스트래티폴드

수학의 한 분야인 미분 위상에서, 층상형(stratifold)은 특정한 종류의 특이점이 허용되는 가변성 다지관의 일반화다.좀 더 구체적으로 말하면, 계층 구조는 (아마도) 다른 차원의 서로 다른 다양성으로 계층화된다.스트라티폴드는 새로운 호몰로지 이론을 구축하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 그들은 평범한 호몰로학에 새로운 기하학적 모델을 제공한다.Stratifolds의 개념은 Matthias Kreck에 의해 발명되었다.기본이념은 위상학적으로 성층화된 공간의 그것과 유사하지만, 미분위상에 적응한다.

정의들

우리가 층층화(stratifold)에 도달하기 전에, 우리는 공간의 부드러운 구조에 대한 최소한의 개념을 포착하는 예비 개념을 정의한다.A differential space (in the sense of Sikorski) is a pair $(X,C),$ where X is a topological space and C is a subalgebra of the continuous functions $X\to \mathbb {R}$ such that a function is in C if it is locally in C and ${\displaysty$ $le g\put \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right):$ $X$ $f_{i}\in C.$ $\to \mathb {R}$ 은 $g\circ \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right):X\to \mathbb {R}$ $($ 는) $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ : R $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ g $:\mathb {R}\to$ $f_{i}\in C.$ $mathb$ {R}의 경우 $C$ 에 있으며, \ $mathb$ ${R}$ 은 $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $($ 는 $)$ 매끄러운 다지관과 단지 매끄러운 기능만 X에 대해 간단한 예가 된다 $.$

For a general differential space $(X,C)$ and a point x in X we can define as in the case of manifolds a tangent space $T_{x}X$ as the vector space of all derivations of function germs at x. Define strata ${\displaystyle X_{i}=\{x\in X:$ $T_{x}X}$ 에는 $X_{i}=\{x\in X:T_{x}X$ 차원 i $\}.$ . $\}$ 이(가) 있다. n차원 다지관 M의 경우 $\}.$ $M_{n}=M$ n $M_{n}=M$ = $M_{n}=M$ $M_{n}=M$ 이(가) 있고 다른 $M_{n}=M$ 모든 계층은 비어 있다.우리는 이제 하나 이상의 계층이 비어 있지 않을 수 있는 계층의 정의를 위한 준비가 되어 있다.

k-차원 층상돌드는 미분공간 $(S,C),$ , C $(S,C),$ ) $(S,C),$ , ${\displaystyle(S,C)}$ 이며, 여기서 $(S,C),$ S는 토폴로지의 카운트 가능한 기초가 있는 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간이다.모든 스켈레타는 닫아야 한다.또한 다음과 같이 가정한다.

정지

$\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ , $\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ $\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ $\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ ) ${\$ 는 i차원 매끄러운 다지관이다 $\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ .
S의 모든 x에 대해 제한은 줄기 $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ → $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ ( $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$ . $C_{x}\to C^{\infit }(S_{i})_{x$ 의 이형성을 정의한다. $}$
모든 접선 공간에는 치수 ≤ k가 있다.
S의 각 x와 x의 모든 인접 U에 대해 함수 $\rho :U\to \mathbb {R}$ : $\rho :U\to \mathbb {R}$ → $\rho :U\to \mathbb {R}$ ${\$ 가 존재한다. $U$ $\rho (x)\neq 0$ $\rho (x)\neq 0$ ${\displaystyle \rho(x)\neq 0},$ ${\text{supp}}(\rho )\subset U$ ${\text{supp}}(\rho )\subset U$ ${\displaystyle {\text{supply}(\rho )\subset$ U $}($ 함수)

n차원 지층형은 그것의 (n - 1) 지층이 비어 있고 그것의 상단 지층이 방향을 잡으면 방향이라고 불린다.또한 경계선을 가진 층상, 이른바 c-스트라티폴드를 정의할 수 있다.One defines them as a pair $(T,\partial T)$ of topological spaces such that $T-\partial T$ is an n-dimensional stratifold and $\partial T$ is an (n − 1)-dimensional stratifold, together with an equivalence class of collars.

스트래티폴드의 중요한 하위 등급은 정규 스트래티폴드인데, 이 스트래티폴드는 i스트라툼 시간 a (n - i)차원 스트래티폴드처럼 i-스트라툼의 한 점을 국소적으로 둘러보는 것으로 대략 특징지어질 수 있다.이것은 대부분의 계층에서 흔히 마주치는 조건이다.

예

레이티폴드의 예는 얼마든지 있다.첫 번째로 고려해야 할 예는 다지관 M 위에 있는 개방형 원뿔이다. $M\times (0,1)$ $M\times (0,1)$ ( $M\times (0,1)$ , $M\times (0,1)$ ) $M\time (0,1)$ 에 평활하고 콘 $M\times (0,1)$ 포인트 주변에서 국소적으로 일정할 경우에만 S에서 리얼까지 연속 함수를 C로 정의한다.마지막 조건은 계층화 정의에서 점 2에 의해 자동으로 이루어진다.이 공사에서는 M을 S층으로 대체할 수 있다.원뿔은 S가 0차원이 아닌 방향일 경우에만 방향을 잡는다.원뿔을 하단으로 생각하면 경계 S가 있는 층층이 나온다.

