몫공간(선형대수)

선형대수학에서, 서브 스페이스 N에 의한 벡터 공간 V의 몫은 N에서 0까지 "접착"하여 얻은 벡터 공간이다. 얻어진 공간을 인용공간이라고 하며 V/N(판독 "V mod N" 또는 "V by N")으로 표시한다.

정의

형식적으로는 다음과 같다.^[1] V를 필드 K 위의 벡터 공간이 되게 하고, N을 V의 하위 공간이 되게 한다. v에 x ~ y if x - y ∈ N을 명시하여 ~의 동등성 관계를 정의한다. 즉, x는 N의 요소를 추가하여 다른 요소로부터 얻을 수 있다면 y와 관련이 있다. 이 정의에서 N의 어떤 요소도 영 벡터와 관련이 있다고 추론할 수 있다. 보다 정확히 말하면, N의 모든 벡터는 영 벡터의 동등성 등급에 매핑된다.

이 경우 등가 등급(또는 이 경우)은 x의 코제트(coset)로 표시되는 경우가 많다.

[x] = x + N

에 의해 주어지기 때문에.

[x] = {x + n : n ∈ N}.

그 다음, V/N은 ~에 의해 V에 대한 모든 동등성 클래스의 집합인 V/~로 정의된다. 스칼라 곱셈과 덧셈은 동등성 클래스에 대해^[2][3] 정의된다.

• α[x] = 모든 α ∈ K에 대해 [αx]이며,
• [x] + [y] = [x + y]

이러한 작전이 잘 정의되어 있는지(즉, 대표자의 선택에 의존하지 않는다)를 확인하는 것은 어렵지 않다. 이러한 연산은 지수 공간 V/N을 K에 대한 벡터 공간으로 변화시키고, N은 0 등급[0]이다.

v ∈ V와 동등성 등급[v]을 연결하는 매핑을 지수 맵이라고 한다.

대신 표현된 $V{\displaystyle /N}$ ${\displaystyle V/N}$은(는$$) $N{\displaystyle }${\$displaystyle N}$과(와) 평행인 $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$의 모든 부속품 집합이다$.$^[4]

예

X = R을² 표준 데카르트 평면으로 하고 Y를 X의 원점을 통과하는 선으로 한다. 그런 다음 X의 모든 선의 Y와 평행한 공간과 X/Y를 구별할 수 있다. 즉, 설정된 X/Y의 원소는 Y에 평행한 X의 선이다. 이러한 선을 따라 있는 점들은 차이 벡터가 Y에 속하기 때문에 동등성 관계를 만족한다는 점에 유의하십시오. 이것은 지수 공간을 기하학적으로 시각화하는 방법을 제공한다.(이러한 선들을 재모수화함으로써, 지수 공간은 Y와 평행하지 않은 원점을 통과하는 선을 따라 있는 모든 점들의 공간으로 더 관습적으로 표현될 수 있다. 마찬가지로, 원점을 통과하는 선에 의한³ R에 대한 몫의 공간은 다시 모든 동일 평행선의 집합으로 나타낼 수도 있고, 또는 원점에서 선만 교차하는 평면으로 구성된 벡터 공간으로 나타낼 수도 있다.)

또 다른 예는 첫 번째 m 표준 벡터에 의해 확장된 하위 공간에 의한 R의ⁿ 몫이다. 공간 R은ⁿ 실수의 모든 n-tule로 구성된다₁(x, ..., x_n). R과^m 함께 식별된 하위 공간은 마지막 n -m 항목이 0: (x₁, ..., x_m, 0, 0)이 되도록 모든 n-tuple로 구성된다. R의ⁿ 두 벡터는 마지막 n - m 좌표에서 동일한 경우에만 하위 공간 모듈로 동일한 동등성 등급에 있다. 지수 공간ⁿ R/R은^m R에 대해^n−m 명백한 방식으로 이형성이다.

