소볼레프 부등식

수학에서, 수학 분석에는 소볼레프 공간의 규범을 포함한 관련 규범과 관련된 소볼레프 불평등의 계층이 있다. 이것들은 소볼레프 내장 정리를 증명하기 위해 사용되며, 소볼레프 특정 공간들 사이에 포함을 주고, 약간 더 강한 조건 하에서 일부 소볼레프 공간들이 다른 곳들에 압축적으로 내장되어 있음을 보여주는 렐리히-콘드라초프 정리를 보여준다. 그들은 세르게이 르보비치 소볼레프의 이름을 따서 지어졌다.

소볼레프 내장 정리

Let ^k,p W(Rⁿ)는 첫 번째 k 약한 파생상품이 L의^p 함수인 R의ⁿ 모든 실제 값 함수들로 구성된 소볼레프 공간을 나타낸다. 여기서 k는 음이 아닌 정수와 1 ≤ p < ∞이다. 소볼레프 임베딩 정리의 제1부는 k > ℓ, p < n, 1 ≤ p < q < ∞은 다음과 같은 두 개의 실수라고 명시하고 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{p}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{1}{q}-{\frac {\ell},}$

그때

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell,q}(\mathbf {R} ^{n})$

임베딩은 지속적이고 k = 1과 ℓ = 0의 특별한 경우, Sobolev 임베딩은 다음을 제공한다.

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R}^{n})\subseteq L^{p^{p^{*}}(\mathbf {R}^{n})}$

여기서 p는^∗ p의 Sobollev confitate로 주어진다.

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}={\frac {1}{p}-{\frac {1}{n}}.}$

소볼레프 임베딩의 이 특별한 사례는 가글리아르도-니렌베르크-소볼레프 불평등의 직접적인 결과물이다. 결과는 L ${\displaystyle p^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ L$^{p}(\mathb {R}^{n})$의 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $f$$}$이(가) $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p$에 하나의 파생상품을 가지고$$ 있다면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystysty f}$ 자체가$$ 로컬 동작을 개선하여 공간 L${\displaystyle {{}^{}}^{}}$p에 속함을 ${\displaystyle {의미}^{}}$한다고 해석해야 한다.${\displaystyle L^{p^{*}$$p$서 p > p{\$displaystyle$ p$^{*}p$}. ($참고$1 /p$/$ < / / p / $displaystyle$1$/p^{*},$> ${\displaystystyle p^{}.)$ 따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 모든 국소 $특이치$는 ${\displaystyle L^{}}$ p$${\$displaystyle L^{p}$의 일반적인 함수보다 더 온화해야 한다$$$.$

소볼레프 임베딩 정리의 두 번째 부분은 홀더 공간 C(R ^r,αn)의 임베딩에 적용된다. if n < pk and

${\displaystyle {\frac{1}-{p}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\propers }{n}},{\mbox{}, 동등하게 }r+\pieca =k-{\frac}{p}}}}}}}}}}}$

α ∈ (0, 1) 그러면 한 사람이 임베딩을 한다.

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

소볼레프 임베딩의 이 부분은 모레이의 불평등의 직접적인 결과물이다. 직관적으로, 이러한 포함은 충분히 많은 약한 파생상품의 존재가 고전적인 파생상품의 어떤 연속성을 내포한다는 사실을 나타낸다. If ${\displaystyle \alpha =1}$ then ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$ for every ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$.

특히, pk>로 n{\displaystyle pk>, n}, 묻어 두는 기준 r와 같이 0{\displaystyle r=0}과 α{\displaystyle \alpha}의 일부 긍정적인 값을 가질 예정이다. 그것은, Rn(^{n}}에 대한 함수를 f{\displaystyle f}, 만약 f{\displaystyle f}이 있다. k{${\displaystyle L^{}}$ p$${\$displaystyle$ L$^{p}$ 및 > n ${\displaystyle$ $pk$$>n$에서 $\$$displaystyle$ k$}$ 파생$$ 모델이 연속적으로 생성됨$($그리고 실제로 $일부{\displaystyle }$ 양의 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }).$

일반화

소볼레브 임베딩 정리는 다른 적합한 영역 M의 소볼레프 공간 W ^k,p(M)를 보유한다. 특히 (Aubin 1982년, 제2장; Aubin 1976년) 소볼레프 임베딩의 두 부분 모두 다음과 같이 보류한다.

• M은 Lipschitz 경계(또는 원뿔 조건을 만족하는 경계; Adams 1975, Organis 5.4)와 함께 R에ⁿ 있는 경계 개방 세트다.
• M은 콤팩트한 리만 다양체다.
• M은 경계가 있는 콤팩트한 리만 다지관으로 경계는 립스치츠(Lipschitz 연속함수의 그래프로 국소적으로 나타낼 수 있다는 의미)이다.
• M은 주입성 반지름 Δ > 0이고 경계 단면 곡률을 가진 완전한 리만 다지관이다.

