바나흐 번들

수학에서 바나흐 번들은 각각의 섬유들이 바나흐 공간, 즉 완전한 규범화된 벡터 공간이며, 어쩌면 무한한 차원을 가지고 있을 수 있다.null

바나흐 번들의 정의

M은 기본공간이라 불리는 p ≥ 0을 가진 등급^p C의 바나흐 다지관이 되게 하고, E는 총공간이라 불리는 위상학적 공간이 되게 하고, e : E → M은 허탈적인 연속지도가 되게 하라.각 지점 x ∈ M에 대해 섬유 E_x = π⁻¹(x)에 Banach 공간의 구조가 주어진다고 가정합시다.내버려두다

${\displaystyle \{U_{i} I\in I\}}$

M의 표지가 되다또한 각 i ∈ I에 대해 바나흐 공간 X와_i 지도 τ이_i 있다고 가정하자.

${\displaystyle \tau _{i}\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\time X_{i}}}}}$

그런

• 지도 τ은_i U에_i 투영되면서 통근하는 동형상이다. 즉, 다음 도표는 통근한다.

그리고 각 x u_i U에 대해 유도된 지도 τ은_ix 섬유 E에_x 있다.

${\displaystyle \tau _{ix}\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

반전 가능한 연속 선형 지도, 즉 위상학적 벡터 공간의 범주에 있는 이형성.

• 만약_i U와_j U가 오픈커버의 두 멤버라면, 지도는

$\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin}(X_{i};X_{j})$

${\displaystyle x\mapsto(\tau _{j}\properties \tau _{i}^{-1}_{x}}}}})$

형태론(C등급의^p 다른 지도)이다. 여기서 Lin(X; Y)은 위상 벡터 공간 X에서 다른 위상 벡터 공간 Y까지의 모든 연속 선형 지도의 공간을 나타낸다.

{(U_i, τ_i) i∈I} 컬렉션을 π : E → M을 커버하는 사소한 것으로 하고, 맵 τ을_i 맵이라고 한다.두 개의 사소한 은폐는 그들의 결합이 위의 두 가지 조건을 다시 충족시킨다면 동등하다고 한다.그러한 사소한 커버링의 동등성 등급은 π : E → M에 있는 바나흐 번들의 구조를 결정하는 것으로 알려져 있다.

만약 모든 공간_i X가 위상 벡터 공간과 같은 이형체라면, 그것들은 모두 동일한 공간 X와 동일하다고 가정할 수 있다.이 경우 π : E → M은 파이버 X를 가진 바나흐 번들이라고 한다.만약 M이 연결된 공간이라면, 이것은 반드시 해당되는데, 이는 사소한 지도가 있는 지점들의 집합 x ∈ M이기 때문이다.

${\displaystyle \tau _{ix}\pi ^{-1}(x)\to X}$

주어진 공간에 대해 X는 열린 공간과 닫힌 공간이다.null

유한차원의 경우 위의 두 번째 조건은 첫 번째 조건이 내포하고 있다.null

바나흐 번들의 예

• V가 Banach 공간이라면 어느 지점 x v V에 접선된 공간_x TV는 V 자체에 대한 명백한 방법으로 이형성이 있다.V의 접선 번들 TV는 일반적인 투영과 함께 Banach 번들이다.

${\displaystyle \pi :\mathrm {T}V\to V;}$

$(x,v)\mapsto x.}$

이 번들은 TV가 세계적으로 정의되는 사소한 지도인 ID 기능을 인정한다는 점에서 "다양한" 것이다.

${\displaystyle \tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1(V)=\mathrm {T}V\to V\time V;}$

$[\displaystyle (x,v)\mapsto(x,v)}$

• 만약 M이 Banach 다지관이라면, M의 접선다발 TM은 통상적인 투영에 관해서 Banach 다발을 형성하지만, 사소한 것은 아닐 수도 있다.
• 마찬가지로, 점 x ∈ M 위의 섬유는 x의 접선 공간에 대한 위상학적 이중 공간이다.