보다 일반적으로, V가 서브 스페이스 U와 W의 (내부) 직접 합이라면,

$V=U\oplus W}$

그러면 V/U의 몫 공간은 자연적으로 W에 대해 이형화된다.^[5]

기능적 지수 공간의 중요한 예는 L 공간이다^p.

특성.

v에서 그 등가 등급[x]으로 x를 보내어 주어진 몫의 공간 V/U까지 자연적인 경구형이 있다. 이 경구체의 커널(또는 nullspace)은 아공간 U이다. 이 관계는 짧은 정확한 순서에 의해 깔끔하게 요약된다.

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

U가 V의 하위 공간인 경우 V/U의 치수를 V에서 U의 코디네이션이라고 한다. V의 기초는 B의 각 원소의 대표자를 A에 추가함으로써 U의 기초 A와 V/U의 기초 B로부터 구성될 수 있으므로, V의 치수는 U와 V/U의 치수의 합이다. V가 유한한 차원이라면 V의 U의 코디네이션은 V와 U의 치수의 차이로서 다음과 같다.^[6][7]

${\displaystyle \mathrm {codim}(U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

T : V → W를 선형 연산자로 한다. ker(T)로 표시된 T의 커널은 Tx = 0과 같은 V의 모든 x의 집합이다. 낟알은 V의 하위 공간이다. 벡터 공간에 대한 첫 번째 이형성 정리에서는 V/ker(T)가 W의 V 이미지와 이형성이라고 한다. 유한차원 공간에 대한 즉각적인 상각은 순위-적합성 정리: V의 치수는 커널(T의 무효)의 치수+이미지의 치수(T의 등급)와 같다.

선형 연산자 T : V → W의 코커넬은 W/im(T)의 지수공간으로 정의된다.

하위공간에 의한 Banach공간의 지수

X가 Banach 공간이고 M이 X의 닫힌 하위 공간이라면, 지수 X/M은 다시 Banach 공간이다. 지분의 공간은 이전 구간의 건설에 의해 이미 벡터 공간 구조가 부여되어 있다. X/M에 대한 표준을 정의한다.

${\displaystyle \[x]\ _{X/M}=\inf _{m\in M}\ x-m\ _{X}=\inf _{m\inf _{m\inf _{y\in[x]\\ _{X}.}$

X가 완성되면 표준에 대한 지수 공간 X/M이 완성되고, 따라서 바나흐 공간도 완성된다.^{[citation needed]}

예

Let C[0,1]는 Sup norm과의 간격[0,1]에 있는 연속적인 실질 가치 함수의 Banach 공간을 나타낸다. f(0) = 0 by M으로 모든 함수 f [ C[0,1]의 하위 공간을 나타낸다. 그 후 일부 함수 g의 등가 등급은 그 값이 0으로 결정되며, 지수 공간 C[0,1]/M은 R에 이형이다.

X가 Hilbert 공간인 경우, X/M은 M의 직교보완물과 이형이다.

국소 볼록한 공간에 대한 일반화

닫힌 하위 공간에 의한 국소 볼록한 공간의 몫은 다시 국소 볼록하다.^[8] 실제로 X가 국소적으로 볼록하여 A가 인덱스 집합인 세미노름 {p_α α α A}에 의해 X의 위상이 생성된다고 가정한다. M을 닫힌 하위 공간으로 설정하고 다음을 기준으로 X/M에 세미노름 q를_α 정의하십시오.

${\displaystyle q_{\put }([x])=\inf _{v\in[x]p_{\put }(v).}$

그렇다면 X/M은 국소적으로 볼록한 공간이고, 그 위에 있는 위상은 지수 위상이다.

만약 X가 메트리징 가능하다면, X/M도 메트리징 가능하다. X가 프리쳇 공간이라면 X/M도 마찬가지다.^[9]

참고 항목

• 지수군
• 지수 모듈
• 지수 집합
• 지수 공간(토폴로지)

참조

원천

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis, vol. 2, Academic Press, ISBN 978-0122155024
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.