무한차원 르베그 측도

수학에서는 무한차원 바나흐 공간에 레베그 측도의 아날로그가 없다는 정리가 있다.그러므로 다른 종류의 조치들은 무한 차원 공간에 사용된다: 종종 추상적인 Wiener 공간구축이 사용된다.또는 더 큰 공간의 유한한 차원 하위 공간에 대한 Lebesgue 측정을 고려하고 소위 널리 퍼지고 수줍은 세트를 고려할 수 있다.

바나흐 공간의 콤팩트한 세트도 자연적인 측정을 할 수 있다. 예를 들어 힐버트 큐브에는 제품 르베그 측정치가 실려 있다.비슷한 정신으로 무한히 많은 원군 복사의 타이코노프 제품이 주는 콤팩트한 위상학적 집단은 무한한 차원이며, 번역-인바리안트인 하르 측정치를 지니고 있다.

동기

유클리드 공간 R에ⁿ 대한 르베그 측정 λ은ⁿ 국소적으로 유한하고 엄격히 긍정적이며, 명백하게 다음과 같이 번역 불변함을 나타낼 수 있다.

• R의ⁿ 모든 지점 x는 유한한 측정값ⁿ ((N_x) < +201을 가진 개방된 인접성을_x 가지고 있다.
• R의ⁿ 모든 비 빈 부분 집합 U는 양의 측정값 λⁿ(U) > 0을 가지고 있다.
• A가 Rⁿ, T_hⁿ : R → Rⁿ, T_h(x) = x + h의 측정 가능한 Lebesgue 부분집합이고, 번역 지도를 나타내고, (T_hhⁿ)(_∗∗A) = push(Aⁿⁿ)를 나타낸다.

기하학적으로 말해서, 이 세 가지 특성은 르베그와 함께 일하기 매우 좋은 척도를 만든다.L^p 공간이나 유클리드 공간의 연속 경로 공간과 같은 무한 차원 공간을 고려할 때, 이와 비슷하게 작업할 수 있는 좋은 척도가 있으면 좋을 것이다.안타깝게도, 이것은 가능하지 않다.

정리명세서

레트 (X, · )는 무한한 차원, 분리 가능한 바나흐 공간이다.그 다음 X에서 국소적으로 유한하고 번역-변환성 보렐 측정 μ는 측정 가능한 모든 집합 A에 대해 μ(A) = 0을 갖는 사소한 측정치뿐이다.마찬가지로, 0이 아닌 모든 번역-불변량 측정은 X의 모든 열린 하위 집합에 무한 측정값을 할당한다.

정리증거

X는 국소적으로 유한한 번역-변환성 측정 μ를 갖춘 무한 차원 분리형 바나흐 공간이다.국부 미세도를 이용하여, 일부 Δ > 0에 대해, 반경 Δ의 오픈볼 B(Δ)가 유한 μ-측정값을 갖는다고 가정한다.X는 무한 차원이기 때문에, 반경 Δ/4의 쌍절개 오픈볼 B_n(Δ/4)와 n Δ N의 무한 시퀀스가 있으며, 더 작은 볼 B_n(Δ/4)는 모두 큰 볼 B(Δ/4) 안에 포함되어 있다.변환 인바이어런스에 의해, 작은 공은 모두 같은 측정치를 가진다. 이 측정치의 합이 유한하므로, 작은 공은 모두 μ 측정값 0을 가져야 한다.이제 X는 분리가 가능하기 때문에 반경 Δ/4의 셀 수 있는 공들의 집합으로 덮을 수 있다; 그러한 공은 각각 μ 측정 0을 가지고 있기 때문에 공간 전체가 X를 가져야 하고, 따라서 μ는 사소한 측정이다.

참조

• Hunt, Brian R. and Sauer, Tim and Yorke, James A. (1992). "Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 27 (2): 217–238. arXiv:math/9210220. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 저자리스트 (링크) (섹션 1: 소개 참조)
• Oxtoby, John C.; Prasad, Vidhu S. (1978). "Homeomorphic measures on the Hilbert cube". Pacific Journal of Mathematics. 77 (2).