차이점학

수학에서, 집합의 차이점들은 서로 다른 다지관의 부드러운 차트의 개념을 일반화하여 집합의 "매끄러운 파라메트리제이션"이 무엇인지를 선언한다.

이 개념은 1980년대에 장마리 수리오가 에스페이스 디페렌티엘이라는^[1]^[2] 이름으로 처음 도입했고 이후 그의 제자인 폴 도나토와^[3] 패트릭 이글레시아스에 의해 개발되었다.^[4]^[5]1970년대에 궈쯔 첸(陳國,, Chen Guocai)이 플롯 영역에 오픈 세트 대신 볼록 세트를 사용하여 이와 관련된 아이디어를 내놓았다.^[6]

직관적 정의

위상학적 다지관은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 에 국소적으로 동형인 위상학적 공간임을 상기하십시오 $\mathbb {R} ^{n}$ 구별 가능한 다지관은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 대한 부드러움 개념을 다음과 같은 $\mathbb {R} ^{n}$ 의미로 일반화한다. 다른 다지각 다지각 다지각 다지각 다지각 다지각 다지각 다지각 다지각은 위상학적 다지각 다지각형 다지각형 다지각형 다지각형 다지각형 다지각iable attrace, 즉 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 열린 하위 집합에서 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 $\mathbb {R} ^{n}$ 차동 구조를 다지관으로 "끌어넣는 데 사용되는 맵 모음입니다.

차이점 공간은 적절한 공리를 만족하는 지도 모음(차이점이라고 함)과 함께 세트로 구성되며, 이것은 다지관의 지도 개념을 일반화한다.이와 같이 매끄러운 다지관과 차이점 공간의 관계는 위상학적 다지관과 위상학적 공간의 관계와 유사하다.

보다 정확히 말하면, 매끄러운 다지관은 국소적으로 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ \ $mathb {R}$ ^{ $n}$ 과(와) 다른 차이점 공간으로서 동등하게 정의될 $\mathbb {R} ^{n}$ 수 있다. 실제로 매끄러운 다지관은 최대치 지도( $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 로 구성된 자연적인 차이점을 가지고 있다.} $\mathbb {R} ^{n}$ 다지관으로 $\mathbb {R} ^{n}$ ).이러한 추상적인 관점은 특정 지도책(따라서 고정된 차원 $n$ ${\displaystyle n$ 이나 기초적인 위상학적 공간을 참조하지 않으며, 따라서 다지관보다 더 일반적인 물체의 예를 다루기에 적합하다.

형식 정의

$\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $X$ 의 차이점은 R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ {R $} ^{n}($ $n\geq 0$ $n\geq 0$ 0 ${\displaystyle n\geq$ 0 $n\geq 0$ 의 열린 하위 집합에서 X ${\displaysty$ X $}$ 에 이르는 플롯 또는 파라메트리제이션이라는 맵 모음으로 구성되며 $X$ , 다음과 $X$ 같은 속성은 다음과 같다.

모든 상수지도는 하나의 줄거리다.
주어진 지도의 경우, 도메인의 모든 지점이 이 동네로 지도를 제한하는 것이 하나의 줄거리일 정도로 근접한 지점이 있다면, 지도 그 자체가 하나의 줄거리인 것이다.
$p$ $p$ 이 $p$ (가) 플롯이고, $f$ ${\displaystyle$ $f$ $}$ 이(가) 일부 실제 벡터 공간의 열린 부분 집합에서 $p$ ${\displaystyle$ p $}$ 의 영역으로 가는 매끄러운 함수라면 $f$ $p$ $p\circ f$ p $p\circ f$ $p\circ f$ ${\displaystyp p\cir f}$ 은 $p\circ f$ 플롯이다.

