벡터 흐름

Vector flow

수학에서 벡터 흐름벡터 장에 의해 결정되는 흐름의 밀접하게 관련된 개념들의 집합을 말한다.이것들은 미분 위상, 리만 기하학, 리 그룹 이론을 포함한 여러 가지 다른 맥락에서 나타난다.이러한 관련 개념은 다양한 기사에서 탐구된다.

차등 위상에서의 벡터 흐름

관련 개념: (흐름, 최소 생성기, 적분 곡선, 전체 벡터 필드)

V를 부드러운 다지관 M의 부드러운 벡터장이 되게 한다.극소형 발생기V인 독특한 최대 흐름 D → M이 있다.여기서 DR × M흐름 영역이다.pM에 대해 지도 DpMp에서 시작하는 V의 고유한 최대 적분 곡선이다.

글로벌 흐름은 흐름 영역이 R × M의 전부인 흐름이다. 글로벌 흐름은 M에서 R의 부드러운 동작을 정의한다. 벡터 필드는 글로벌 흐름을 생성하면 완성된다.경계가 없는 콤팩트 매니폴드의 매끄러운 벡터 필드는 모두 완성된다.null

리만 기하학의 벡터 흐름

관련 개념: (지오데틱, 지수 지도, 주입도 반지름)

지수 지도

exp : TMp → M

exp(X) = γ(1)로 정의된다. 여기서 γ : IMp를 0에서 통과하는 고유 지오데틱이며, 0에서 접선 벡터는 X이다.여기서 I는 지오데틱이 정의된 R의 최대 개방 구간이다.null

M을 사이비-리만 다지관(또는 아핀 연결이 있는 모든 다지관)으로 하고 p를 M의 지점으로 삼는다.그리고 TMp 모든 V에 대해 ge(0)= p ) =V. {\의 고유한 지오데틱 γ : I → M이 존재한다 1이 I에 놓여 있는 TMp 서브셋이 Dp 되게 한다.

리 그룹 이론에서의 벡터 흐름

관련 개념: (우수 지도, 최소 생성기, 단일 파라미터 그룹)

Lie 그룹의 모든 좌반변 벡터 필드가 완성된다.아이덴티티에서 시작하는 적분 곡선G1-모수 부분군이다.일대일 서신이 있다.

G}의 G} one {좌측 변이 벡터 필드(G} = g = TGe)에 대한 {1-모수 부분군

G는 Lie 그룹이 되고 g는 Lie 대수학이다.지수지도는 지도 exp : gg가 exp(X) = γ(1)이 부여한 지도 exp이다. 여기서 γ은 X가 생성하는 G의 정체성에서 시작하는 적분 곡선이다.

  • 지수 지도가 매끄럽다.
  • 고정 X의 경우 지도 t ↦ exp(tX)는 X에 의해 생성된 G의 1-모수 부분군이다.
  • 지수 지도는 일부 근린에서 g의 0에서 g의 e 근린까지 차이점형성으로 제한한다.
  • 지수 지도의 이미지는 항상 G에서 ID의 연결된 구성요소에 있다.

참고 항목