지수 지도(거짓말 이론)

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

리 집단 이론에서 지수 지도는 리 집단 G {\$displaystyle$ $G}$의 $리{\displaystyle \mathfrak{}}$ 대수 g ${\$$displaystyle$${g}$에서 리 대수에서 로컬 그룹 구조를 탈환할 수 있는 그룹으로$$ 지도다. 지수 지도의 존재는 리 알헤브라가 리 그룹 연구에 유용한 도구라는 주요한 이유 중 하나이다.

수학적 분석의 일반적인 지수함수는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 양의 실수(실수)의 승수군일 때 지수지도의 특별한 경우다(누구의 Lie 대수학은 모든 실수의 가법군이다). Lie 그룹의 지수 지도는 일반적인 지수 함수의 수치와 유사한 많은 특성을 만족시키지만, 많은 중요한 측면에서도 차이가 있다.

정의들

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) Lie 그룹으로 하고$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) Lie 대수($G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ID 요소에 대한 접선 공간으로 생각함)로$$ 한다.$$ 지수 지도는 지도다.

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}\to G}$

몇 가지 다른 방법으로 정의될 수 있다. 대표적인 현대적 정의는 다음과 같다.

정의: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$의 지수 분포는 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \exp(X)=\gamma ($1)로$$ 지정된다$.$

${\displaystyle \gamma \colon \mathb {R} \to G}$

ID의 접선 벡터가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과(와) 동일한$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 고유한 단일 변수 하위 그룹이다$.$

${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$라는 체인 규칙에서 쉽게 따라온다$.$ 지도 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과(와) 연관된 오른쪽 또는 왼쪽 변광성 벡터 필드의 적분 곡선으로 구성될$$ 수 있다$.$ 모든 실제 파라미터에 대해 적분 곡선이 존재한다는 것은 거의 0에 가까운 솔루션을 오른쪽 또는 왼쪽 변환하는 것이다.

우리는 매트릭스 리 그룹의 경우에 더 구체적인 정의를 가지고 있다. 지수 지도는 행렬 지수 분포와 일치하며 일반적인 직렬 확장에 의해 주어진다.

${\displaystyle \exp($$}}}=I+X+{\frac {1}{1}{$2}}$X^{2}+{\frac${1$}{6}}X^{3}+\cdots$ $\},$

$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) ID 행렬이다. 따라서 매트릭스 Lie 그룹의 설정에서 지수 맵은 G ${\displaystyle$ ${\mathfrak{g}$의 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$displaystyle $G}$에 대한 매트릭스 지수 제한이다$.$

리만 지수 지도와의 비교

G가 콤팩트하면 좌우번역 밑에 리만 미터법 불변성을 가지고 있으며, G에 대한 Li-이론적 지수지도는 이 리만 미터법의 지수 지도와 일치한다.

일반 G의 경우, 왼쪽 번역과 오른쪽 번역 모두 아래에 리만 계량 불변성이 존재하지 않을 것이다. 왼쪽 번역에는 항상 리만 메트릭스 불변화가 존재하지만, 왼쪽-인바리어트 메트릭스를 위한 리만 기하학적 의미에서의 지수 지도는 일반적으로 리 그룹 감각의 지수 지도와 일치하지 않을 것이다. 즉, G가 왼쪽이지만 오른쪽 변이하지 않는 측정지표를 갖춘 Lie 그룹이라면, 정체성을 통한 지오디컬은 G의^{[citation needed]} 한 변수 부분군이 되지 않을 것이다.

기타 정의

Lie-group 지수에서 기타 동등한 정의는 다음과 같다.