$\mathbb {R} ^{n}$ 플롯의 영역은 $n$ $n$ 의 다른 값에 대한 $\mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 의 부분 집합일 수 있다는 점에 유의하십시오 $n$ 특히, 모든 차이점학에는 $n=0$ = $n=0$ $n=0$ 의 플롯으로 기본 집합의 요소가 포함되어 있다 $n=0$ 차이점학과 함께 설정된 것을 차이점학 s라고 한다.보조를 맞추다

좀 더 추상적으로 말하면, 차이점 공간은 $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 0$ $n\geq 0$ 0 ${\displaystyle$ $\mathb{R}$ ^{ $n$ 의 오픈 서브셋 부지에 있는 콘크리트 피복이다 $n\geq 0$ ^[7]

형태론

차이점 공간 사이의 지도는 첫 번째 공간의 플롯이 있는 그것의 구성이 두 번째 공간의 플롯인 경우에만 구별할 수 있는(또는 매끄러운) 지도라고 불린다.다르고, 비주사적이며, 그 역도 다르고, 다르면 차이점형주의라고 한다.

차이점 공간은 하나의 범주를 형성하며, 그들의 형태는 서로 다른 지도가 된다.차이점 공간의 범주는 많은 범주형 연산 하에서 닫힌다. 예를 들어, 그것은 카르테시아식 닫힘, 완전함, 그리고 더 일반적으로는 퀘이시토포이다.^[7]

추가 구조물

모든 차이점 공간은 자동으로 D-토폴로지라고 불리는 위상학적 공간이다. 즉, 모든 플롯이 연속적으로 나타나는 최상급 위상이다( $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 차이점 공간 간의 차별화 가능한 지도는 D-토폴로지 간에 자동으로 연속된다.

카르탄-데 럼 미적분은 차이점학의 틀에서 개발될 수 있을 뿐만 아니라 섬유 다발, 호모토피 등의 개념을 적절히 적응시킬 수 있다.^[5]그러나, 차이점 공간의 접선 공간과 접선 번들에 대한 표준적인 정의는 없다.^[8]

예

다지관

모든 차별화 가능한 다지관은 그 최대 지도책(즉, 플롯은 모두 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n})$ 과 $\mathbb {R} ^{n}$ 함께 차이점 공간이며, 그 D-토폴로지는 원래의 다지관 위상을 복구한다.이 차이점을 가지고, 두 가지 매끄러운 다지관 사이의 지도는 차이점적 의미에서 차이가 있을 경우에만 부드럽다.따라서 매끄러운 지도가 있는 매끄러운 다지관은 차이점 공간 범주의 완전한 하위 범주를 형성한다.
마찬가지로 복합다지관, 분석다지관 등은 별도의 구조물을 보존하는 지도로 구성된 자연적인 차이를 가지고 있다.
This method of modeling diffeological spaces can be extended to locals models which are not necessarily the euclidean space $\mathbb {R} ^{n}$ . For instance, diffeological spaces include orbifolds, which are modeled on quotient spaces $\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ , for ${\dis$ $Playstyle$ \ $Gamma }$ 은 $\Gamma$ (는) 유한 선형 부분군 또는 경계와 모서리가 있는 다지관이며,^[9] 직교 등을 모델로 한다.^[10]
모든 바나흐 다지관은 차이점 공간이다.^[11]
모든 프레셰 다지관은 차이점 공간이다.^[12]^[13]

