다. 이것은 알고리즘이 일부 후방 안정 알고리즘과 유사한 규모의 전방 오차를 갖는 경우 전방 안정적이라는 것을 의미한다.

수치 미분 방정식의 안정성

위의 정의는 절단 오류가 중요하지 않은 상황에서 특히 관련이 있다. 예를 들어, 미분 방정식을 풀 때 다른 수학적 안정성의 정의가 사용된다.

숫자 일반 미분 방정식에는 수학적 안정성의 다양한 개념이 존재한다. 예를 들어, A-안정성. 그것들은 역동적인 시스템 감각의 안정성의 어떤 개념, 종종 랴푸노프 안정성과 관련이 있다. 뻣뻣한 방정식을 풀 때는 안정된 방법을 사용하는 것이 중요하다.

그러나 또 다른 정의는 숫자 부분 미분 방정식에 사용된다. 스텝 크기가 0으로 되어도 일정한 시간에 수치해결의 총변동이 경계가 유지된다면 선형 진화 부분미분 방정식을 푸는 알고리즘은 안정적이다. Lax 동등성 정리는 알고리즘이 일관되고 안정되면(이러한 의미에서) 수렴된다고 기술하고 있다. 안정성은 때때로 수치적 확산을 포함함으로써 달성된다. 수치확산이란 계산에서 반올림과 다른 오류가 퍼져나가도록 하는 수학적 용어로서 계산이 "깜짝"되도록 하지 않는다. Von Neumann 안정성 분석은 선형 부분 미분 방정식에 적용되는 유한 차이 체계들의 안정성 분석을 위해 일반적으로 사용되는 절차다. 이러한 결과는 비선형 PDE에는 적용되지 않으며, 일반적으로 안정성에 대한 일관된 정의는 선형 방정식에 없는 많은 특성에 의해 복잡하다.

참고 항목

참조

  1. ^ Giesela Engeln-Müllges; Frank Uhlig (2 July 1996). Numerical Algorithms with C. M. Schon (Translator), F. Uhlig (Translator) (1 ed.). Springer. p. 10. ISBN 978-3-540-60530-0.