접선다발

Tangent bundle
비공식적으로 다지관의 접선다발(이 경우는 원이다)은 모든 접선공간(상단)을 고려하여 이들을 매끄럽고 겹치지 않는 방식으로 결합하여 얻는다([note 1]하단).

차동 기하학에서 다른 다지관 접선 번들 의 모든 접선 벡터를 조립하는 다지관 M 이다 세트로서 접선 공간의 분리 결합[note 1] 즉,

where denotes the tangent space to at the point . So, an element of can be thought of as a pair , where is a point in and (는) 에서 에 대한 접선 벡터 입니다.

자연 투영법이 있다.

, )= 에 의해 정의됨 이 투영은 접선 공간 T M 의 각 요소를 단일 x 매핑함

접선 번들에는 자연 토폴로지가 장착되어 있다(아래 절에 설명되어 있음). 이 위상에서 다지관에 대한 접선 번들은 벡터 번들(섬유들이 벡터 공간섬유 번들)의 원형적인 예다. 의 섹션은 M M벡터 필드이며, 대한 듀얼 번들 M 의 등각 공간의 분리 결합이다 정의상 다지관 M은 다음과 같은 경우에만 병렬 수 있다. 접선 보따리는 하찮은 것이다. 정의에 따르면 접선 번들 T (가) 안정적으로 사소한 경우에만 M }이가) 프레임으로 표시되며, 이는 일부 사소한 번들 E의 경우 Whitney sum \ E이(가)가 사소한 것임을 의미한다. 예를 들어, n-차원 구체n S는 모든 n에 대해 프레임으로 구성되지만, n = 1, 3, 7에 대해서만 병렬이 가능하다(Bott-Milnor 및 Kervaire 결과).

역할

접선 번들의 주요 역할 중 하나는 원활한 기능의 파생에 대한 영역과 범위를 제공하는 것이다. 즉, : → N 은(는) 부드러운 기능이며, (와) 부드러운 다지관이 있으며, 그 파생상품은 부드러운 D :T 화살표

위상 및 평탄한 구조

접선다발은 자연적인 위상(해체조합 위상이 아닌)과 부드러운 구조를 갖추고 있어 그 자체로 다지관으로 만들어진다. 의 치수는 의 두 배다

n차원 다지관의 각 접선 공간은 n차원 벡터 공간이다. If is an open contractible subset of , then there is a diffeomorphism which restricts to a linear isomorphism from each tangent space to . As a manifold, however, is not always diffeomorphic to the product manifold . When it is of the form , then the tangent bundle is said to be trivial. 사소한 접선 번들은 일반적으로 '호환성 그룹 구조'가 장착된 다지관에서 발생한다. 예를 들어, 다지관이 Lie 그룹인 경우. 단위 원의 접선다발은 리 그룹(구획과 그 자연적인 미분 구조 아래)이기 때문에 사소한 것이다. 그러나 사소한 접선다발이 있는 모든 공간이 Lie 그룹이라는 것은 사실이 아니다; 사소한 접선다발이 있는 다지관은 병렬처리 가능하다고 불린다. 다지관이 유클리드 공간을 로컬로 모델링 하듯이 접선 번들은 을(를) 로컬로 모델링 하였는데 여기서 유클리드 공간의 공개 서브셋이다.

M이 매끄러운 n차원 다지관이라면 차트 지도 ( , ) 여기서 U 는 M 설정된 오픈 세트다.

차이점형이다. }}}}의 이러한 국부 x{\ 화살표 ^{에 대해 이형성 T → 이형 → 이형성을 시킨다 그런 다음 지도를 정의할 수 있다.

에 의해

이 맵을 하여 T {\의 위상 및 부드러운 구조를 정의한다 M{\ 하위 A (는) 다음과 같은 경우에만 개방된다.

is open in for each These maps are homeomorphisms between open subsets of and and therefore serve as charts for the smooth structure on . The transition functions on chart overlaps are induced by the Jacobian matrices of the associated coordinate transformation and are therefore smooth maps between open subsets of .

접선다발은 벡터다발(그 자체가 특정한 종류의 섬유다발)이라고 불리는 보다 일반적인 구조의 예다. 명시적으로, -차원 M 에 대한 접선 번들은 관련 좌표 변환의 Jacobian이 변환 기능을 제공하는 에 대한 순위 n 벡터 번들로 정의할 수 있다.

The simplest example is that of . In this case the tangent bundle is trivial: each is canonically isomorphic to via the map which subtracts , giving a diffeomorphism .

또 다른 간단한 예는 S 위의 그림 참조)이다. 원의 접선다발도 S 에 대해 사소한 것이고 이형질인 것이다 기하학적으로 이것은 무한한 높이의 원통이다.

쉽게 시각화할 수 있는 접선 번들은 실제 라인 (와) 단위 원 S 의 그것들뿐인데 둘 다 사소한 것이다. 2차원 다지관의 경우 접선 번들은 4차원이기 때문에 시각화하기가 어렵다.

비경쟁 탄젠트 번들의 간단한 예는 단위 구 : 이 탄젠트 번들은 이 많은 볼 정리의 결과로 비탄성적이다. 따라서 구형은 평행할 수 없다.

벡터 필드

다지관의 각 점에 접선 벡터를 매끄럽게 할당하는 것을 벡터장이라고 한다. 구체적으로는 다지관 의 벡터 필드가 매끄러운 맵이다.

such that with for every . In the language of fiber bundles, such a map is called a section. 따라서 의 벡터 필드는 의 접선 번들의 섹션이다

의 모든 벡터 필드 집합은 M) 로 표시되며 벡터 필드는 포인트 방식으로 함께 추가할 수 있다.

