프레셰 도함수

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
${\displaystyle f(a)-f(b)=\int _{b}^{a}f'(t)\,dt}$
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능을 하는 총 컨셉트 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 L'Hôpital's rule 인버스 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분법칙 정의들 원시함수 적분(부적합) 리만 적분 레베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 에 의한 통합 부품. 디스크 원통형 포탄 치환(삼각형, 탄젠트 반각형, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 환원식 적분 기호에 따른 미분 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술-기하학적) 고조파 교대 힘 이항 테일러 수렴시험 합산한도(임기시험) 비율 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린즈 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센어
고급. 유클리드 공간에 관한 미적분학 일반화 함수 배점한계
전문화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 프리칼큘러스 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준해석
v t

수학에서 프레셰 도함수(Fréchet derival)는 정규 공간에 정의된 도함수입니다. 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)의 이름을 따서 명명된 이 방법은 일반적으로 단일 실수 변수의 실수 값 함수의 도함수를 여러 실수 변수의 벡터 값 함수의 경우로 일반화하고, 변동의 미적분학에서 널리 사용되는 함수적 도함수를 정의하는 데 사용됩니다.

일반적으로, 그것은 하나의 실제 변수의 실수 값 함수에서 정규 공간의 함수로 도함수의 개념을 확장합니다. 프레셰 도함수는 고전적인 방향 도함수의 일반화인 보다 일반적인 Gateaux 도함수와 대조되어야 합니다.

프레셰 도함수는 수학적 분석과 물리학 전반에 걸쳐 비선형 문제에 적용되며, 특히 변동의 미적분학과 비선형 해석 및 비선형 함수 해석의 많은 부분에 적용됩니다.

정의.

Let ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ be normed vector spaces, and ${\displaystyle U\subseteq V}$ be an open subset of ${\displaystyle V.}$ A function ${\displaystyle f:$유계 선형${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ A: $V$$→$ W ${\displaystyle$ A:가 존재하는 경우, $U\to W}$를 ${\displaystyle x}$ $∈$ U {\$displaystyle$ x\in U}에서 Féchet 미분 가능이라고 합니다.$다음과$$$같이 V$\to$ W}.

여기서 한계는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$와 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$를 두 메트릭 공간으로$$ 사용하고 위 식을 $V$의 인수 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 함수로 사용하여 메트릭 공간에 정의된 함수의 한계를 일반적으로 의미합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle V.}$ 결과적으로 영벡터 h$$n → 0으로 수렴하는 V {\displaystyle V}의 0이 아닌 ${\displaystyle {요소}_{}^{}}$인 모든 시$퀀$스 ${\displaystyle {}_{}}$ h$$n ⟩$$$n$=$$1 ∞${\displaystyl$$e \l$ang h_{n}\rangle $_${n=1}^{\infty }에 대해 존재해야 합니다. {\displaystyle h_{n}\to 0.} 이와 동등하게 1차 확장은 다음과 같이 유지됩니다. 란다우 표기법으로

그러한 연산자 $A$가 존재하는 경우${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ A$,}$는 고유하므로 ${\displaystyle \mathrm{Df}}$(${\displaystyle x)}$ = A ${\displaystyle$Df(x) =$A}$이고 $x$에서 f ${\displaystyle f}$의 프레셰 도함수라고 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x.}$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 임의의 점에 대해 프레셰 미분 가능한$$ $함수$ f ${\displaystyle f}$는 함수가 C라고¹ 합니다$$.

$$입니다(B(${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W)}$ ${\displaystyle$ B$(V,$ W$)}$는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$까지의 모든 유계 선형 연산자의 공간을 나타냅니다$$.$$ 이것은 맵 ${\displaystyle \mathrm{Df}(x):}$ ${\displaystyle V}$ → W ${\display Df(x):$$V{\displaystyle }$$\to W}$은(는)$$x {\$displaystyle x}$의 각 값에 대해 연속입니다$$($$유계 및 연속은 동일함을 가정함).

$R$ {\$displaystyle \mathbb {R}$에서 R ${\displaystyle \mathbb {R}$까지의 선형 맵은 단지 실수에 의한 곱이기 때문에 이 도함수의 개념은 ${\displaystyle 실수}$ f:${\displaystyle }R$ → ${\displaystyle R}$ {\$displaystyle$ $f:\mathbb {R}$\ $to \mathbb {R}$에 대한 함수의 일반화입니다. 이 경우 ${\displaystyle \mathrm{Df}(x)}$ ${\displaystyle Df(x)}$는 함수 ${\displaystyle t}$ ↦${\displaystyle }$f'(${\displaystyle x}$) $t$. ${\displaystyle t\mapsstof$f'(x)t.}입니다.

