사영 텐서 곱
Projective tensor product수학의 영역인 함수 분석에서, 두 개의 국소 볼록 위상 벡터 공간의 투영 텐서 곱은 텐서 곱의 자연스러운 위상 벡터 공간 구조입니다.즉, 국소 볼록 위상 벡터 공간 X(\displaystyle X)와 Y(\displaystyle Y)가 주어졌을 때, X ⊗ Y(\displaystyle X\otimes Y)의 투영 위상 또는 π 위상은 X ⊗ Y를 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 만드는 가장 강력한 위상이다le yX × \X\Y)부터 X ({ Y까지 )는 연속형입니다.이 위상이 장착된 Y \ \ \ X \Y는 X Y \ \ X \ _ 로 되며X \ X 및 \ Y의 텐서 곱이라고 합니다.
정의들
X X와 Y Y를 국소 볼록 위상 벡터 공간이라고 .그들의 투영 텐서 곱 Y{\X \ _Y는 기저 [1]벡터 공간 X {\ X Y를 갖는 고유한 국소 볼록 위상 벡터 입니다.
- 국소적으로 볼록한 위상 에 대하여만약 ΔZ가 쌍선형 맵 X × Y → Z \ displaystyle X \ times Y \ to Z의 벡터 공간에서 X Δ Y → Z \ displaystyle X \ otimes Y \ to Z의 벡터 공간까지의 표준 맵이라면, Δ Z의 제약 이미지는 연속 선형 맵의 연속적인 선형 맵이다 X X _ Z
X X와 Y Y의 위상이 세미노름에 의해 유도될 때, X YX\의 위상은 다음과 같이 X 와 Y{ Y의 위상으로 구성된 세미노름에 의해 유도됩니다.p{ p가X{ X의 세미노멀이고 qq가 Y{ }의 세미노멀이라면, 텐서 p{pq}를 과 같이 정의합니다
특성.
전체적으로 모든 공간은 국소적으로 볼록하다고 가정합니다. ^ Y {\ X {\{\기호는 X{\ X와Y {\Y의 투영 텐서 곱의 완성을 나타냅니다.
- X X와 Y Y가 모두 Hausdorff이면 X Y[3]도 마찬가지이고, XX와 Y Y가 프레셰 이면 X({\ X가 [4]비어 있습니다.
- 임의의 두 개의 연속 선형 1 1 {\ Y_ : → Y_ 텐서 곱(선형 으로) 12 : 1 → 1 Y 2{{ Y_은 [5]연속적입니다.
- 일반적으로 투영 텐서 곱은 부분 공간을 존중하지 않는다(예: Z{displaystyle Z}가 X{displaystyle X}의 벡터 부분 공간인 경우). TVS Z π Y({\displaystyle Z\otimes_{\pi}Y)는 일반적으로 X π Y({\displaystyle X\times_{\pi}Y})로부터 상속된 부분 공간 위상보다 더 거친 위상을 갖는다
- 만약 E{displaystyle E}와 F{displaystyle F}가 각각 X{displaystyle X}와 Y{displaystyle Y}의 보완 부분 공간이라면, E{F}는 X⊗ Y의 보완 벡터 부분 공간이며, E{displaystyle X\otimes}의 투영 규범은 F{JEotimes}와 같다X X _에 활성 표준은 부분 E F{\ EF로 제한됩니다. 또한 {\ X 및 {\ F가 표준 1의 투영으로 보완되면 ⊗ \E \ F는 [6]1의 투영으로 보완됩니다.
- E E와 F({F})를 각각 바나흐 공간 XX})와 Y의 벡터 부분 공간이라고 .그렇다면 E ^ F({\widestyle E{\widehat {\otimes}F)는 E F({\displaystyle E\times})의 모든 경계 쌍선형 형식이 X × Y(7)의 연속적인 쌍선형 형식으로 확장되는 경우에만 X ^ ^ ^ Y({\widehat }_{\pi)의 TV 부분 공간이다
완료
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일반적으로, X와 Y가 모두 완전하다고 해도 X ⊗ Y는 완전하지 않다(실제로 X{displaystyle X}와 Y{displaystyle Y}가 모두 무한 차원의 바나흐 공간이라면 X π Y는 완전하다고 할 수 없다). X Y{\ X _는 일반적으로 ^ {\로 표시되는 일부 완전한 국소 볼록 TV의 밀도가 높은 벡터 하위 공간으로 항상 선형으로 내장될 수 있습니다
X^ ^ 의 이중 공간 X{\는 X^ ^ ^ \\Y의 공간과 동일합니다. 즉, 연속 이중 선형 B(,Y의 연속이중 입니다[9]
완료에서 요소에 대한 그로텐디크의 표현
하우스도르프 국소 볼록 공간 X에서, 수열 (xi) i = 1 ∑ i = 1 ∞ i = 1 ∞ p (xi) < ∞ \ displaystyle p (xi) < ∞ \ displaysum _ i = 1 p \ in pfty } \ little ) \ light \ light \ light \ displaysty \ light \ light \ displaysty left.X 스타일을 표시하다x[10] \ n=에서 부분합의 시퀀스가 x= x = ∞ i ∑ iinfty를 X} 에 합니다.