M이 연속적인 경계가 있는 R에서ⁿ 경계 개방 세트인 경우, W ^1,2(M)는 L²(M)에 압축적으로 내장된다(네차스 2012, 1.1.5, 정리 1.4).

콘드라초프 임베딩 정리

C경계가¹ 있는 콤팩트한 다지관 M에, 콘드라초프 임베딩 정리는 만약 k > ℓ과 ℓ이 있으면, 라고 기술하고 있다.

그리고 소볼레브 임베딩은

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell,q}(M)}$

완전히 연속적이다.^[1] 그 조건은 소볼레프 내장정리의 첫 부분과 마찬가지로 평등은 불평등으로 대체되므로 보다 정기적인 공간 W ^k,p(M)가 필요하다는 점에 유의한다.

가글리아르도-니렌베르크-소볼레프 불평등

u는 콤팩트한 지지를 가진 R에서ⁿ 지속적으로 다른 실제 가치 함수라고 가정한다. 그 다음 1 p p < n의 경우, n과 p에만 의존하는 상수 C가 있다.

${\displaystyle \ \u\ _{L^{p^{*}(\mathbf {R}}^{n}}\leq C\ Du\ _{L^{L^{p})(\mathbf {R}^{n}}}).}$

1/p* = 1/p - 1/n. 사례 < < ${\displaystyle 1>은$소볼레프, p${\displaystyle }$= $1{\displaystyle }$ ${\displaystyle p=1}$에서 가글리아도와 니렌베르크에 독립적으로$$ 기인한다. 가글리아르도-니렌베르크-소볼레프 불평등은 직접적으로 소볼레프 임베딩을 암시한다.

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{p^{*}(\mathbf {R} ^{n}).}$

R에ⁿ 대한 다른 주문의 임베딩은 적절한 반복을 통해 얻는다.

하디-리틀우드-소볼레프 보조정리

소볼레프 임베딩 정리에 대한 소볼레프의 원래 증거는 하디-리틀우드-소볼레프 분수 통합 정리로 알려진 다음과 같은 것에 의존했다. 등가 진술은 (Aubin 1982, 2장)에서 소볼레프 보조정리라고 알려져 있다. 증거가 (Stein, V장, §1.3) harv error: no target: CITREFStein (도움말)에 있다.

0 < α < n>과 1 < p < q < ∞. Let I_α = (-Δ)^−α/2를 R의ⁿ 리에츠 전위가 되게 하라. 그 다음, q에 대해 다음을 정의한다.

${\displaystyle {\frac {1}{q}={\frac {1}{p}-{\p}-{\frac {\frac {\reason{n}}}}}}$

다음과 같은 p에만 의존하는 상수 C가 존재한다.

$\displaystyle \left\I_{\alpha }f\right\ _{q}\leq C\ f\ _{p}.}$

p = 1이면 한 개에 두 개의 대체 추정치가 있을 수 있다. 첫째는 보다 고전적인 약자형 추정이다.

${\displaystyle m\left\{x:\left I_{\n1}f(x)\오른쪽 >\lambda \lambda \reft\}{\f\}{1}{\lambda }}^{q}$

여기서 1/q = 1 - α/n. 또는 추정치를 가지고 있다.

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$은 벡터 값 Riesz 변환, c.f. (Schikorra, Spector & Van Schaftingen) harv 오류: 대상 없음: CITREFSchorraSpectorVan_Shaftingen(도움말). 리에즈 변환의 경계성은 후자의 불평등이 리에즈 잠재력을 위해 불평등 가족을 쓸 수 있는 통일된 방법을 제공한다는 것을 암시한다.

하디-리틀우드-소볼레프 보조정리기는 본질적으로 리에즈 변환과 리에즈 잠재력 사이의 관계에 의해 내재된 소볼레프를 암시한다.

모리의 부등식

n < p ≤ ∞이라고 가정한다. 그러면 p와 n에만 의존하는 상수 C가 존재하는데, 그런 것이 있다.

${\displaystyle \ \u\_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R}^{n})\leq C\ u\ _{W^1,p}(\mathbf {R}^{n}}})}}}}$

모든 u ∈ C¹(Rⁿ) ∩ L^p(Rⁿ)에 대하여, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \cHB =1-{\frac {n}{p}}.}$

따라서 u ∈ W ^1,p(Rⁿ)일 경우, u는 측정값 0 집합에서 가능한 재정의된 후, 사실상 지수 of의 연속이다.