다른 차이점 공간으로부터의 구조

$Y$ $Y$ 이 $Y$ (가) 차이점 $공간$ X ${\displaystyle X$ 의 부분 집합인 경우, $Y$ ${\displaystyle$ $Y}$ 의 하위 공간 차이점은 이미지가 Y {\ $displaystyle$ Y $}$ 의 $부분$ 집합인 $X$ $X$ ${\displaysty$ X $}$ 의 그림으로 구성된 차이점이다 $Y$ $Y$ Y ${\d-topology$ 는 하위 $공간$ 이다 $Y$ . $X$ $X$ 의 D-토폴로지 토폴로지 $X$
If $X$ and $Y$ are diffeological spaces, then the product diffeology on the Cartesian product $X\times Y$ is the diffeology generated by all products of plots of $X$ and of $Y$ . The D-topology of ${\displaystyle X\t$ $imes Y}$ 은(는) $X$ $X$ 및 $Y$ $Y$ 의 D-토폴로지의 제품 토폴로지 입니다 $X\times Y$ $Y$
$X$ $X$ 이 $X$ (가) 차이점 공간이고 $\sim$ ~ $\sim$ 이 $\sim$ (가) $X$ ${\$ $displaystyle X$ $X$ 의 동등성 관계라면, $X$ $X$ 의 투영과 함께 $X$ $X$ $X$ 의 모든 플롯 구성에서 발생하는 차이점이다. ${\$ $X/\sim$ $X}$ ~ X $X$ $X/\sim$ / ~ $X/\sim$ ${\$ $displaystyle$ X $/\sim$ $}$ 의 $X/\sim$ D-토폴로지는 X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 D-토폴로지를 나타내는 지수 토폴로지(이 토폴로지는 $사소한$ 것이 아니라면 사소한 것일 수 있음)이다 $X/\sim$ $X/\sim$ $X$
The pushforward diffeology of a diffeological space $X$ by a function $f:X\to Y$ is the diffeology on $Y$ generated by the compositions $f\circ p$ , for $p$ a plot of $X$ . In other words, the pushforward difference는 $y$ ${\$ $displaystyle y}$ 에서 f {\ $displaystyle f}$ 을(를) 다르게 $f$ 만드는 $Y$ 가장 작은 차이점이다.지수 차이점은 투영 $X\to X/\sim$ → X $X\to X/\sim$ / $X\to X/\sim$ ~에 의한 푸시포워드 차이점 }에 요약된다. X → $X\to X/\sim$ / ~ ${\displaystyle$ X $\to$ X $/\sim$ $X\to X/\sim$
The pullback diffeology of a diffeological space $Y$ by a function $f:X\to Y$ is the diffeology on $X$ whose plots are maps $p$ such that the composition $f\circ p$ is a plot of $X$ . In other woRds, 풀백 차이점은 $F$ $f$ 을 $X$ (를) 다르게 $f$ 만드는 $X$ $X$ 에서 가장 작은 차이점이다.
The functional diffeology between two diffeological spaces $X,Y$ is the diffeology on the set ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ of differentiable maps, whose plots are the maps ${\displaystyle \phi :$ $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ $\to {\mathcal {C}^{\$ inful }{{\ $inful$ $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ $,Y)}$ 과 $\phi :U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ 같은 $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ x $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ ) $(u,x)\mapsto \phi(x)$ 은 $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ ( $U\times X$ $U\times X$ ${\displaystysty U\times$ X $})$ 의 제품 차이점). $U\times X$ $X$ $X$ 과 $X$ $Y$ $Y$ 이(가) 다지관일 $Y$ 때, ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ ( ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ Y $){\displaystyle {\c}^{\infit }(X,Y)$ 의 D-토폴로지는 약한 ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ 토폴로지를 포함하는 가장 작은 국소 경로 연결 위상이다.^[14]

더 일반적인 예

모든 세트에는 거친(또는 사소한) 차이점, 즉 가능한 가장 큰 차이점(모든 지도는 줄거리)을 부여할 수 있다.해당 D-토폴로지(D-topology)는 사소한 위상이다.
모든 세트에는 이산(또는 미세한) 차이점, 즉 가능한 가장 작은 차이점(그림은 국소 상수 지도뿐)을 부여할 수 있다.해당 D-토폴로지(D-topology)는 이산 위상이다.
모든 위상학적 공간은 연속적인 차이점을 부여할 수 있으며, 이들의 플롯은 모두 연속적인 지도들이다.그에 상응하는 D-토폴로지(D-topology)는 물론 공간의 원래 위상이다.
인용문은 관리되지 않은 차이점을 쉽게 구성할 수 있는 방법을 제공한다.예를 들어, $\mathbb {R}$ ${\$ 의 실수 집합은 부드러운 다지관이다 $\mathbb {R}$ .The quotient $\mathbb {R} /(\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} )$ , for some irrational $\alpha$ , called irrational torus, is a diffeological space diffeomorphic to the quotient of the regular 2-torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ 경사 $[\displaystyle \alpha }$ 의 선에 의해 $\alpha$ 비교가 안 되는 차이점을 가지고 있지만, 그것의 D-토폴로지란 사소한 위상이다.^[15]
아공간 차이점과 기능적 차이점을 결합해 섬유다발 부분의 공간, 또는 Lie groupoid의 이질 공간 등에 대한 차이점을 정의할 수 있다.

