전자기 텐서

Electromagnetic tensor

전자기학에서 전자기 텐서 또는 전자기장 텐서(전계 강도 텐서, 패러데이 텐서 또는 맥스웰 바이벡터라고도 함)는 시공간에서 전자기장을 설명하는 수학적 물체이다.필드 텐서는 특수 상대성 이론의 4차원 텐서 공식이 헤르만 민코프스키에 의해 도입된 후 처음 사용되었다.텐서는 관련된 물리 법칙을 매우 간결하게 기술할 수 있도록 한다.

정의.

일반적으로 F로 표기되는 전자기 텐서는 전자파 4전위 A외부 도함수로서 정의되며, 이는 미분 1-형태이다.[1][2]

따라서, F는 민코프스키 공간에서 미분 2-형식, 즉 반대칭 랭크-2 텐서장이다.컴포넌트 형태에서는

여기서 4단계, A 4단계 잠재력입니다.

맥스웰 방정식의 SI 단위민코프스키 공간의 서명에 대한 입자 물리학자의 기호 규칙(+ - - -)이 이 기사에서 사용될 것이다.

고전 분야와의 관계

패러데이 미분 2-양식은 다음과 같다.

이것은 1형 반파생물의 외부 파생물입니다.

d + y y + x z -( ) t\ A =_ { x} \ + _ { } \ + _ { } \ - ( ) \ } ,

( ,) {\{\{에는 - {\ {\ { 있습니다.{\ {x {\ { { { } {\ ) lay lay → 솔레노이드 벡터 의 벡터 전위입니다

이것은 패러데이 2-폼과 맥스웰 방정식의 관계를 설명하는 마이클 펜의 비디오 시리즈입니다.

주의:

d {\ d 외부 도함수이고, {\ 입니다.J= - x- - z + t \ J - _ {x} \ - J y _ { z } \ \ t) 。 전하 밀도)는 4전류 밀도 1-형이며, Maxwell 방정식의 미분 형식입니다.

전기장과 자기장은 전자기 텐서의 성분으로부터 얻을 수 있습니다. 관계는 데카르트 좌표에서 가장 단순합니다.

여기서 c는 빛의 속도입니다.

여기서 i k\ _ Levi-Civita 텐서입니다.이는 특정 참조 프레임의 필드를 제공합니다. 참조 프레임이 변경되면 전자기 텐서의 구성요소가 공변적으로 변환되고 새 프레임의 필드가 새 구성요소에 의해 지정됩니다.

반변행렬 형태로,


공변형 형태는 지수 하강에 의해 주어진다.

패러데이 텐서의 호지 쌍대는

지금부터 전기장 또는 자기장을 언급할 때는 위의 식과 같이 데카르트 좌표계를 상정하여 전기장과 자기장은 좌표계의 기준범위에 대해 대응한다.

특성.

필드 텐서의 행렬 형식은 다음과 같은 특성을 [3]산출합니다.

  1. 반대칭:
  2. 6개의 독립된 컴포넌트:데카르트 좌표에서 이들은 단순히 전기장(Ex, Ey, Ez)과 자기장(Bx, By, Bz)의 세 가지 공간 구성요소이다.
  3. 내부 제품:만약 하나가 전계 강도 텐서의 내적을 형성한다면 로렌츠 불변량은 형성된다.
    즉, 이 숫자는 참조 프레임 간에 변경되지 않습니다.
  4. 의사값 불변수: {\ F 호지 G {\의 곱은 로렌츠 불변량을 구한다.
    여기서 β \ style _ { \ )는 랭크 4 Levi-Civita 기호입니다.위의 부호는 Levi-Civita 기호로 사용되는 규칙에 따라 달라집니다.서 사용하는 표기법은 § -(\ _}=-입니다.
  5. 결정 요인:
    이는 위의 불변의 제곱에 비례한다.
  6. 트레이스:
    0과 같습니다.

중요성

이 텐서는 맥스웰의 방정식을 4개의 벡터 미적분 방정식으로 단순화시키고 2개의 텐서장 방정식으로 줄여줍니다.전기역학전기역학에서 가우스의 법칙암페르의 회로 법칙은 각각 다음과 같다.

불균일한 맥스웰 방정식으로 환산한다:

α J \disples } \disples } \}beta ( c , ) {\ Jalpha = ( c \rho , \} ) )는 4의 전류이다

자기 정역학과 자기역학에서, 자기학에 대한 가우스의 법칙과 맥스웰-패러데이 방정식은 각각 다음과 같다.

Biancchi 정체성으로 환원됩니다.

또는 텐서의 반대칭 부분에 대괄호[note 1] 있는 지수 표기법을 사용합니다.

상대성 이론

전기장 텐서는 전자기장이 텐서 변환 법칙을 따르는 것으로 확인된다는 사실에서 유래한다. 이 물리 법칙의 일반 속성은 특수 상대성 이론의 출현 후에 인식된다.이 이론은 모든 물리 법칙이 모든 좌표계에서 같은 형태를 취해야 한다고 규정했고, 이것은 텐서의 도입으로 이어졌다.텐서 형식주의는 또한 수학적으로 물리 법칙의 간단한 제시로 이어진다.

불균일한 Maxwell 방정식은 연속성 방정식으로 이어집니다.

전하의 보존을 암시합니다.

의 Maxwell 법칙은 단순히 부분 도함수를 공변 도함수로 대체함으로써 곡선 시공간으로 일반화될 수 있다.

[β ; ] {\ \ F^{\}} = ; {\ Falpha }alpha } } } = \ _ J} }

여기서 반소수 표기법은 부분 도함수가 아닌 공변 도함수를 나타냅니다.이러한 방정식을 곡선 공간 맥스웰 방정식이라고 부르기도 합니다.두 번째 방정식은 (곡선 시공간에서) 전하 보존을 의미합니다.

라그랑주식 고전 전자기학

고전 전자기학 맥스웰 방정식은 작용에서 도출할 수 있습니다.

서 d 4 \^{ 공간과 시간에 걸쳐 표시됩니다.

이것은 라그랑주 밀도가

괄호 안의 두 개의 중간 항은 두 개의 외부 항과 같기 때문에, 라그랑지안 밀도는

이것을 장에 대한 오일러-라그랑주 운동 방정식에 대입하면:

따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같습니다.

위의 괄호 안의 수량은 필드 텐서일 뿐이므로, 이것은 마침내 다음과 같이 단순화된다.

방정식은 두 개의 불균일한 맥스웰 방정식(즉, 가우스의 법칙과 암페르의 회로 법칙)을 치환하여 작성하는 또 다른 방법입니다.

여기서 i, j, k는 값 1, 2, 3을 취합니다.

해밀턴 형식

해밀턴 밀도는 통상적인 관계를 통해 구할 수 있다.

( i , i ) i、 i ii , i) - {{{ } ( \ ^ { , \ _ { i } = \ _ { }{ \ ^ { , \ }} ) ( \ pi )( \

양자전기역학 및 장론

양자전기역학라그랑지안은 상대성 이론에서 확립된 고전적인 라그랑지안을 넘어 광자(및 전자)의 생성과 소멸을 통합한다.

여기서 오른쪽의 첫 번째 부분(Dirac {\ \psi})은 Dirac 필드를 나타냅니다.양자장 이론에서는 게이지장 강도 텐서의 템플릿으로 사용됩니다.Lagrangian은 로컬 상호작용과 더불어 QED에서 일반적인 역할을 다시 수행합니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 정의상

    그래서 만약에

    그리고나서

  1. ^ J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
  2. ^ D. J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
  3. ^ J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

레퍼런스