특성.

한 점에서 미분 가능한 함수는 그 점에서 연속적입니다.

미분은 다음과 같은 의미에서 선형 연산입니다. $만약$ f$${\$displaystyle$ f$}$와 g$${\$displaystyle$ g$}$가 x에서 미분 가능한 두 개의 맵 $V$ → ${\displaystyle W}$ {\$displaystyle$V\$to$ W$}$이고${\displaystyle ,}$ $c$ ${\displaystyle$ $c$$}$가 스칼라(실수 또는 복소수)이고, 그러면 프레셰 도함수는 다음과 같은 성질을 따릅니다.

$체인$ 규칙은 이 맥락에서도 유효합니다. f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$ → Y {\$displaystyle$ f$:$$U\to Y}$은(는) ${\displaystyle x}$ $∈$ U, ${\displaystyle$x\in $U{\displaystyle ,\}}$ ${\displaystyle 및}$ g: $Y$$→$ W {\$displaystyle$ g:$Y\to W}$은(는)${\displaystyle y}$ $=$ f$$(x ), {\$displaystyle$ y $=$ f (x),}에서 미분할 수 있고, x {\displaystyle g\circ f}는 x {\displaystyle x}에서 미분할 수 있고, 도함수는 도함수의 조성입니다.

유한 차원

유한 차원 공간에서의 프레셰 도함수는 일반적인 도함수입니다. 특히 야코비안 행렬로 좌표로 표현됩니다.

$f$ ${\displaystyle f}$가 지도, f :${\displaystyle {}^{}}$ ⊆ ${\displaystyle R}$ n → $Rm$ {\displaystyle f:$U{\displaystyle }$$\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ U ${\display U}$가 열린$$ 집합입니다. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$가 ∈ $U$, ${\displaystyle$a\in U,} 지점에서 Fréchet 미분 가능한 경우, 그 도함수는

$여기$서 ${\displaystyle {Jf}_{}}$(${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle J_{f}(a)}$는 $a{\displaystyle .}${\$displaystyle a.}$에서 f ${\displaystyle f}$의 자코비안 행렬을 나타냅니다$$.

또한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 편미분은 다음과 같이 주어집니다$$.

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle {ei}_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {}^{}}$의 정준 기저입니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{n}}$ 도함수는 선형$$ 함수이므로, 우리는 $모든$ 벡터 $h$∈ $Rn {\displaystyle h\in \mathbb${R} ^{n}}에 대해 ${\displaystyle$ $h$}를$$따라 f {\$displaystyle$ f}의 방향$도함수$가 다음과 같이 주어집니다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 모든 편미분이 존재하고$$ 연속인 경우$,$ f {\$displaystyle$ f$}$는 Féchet 미분 가능(사실상¹ C)입니다$$. 그 반대는 참이 아닙니다. 함수

Fréchet 미분이 가능하지만${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0)}$에서 연속적인 편미분을 갖지 못합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (0, 0)}$

무한 차원의 예제

무한 차원에서 가장 단순한(비소적인) 예 중 하나는 도메인이 힐베르트 공간($H {\displaystyle$ H$\})$이고 관심 함수가 표준인 경우입니다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$‖ ⋅ ‖: $H$ → R . {\displaystyle \,\cdot \,\:H\ to \mathbb ${$R}.}을(를) 고려합니다.

$먼저$ $x가$≠ 0이라고 가정합니다. {\$displaystyle$ x\n$eq 0.}$ 그런 다음 x {\$displaystyle$ x$}$에서$$$‖ ⋅ ‖$ ${\displaystyle$ \$cdot$\ }의 프레셰 도함수는 다음에 의해 정의된 선형${\displaystyle }함수$ D$,$ {\$displaystyle$D,}라고 주장합니다.

실제로.

표준 및 내부 제품의 연속성을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.

‖${\displaystyle h}$ ‖ → $0$, ⟨ x, h ⟩ → 0 {\displaystyle \ h\ to 0,\langle x, h\rangle \ to 0}이며 코시-슈바르츠 부등식 때문에

‖$x$ ‖ ${\$displaystyle \ ${\displaystyle x}$\}로 경계가 지정되므로 전체 한계가 사라집니다.