제압 및 유도

다지관 사이의 잠수함과 몰입의 개념과 유사하게, 차이점 공간들 사이에는 두 가지 특별한 종류의 형태론이 있다.A subduction is a surjective function $f:X\to Y$ between diffeological spaces such that the diffeology of $Y$ is the pushforward of the diffeology of $X$ . Similarly, an induction is an injective function $f:X\to Y$ between diffeological $X$ $X$ 의 차이점이 $Y$ $Y$ 의 차이점의 풀백과 같은 공간 $Y$ 진압과 인도는 자동으로 매끄럽다는 점에 유의하십시오.

$X$ ${\displaystyle$ X $}$ 과 $X$ Y $Y$ 이 $Y$ (가) 매끄러운 다지관일 때, 그들 사이의 서브전도(존중, 유도)는 정확하게 굴절적 침하(존중, 주입적 몰입)이다.더욱이 이러한 개념은 다음과 같은 침하 및 몰입과 유사한 속성을 누린다.

구성 $f\circ g$ $f\circ g$ $f\circ g$ $f\circule g$ 은(는) $f$ $f$ 이(가 $g$ ) 하위 전도인 $f$ 경우에만 하위 전도(존중, 유도)이다 $f\circ g$ (존중, $g$ ${\displaystyle g}).$
주입적 전도는 (존경적으로, 추체적 유도) 차이점형성이다.

마지막으로 임베딩은 코도메인의 D-토폴로지로부터 유도된 부분집합 위상에 관해서도 그 이미지와 함께 동형상이다.이것은 다지관 사이에 내장하는 표준 개념으로 요약된다.

참조

^ Souriau, J. M. (1980), García, P. L.; Pérez-Rendón, A.; Souriau, J. M. (eds.), "Groupes differentiels", Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, vol. 836, pp. 91–128, doi:10.1007/bfb0089728, ISBN 978-3-540-10275-5, retrieved 2022-01-16
^ Souriau, Jean-Marie (1984), Denardo, G.; Ghirardi, G.; Weber, T. (eds.), "Groupes différentiels et physique mathématique", Group Theoretical Methods in Physics, Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, vol. 201, pp. 511–513, doi:10.1007/bfb0016198, ISBN 978-3-540-13335-3, retrieved 2022-01-16
^ Donato, Paul (1984). Revêtement et groupe fondamental des espaces différentiels homogènes [Coverings and fundamental groups of homogeneous differential spaces] (in French). Marseille: PhD thesis, Université de Provence.
^ Iglesias, Patrick (1985). Fibrés difféologiques et homotopie [Diffeological fiber bundles and homotopy] (PDF) (in French). Marseille: PhD thesis, Université de Provence.
^ ^a ^b Iglesias-Zemmour, Patrick (2013-04-09). Diffeology. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 185. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/185. ISBN 978-0-8218-9131-5.
^ Chen, Kuo-Tsai (1977). "Iterated path integrals". Bulletin of the American Mathematical Society. 83 (5): 831–879. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14320-6. ISSN 0002-9904.
^ ^a ^b Baez, John; Hoffnung, Alexander (2011). "Convenient categories of smooth spaces". Transactions of the American Mathematical Society. 363 (11): 5789–5825. doi:10.1090/S0002-9947-2011-05107-X. ISSN 0002-9947.
^ Christensen, Daniel; Wu, Enxin (2016). "Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces". Cahiers de Topologie et Geométrie Différentielle Catégoriques. 57 (1): 3–50.
^ Iglesias-Zemmour, Patrick; Karshon, Yael; Zadka, Moshe (2010). "Orbifolds as diffeologies" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 362: 2811–2831. JSTOR 25677806.
^ Gürer, Serap; Iglesias-Zemmour, Patrick (2019). "Differential forms on manifolds with boundary and corners". Indagationes Mathematicae. 30 (5): 920–929. doi:10.1016/j.indag.2019.07.004.
^ Hain, Richard M. (1979). "A characterization of smooth functions defined on a Banach space". Proceedings of the American Mathematical Society. 77 (1): 63–67. doi:10.1090/S0002-9939-1979-0539632-8. ISSN 0002-9939.
^ Losik, Mark (1992). "О многообразиях Фреше как диффеологических пространствах" [Fréchet manifolds as diffeological spaces]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. (in Russian). 5: 36–42 – via All-Russian Mathematical Portal.
^ Losik, Mark (1994). "Categorical differential geometry". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 35 (4): 274–290.
^ Christensen, John Daniel; Sinnamon, Gordon; Wu, Enxin (2014-10-09). "The D -topology for diffeological spaces". Pacific Journal of Mathematics. 272 (1): 87–110. doi:10.2140/pjm.2014.272.87. ISSN 0030-8730.
^ Donato, Paul; Iglésias, Patrick (1985). "Exemples de groupes difféologiques: flots irrationnels sur le tore" [Examples of diffeological groups: irrational flows on the torus]. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. (in French). 301 (4): 127–130. MR 0799609.