M의 매끄러운 함수로 곱하기

다른 벡터 필드를 가져오려면 모든 벡터 필드 ( M) 의 집합은 M에서 평활함수의 정류 대수학을 통해 모듈의 구조를 취하며, ( }(로 표시된다

의 로컬 벡터 필드는 접선 번들의 로컬 섹션이다. 즉, 로컬 벡터 필드는 일부 열린 집합 M 에서만 정의되며 접선 공간의 벡터 U 의 각 지점에 할당된다. 의 로컬 벡터 필드 집합은 에서 실제 벡터 공간의 으로 알려진 구조를 형성한다

위의 구조는 등각 번들에도 동일하게 적용된다. 의 차동 1-폼은 정확하게 등각 번들 Ω ∈ ( ) : M M \stylease \stylean \type\displayplaystyoneylean \down \\daystythat associate to each point a 1-covector , which map tangent vectors to real numbers: . Equivalently, a differential 1-form maps a smooth vector field to a smooth function .

고차 접선 번들

접선 번들 자체가 부드러운 다지관이기 때문에 접선 번들 구조를 반복적으로 적용하여 2차 접선 번들을 정의할 수 있다.

일반적으로 접선 번들 k T은(는) - ) 로 반복적으로 정의할 수 있다

평활도 : f은(는) 유도 파생 모델을 가지고 있으며, 이에 대한 접선 번들은 D : 마찬가지로, 고차 접선 번들은 고차 파생상품 : N D T.

뚜렷하지만 관련된 구조는 제트기로 구성된 다발인 다지기의 제트다발이다.

접선 번들의 표준 벡터 필드

다지관 자체로 간주되는모든 접선 번들 T 에서 표준 벡터 필드 : → T 화살표 을(를) 각 지점의 접선 공간에 대한 대각선 맵으로 표시하십시오. This is possible because the tangent space of a vector space W is naturally a product, since the vector space itself is flat, and thus has a natural diagonal map given by under this product structure. 이 제품 구조를 각 지점의 접선 공간에 적용하고 글로벌화하면 표준 벡터 필드가 발생한다. Informally, although the manifold is curved, each tangent space at a point , , is flat, so the tangent bundle manifold is locally a product of a curved and a fLAT . 따라서 접선 번들의 접선 번들은 로컬로 ("좌표 선택"의 경우\ 약 } 사용 "자연 식별"의 경우 사용):

지도 M → TM 첫 번째 좌표에 투영된 것이다.

첫 번째 지도를 영 단면을 통해, 두 번째 지도를 대각선으로 나누면 표준 벡터 필드가 나온다.

, ) (가) 에 대한 로컬 좌표인 경우 벡터 필드에는 식이 있다

보다간결하게 (, )(, v , , , ) (x,v)\mapsto ( – 첫 번째 좌표 쌍은 번들의 섹션이고 이것들은 단지 기본 공간에 있는 점이기 때문에 변경되지 않는다. 마지막 좌표 쌍은 섹션 자체다. 벡터 필드의 이 은 접선 방향만 자연스럽게 식별할 수 있기 때문에 v{\ 에만 의존하며 x displaystyle 에 따라 달라진다.

또는 다음과 같은 곱셈 함수를 고려하십시오.

시간 = 1 에서 변수 대한 이 함수의 파생어는 함수 V: M → T {\ V 벡터 필드의 설명인 TM오른쪽 T

에 그러한 벡터 필드가 존재한다는 것은 등각 번들표준적인 단일 형태와 유사하다. 때때로 (를) Louville 벡터 필드 또는 방사형 벡터 필드라고도 한다. (를) 사용하면 접선 번들의 특성을 지정할 수 있다. 본질적으로 은 4개의 공리를 사용하여 특성화할 수 있으며, 만일 다지관이 이러한 공리를 만족하는 벡터장을 가지고 있다면 다지관은 접선다발이고 그 위에 벡터장이 표준 벡터장이 된다. 예를 들어, De Leon et al을 참조하십시오.

승강기

There are various ways to lift objects on into objects on . For example, if is a curve in , then (the tangent of ) is a curve in 대조적으로, 예를 들어, 리만족 측정기준)에 대한 추가적인 가정이 없으면, 등골재 묶음에는 유사한 리프트가 없다.

f: → R (는) ff: M → {\ ff = f 여기서 : → M: 화살표 (는) 표준 투영법이다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Jump up to: a b 이음매 결합은 다지관 M의 두 점 x1 x2 대해 접선 공간 T1 T2 공통 벡터가 없음을 보장한다. 1 점은 S 원의 접선 다발에 대한 첨부 그림에 그래픽으로 표시되어 있다. 예제 섹션: 원의 평면에 있는 원의 모든 접선을 참조하십시오. 이들을 분리하기 위해서는 원의 평면에 수직인 평면에 이들을 정렬해야 한다.

참조

  • Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 107, Providence: American Mathematical Society volume= 추가 텍스트(도움말)가 있음. ISBN978-0-8218-4815-9
  • John M. Lee, Smooth 매니폴드 소개, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
  • 위르겐 조스트, 리만 기하학과 기하학적 분석, (2002) 베를린 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-42627-2
  • 랄프 아브라함제롤드 E. 마스덴, 기계학 재단 (1978) 벤자민-쿠밍스, 런던. ISBN 0-8053-0102-X
  • M. De Leon, E. Merino, J.A. Oubika, M. Salgado, 접선안정 접선 번들의 특성화, Anales de l'institut Henry Poincaré (A) Bittle téorique, Vol. 61, No. 1, 1994, 1-15 [1]

외부 링크