매끄러운 구조

수학에서, 다지관의 매끄러운 구조는 매끄러운 기능에 대한 명확한 개념을 허용한다.특히 부드러운 구조로 다지관에 수학적 분석을 할 수 있다.^[1]

정의

다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 매끄러운 구조는 매끄럽게 동등한 매끄러운 매끄러운 아틀라스의 집합체다$$.여기서 위상학적 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 매끄러운 지도는$$ 각 전환 기능이 매끄러운 $지도$인 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$$}$에 대한 매끄러운 지도책 두 개가 매끄럽게 동등하며, 이들의$$ 조합이 다시 $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle M.}$에 대한 매끄러운 지도책이라면 이는 natur를 제공한다.평탄한 아틀라세트의 동등성 관계

매끄러운 다지관은 위상학적 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $M$$}$과(와$$) $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ M$.}$의 매끄러운 구조물이다.

최대 매끄러운 아틀라스

평탄한 구조에 속하는 모든 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄도를 얻는다.이 지도책에는 매끄러운 구조와 호환되는 모든 차트가 수록되어 있다.평탄한 구조물과 최대 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한따라서 우리는 매끄러운 구조를 최대 매끄러운 지도책으로 간주할 수도 있고 그 반대의 경우도 마찬가지일 것이다.

일반적으로 다지관의 최대 지도책을 사용한 계산은 다소 다루기 어렵다.대부분의 애플리케이션에서는 더 작은 지도책을 선택하는 것으로 충분하다.예를 들어, 다지관이 컴팩트하다면, 차트가 아주 많은 지도책을 찾을 수 있다.

평탄한 구조물의 등가성

$[\displaystyle \mu }$과 $[\displaystyle$$\$nu $}$을(를) $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$M.}에$$ 있는 $[\$$displaystyle \$$mu$\$nu$$$$}$과(를)에 $연결$된 두 개의 매끄러운 구조물은$$ $차이점형{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ $.$$M\to M}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$f =${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle \mu \circu$f=\$nu .}$과 같은 M\to M}

이국적인 구들

존 밀너(John Milnor)는 1956년에 7차원 구체는 표준적인 매끄러운 구조와 같지 않은 매끄러운 구조를 인정한다는 것을 보여주었다.비표준적인 매끄러운 구조를 갖춘 구를 이국적인 구라고 한다.

E8 다지관

E8 매니폴드는 매끄러운 구조를 인정하지 않는 위상학적 매니폴드의 예다.이것은 근본적으로 Rokhlin의 정리가 일반적으로 위상학적 다지관이 아닌 부드러운 구조만을 가지고 있다는 것을 증명한다.

관련 구조물

전환 기능의 부드러움 요건은 약화될 수 있으므로 전환 $맵$을 k $[\displaystyle k}$번만$$ 지속적으로 다르게 만들도록 요구하거나, 또는 강화하여 전환 맵을 실제 분석적으로 만들도록 요구할 수 있다.따라서 이것은 부드러운 구조보다는 다지관에 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 또는$$ (실제) 분석적 구조를 제공한다.마찬가지로 전이 지도가 홀로모르픽이 되도록 요구함으로써 복잡한 구조를 정의할 수 있다.

참고 항목

• 매끄러운 프레임
• Atlas(토폴로지) – 다지관을 설명하는 차트 집합

참조