시공간에서 전자기장을 설명하는 수학적 객체
이 기사의 지수 표기법에 대한 설명과 의미는 아인슈타인 표기법과 반대칭 텐서를 참조 하십시오. 전자기학 에서 전자기 텐서 또는 전자기장 텐서(전계 강도 텐서, 패러데이 텐서 또는 맥스웰 바이벡터 라고도 함)는 시공간에서 전자기장 을 설명하는 수학적 물체이다.필드 텐서 는 특수 상대성 이론 의 4차원 텐서 공식 이 헤르만 민코프스키 에 의해 도입된 후 처음 사용되었다. 텐서는 관련된 물리 법칙을 매우 간결하게 기술할 수 있도록 한다.
정의. 일반적으로 F로 표기 되는 전자기 텐서는 전자파 4전위 A 의 외부 도함수 로서 정의되며, 이는 미분 1-형태이다.[1] [2]
F = d e f d A . {\displaystyle F\\stackrel {def}{=}\mathrm {d} A.} 따라서, F 는 민코프스키 공간에서 미분 2-형식 , 즉 반대칭 랭크-2 텐서장이다. 컴포넌트 형태에서는
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ . {\displaystyle F_{\mu \nu }=\display_{\mu}A_{\nu}-\display_{\mu}A_{\mu}} 여기서 {\(\displaystyle \partial) 은 4단계 , A(\displaystyle A) 는 4단계 잠재력입니다.
맥스웰 방정식의 SI 단위 와 민코프스키 공간의 서명 에 대한 입자 물리학자 의 기호 규칙(+ - - -) 이 이 기사에서 사용될 것이다.
고전 분야와의 관계 패러데이 미분 2-양식 은 다음과 같다.
F = ( E x / c ) d x ∧ d t + ( E y / c ) d y ∧ d t + ( E z / c ) d z ∧ d t + B x d y ∧ d z + B y d z ∧ d x + B z d x ∧ d y \displaystyle F=(E_{x}/c)\dx\displaydt+(E_{y}/c)\dy\displaydt+(E_{z}/c)\dz\dz\displaydz+ B_{y}\dz\wedge dx+B_{z}\dx\wedge dy} 이것은 1형 반파생물의 외부 파생물 입니다.
A = A x d x + A y d y + A x d z - (θ / c ) d t \ displaystyle A = A _ { x } \ dx + A _ { y } \ dy + A _ { x } \ dz - ( phi / c ) \ dt } , 여기 서 ( ( x → , t ) {\displaystyle \phi {\vec {x}, t} 에는 - → = E → {\vec - {\vec {E}}({ displaystyle \phi}) 가 있습니다. laystyle {\vec {A}}({\vec {x},t) 은 → A → B → {\displaystyle {A} = {bec {B}} } ( A → {\displaystyle {A}} ) lay lay → 솔레노이드 벡터 필드 의 벡터 전위입니다.
이것 은 패러데이 2-폼과 맥스웰 방정식의 관계 를 설명하는 마이클 펜 의 비디오 시리즈입니다.
주의:
{ d F = 0 ∗ d ∗ F = J \displaystyle\case\d F=0\\{}^{*}d^{*}F=J\end{case}} 여기 서 d {\displaystyle d} 는 외부 도함수이고, {\ {\displaystyle ^{*} 는 호지별 입니다.J = - J x x - J d y - J z + ρ d t \ displaystyle J = - J _ {x } \ dx - J _ { y _ { z } \ ho t ( \ t ) 。aystyle \rho } 는 전하 밀도 )는 4전류 밀도 1-형이며, Maxwell 방정식의 미분 형식입니다.
전기장과 자기장 은 전자기 텐서의 성분으로부터 얻을 수 있습니다.이 관계는 데카르트 좌표에서 가장 단순합니다.
E i = c F 0 i , (\displaystyle E_{i}=cF_{0i}) 여기 서 c는 빛의 속도입니다.
B i = − 1 2 ϵ i j k F j k , {\displaystyle B_{i}=-{\frac {1}{2}}\ilon _{ijk} F^{jk}} 여기서 i i j k \ displaystyle \epsilon _{ijk} 는 Levi-Civita 텐서입니다. 이는 특정 참조 프레임의 필드를 제공합니다. 참조 프레임이 변경되면 전자기 텐서의 구성요소가 공변적으로 변환 되고 새 프레임의 필드가 새 구성요소에 의해 지정됩니다.