${\displaystyle \pi ^{-1(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};}$

또한 M에 대한 일반적인 투영과 관련하여 바나흐 번들을 형성한다.

• 보치너 공간과 바나흐 번들 사이에는 연관성이 있다.예를 들어, 도메인 Ω에서 열 방정식을 연구할 때 유용한 객체로 발생할 수 있는 Bochner 공간 X = L²([0, T]; H(Ω¹))를 생각해 보십시오.열 방정식에 대한 해법 σ X를 구할 수 있다. 이때마다 σ(t)은 소볼레프 공간 H¹(Ω)의 함수다.또한 Y = [0, T] × H¹(Ω)를 생각할 수 있는데, 카르트 제품으로서도 다지관 위에 섬유 H(Ω)가¹ 있는 바나흐 번들[0, T]의 구조를 가지고 있는데, 이 경우 요소/솔루션 σ X는 특정 정규성(L², 사실)의 번들 Y의 단면이다.문제의 차등 기하학이 특히 관련이 있다면 바나흐 번들 관점이 유리할 수 있다.

바나흐 번들의 형태론

모든 바나흐 번들의 수집은 적절한 형태론을 정의함으로써 범주로 만들 수 있다.null

π : E → M과 π′ : E′ → M을 두 개의 바나흐 번들로 한다.바나흐 번들 형태론은 첫 번째 번들에서 두 번째 번들로 구성된다.

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

f가 형태론이라는 것은 단순히 f가 위상학적 공간의 연속적인 지도라는 것을 의미한다.다지관 M과 M³가 모두 C^p 등급인 경우, f가₀ 형태론이어야 한다는 요건은 p-time 연속적으로 서로 다른 기능이어야 한다는 요건이다.이 두 가지 형태는 두 가지 조건을 만족시키기 위해 요구된다(또한, 두 번째 형태는 유한 차원 사례에서 중복된다).null

• 도표

각 x ∈ M에 대해 유도 지도

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}}}}}$

연속 선형 지도

• 각₀ x ∈ M에 대해 사소한 지도들이 존재한다.

${\displaystyle \tau :\pi ^{-1}(U)\to U\time X}$

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-11}(U')\to U'\time X'}$

그렇게₀ x ∈ U, f₀(x₀) ∈ U ′,

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

그리고 지도

${\displaystyle U\to \matrm {Lin}(X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\reason f_{x}\reason \tau ^{-1}$

형태론(C등급의^p 다른 지도)이다.

바나흐 번들의 풀백

한 다지관 위로 바나흐 보따리를 가져가 풀백 구조를 사용하여 두 번째 다지관에 새로운 바나흐 보따리를 정의할 수 있다.null

구체적으로는 : : E → N을 바나흐 번들로 하고 f : M → N을 다른 종류의 지도(평소처럼 모든 것은 C이다^p)로 한다.그 후 π : E → N의 풀백은 Banach bundle f* f : f*E → M으로 다음 특성을 만족한다.

• 각_f(x) x ∈ M, (f*E)_x = E;
• 역행도가 있다.

각 파이버의 ID가 되는 상단 수평 지도

• 만약 E가 사소한 것이라면, 즉 일부 Banach 공간 X에 대해 N × X와 같다면, f*E 또한 사소한 것이고 M × X와 같으며,

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*E=M\time X\to M}$

첫 번째 좌표에 대한 투영이다.

• V가 N과 U = f⁻¹(V)의 열린 부분 집합인 경우

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{{}}U}}$

그리고 거기에 상응한 도표가 있다.

여기서 "앞쪽"과 "뒤쪽"의 지도가 이전 도표와 같으며, "뒤쪽"에서 "앞쪽"까지의 지도가 포함에 의해 (유인) 된다.

참조

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.