유사한¹ 결과가 C 경계로 경계된 도메인 U에 있다. 이 경우,

${\displaystyle \ \u\ _{C^{0,\gamma }}\leq C\ u\ _{W^{1,p}(U)}}}}$

여기서 상수 C는 n, p, U에 따라 달라진다. 이 불평등의 버전은 ^1,p W(U)의 표준 보존 확장을 ^1,p W(Rⁿ)에 적용함으로써 이전 버전에서 비롯된다. 불평등은 찰스 B의 이름을 따서 명명되었다. 모레이 주니어

소볼레프 불평등 장군

U는 C¹ 경계와 함께 R의ⁿ 경계 개방된 하위 집합이 되게 하라. (U도 한이 없을 수 있지만, 이 경우 경계는, 존재한다면 충분히 잘 지켜야 한다.)

u ( W ^k,p(U)라고 가정한다. 그런 다음 두 가지 경우를 고려한다.

k < n/p

이 경우 우리는 u^q ( L(U)으로 결론짓는다.

${\displaystyle {\frac {1}{q}={\frac {1}{p}-{\frac {k}{n}}}.}$

우리는 추가 견적을 가지고 있다.

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle u{}_{}}$u ${\displaystyle {{Lq}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}U}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$u ${\displaystyle u{u{}^{}}_{}}$ $u$ ${\displaystyle {W^{}}_{}}$ ${\displaystyle {k^{}}_{}}$ , p${\displaystyle {{}^{}}_{}}$( ${\displaystyle U_{}}$) ${\$ $\}\}$ }} }} }} u u u u u u u u u u u u u u u u u u u}} }} }} }} }} }} }}

k, p, n, U에만 의존하는 상수 C

k > n/p

여기서, 우리는 precisely더(Hölder) 공간에 속한다고 결론짓는다. 더 정확히 말하자면:

${\displaystyle u\in C^{k-\왼쪽[{\frac {n}{p}\right]-1,\gamma }(U),}$

어디에

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}$

우리는 추가 견적을 가지고 있다.

${\displaystyle \u\ _{C^{k-\왼쪽[{\frac {n}{p}\right]-1,\gamma }}\leq C\ u\ _{W^{k,p}(U)}}}}$

k, p, n, γ, U에만 의존하는 상수 C. 특히 k> / ${\displaystyle k>n/p}$은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(그리고 실제로 일부 양의 지수를 가지고 연속적으로) 지속됨을$$ 보장한다.

사례 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=n,k=1$}

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle u\in W^1,n}(\mathbf {R} ^{n})$인 경우,$$u는 경계 평균 진동 및

$\\displaystyle \ u\ _{BMO}\leq C\ Du\ _{L^{n}(\mathbf {R} ^{n}},})$

n에만 의존하는 일부 상수 C의 경우. 이 추정치는 푸앵카레 불평등의 산물이다.

나시 부등식

존 내쉬(1958)가 도입한 나시 불평등은 모든 u ∈ L¹(Rⁿ) ∩ W ^1,2(Rⁿ)에 대해 상수 C > 0이 존재한다고 명시하고 있다.

${\displaystyle \ \u\_{L^{{L^}(\mathbf {R} ^{n})^{1+2/n}\leq C\u\{L^{1}(\mathbf {R}^{n}}}}^{L^{L^{}}}}}}.}$

불평등은 푸리에 변혁의 기본적 특성에서 비롯된다. 실제로, 반경 ball의 공의 보완에 대해 통합하여,

${\displaystyle \int _{ x \geq \rho }\left {\hat {u}}(x)\right ^{2}\,dx\leq \int _{ x \geq \rho }{\frac { x ^{2}}{\rho ^{2}}}\left {\hat {u}}(x)\right ^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}} Du ^{2}\,dx}$

(1)

$왜냐하면{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ /${\displaystyle {}^{}{\rho \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$x$^{2}/\rho ^{2$}} $.$ 반면에 하나는

${\displaystyle {\hat {u} \leq \ \ u\ _{L^{1}}$

반경의 볼에 통합될 때 ρ은 다음과 같은 정보를 제공한다.

${\displaystyle \int _{x \leq \rho}{\n1}(x) ^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\ u\{L^{1}^{1}^{2}}:$

(2)

여기서 Ω은_n n-ball의 체적이다. (1)과 (2)의 합을 최소화하기 위해 ρ을 선택하고 파르세발의 정리를 적용하는 방법:

${\displaystyle \{\hat{u}}\{L^{2}}=\ u\ _{L^{2}}:}$

불평등을 준다.

n = 1의 특수한 경우, 내시 불평등을 L의^p 경우로 확대할 수 있으며, 이 경우 가글리아도-니렌베르크-소볼레프 불평등의 일반화(Brezis 2011, 8장에 대한 논평)이다. 실제로 내가 경계된 간격이라면, 1 r r < ∞ 모두 그리고 1 ≤ q q p < ∞ 모두에 대해 다음과 같은 불평등이 유지된다.