반변행렬 형태로,
F μ ν = [ 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ] . {\displaystyle F^{\mu \nu}=sbegin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{z}/c\E_{x}/c&B_{z}&B_{y}\\\\\\ E_{y}/c&B_{z}&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}. }
공변형 형태 는 지수 하강에 의해 주어진다.
F μ ν = η α ν F β α η μ β = [ 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ] . \displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \nu}=\begin {bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c&E_{x} } 패러데이 텐서의 호지 쌍대는
G α β = 1 2 ϵ α β γ δ F γ δ = [ 0 − B x − B y − B z B x 0 E z / c − E y / c B y − E z / c 0 E x / c B z E y / c − E x / c 0 ] {\displaystyle {G^{\alpha \bac}{2}}=closilon^{\alpha \bac\closs}F_{\gamma \closs}=closbegin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{0Z}&{\closs}&{\\closs}\closs} B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}} 지금부터 전기장 또는 자기장을 언급할 때는 위의 식과 같이 데카르트 좌표계를 상정하여 전기장과 자기장은 좌표계의 기준범위에 대해 대응한다.
특성. 필드 텐서의 행렬 형식은 다음과 같은 특성을 [3] 산출합니다.
반대칭 : F μ ν = − F ν μ {\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }} 6개의 독립된 컴포넌트: 데카르트 좌표에서 이들은 단순히 전기장(Ex , Ey , Ez )과 자기장(Bx , By , Bz )의 세 가지 공간 구성요소이다. 내부 제품: 만약 하나가 전계 강도 텐서의 내적을 형성한다면 로렌츠 불변량 은 형성된다. F μ ν F μ ν = 2 ( B 2 − E 2 c 2 ) {\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}}{c^{2}}\right}}} 즉, 이 숫자는 참조 프레임 간 에 변경되지 않습니다. 의사값 불변수:텐서 F μ {\ {\displaystyle F^{\mu \nu}} 과 호지 이중 G μ {\ {\display G^{\mu \nu}} 의 곱은 로렌츠 불변량을 구한다 . G γ δ F γ δ = 1 2 ϵ α β γ δ F α β F γ δ = − 4 c B ⋅ E {\displaystyle G_{\gamma \display}F^{\gamma \display}F^{\alpha \display}F^{\gamma \display}F^{\display}=-{\frac {4}\mathbot}\mathb {c}\mathb {c}\mathb}\mathf} 여기서 α β β display ( \ style \epsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta } )는 랭크 4 Levi-Civita 기호입니다. 위의 부호는 Levi-Civita 기호로 사용되는 규칙에 따라 달라집니다. 여기 서 사용하는 표기법은 § 0123 = - 1 (\displaystyle \silon _{0123 }=-1 ) 입니다. 결정 요인: 멈추다 ( F ) = 1 c 2 ( B ⋅ E ) 2 {\displaystyle \det \left(F\right)=param frac {1}{c^{2}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}} 이는 위의 불변의 제곱에 비례한다. 트레이스 : F = F μ μ = 0 {\displaystyle F=프로세서 F}^{\mu }}_{\mu }=0} 0과 같습니다. 중요성 이 텐서는 맥스웰의 방정식 을 4개의 벡터 미적분 방정식으로 단순화시키고 2개의 텐서장 방정식으로 줄여줍니다 . 전기역학 및 전기역학 에서 가우스의 법칙 과 암페르의 회로 법칙은 각각 다음과 같다.
∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 , ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t = μ 0 J {\displaystyle \cdot \mathbf {E} = flac {\rho } {\silon _{0}}, \flac \times \mathbf {B} - {\frac {1} {c^{2}} {\frac {\mathbf} {\f} {\mathbf} 불균일한 맥스웰 방정식으로 환산한다:
α F α β β μ 0 J β {\displaystyle \disples } F^{\alpha \disples } = \mu _{ 0 }J^{\ beta } ( c δ , J ) {\displaystyle J^{\ alpha } = ( c \rho , \mathb fJ } ) } )는 4 의 전류이다. 자기 정역학과 자기역학에서, 자기학에 대한 가우스의 법칙과 맥스웰-패러데이 방정식은 각각 다음과 같다.
∇ ⋅ B = 0 , ∂ B ∂ t + ∇ × E = 0 \displaystyle \cdot \mathbf {B} = 0,\display\frac {\displayt} +\times \mathbf {E} = 0 Biancchi 정체성으로 환원됩니다.
∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α = 0 {\displaystyle \displaystyle _{\alpha \display}F_{\beta \display}F_{\display}F_{\gamma \alpha }=0} 또는 텐서의 반대칭 부분에 대괄호 가[note 1] 있는 지수 표기법 을 사용합니다.
∂ [ α F β γ ] = 0 \displaystyle \display_{\alpha }F_{\beta \display }=0} 상대성 이론 전기장 텐서는 전자기장이 텐서 변환 법칙을 따르는 것으로 확인된다는 사실에서 유래한다. 이 물리 법칙의 일반 속성은 특수 상대성 이론의 출현 후에 인식된다. 이 이론은 모든 물리 법칙이 모든 좌표계에서 같은 형태를 취해야 한다고 규정했고, 이것 은 텐서의 도입으로 이어졌다. 텐서 형식주의는 또한 수학적으로 물리 법칙의 간단한 제시로 이어진다.
불균일한 Maxwell 방정식은 연속성 방정식으로 이어집니다.
∂ α J α = J α , α = 0 \displaystyle _{\alpha }J^{\alpha}=J^{\alpha}{}_{,\alpha}=0} 전하의 보존 을 암시합니다.
위 의 Maxwell 법칙은 단순히 부분 도함수를 공변 도함수로 대체함 으로써 곡선 시공간으로 일반화될 수 있다.
F [α β ; δ ] = 0 {\displaystyle F_{[\alpha \displays ;\displaystyle F^{\alpha \displays }} = 0 = F β ; μ 0 J β {\displaystyle F^{\ alpha }_{;\ alpha } } } = \mu _ {0} J^{\beta } } 여기서 반소수 표기법은 부분 도함수가 아닌 공변 도함수를 나타냅니다. 이러한 방정식을 곡선 공간 맥스웰 방정식이라고 부르기도 합니다. 두 번째 방정식은 (곡선 시공간에서) 전하 보존을 의미합니다.
J α ; α = 0 {\displaystyle J^{\alpha}{;\alpha},=0}
라그랑주식 고전 전자기학 고전 전자기학 과 맥스웰 방정식 은 작용에서 도출할 수 있습니다.
S = ∫ ( − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν − J μ A μ ) d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \leftsu{\frac {1}{4\mu _{0}}\end{flac}} F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d}^{4}x,} 여기 서 d 4 x \displaystyle \mathrm {d} ^{4}x 는 공간과 시간에 걸쳐 표시됩니다.
이것은 라그랑주 밀도가
L = − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν − J μ A μ = − 1 4 μ 0 ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) − J μ A μ = − 1 4 μ 0 ( ∂ μ A ν ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ∂ μ A ν − ∂ μ A ν ∂ ν A μ + ∂ ν A μ ∂ ν A μ ) − J μ A μ {\displaystyle{\begin{정렬}{{나는\mathcal}}&=-{\frac{1}{4\mu_{0}}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}-J^{\mu}A_{\mu}\\&, =-{\frac{1}{4\mu_{0}}}\left(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\right)\left(\partial ^{\mu}A^{\nu}-\partial ^{\nu}A^{\mu}\right)-J^{\mu}A_{\mu}\\&, =-{\frac{1}{4\mu_{0}}}\left(\partial _{\mu}A_{\nu}\p.artial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }-\partial _{\mu }-{\mu }A_{\nu }-A^{\nu }+\partial _{\nu }A ^{\nu } 괄호 안의 두 개의 중간 항은 두 개의 외부 항과 같기 때문에, 라그랑지안 밀도는
L = − 1 2 μ 0 ( ∂ μ A ν ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ∂ μ A ν ) − J μ A μ . {\displaystyle {\mathcal {L}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}\left(\mu }A_{\nu}-\display ^{\mu }-A_{\nu }-A_{\nu }-right ^{\nu} 이것을 장에 대한 오일러-라그랑주 운동 방정식에 대입하면:
∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ A ν ) ) − ∂ L ∂ A ν = 0 \displaystyle _{\mu}\leftfrac {\partial (\mu}A_{\nu}}}}}\right)-{\frac {\partial A_{\nu}}=0} 따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같습니다.
− ∂ μ 1 μ 0 ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) + J ν = 0. {\displaystyle -\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+ J^{\nu }=0.,} 위의 괄호 안의 수량은 필드 텐서일 뿐이므로, 이것은 마침내 다음과 같이 단순화된다.
