사영 텐서 곱

수학의 영역인 함수 분석에서, 두 개의 국소 볼록 위상 벡터 공간의 투영 텐서 곱은 텐서 곱의 자연스러운 위상 벡터 공간 구조입니다.즉, 국소 볼록 위상 벡터 공간 X(\displaystyle X)와 Y(\displaystyle Y)가 주어졌을 때, X ⊗ Y(\displaystyle X\otimes Y)의 투영 위상 또는 π 위상은 X ⊗ Y를 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 만드는 가장 강력한 위상이다le $(x,y)\mapssto x\otimes$y${\displaystyle \}(}$X ×$$ \$displaystyle$X\$times$Y)부터 X$⊗$ ${\displaystyle Y}$({$displaystyle X\otimes$ Y$\}$까지)는 연속형입니다.이 위상이 장착된 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {}_{}}$ Y \ \ \ $displaystyle$ X \$otimes$Y는$$ X ${\displaystyle {}_{}}$Y \ \ $displaystyle$ X \$otimes$ _ ${\ pi$$$$}$로 $표시$되며$$X \ $displaystyle$X 및$Y{\displaystyle }$ \ $displaystyle$Y의 $투영{\displaystyle }$ 텐서 곱이라고 합니다.

정의들

X${displaystyle$ X$}$와 Y${displaystyle$ Y$}$를 국소 볼록 위상 벡터 공간이라고 $합니다{\displaystyle }$.그들의 투영 텐서 곱 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ Y$${\$displaystyle$X \$otimes$ _${\pi }$Y는$$ 기저 ^[1]벡터 공간 X ${\displaystyle \otimes }$ {\$displaystyle$ X$\otimes$ Y$}$를 갖는 고유한 국소 볼록 위상 벡터 $공간$입니다.

국소적으로 볼록한 위상 $벡터$ $Z$에 대하여$,$만약 ΔZ가 쌍선형 맵 X × Y → Z \ displaystyle X \ times Y \ to Z의 벡터 공간에서 X Δ Y → Z \ displaystyle X \ otimes Y \ to Z의 벡터 공간까지의 표준 맵이라면, Δ Z의 제약 이미지는 연속 선형 맵의 연속적인 선형 맵이다$s{\displaystyle }$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${displaystyle$ X$\otimes$ _${\pi}Y\to$ Z$\}.$

X${displaystyle$ X$}$와 Y${displaystyle$ Y$}$의 위상이 세미노름에 의해 유도될 때, X$$${\displaystyle {}_{}}$ Y${\displaystyle$$$X\$otimes_{\pi}$의 위상은 다음과 같이 X${displaystyle$ $}$와 Y{$displaystyle$ Y$}$의 위상으로 구성된 세미노름에 의해 유도됩니다.$만약{\displaystyle }$p{$displaystyle$ p$$$}$가$$X{$displaystyle$ X$\}$의 세미노멀이고$,$ q${displaystyle$q$$$}$가 Y{$displaystyle$ $Y{\displaystyle }$}의 세미노멀이라면, 텐서 $곱{\displaystyle }$p$${$displaystyle$p$\$$otimes$q}를 $다음$과 같이 정의합니다$.$

X${\displaystyle \otimes }$$$의 $모든{\displaystyle }$ b${$$displaystyle$b$\}$에 대하여, $여기$서 W${displaystyle$ W$}$는 집합 $\{{\displaystyle x}$⊗${\displaystyle }$y : ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1,}$q(${\displaystyle y)}$≤ ${\displaystyle 1}$ $}{$ 1$,q(y)\leq 1\$right$\}$의 균형 볼록 껍질입니다.X⊗ Y{displaystyle X\otimes Y}의 투영 위상은 X({displaystyle X})와 Y({displaystyle Y})의 세미노름의 텐서 곱의 집합에 의해 생성된다.[2] X({displaystyle X})와 Y({displaystyle Y)가 표준 공간일 때, 이 정의는 X(X)와 Y({displaysty)에 대한 표준에 적용되지 않는다m, c투영 ^[3]위상을 생성하는 X${\displaystyle \otimes }$ ${displaystyle$ X$\otimes$ Y$}$에 $투영{\displaystyle }$ 규범을 할당했습니다.

특성.

전체적으로 모든 공간은 국소적으로 볼록하다고 가정합니다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\otimes }}_{}}$ ^ ${\displaystyle {}_{}}$Y {\$displaystyle$ X {\$widehat${\$otimes}_{\pi}Y$기호는$$ X$${\$displaystyle$ X$}$와$$Y {\$displaystyle$Y$\}$의 투영 텐서 곱의 완성을 나타냅니다.