$이제$ x = ${\$displaystyle x = 0}에서 정규 함수가 $미분$할 수 없음을 보여줍니다. $즉$, 문제의 한계가 0이 되도록 경계화된 선형 함수 D {\displaystyle D}가 존재하지 않습니다. {\displaystyle 0.} D {\displaystyle D}가 임의의 선형 함수라고 가정합니다. Riesz 표현 정리는 $D$ ${\displaystyle$ D$}$가 $일부$H$$∈에$$대해 ${\displaystyle \mathrm{Dv}}$ = ⟨ a$,$ v ⟩ {\displaystyle $Dv$=$\$langle a,v\${\displaystyle rangle}$ }로 정의될 수 있음을 알려줍니다$.$ {\displaystyle a\in H.} 고려 사항

$표준$을$$0 {\$displaystyle$ 0$}$에서 구별할 수 있으려면 다음을$$ 수행해야 합니다.

이것이 $어떤$ a에 대해서도 성립하지 않는다는 것을 보여줍니다$.$ {\$displaystyle$ a$.}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ = 0 ${\$$displaystyle$ a=0$}$ $분명히$ A (h) = 1 {\displaystyle A(h) = 1} 이 h, {\displaystyle h,}와 독립적이라면 이것은 도함수가 아닙니다. ≠$0$을 $가정$하자. ${\displaystyle$ a\n$eq 0.}$ If we take ${\displaystyle h}$ tending to zero in the direction of ${\displaystyle -a}$ (that is, ${\displaystyle h=t\cdot (-a),}$ where ${\displaystyle t\to 0^{+}}$) then ${\displaystyle A(h)=$ 1+\ a\ >1> 0,} 따라서

$({\displaystyle a}$ $방향$으로 $0인$h {\$displaystyle$h}를 취하면 ${\displaystyle 이}$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 1 - ‖의 ‖ {\displaystyle 1-\ a\}를 얻을 수 있으므로 이 한계가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

방금 얻은 결과는 유한 차원의 결과와 일치합니다.

Gateaux 도함수와의 관계

A $함수$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ⊆ $V$→ W {\$displaystyle$ f:$f {\displaystyle$ f}가$x$에서 모든${\displaystyle }방향$을 따라 방향 도함수를 갖는 경우 U$\subseteq V\to$ W$}$를 $x$$∈$ U ${\displaystyle$ x\$in$ U$}$에서 Gateaux 미분 가능이라고 합니다. {\$displaystyle$ x$.}$$$ 이는 함수 $g{\displaystyle :}$ ${\displaystyle V}$ → W {\$displaystyle$ g$:$$다음과$$$같이 V$\to$ W}.

선택한 벡터 ${\displaystyle h}$ ∈ V, ${\displaystyle$h\in V,}에 대해$,$ $여기서 t$ {\displaystyle t$}는$V${\$displaystyle V}와 관련된 스칼라 필드에서 $(일반적으로$t${\$displaystyle t}는 실제).

$f$ ${\displaystyle$ f$}$가 $x$에서 Féchet 미분 가능한 경우${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ x$,}$ 또한 Gateaux 미분 가능하며, $g$ ${\displaystyle$ g$}$는 선형 $연산자$ A = ${\displaystyle \mathrm{Df}}$ ${\displaystyle (x}$)일 뿐입니다$.$ {\displaystyle A = $Df(x)}$

그러나 모든 Gateaux 미분 가능 함수가 Fréchet 미분 가능한 것은 아닙니다. 이는 한 점에 모든 방향 도함수가 존재한다고 해서 그 점에서 완전한 미분가능성(또는 연속성)이 보장되지 않는 것과 유사합니다. 예를 들어, 다음과 같이 정의된 두 개의 실수 변수의$$ 실수 값 $함수$ f ${\displaystyle$ f$}$

는 연속적이고 Gateaux는 원점$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle(0,$ 0$)}$에서 미분 가능하며$,$ 원점에서의 도함수는 다음과 같습니다.

함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 선형 연산자가 아니므로$$ 이 함수는 Fréchet 미분할 수 없습니다.

More generally, any function of the form ${\displaystyle f(x,y)=g(r)h(\phi ),}$ where ${\displaystyle r}$ and ${\displaystyle \phi }$ are the polar coordinates of ${\displaystyle (x,y),}$ is continuous and Gateaux differentiable at ${\displaystyle (0,$$0)}$ if ${\displaystyle g}$ is differentiable at ${\displaystyle 0}$ and ${\displaystyle h(\phi +\pi )=-h(\phi ),}$ but the Gateaux derivative is only linear and the Fréchet derivative only exists if ${\displaystyle h}$ is sinusoidal.

