이중 위상

수학의 기능적 분석과 관련 영역에서 이중 위상은 이중 쌍에 국소적으로 볼록한 위상으로서, 이중 쌍에 이선형태를 가진 두 개의 벡터 공간이므로 하나의 벡터 공간은 다른 공간의 연속적인 이중형이 된다.

주어진 이중 쌍의 서로 다른 이중 토폴로지는 맥키-아렌스 정리로 특징지어진다.연속적인 이중성이 있는 모든 국소 볼록 위상은 사소하게 이중 쌍이며 국소 볼록 위상은 이중 위상이다.

몇 가지 위상적 특성은 이중 쌍에만 의존하고 선택된 이중 위상에 의존하지 않기 때문에 복잡한 이중 위상을 단순한 위상으로 대체할 수 있는 경우가 많다.

정의

이중 쌍$({\displaystyle X}$, Y ,${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle }$⟩ , ${\displaystyle ⟩}$) ${\displaystyle (X,Y$,\$langle ,\angle )}$이(가) 주어진 경우$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 이중 위상은 로컬$$ 볼록 위상 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$이다.

$[\displaystyle (X,\tau )]\simeq Y.}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau {}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$tau )}$의 연속적인 이중성을 나타내며$$$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ )$$${\displaystyle \prime }$ ′ ${$ ${\displaystyle Y}$ {\$displaystyle (X,\tau )'\simeq$ Y$}$은 선형 이형성이 있음을 의미한다$$.

${\displaystyle \Psi :Y\to (X,\tau )),\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\angle )}$

(If a locally convex topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ is not a dual topology, then either ${\displaystyle \Psi }$ is not surjective or it is ill-defined since the linear functional ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle }$ is not continuous on ${\displaystyle X}$ for so$me{\displaystyle }$ y $[\displaystyle$ y$})$

특성.

• 정리(Mackey):이중 쌍이 주어진 경우, 모든 이중 위상 아래의 경계 집합은 동일하다.
• 어떤 이중 토폴로지에서든 동일한 세트가 바레인으로 표시된다.

이중 토폴로지의 특성화

조지 맥키와 리처드 아렌스의 이름을 딴 맥키-아렌스 정리는 지역적으로 볼록한 공간에서 가능한 모든 이중 토폴로지를 특징으로 한다.

정리는 가장 강력한 이중 위상이 약한 위상, $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $X$$'}$의 모든 유한 서브셋에 대한 균일한 수렴의 위상$,$ 그리고 가장 훌륭한 위상은 Mackey 위상, $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ X$'}$의 모든 절대적으로 약한 소형 서브셋에 대한 균일한 수렴의 위상이다$.$

맥키-아렌스 정리

Given a dual pair ${\displaystyle (X,X')}$ with ${\displaystyle X}$ a locally convex space and ${\displaystyle X'}$ its continuous dual, then ${\displaystyle \tau }$ is a dual topology on ${\displaystyle X}$ if and only if it is a topology of uniform convergence on a family of absolutely conve$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 x 및 약하게 컴팩트 하위 집합

참고 항목

• 극 위상

참조

• Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). Topological Vector Spaces and Their Applications. Springer Monographs in Mathematics. Cham, Switzerland: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1. OCLC 987790956.