• 왼쪽 번역에 의해 병렬 전송이 제공되도록 G에 표준 좌뇌-인바리안트 아핀 연결을 지수화한 지도다. 즉 ${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp(X)=\gamma(1)}$ $여기$서 {$${\$displaystyle \gamma}$은 ID 요소의 초기 점과 초기 속도 X(접선 벡터로 간주)를 갖는 고유한 지오데틱이다.
• G에 표준 우측상변형 아핀 연결의 지수 지도다. 이것은 보통 표준 좌변수 연결과는 다르지만, 두 연결은 지오데틱(좌측 또는 우측 곱셈에 의해 작용하는 1-모수 부분군의 궤도)이 같으므로 동일한 지수 지도를 제공한다.
• The Lie group–Lie algebra correspondence also gives the definition: for X in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ is the unique Lie group homomorphism corresponding to the Lie algebra homomorphism ${\displaystyle t\mapsto tX.}$ (note: ${\d$$isplaystyle \operatorname {Lie}(\mathb {R} )=\mathb {R}}.$

예

• 복잡한 평면에서 0에 중심을 둔 단위 원은 리 그룹(원 그룹이라 함)이며, ${\displaystyle 1}$의 접선 공간은 복잡한 평면에서 가상의 선으로 ${\displaystyle \mathrm{식별}}$할 수 있는 {i : ${\displaystyle t\mathbb{}}$called R$$ {\$displaystyle$\{$it:t\in \mathb {R} \}}.}$$$ 이 Lie 그룹에 대한 지수 맵은 다음과 같이 제공된다.

$\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

즉, 일반 콤플렉스 지수식과 같은 공식이다.

• More generally, for complex torus^{[1]pg 8} ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ for some integral lattice ${\displaystyle \Lambda }$ of rank ${\displaystyle n}$ (so isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$) the torus comes equipped with a universal covering map

${\displaystyle \pi :\mathb {C} ^{n}\to X}$

격자 기준으로 보아 X ${\displaystyle X}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해$$ 국소적으로 이형성이므로 접선 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystytle T_{0}X}$및 지도와 식별할 수 있다.

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

복합 Lie 그룹 $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$의 지수 맵에 해당한다$.$

• In the quaternions ${\displaystyle \mathbb {H} }$, the set of quaternions of unit length form a Lie group (isomorphic to the special unitary group SU(2)) whose tangent space at 1 can be identified with the space of purely imaginary quaternions, ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}$$.}$ 이 Lie 그룹에 대한 지수$$ 맵은 다음에 의해 제공된다.

${\displaystyle \mathbf {w} :(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(\mathbf {w})=\cos(\mathbf {w}){\mathbf {w}}}},},}$

This map takes the 2-sphere of radius R inside the purely imaginary quaternions to ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$, a 2-sphere of radius ${\displaystyle \sin(R)}$ (cf. Pauli 벡터의 지수). 이것을 위의 첫 번째 예시와 비교해 보십시오.

• V를 유한 치수 실제 벡터 공간이 되게 하고 벡터 덧셈의 조작 아래 Lie 그룹으로 본다. 그런 다음 접선 공간이 0인 V의 식별을 통해$$ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$(V ) = V {\displaystyle \operatorname {Lie}($V)=V},$ 지수 맵을 통해 Lie(${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$V${\$displaysty $\operatorname {Lie$}

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie}(V)=V\to V}$

ID 맵, 즉 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \exp(v)=v}$ 입니다$.$

• In the split-complex number plane ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ the imaginary line ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ forms the Lie algebra of the unit hyperbola group ${\displaystyle \lbrace \cosh$$t+\jmath \sinh t:t\in \mathb {R} \rbrace }$은(는) 지수화된 지도를 제공하므로

$\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \sinh t.}$

특성.

지수 분포의 기본 특성

For all ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, the map ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ is the unique one-parameter subgroup of ${\displaystyle G}$ whose tangent vector at the identity is ${\displaystyle X}$. It follows that:

• $[\displaystyle \exp(t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}\,}$

보다 일반적으로 다음과 같다.

• ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$+ Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{만일}}$[ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{}[X,Y]=0}$.

앞의 정체성이 일반적으로 유지되지 않는다는 것을 강조하는 것이 중요하다; $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 통근에$$ 대한 가정이 중요하다.