외부 링크

Patrick Iglesias-Zemmour: 차이점학 (책), 수학 조사 및 모노그래프, 제185권, 미국 수학 협회, 프로비던스, 미국 RI [2013년]
패트릭 이글레시아스젬무어: 차이점학(많은 문서)
차이점학차이점 및 관련 주제에 대한 순 글로벌 허브

[1] Souriau, J. M. (1980), García, P. L.; Pérez-Rendón, A.; Souriau, J. M. (eds.), "Groupes differentiels", Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, vol. 836, pp. 91–128, doi:10.1007/bfb0089728, ISBN 978-3-540-10275-5, retrieved 2022-01-16

[2] Souriau, Jean-Marie (1984), Denardo, G.; Ghirardi, G.; Weber, T. (eds.), "Groupes différentiels et physique mathématique", Group Theoretical Methods in Physics, Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, vol. 201, pp. 511–513, doi:10.1007/bfb0016198, ISBN 978-3-540-13335-3, retrieved 2022-01-16

[3] Donato, Paul (1984). Revêtement et groupe fondamental des espaces différentiels homogènes [Coverings and fundamental groups of homogeneous differential spaces] (in French). Marseille: PhD thesis, Université de Provence.

[4] Iglesias, Patrick (1985). Fibrés difféologiques et homotopie [Diffeological fiber bundles and homotopy] (PDF) (in French). Marseille: PhD thesis, Université de Provence.

[:0-5] Iglesias-Zemmour, Patrick (2013-04-09). Diffeology. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 185. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/185. ISBN 978-0-8218-9131-5.

[6] Chen, Kuo-Tsai (1977). "Iterated path integrals". Bulletin of the American Mathematical Society. 83 (5): 831–879. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14320-6. ISSN 0002-9904.

[:1-7] Baez, John; Hoffnung, Alexander (2011). "Convenient categories of smooth spaces". Transactions of the American Mathematical Society. 363 (11): 5789–5825. doi:10.1090/S0002-9947-2011-05107-X. ISSN 0002-9947.

[8] Christensen, Daniel; Wu, Enxin (2016). "Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces". Cahiers de Topologie et Geométrie Différentielle Catégoriques. 57 (1): 3–50.

[9] Iglesias-Zemmour, Patrick; Karshon, Yael; Zadka, Moshe (2010). "Orbifolds as diffeologies" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 362: 2811–2831. JSTOR 25677806.

[10] Gürer, Serap; Iglesias-Zemmour, Patrick (2019). "Differential forms on manifolds with boundary and corners". Indagationes Mathematicae. 30 (5): 920–929. doi:10.1016/j.indag.2019.07.004.

[11] Hain, Richard M. (1979). "A characterization of smooth functions defined on a Banach space". Proceedings of the American Mathematical Society. 77 (1): 63–67. doi:10.1090/S0002-9939-1979-0539632-8. ISSN 0002-9939.

[12] Losik, Mark (1992). "О многообразиях Фреше как диффеологических пространствах" [Fréchet manifolds as diffeological spaces]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. (in Russian). 5: 36–42 – via All-Russian Mathematical Portal.

[13] Losik, Mark (1994). "Categorical differential geometry". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 35 (4): 274–290.

[14] Christensen, John Daniel; Sinnamon, Gordon; Wu, Enxin (2014-10-09). "The D -topology for diffeological spaces". Pacific Journal of Mathematics. 272 (1): 87–110. doi:10.2140/pjm.2014.272.87. ISSN 0030-8730.

[15] Donato, Paul; Iglésias, Patrick (1985). "Exemples de groupes difféologiques: flots irrationnels sur le tore" [Examples of diffeological groups: irrational flows on the torus]. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. (in French). 301 (4): 127–130. MR 0799609.

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[4]

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