다항 반사 공간

수학에서 다항 반사 공간은 바나흐 공간 X인데, 그 위에 각 도에 있는 모든 다항식의 공간이 반사 공간이다.

n 도(M은_n n-선형)의 다항 함수 M을_n 주어진다면, 우리는 다항식 p를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$[\displaystyle p(x)=M_{n}(x,\dots ,x)}$

(즉, 대각선 상에_n M을 적용) 또는 이것들의 유한한 합을 적용한다.합계에 n-선형 함수만 있을 경우 다항식은 n-동종이라고 한다.

우리는 공간 P를_n 모든 n-동종 다항식들로 구성된 것으로 정의한다.

P는₁ 이중 공간과 동일하며, 따라서 모든 반사 X에 대해 반사적이다.이는 다항반사성의 전제조건이 반사라는 것을 암시한다.

양식의 연속성과 관계

유한차원 선형 공간에서 2차원의 형태 x↦f(x)는 항상 두 개의 선형 함수 g와 h의 x↦g(x) h(x) 제품들의 (핀라이트) 선형 결합이다.따라서 스칼라가 복잡한 숫자라고 가정하면 모든 선형 함수 g에 대해 g(x_n) → 0을 만족하는 모든 시퀀스는 f_n(x_n) → f 모든 2차 형태에 대해서도 만족한다.

무한 차원에서는 상황이 다르다.예를 들어 힐버트 공간에서 직교 순서 x는_n 모든 선형 함수 g에 대해 g(x_n) → 0을 만족하며, 그럼에도 불구하고 f(x_n) = 1 여기서 f는 2차 형태 f(x) = x. 보다 기술적인 단어로 이 2차 형태는 원점에서 약하게 연속되지 않는다.

근사 특성을 갖는 반사형 바나흐 공간에서는 다음 두 조건이 동등하다.^[1]

• 모든 2차 형태는 출발지에서 약하게 순차적으로 연속된다.
• 모든 이차적 형태의 바나흐 공간은 반사적이다.

2차 형태는 2-동종 다항식이다.위에서 언급한 동등성은 n-동종 다항식, n=3,4, ...의 경우에도 유효하다.

예

$\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$공간의 경우, p는_n if와 n < p인 경우에만 반사적이다.따라서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$는 다항식 반사작용이다$$. (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$($${\$displaystyle \ell ^{\fty }})$는 반사작용이 아니기 때문에 배제된다$$.)

따라서 Banach 공간이 ${\displaystyle p^{}}$ p$${\$displaystyle \ell$^{$p}}$을(를) 인수 공간으로 받아들인다면 다항 반사적인 것은 아니다.이것은 다항식 반사 공간을 드물게 만든다.

Tsirelson 공간 T*는 다항적으로 반사적이다.^[2]

메모들

참조

• 알렌카, R, 아론, R., S.Denen(1984), "무한하게 많은 변수에서 홀로모르픽 함수의 반사 공간", Proc. 아머. 수학. Soc. 90: 407–411.
• Farmer, Jeff D. (1994년), "Banach 공간의 폴리놈 반사성", 이스라엘 수학적 저널: 257–273.MR1286830
• J.J.와 Moraes, L. (2000), "다항식의 공간에서의 이중성과 반사성", Arch. 수학. (바젤) 74: 282–293.MR1742640
• 무히카, 호르헤(2001), "동질 다항식의 반복 공간", Bull. 폴란드 아카드. 과학. 수학. 49:3, 211–222.MR1863260