근사 특성

수학, 특히 함수 해석에서, 만약 모든 콤팩트 연산자가 유한 순위 연산자의 한계라면 바나흐 공간은 근사 특성(AP)을 갖는다고 한다.그 반대는 항상 진실이다.

모든 힐베르트 공간은 이 성질을 가지고 있다.그러나 바나흐 공간에는 없는 것이 있다; Per Enflo는 1973년 기사에서 첫 반례를 발표했다.그러나 이 지역의 많은 작업은 그로텐디크(1955)에 의해 이루어졌다.

나중에 많은 다른 반례가 발견되었다.§ $(\$})의$$ 경계 연산자 공간은 근사 ^[2]속성을 가지지 않는다.p${\displaystyle 2}$ 2$$$2$ c c $0$（ 「 Sequence space $」$를 참조)의 스페이스 「$\$$displaystyle$$\ell$$^{p$$}」$$$에는, 근사 속성을 가지지 않는 닫힌 서브 스페이스가 있습니다.

정의.

국소 볼록한 위상 벡터 공간 X는 유한랭크의 ^[3]연속적인 선형 맵에 의해 동일하고 프리콤팩트 집합 상에서 균일하게 근사할 수 있는 경우 근사 특성을 갖는다고 한다.

국소 볼록 공간 X의 경우 다음과 같다.^[3]

1. X는 근사 특성을 가진다.
2. ${\displaystyle L_{}}$ p ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X}$ )$l{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ の$$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$（ \ $display$$style$ X^ { \ prime } \ $otimes$X } $닫힘$에는 ID 맵 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$: X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$→ X \ $display$style \$opername { L$$} _${ $Id$ ; X$\}$가 포함되어 있습니다.
3. ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle X_{}}$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle x}$$$X { $display style$ X ^ { \ prime } \ $otimes$X$$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathrm{in}}$ 、 \ $displaystyle \operatorname${ $L } _$ { $p$（ $X 、 X$） 。
4. 각 국소 볼록 공간 Y에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}Y}${\$displaystyle$ X$^{\prime}\otimes$Y는$$ ${\displaystyle L_{}}$ p ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle Y}$ )$$\$display$style \$operatorname {L} _{p}(X$, $Y$)로 조밀합니다$.$
5. 각 국소 볼록 공간 Y에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ Y ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ Y$^{\prime}\otimes$ X$}$는 ${\displaystyle L_{}}$ p ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle Y}$ ,${\displaystyle X}$) \$display$style \$operatorname {L} _{p}(Y$,$X$)로 조밀합니다$.$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 L p ${\displaystyle (}$ ( $X$,${\displaystyle Y}$ )$$（ { displaystyle $\operatorname${ L$$} _ {$p$}($X,Y)}$는 X의 프리콤팩트 서브셋에서 균일한 수렴 토폴로지를 가진 X에서Y까지의 연속 선형 연산자의 공간을 나타냅니다.

만약 X은 바나흐 공간 이 요건 모든 참 ‖ T=−)‖≤ ε{\displaystyle)Tx-x\ \leq \varepsilon}은 모든 소형 K⊂ X{\displaystyle K\subset X}과 모든 ε>;establish;0{\displaystyle \varepsilon>0}에는 이동 통신사 T:유한 계급의 X→ X{\displaystyle T\colon X\to X}다. )∈ ${\displaystyle K}$\ $display style$x \ $in$ K$$。

관련 정의

AP의 다른 향미 몇 가지를 연구한다.

X{X\displaystyle}가 되Banach 공간과 1≤ λ<>, ∞{1\leq \lambda<>\infty\displaystyle}. 우리는 X가λ{\lambda\displaystyle}-approximation 속성(λ{\displaystyle \lambda}-AP), 말하듯이, 모든 소형에 K⊂ X{\displaystyle K\subset X}과 모든 ε>;establish;0{\displaystyle자. \varepsil> $0$${\displaystyle \}}$에는${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ ${\displaystyle T}$ : ${\displaystyle X}$$$${\displaystyle \to }$ X (\$displaystyle$$Tx-x\leq$ \$varepsilon$$$${\displaystyle ）}$가 $존재$하며$,{\displaystyle }$ 그 ${\displaystyle \mathrm{결과}}$$$ - ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm{so}}$ \ $displaystyle$$\$ $tx$- x \ $to$ X$$。

Banach 공간에 bounded absuration property(BAP; 경계 근사 속성)가 있다고 합니다.Banach 공간에 $"\displaystyle\lambda"-$AP$$"가 있는 경우, 일부$$"\$displaystyle\lambda$가 있습니다.

1-AP일 경우 Banach 공간에는 Metric Asmarchment Property(MAP; 메트릭 근사 속성)가 있다고 합니다.

바나흐 공간은 AP의 정의에서 유한 랭크의 연산자가 콤팩트 연산자로 대체되면 콤팩트 근사 특성(CAP)을 갖는다고 한다.

예

• 힐버트 공간의 임의의 곱의 모든 부분공간은 근사특성을 ^[3]가진다.특히,
  • 모든 힐베르트 공간은 근사 특성을 가집니다.
  • 힐베르트 공간의 모든 투영 한계뿐만 아니라 그러한 투영 한계의 부분 공간도 근사 ^[3]특성을 가진다.
  • 모든 핵 공간은 근사 특성을 가지고 있다.
• 쇼우더 기초를 포함하는 모든 분리 가능한 프레셰 공간은 근사 ^[3]특성을 가진다.
• Shauder 기반의 모든 공간에는 AP가 있습니다(정의에서는 베이스에 관련된 $투영을$T(\$displaystyle$T)로 사용할 수 있습니다).따라서 AP와의 많은 공간을 찾을 수 있습니다.예를 들어 "$\$ 공간이나 대칭형 Tirelson 공간입니다.

레퍼런스

참고 문헌

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