다른 스트라티폴드의 예로는 다지관의 원 포인트 콤팩트화 및 서스펜션이 있으며, (실제) 특이점만 있는 대수적 품종과 (마인드) 단순화 콤플렉스가 있다.

보르디즘 이론

보르디즘 관계의 예

이 절에서 우리는 모든 층층이 규칙적이라고 가정할 것이다.X에 대한 지도가 T까지 확장되는 방향(k + 1)을 갖는 방향(k + 1)차원 컴팩트 스트래티폴드가 있는 경우, 우리는 두 개의 $S,S'\to X$ 를 S $S,S'\to X$ , $S,S'\to X$ $S,S'\to X$ → $S,S'\to X$ {\ $displaystyle S,S'\to$ X $}$ 라고 $S,S'\to X$ 부른다.이러한 지도 $S\to X$ → $S\to X$ ${\displaystyle S\to$ X $}$ 의 동등성 클래스 세트는 $SH_{k}X.$ $SH_{k}X.$ $SH_{k}X.$ $SH_{k}X.$ . $SH_{k}X.$ 에 의해 표시된다 $S\to X$ . $SH_{k}X.$ 이 세트들은 사실상 해체된 연합을 더한 아벨 그룹들의 구조를 가지고 있다.계층화의 미분위상을 충분히 발전시켜 이것이 동질론 이론을 정의한다는 것을 보여줄 수 있다.k를 명백히, SHk(지점))0{\displaystyle SH_{km그리고 4.9초 만}({\text{지점}})=0};0{\displaystyle k>0}이후로 쭉 지향 stratifold S는 그 원뿔은 만약 dim(S)을 ⁡는 지향의 경계,;0.{\displaystyle \dim(S)>0.}가 SH0≅ Z.{\displaystyle SH_{0}(지점)을 보여 줄 수 있{\te.xt{지점}}) $\cong \mathbb {Z} .}$ Hence, by the Eilenberg–Steenrod uniqueness theorem, $SH_{k}(X)\cong H_{k}(X)$ for every space X homotopy-equivalent to a CW-complex, where H denotes singular homology.다른 공간에서는 이 두 개의 호몰로지 이론이 이소모르픽일 필요는 없다(예를 들면 무한 속 표면의 원포인트 압축이다).

또한 계층화의 도움을 받아 등가동성 동질성을 규정하는 간단한 방법도 있다.G를 콤팩트한 거짓말 그룹으로 하자.그런 다음 우리는 위와 같이 G-액션을 가진 공간 X에 매핑하는 보르디즘 이론을 정의할 수 있다. 다만 모든 스트라티폴드에 방향을 보존하는 자유 G-액션을 장착하고 모든 지도를 G-등가성으로 장착하도록 요구할 뿐이다.S $SH_{k}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)$ ( $SH_{k}^{G}(X)$ ) $SH_{k}^{G}(X)$ 보르디즘 클래스를 가리킨다. $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ 에 $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ S H k G $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ( $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ) $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ - $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ( G $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ) G $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ( $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ ) ${\displaystyle SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ 를 증명할 수 있다.

제네랄 이론과의 연관성

속은 보르디즘 고리에서 다른 고리로 가는 고리 동형성이다.For example, the Euler characteristic defines a ring homomorphism $\Omega ^{O}({\text{point}})\to \mathbb {Z} /2[t]$ from the unoriented bordism ring and the signature defines a ring homomorphism ${\displaystyle \Omega ^{SO}({\text{point}})\to \mathb$ b $\Omega ^{SO}({\text{point}})\to \mathbb {Z} [t]$ 지향적인 보르디즘 링에서 { $Z} [t]}.$ 여기서 t는 첫 번째 사례도 1과 두 번째 사례도 4에서, 4로 구분되는 치수의 다지관만 0이 아닌 서명을 가질 수 있기 때문이다.이러한 동형성의 왼손은 한 점에서 평가되는 동형학 이론이다.스트라티폴드의 도움으로 우측면들이 한 점에서 평가되는 이러한 호몰로지 이론, 오일러 호몰로지, 히르제브루흐 호몰로지 이론과 같은 호몰로지 이론을 구성할 수 있다.

엄케르 지도

하나의 $i:N\hookrightarrow M$ i : $i:N\hookrightarrow M$ M ${\displaystyle$ i $:$ 방향 정상 번들을 가진 다지관의 $i:N\hookrightarrow M$ $N\hookrightarrow.$ Then one can define an umkehr map $H_{k}(M)\to H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).$ One possibility is to use stratifolds: represent a class $x\in H_{k}(M)$ by a stratifold ${\displaystyle f:$ $S\to$ M $.}$ 그러면 $f:S\to M.$ ƒ을 N으로 횡단한다.The intersection of S and N defines a new stratifold S' with a map to N, which represents a class in $H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).$ It is possible to repeat this construction in the context of an embedding of Hilbert manifolds of finite codimension, which can be used in string topology.