다른 상황에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$ 함수가$$ 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \mathrm{Gateaux}}$는${\displaystyle }$(0, 0), $displaystyle$ ($0, 0)$에서 미분 ${\displaystyle \mathrm{가능}}$하며, 선형 연산자인 모든 ($a$, b), {\displaystyle (a, b)=0}에 대한 도함수는 $g{\displaystyle (a,}$ ${\displaystyle b)}$ = ${\$displaystyle g$(a,$ b) = 0}입니다. 그러나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (0,$ 0$)}$에서 연속적이지$$ $($곡선을 따라 원점에 접근하면 ${\displaystyle {}^{}}$ 수 있습니다$.$ (t, t 3) {\$displaystyle$ \left(t, t$^{3}\right$ 따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$는 원점에서 Fréchet 미분할 수 없습니다$$.

더 미묘한 예는

이 함수는$$(${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle (0,$ 0$)$에서 Gateaux 미분 가능한 연속 함수이며, 이 시점에서 도함수는 $g{\displaystyle (a}$,${\displaystyle }$b) =${\displaystyle 0}${\displaystyle g(a, b) = 0}이며, 이는 다시 선형입니다. 그러나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$는 Fréchet 미분이 불가능합니다$$. 이 경우, Féchet 도함수는 Gateaux 도함수와 일치하며, 따라서 영 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ A =$$0 {\$displaystyle$ A = 0$}$이 됩니다$.$ 따라서 한계 ${\displaystyle 곡선}$(${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}},{\displaystyle }$ t 2${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을 따라 원점에 접근하면 이 한계가 존재하지 않음을$$ 알 수 있습니다.

이러한 경우는 Gateaux 도함수의 정의가 다른 방향에 대한 수렴 속도에 대한 요구 사항을 만들지 않고 차이 지수가 각 방향을 따라 개별적으로 수렴하기만 하면 되기 때문에 발생할 수 있습니다. 따라서 주어진 ε의 경우 각 방향에 대해 차이 지수가 주어진 점의 일부 인접 영역에서 한계의 ε 이내에 있지만 이러한 인접 영역은 다른 방향에 따라 다를 수 있으며 이러한 인접 영역이 임의로 작아지는 일련의 방향이 있을 수 있습니다. 이러한 방향을 따라 일련의 점을 선택하면 모든 방향을 동시에 고려하는 프레셰 도함수의 정의에 있는 몫이 수렴되지 않을 수 있습니다. 따라서 선형 Gateaux 도함수가 Fréchet 도함수의 존재를 암시하기 위해서는 차이 지수가 모든 방향에 대해 균일하게 수렴해야 합니다.

다음 예제는 무한 차원에서만 작동합니다. $X$ ${\displaystyle X}$를 바나흐 공간으로 하고$$φ ${\displaystyle$\varphi}를 X = 0 {\$displaystyle$ x = 0}(불연속 선형 함수)에서 $불연속$인 X ${\displaystyle$ X}의 선형$함수$라고 가정합니다. 허락하다

$그러면$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$(x)}$는 도함수가 $0인$ x = ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle x = 0$}$에서 Gateaux 미분 가능합니다. {\displaystyle 0.} 그러나 f ( x ) {\displaystyle f(x)}는 한계가 있으므로 Fréchet 미분 가능하지 않습니다.

존재하지 않습니다.

상위 도함수

$f$ ${\displaystyle U}$ → W {\$displaystyle$ f$:$$U\to$ W$}$은(는) $V{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ V$,}$의 열린 부분집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 모든 점에서 미분 가능한 함수이며, 다음은$$ 도함수입니다.

is a function from ${\displaystyle U}$ to the space ${\displaystyle L(V,W)}$ of all bounded linear operators from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W.}$ This function may also have a derivative, the second order derivative of ${\displaystyle f,}$ which, by the definition of derivative, 지도가 될 것입니다.