위상 텐서 생성물 이론에서 다음과 같은 근본적인 결과는 알렉산더 [11]그로텐디크에 의한 것입니다.
정리 - XX})와({Y})를 국소 볼록 TV에서 측정 가능하고 z Yz\ X} Y로 합니다. zz}는 절대 수렴 급수의 합입니다.
다음 정리는 zz}의 표현을 시퀀스 ( i \와 = 1 와 무관하게 만드는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다.
정리[12] - X X 및 Y}를Frechet으로 하고 U 공간U}(응답)로 . V는 X)에서 원점의 균형 잡힌 열린 이웃입니다.YY})에 표시됩니다.K {{을 U: { : U ∈ 의 균형 선체의 콤팩트 부분 집합이라고 {{V: U VUstyle ℓ1 \ell ^{1}과 시퀀스 (xi) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i = 1 } 및 (i) i = 1 ∞ {\infty}에 각각 포함된 Ustyle, Vstyle에 포함된 단위 공의 콤팩트 부분 집합 K1({1})이 존재한다,원점으로 수렴하여 z 0 z K_에 대해 일부 i ∈ K_이 존재하도록 합니다.
이중 경계 수렴 토폴로지
B {와 가 각각 X와 Y의 모든 경계 부분 집합의 집합을 나타내도록 .X ^ ^ π Y의 연속 이중 공간은 연속적인 쌍선형 형태 B(X, Y), {\displaystyle B(X, Y)의 공간이기 때문에, 우리는 B(X, Y) 위에 X × B(X, Y)의 균등한 수렴 위상을 배치할 수 있다,이를 이중 입자 수렴 토폴로지라고도 합니다.이 위상은 B의 강력한 위상보다 조잡하며, 1955년 (그로텐디크에서 알렉산더 그로텐디크는 이 두 위상이 언제 동일한지에 관심이 있었습니다.이는 문제와 동일합니다.유계 부분 집합 B ⊆ X ^ Y, \displaystyle B\subseteq X{\widehat }Y가 주어졌을 때, 유계 부분 집합 B 1 ⊆ X({1}\subseteq X)와 B 2 ⊆ Y({2}\displaystyle B_{2}\subseteq Y)가 존재하며, 이와 같은 유계 부분 집합 B가 1 = 2 ⊗ 2 ∈ 2이다 B_}:=\{ B_ B_
그로텐디크는 X X와 Y Y가 모두 바나흐 공간이거나 둘 다 DF-공간(그로텐디크에[13] 의해 도입된 공간의 클래스)일 때 이러한 위상이 동일하다는 것을 증명했습니다.또한 두 공간이 모두 프레셰이고 그 중 하나가 [9]핵일 때도 동일합니다.
강력한 이중 및 이중 모드
X X를 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 하고 X X를 연속 이중 공간으로 .알렉산더 그로텐디크는 특정 상황에서 강한 이중성과 이중성을 특징으로 했습니다.
정리[14](그로텐디크) — N N과 Y Y를 N N 핵을 국소 볼록 위상 벡터 공간이라고 .N N Y Y가 모두 Frechet 공간이거나 DF 공간이라고 가정합니다.그런 다음, b({ b가 있는 강력한 이중 공간을 나타냅니다.
- N^ ^ ^ {\{\의 강한 은 b ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Y b ' {\{\로 식별할 수 있습니다.
- N ^ Y의 는 ^ ^ ^ ^ ' {\{\ \
- 이라면 ^ ^ ^ ^^ \ N N ^ ^ prime는 반사적 공간입니다.
- b × b \ \ \ }\ Y_에 모든 개별적으로 연속적인 이중선형 형식은 연속적입니다.
- L(X b', Y ){\displaystyle L\left(X_{b}^{\prime}, Y\right)}를 X b'에서 Y {\prime}까지의 경계 선형 맵의 공간이라고 하자. 그런 다음, 그 강한 이중성은 ^'에 의해 N과 식별될 수 있다 는 이므로 Lb(bY)도 반사적입니다 {\}, ).
예
- ( {\ {\)}에 대해 1을 실제 르베그 로 , E E를 실제 바나흐 공간으로 .LE 1({displaystyle L_{E}^{1})을 단순 함수 X → E({Displaystyle X\toE}의 공간의 완성으로 하자. 이 함수의 점별 규범은 X → R(displaystyle X\toE)에서 \mu(\mathbbbb)로 간주되며, \mu\mu(mu)에 대해 0개의 적분을 갖는다. 1 {\{E은(는) E{\ L[15]과(와) 동형입니다.
참고 항목
- 유도 텐서 제품 – 위상 벡터 공간에서 이진 연산 으로 표시하는 페이지
- 인젝티브 텐서
- Hilbert 공간의 텐서 제품 – 특별한 내부 제품이 부여된 텐서 제품 공간
- 위상 텐서 제품 – 위상 벡터 공간을 위한 텐서 제품 구성
인용문
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레퍼런스
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진일보한 내용
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- Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
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