지수 지도의 이미지는 항상 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ID 구성요소에 있다$.$

아이덴티티에 가까운 지수

${\displaystyle 지수\mathfrak{}}$ 맵 ${\displaystyle \exp }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}\to$ G$}$은(는) 매끄러운 맵이다. 0, ${\displaystyle {\exp }_{}{\ast }_{}}$ : ${\displaystyle g\mathfrak{}}$→ g ${\$ {$g}\$mathfrak {g}에서${\$mathfrak {$g}}$까지의 차이는 (일반적인 식별이 있는) ID 맵이다$.$

따라서 지수 지도가 $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 일부 근린에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 근린 1까지$$ 차이점형성을 제한하는 것은 역함수 정리로부터 이어진다$.$^[2]

It is then not difficult to show that if G is connected, every element g of G is a product of exponentials of elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:^[3]${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$.

전세계적으로 지수 지도가 반드시 허탈한 것은 아니다. 더욱이 지수지도는 모든 점에서 국부적인 차이점형식이 아닐 수도 있다. 예를 들어 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ${\$3$)$에서 SO(3)까지의 지수 지도는 국부적인 차이점형식이 아니다. 또한 이 실패에 대한 절단 위치도 참조하십시오. 자세한 내용은 지수 맵의 파생 모델을 참조하십시오.

기하급수적 과대망상

이러한 중요한 특별한 경우에 지수도는 항상 허탈하다고 알려져 있다.

• G는 연결되고 ^[4]컴팩트하며
• G가 연결되고 nilpotent(예: G connected 및 abelian)가 되며,
• ${\displaystyle G}$= ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathb {C}$ $)\}.$^[5]

위의 조건 중 어느 것도 만족하지 못하는 집단의 경우 지수 지도가 굴절적일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.

연결되었지만 비 컴팩트 그룹 SL₂(R)의 지수적 맵 이미지는 전체 그룹이 아니다. 그것의 이미지는 양수 또는 계량형 1의 고유값을 갖는 C-대각형 가능 행렬과 반복적인 고유값을 갖는 비-대각형 가능 ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$로 구성된다$.$ (따라서 ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$는${\displaystyle }$- I ${\displaystyle -I}$^[6] 이외의 실제 음의 고유값을 갖는 행렬을 제외한다.)

지수 지도 및 동형성

렛 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi \colon$G\$to H}$은(는) Lie $group$ 동형상이며, ${\$은(는) 그 정체성의 파생어가 되게$$ 한다. 그러면 다음 도표가 통근된다.^[7]

${\displaystyle {\mathrm{특히}}_{}}$$,$ AD${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{ad}}${\$displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$이$($가) Lie $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 조정 작업에 적용될 때 다음과 같은 유용한 ID가 있다.^[8]

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!$$}}}}[X, [X,Y]+{\frac {1}{3!$$}}}}[X,$ [$X,$ [$X,Y]]+\cdots$ $\}.$

로그 좌표

Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$${$g}$을(를) 가진 Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$${\displaystyle {}_{}}$을(를) 부여하면${\displaystyle ,<img\; alt="\{\backslash mathfrak\; \{g\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.172ex;\; height:2.009ex;">}$ $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ $X_{1},\dots, X_{$$n}$의 각 $선택$은 다음과 같이 G에 대한 ID 요소 근처에 좌표계를 결정한다$$. By the inverse function theorem, the exponential map ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ is a diffeomorphism from some neighborhood ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ of the origin to a neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle e}$${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle e\in$ G$\}.$ ${\displaystyle 역}$:

${\displaystyle \log :U{\overset{\sim }{\\}{}}N\subset \mathb {R} ^{n}}}$

U에 좌표계가 있다. 로그 좌표, 지수 좌표 또는 정상 좌표와 같은 다양한 이름으로 불린다. 응용 프로그램에 사용되는 방법의 예는 닫힌 부분군 정리를 참조하십시오.

비고: 오픈커버${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm{Ug}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle \{Ug g$${\displaystyle \backslash }$$in$ G$\}}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$은(는) 실제 분석성 다지관의 구조를 G에게 부여한다$$.^[9]

참고 항목

• 지수 항목 목록
• 지수도의 파생상품
• 행렬 지수

인용구

인용된 작품