To make it easier to work with second-order derivatives, the space on the right-hand side is identified with the Banach space ${\displaystyle L^{2}(V\times V,W)}$ of all continuous bilinear maps from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W.}$ An element ${\displaystyle \varphi }$ in ${\displaystyle L(V,}$${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ L${\displaystyle (V,}$ W${\displaystyle }$)$$${\$$displaystyle L(V,L(V,W))}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{L2}(V}$× V$,W$) ${\displaystyle$L^{2}($V\times$ V,W)}의${\displaystyle }$$ψ$ {\displaystyle \${\displaystyle {psi}^{}}$}과(는) 동일하므로 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ x${\displaystyle ,}$ y${\displaystyle }$∈ $V$ x,y\in V,}

(Intuitively: a function ${\displaystyle \varphi }$ linear in ${\displaystyle x}$ with ${\displaystyle \varphi (x)}$ linear in ${\displaystyle y}$ is the same as a bilinear function ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$).

하나는 구별할 수 있습니다.

다시, 각 점에서 삼차 지도가 되는 3차 도함수를 구하는 것 등입니다. $그러면{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$번째$$ 도함수는 함수가 됩니다. $V{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle V}$에서 $W{\displaystyle .}${\$displaystyle W.}$까지의 n$${\$displaystyle$ n$}$ 인수에 있는 연속 다중 선형 맵의 바나흐 공간에서 값을 가져옵니다. a function ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle n+1}$ times differentiable on ${\displaystyle U}$ if it is ${\displaystyle n}$ times differentiable on ${\displaystyle U}$ and for each ${\displaystyle x\in U}$ there exists a continuous multilinear map ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle n+}$$1 {\displaystyle$ n$+1}$ 인수로$$ 제한됨 exists uniformly for ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}}$ in bounded sets in ${\displaystyle V.}$ In that case, ${\displaystyle A}$ is the ${\displaystyle (n+1)}$st derivative of ${\displaystyle f}$ at ${\displaystyle x.}$

Moreover, we may obviously identify a member of the space ${\displaystyle L^{n}\left(V\times V\times \cdots \times V,W\right)}$ with a linear map ${\displaystyle L\left(\bigotimes _{j=1}^{n}V_{j},W\right)}$ through the identification ${\displaystyle f(x_1,x_2,\dots }$${\displaystyle ,x}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= f$$($x$ 1${\displaystyle }$⊗ x 2${\displaystyle \otimes \; \cdots }$⊗ x n ), {\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2},\ldots,x_{n}\right)${\displaystyle }$= f\left(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdotes \otimes x_{n}\right), 따라서 도함수를 선형 맵으로 봅니다.

부분 프레셰 도함수

이 섹션에서는 $형태$의 ${\displaystyle {}^{}}$에 대해 정의되는 일반적인 편미분 개념을 R n → R,${\displaystyle }${\$displaystyle$ f$:\mathbb {R} ^{n}\에서 \mathbb {R},}$로 도메인과 대상 공간이 임의의 (실제 또는 복잡한) 바나흐 공간인 함수로 확장합니다. To do this, let ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ and ${\displaystyle W}$ be Banach spaces (over the same field of scalars), and let ${\textstyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}$ be a given function, and fix a point $a=(a_1,\dots ,$${\textstyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}V_{i}.}$ We say that ${\displaystyle f}$ has an i-th partial differential at the point ${\displaystyle a}$ if the function ${\displaystyle \varphi _{i}:$$정의된$$V_{i$}\$to$ W$}$

féchet은 a {\$displaystyle$ a_${i}}($위에서 설명한 의미) ${\displaystyle {지점}_{}}$에서 미분 가능합니다$.$ ${\displaystyle {이}_{}}$ 경우${\displaystyle }$(a) ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ φ i (a i),${\displaystyle }${\$displaystyle \$partial _{i}f(a${\displaystyle ):}$$=D\varphi$ _${i}(a_{i}),},$ 만약 (a) {\$displaystyle$ \$partial$$$_{i}f(a)} 이$$a$지점$에서${\displaystyle }f$ ${\displaystyle$ f}의 i번째 부분$도함수$라면 $∂$를 a.$${\$displaystyle$ a.$}$ It is important to note that ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ is a linear transformation from ${\displaystyle V_{i}}$ into ${\displaystyle W.}$ Heuristically, if ${\displaystyle f}$ has an i-th partial differential at ${\displaystyle a,$$}$그런 다음 ($a$)$${\$displaystyle$\$partial$ _{i}f(a)}가 j$$$≠$$i$$,$ {\displaystyle j\n에 대한 모든$항목$을 j${\displaystyle }${\$displaystyle$ a_{j}로$$고정할 때 함수 f {\$displaystyle{\displaystyle }$f}의 변화에 선형적으로 근사하는지 $∂$$합니다$.$eq,}$이고 i번째 항목만 변경합니다. 우리는 이것을 란다우 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