${\displaystyle \ \u\ \{L^{p}(I)}\leq C\u\ _{L^{q}}^{1-a}\ u\ _{W^{1,r}(I)^{a}}}}}$

여기서:

${\displaystyle a\left({\frac{1}-{q}-{\frac {1}{r}+1\right)={\frac {1}{q}-{\frac {1}{p}}.}$

로그 소볼레프 부등식

The simplest of the Sobolev embedding theorems, described above, states that if a function ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ has one derivative in ${\displaystyle L^{p}}$, then ${\displaystyle f}$ itself is in ${\displaystyle L^{p^{*}}}$, wh이레

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

$우리$는 n$${\$displaystyle n}$이(가) 무한대 경향이$$ 있기 때문에 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$가 $p{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $p}$에 접근한다는$$ 것을 알 수 있다$.$ 따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 정의된 공간의$$ $치수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$이$($가) 크면, $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}${\$displaystyle$L^{$p}}}$에 파생상품이 있을 때 f$$ ${\$$displaysty$ $p^{*}$의 로컬 거동 개선은 작다$$$.$$aystyle p}$ $$) 특히 무한대의 공간에서의 기능에 대해서는 고전적인 소볼레프 내장 이론의 직접적인 유사성을 기대할 수 없다.

그러나 레오나드 그로스 (Gross 1975년)에 의해 확립되고 로그 소볼레프 불평등으로 알려진 소볼레프 불평등의 종류가 있는데, 차원에 독립적인 상수를 가지고 있어 무한 차원 설정에서 계속 유지되고 있다. 로그 소볼레프 불평등은 대략 어떤 기능이 ${\displaystyle {가우스}^{}}$ 측정에$$ 대해 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$에 있고 L p ${\$ $L$$^{p$에 있는 $하나$의 파생 모델이 있는 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$가 "${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ -log$$"에$$ 포함된다는 것을 의미한다고 ${\displaystyle 말한다}$.${\displaystyle {}^{}p}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ f $displaystyle$f$^{p}\log$f$}$은(는) 유한함. 이 사실을 표현하는 불평등은 공간의 차원을 포함하지 않는 상수를 가지고 있기 때문에, 불평등은 무한 차원 공간에 대한 가우스 측도의 설정에 있다. 이제 로그 소볼레프 불평등이 가우스 조치뿐만 아니라 여러 가지 다른 유형의 조치들을 지탱하고 있는 것으로 알려져 있다.

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ -log$$ 조건이 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}$에 있는 것보다 매우 작은 개선인 것처럼 보일 수 있지만$,$ 이러한 개선은 중요한 결과, 즉 관련 Dirichlet 양식 운영자에 대한 초계약성을 도출하기에 충분하다. 이 결과 어떤 기능을 디리클레 형태 operator—which의 통해의 범위에 있는 어떤 의미에서 나는 p{\displaystyle L^{p}에서 기능이 있어, 무한히 많은 파생 상품을 의미하}—then 기능이 나는 p에 속해 있는다({\displaystyle L^{p^{*}}}일부 p에 ∗>안{\displaystyle p^을 의미한다.{*$}}>p}$ (1975년 총정리 6).

참조

• Adams, Robert A. (1975), Sobolev Spaces, Pure and Applied Mathematics, 65, Academic Press, ISBN 978-0-12-044150-1, MR 0450957.
• Aubin, Thierry (1976), "Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes", Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e Série, 100 (2): 149–173, MR 0488125
• Aubin, Thierry (1982), Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859.
• Brezis, Haïm (1983), Analyse Fonctionnelle: théorie et applications, Paris: Masson, ISBN 0-8218-0772-2
• Brezis, Haïm (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-70913-0
• Evans, Lawrence (1998), Partial Differential Equations, Providence RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Gross, Leonard (1975), "Logarithmic Sobolev inequalities", American Journal of Mathematics, 97 (4): 1061–1083, doi:10.2307/2373688, JSTOR 2373688
• Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4768-8 MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA 검토
• TMaz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag. O. 샤포시니코바에 의해 러시아어로 번역되었다.
• Nash, J. (1958), "Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations", American Journal of Mathematics, 80 (4): 931–954, doi:10.2307/2372841, hdl:10338.dmlcz/101876, JSTOR 2372841.
• Nečas, J. (2012), Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer Monographs in Mathematics.
• Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], "Imbedding theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2017), "An ${\displaystyle L^{1}}$-type estimate for Riesz potentials", Revista Matemática Iberoamericana, 33 (1): 291–304, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937, S2CID 55497245
• Stein, Elias (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8