• X${displaystyle$ X$}$와 Y${displaystyle$ Y$}$가 모두 Hausdorff이면 X ${\displaystyle {\pi }_{}}$$$Y$({\pi}$$Y$$)$^[3]도 마찬가지이고, X${displaystyle$X$}$와 Y${displaystyle$ Y$}$가 프레셰 $공간$이면 X${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$$$({\$displaystyle$ X$\otimes_{\pi})$가 ^[4]비어 있습니다.
• 임의의 두 개의 연속 선형 $연산자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $→$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 1 {\$displaystyle u_{1}:$$X_{1}\to$ Y_${1}}$ $및$ ${\displaystyle {u2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {X2\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {Y2\mathrm{}}_{}}$ ${$$X_{2}\to$ Y_${2$ 텐서 곱(선형 $맵$으로) ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$2 : ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}{\pi }_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$→ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}{\pi \mathrm{}}_{}}$ Y 2$${{$displaystyle u_{1}\otimes u_{2}:$$X_{1}\otimes_{\pi }X_{2}\to$ Y_${1}\otimes_{\pi }Y_{2}}$은 ^[5]연속적입니다.
• 일반적으로 투영 텐서 곱은 부분 공간을 존중하지 않는다(예: Z{displaystyle Z}가 X{displaystyle X}의 벡터 부분 공간인 경우). TVS Z π Y({\displaystyle Z\otimes_{\pi}Y)는 일반적으로 X π Y({\displaystyle X\times_{\pi}Y})로부터 상속된 부분 공간 위상보다 더 거친 위상을 갖는다
• 만약 E{displaystyle E}와 F{displaystyle F}가 각각 X{displaystyle X}와 Y{displaystyle Y}의 보완 부분 공간이라면, E{F}는 X⊗ Y의 보완 벡터 부분 공간이며, E{displaystyle X\otimes}의 투영 규범은 F{JEotimes}와 같다X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$\otimes$ _${\pi}Y$에 $대한{\displaystyle }$ 활성 표준은 부분 $공간{\displaystyle }$ E ${\displaystyle \otimes }$ F$${\$displaystyle$ E$\otimes$F$\}$로 제한됩니다$$. 또한 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$ 및$$$F{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ F$}$가 표준 1의 투영으로 보완되면 $E{\displaystyle }$ ⊗$$ \$displaystyle$E \$times$ F$}$는 ^[6]1의 투영으로 보완됩니다.
• E$({displaystyle$ E$$$})$와 F({$displaystyle$F})를 각각 바나흐 공간 X$({displaystyle$X})와 $Y{\displaystyle }$$({displaystyle$Y$)$의 벡터 부분 공간이라고 $합니다{\displaystyle }$.그렇다면 E ^ F({\widestyle E{\widehat {\otimes}F)는 E F({\displaystyle E\times})의 모든 경계 쌍선형 형식이 X × Y(7)의 연속적인 쌍선형 형식으로 확장되는 경우에만 X ^ ^ ^ Y({\widehat }_{\pi)의 TV 부분 공간이다

완료

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일반적으로, X와 Y가 모두 완전하다고 해도 X ⊗ Y는 완전하지 않다(실제로 X{displaystyle X}와 Y{displaystyle Y}가 모두 무한 차원의 바나흐 공간이라면 X π Y는 완전하다고 할 수 없다).$그러나{\displaystyle }$ X${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ Y$${\$displaystyle$ X$\otimes$ _${\pi}Y$는 일반적으로 $X$^ ${\widehat${\$otimes}_{\pi}Y$로 표시되는 일부 완전한 국소 볼록 TV의 밀도가 높은 벡터 하위 공간으로 항상 선형으로 내장될 수 있습니다$.$

X${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ^ ${\displaystyle {\pi }_{}}$$Y$의 $연속{\displaystyle }$ 이중 공간 X{\${\displaystyle {}_{}}$$}_{\pi}Y$는 X$$^ ^ ^ \\$widehat}$$_{\pi$Y의 $연속{\displaystyle }$ $이중$ 공간과 동일합니다. 즉, 연속 이중 선형 $형태{\displaystyle }$B($X$,${\displaystyle }$Y$)$의 연속$$이중 $공간$입니다$.$^[9]

완료에서 요소에 대한 그로텐디크의 표현

하우스도르프 국소 볼록 공간 X에서, 수열 (xi) i = 1 ∑ i = 1 ∞ i = 1 ∞ p (xi) < ∞ \ displaystyle p (xi) < ∞ \ displaysum _ i = 1 p \ in pfty } \ little ) \ light \ light \ light \ displaysty \ light \ light \ displaysty left.X 스타일을 표시하다x$$^[10]${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ $∞$ \ $displaystyle \left(\sum _i=1}^{$n=$1$$}^{infty}}$에서 부분${\displaystyle {}_{}^{}}$합의 시퀀스가 x$$= x ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = $1$ ∞ i$=$ $1$ ∑ i$}x_$${$infty$}$를 X${\displaystyle }$} $디스플레이$에 $표시$합니다.