∂ μ F μ ν = μ 0 J ν \displaystyle _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }} 이 방정식은 두 개의 불균일한 맥스웰 방정식 (즉, 가우스의 법칙 과 암페르의 회로 법칙)을 치환하여 작성하는 또 다른 방법입니다.
1 c E i = − F 0 i ϵ i j k B k = − F i j {\displaystyle {\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\epsilon^{ijk} B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}} 여기서 i, j , k는 값 1, 2, 3을 취합니다.
해밀턴 형식 해밀턴 밀도는 통상적인 관계를 통해 구할 수 있다.
H ( i i , i i ) = π i 、 i i ( i i , i i ) - L { displaystyle { mathcal { H } ( \ pi ^ { i , \ pi _ { i } = \ pi _ { i }{ i ( \ dot ^ { i , \ pi } } } ) ( \ pi ) ( \ pi ) 양자전기역학 및 장론 양자전기역학 의 라그랑지안 은 상대성 이론에서 확립된 고전적인 라그랑지안을 넘어 광자(및 전자)의 생성과 소멸을 통합한다.
L = ψ ¯ ( i ℏ c γ α D α − m c 2 ) ψ − 1 4 μ 0 F α β F α β , {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(i\hbar c,\car ^{\alpha }-mc^{2}\right)\psi - {\frac {1}{4\mu _{0}}F_{\alpha \car }F^{\alpha } } } 여기서 오른쪽 의 첫 번째 부분(Dirac 스피너 {\ {\displaystyle \psi })은 Dirac 필드를 나타냅니다. 양자장 이론 에서는 게이지장 강도 텐서의 템플릿으로 사용됩니다.Lagrangian은 로컬 상호작용과 더불어 QED에서 일반적인 역할을 다시 수행합니다.
「 」를 참조해 주세요.
메모들
^ 정의상 T [ a b c ] = 1 3 ! ( T a b c + T b c a + T c a b − T a c b − T b a c − T c b a ) {\displaystyle T_{abc}=black {1}{3! }}(T_{abc}+) T_{bca}+ T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba}} 그래서 만약에
∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α = 0 {\displaystyle \displaystyle _{\alpha \display}F_{\beta \display}F_{\display}F_{\gamma \alpha }=0} 그리고나서
0 = 2 6 ( ∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α ) = 1 6 { ∂ γ ( 2 F α β ) + ∂ α ( 2 F β γ ) + ∂ β ( 2 F γ α ) } = 1 6 { ∂ γ ( F α β − F β α ) + ∂ α ( F β γ − F γ β ) + ∂ β ( F γ α − F α γ ) } = 1 6 ( ∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α − ∂ γ F β α − ∂ α F γ β − ∂ β F α γ ) = ∂ [ γ F α β ] {\displaystyle{\begin{정렬}0&, ={\begin{행렬}{\frac{2}{6}}\end{매트릭스}}(\partial_{\gamma}F_{\alpha \beta}+\partial_{\alpha}F_{\beta \gamma}+\partial_{\beta}F_{\gamma \alpha})\\&, ={\begin{행렬}{\frac{1}{6}}\end{매트릭스}}\ᆴ(2F_{\alpha \beta})+\partial _ᆵ(2F_{\beta \gamma})+\partial _{\beta}(2F_{\ga.mma \alp 하})\와 같이}\\&, ={\begin{행렬}{\frac{1}{6}}\end{매트릭스}}\ᆯ(F_{\alpha \beta}-F_{\beta \alpha})+\partial _ᆰ(F_{\beta \gamma}-F_{\gamma \beta})+\partial _ᆱ(F_{\gamma \alpha}-F_{\alpha \gamma})\}\\&, ={\begin{행렬}{\frac{1}{6}}\end{매트릭스}}(\partial _{\gamma}F_{\alpha \beta}+\partial _{\alpha}F_{\beta \g.amma}+\ 부분 _{\gamma \alpha }-\gamma _{\gamma \alpha }-\gamma \alpha }-\gamma \alpha }-\gamma \alpha }-\gampartial_{\gammapa }-{\g}-{\gammapa }F}-{\camparta }_{\cammapa }_{\camparta }_{\camparta }F}_{\ 레퍼런스
범위
표기법 텐서 정의들 운용 관련된 추상화 주목할 만한 텐서
수학자