위상 텐서 생성물 이론에서 다음과 같은 근본적인 결과는 알렉산더 ^[11]그로텐디크에 의한 것입니다.

다음 정리는 z$\{{\displaystyle {}_{}^{}}$$displaystyle$z}의 표현을 시퀀스 (${\displaystyle {}_{{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ \$left(x_{i}\right)_{i$$=$$}^{\infty}$와 $({\displaystyle {y_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = 1 $.{i(y_{i}\right)_{i=1}^{infty}$와 무관하게 만드는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다.

이중 경계 수렴 토폴로지

B $({$$${$B}}_$${X})$와 $({\$가 각각 X$$$({displaystyleX})$와 Y$({displaystyleY})$의 모든 경계 부분 집합의 집합을 나타내도록 $합니다{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$.X ^ ^ π Y의 연속 이중 공간은 연속적인 쌍선형 형태 B(X, Y), {\displaystyle B(X, Y)의 공간이기 때문에, 우리는 B(X, Y) 위에 X × B(X, Y)의 균등한 수렴 위상을 배치할 수 있다,이를$$ 이중 입자 수렴 토폴로지라고도 합니다.이 위상은 B$($의 강력한 위상보다 조잡하며, 1955년 (그로텐디크$)$에서 알렉산더 그로텐디크는 이 두 위상이 언제 동일한지에 관심이 있었습니다.이는 문제와 동일합니다.유계 부분 집합 B ⊆ X ^ Y, \displaystyle B\subseteq X{\widehat }Y가 주어졌을 때, 유계 부분 집합 B 1 ⊆ X({1}\subseteq X)와 B 2 ⊆ Y({2}\displaystyle B_{2}\subseteq Y)가 존재하며, 이와 같은 유계 부분 집합 B가 1 = 2 ⊗ 2 ∈ 2이다$\otimes$ B_${2$}:=\{$b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in$ B_${2}\in$ B_${2$

그로텐디크는 X${displaystyle$ X$}$와 Y${displaystyle$ Y$}$가 모두 바나흐 공간이거나 둘 다 DF-공간(그로텐디크에^[13] 의해 도입된 공간의 클래스)일 때 이러한 위상이 동일하다는 것을 증명했습니다.또한 두 공간이 모두 프레셰이고 그 중 하나가 ^[9]핵일 때도 동일합니다.

강력한 이중 및 이중 모드

X${\displaystyle {\{\mathrm{}}^{}}$$displaystyle$ X$}$를 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 하고 X$'{{$ X$^{\prime}}$를 연속$$ 이중 공간으로 $합니다{\displaystyle {}^{}}$.알렉산더 그로텐디크는 특정 상황에서 강한 이중성과 이중성을 특징으로 했습니다.

예

• (${\displaystyle X,}$ $)$ {\$displaystyle (X,$ {\$mathcal {A},\mu$)}에$$ 대해$,{\displaystyle }$ $({$$^{$1$$$\}\})$을 실제 르베그 $공간{\displaystyle {}^{}}$ $μ)$로 $하고{\displaystyle {}^{}}$, E${displaystyle$ E$}$를 실제 바나흐 공간으로 $합니다{\displaystyle }$.LE 1({displaystyle L_{E}^{1})을 단순 함수 X → E({Displaystyle X\toE}의 공간의 완성으로 하자. 이 함수의 점별 규범은 X → R(displaystyle X\toE)에서 \mu(\mathbbbb)로 간주되며, \mu\mu(mu)에 대해 0개의 적분을 갖는다.$그러면{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$1 {\$displaystyle L_${E$}^{1$$}$은(는) ${\displaystyle {L1\mathrm{}}^{}{\stackrel{}{}}_{}{}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ E$${\$displaystyle$ L$^{1}{\widehatimes }_{\pi }E$^[15]과(와) 동형입니다.

참고 항목

• 유도 텐서 제품 – 위상 벡터 공간에서 이진 연산 Wikidata 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 인젝티브 텐서
• Hilbert 공간의 텐서 제품 – 특별한 내부 제품이 부여된 텐서 제품 공간
• 위상 텐서 제품 – 위상 벡터 공간을 위한 텐서 제품 구성

인용문

레퍼런스

• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

진일보한 내용

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (in French). Providence: American Mathematical Society. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (in French). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.

외부 링크

• ncatlab의 핵 공간