위상 벡터 공간으로의 일반화

Fréchet 도함수의 개념은 임의의 위상 벡터 공간($TVS$)$$X {\$displaystyle$X${\displaystyle \}}$ 및 $Y$로 일반화될 수 $있습니다$$.$ {\$displaystyle$Y.}$$U {\$displaystyle$ U$}$를 $원점$을 포함하고 함수 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$→ Y {\$displaystyle$ f$:$${\displaystyle \mathrm{F}(}$0)$=$ ${\$displaystyle f(0) $=$ 0,}와 같은 U$\to$Y}는 먼저 이 함수가 0을 도함수로 갖는 것이 무엇을 의미하는지 정의합니다. $모든$ 열린 이웃 ${\displaystyle 0}$, W$$⊆ Y {\$displaystyle$ $W\$subseteq Y}에 대하여 열린 이웃 0${\displaystyle ,}$ V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X}가 존재하고 함수 o: R → R {\displaystyle o:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \에 접한다고 $합니다.$

원점의 일부 이웃에 있는 $모든$ ${\displaystyle$ t$}$에 ${\displaystyle \mathrm{대하여}}$, $f$ ${\displaystyle (t}$V)${\displaystyle }$⊆${\displaystyle o}$ ( t ) $W$ . ${\displaystyle$f ($tV)\subseteqo$ (t) W.}

We can now remove the constraint that ${\displaystyle f(0)=0}$ by defining ${\displaystyle f}$ to be Fréchet differentiable at a point ${\displaystyle x_{0}\in U}$ if there exists a continuous linear operator ${\displaystyle \lambda :X\to Y}$ such that ${\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0}$${\displaystyle )}$ -$h$의${\displaystyle }함수$로 간주되는$$ h$,$ {\$displaystyle$ f$(x_{$0}+h)-f($x_{$0})-\lambda h,}는 0에 접선입니다. (Lang p. 6 )

프레셰 도함수가 존재하는 경우 고유합니다. 또한 Gateaux 도함수도 존재해야 하며 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $v$∈ X에 대해 {\$displaystyle$ v\in X,}라는 점에서 Féchet 도함수와 같아야 합니다.

여기서 $f{\displaystyle {}^{}\text{'}({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})}$는 프레셰 도함수입니다. 한 점에서 프레셰 미분 가능한 함수는 반드시 그곳에서 연속적이고 프레셰 미분 가능 함수의 합과 스칼라 배수는 미분 가능하므로 한 점에서 프레셰 미분 가능한 함수의 공간은 그 점에서 연속적인 함수의 부분 공간을 형성합니다. $또한{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$가 대수이고 곱셈이 연속적인 TVS일 때도 라이프니츠 규칙이 유지됩니다.

참고 항목

• 방향 도함수 – 함수의 순간 변화율
• 도함수의 일반화 – 미분적분학의 기초적 구성
• 그라데이션 #Fréchet 도함수 – 다변량 도함수(수학)
• 무한차원 홀로모피
• 무한 차원 벡터 함수 – 값이 무한 차원 벡터 공간에 있는 함수 위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 도함수의 총합 – 수학에서 도함수의 종류

메모들

참고문헌

• Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel, Paris: Hermann, MR 0223194.
• Dieudonné, Jean (1969), Foundations of modern analysis, Boston, MA: Academic Press, MR 0349288.
• Lang, Serge (1995), Differential and Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-94338-2.
• Munkres, James R. (1991), Analysis on manifolds, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51035-5, MR 1079066.
• Previato, Emma, ed. (2003), Dictionary of applied math for engineers and scientists, Comprehensive Dictionary of Mathematics, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-053-0, MR 1966695.
• Coleman, Rodney, ed. (2012), Calculus on Normed Vector Spaces, Universitext, Springer, ISBN 978-1-4614-3894-6.

외부 링크

• B. A. Frigyik, S. Srivastava 및 M. R. Gupta, 기능성 파생 제품 소개, UWEE Tech Report 2008-0001.
• http://www.probability.net . 이 웹페이지는 대부분 기본 확률과 측도 이론에 관한 것이지만 바나흐 공간의 프레셰 도함수에 관한 좋은 장이 있습니다(야코비안 공식에 관한 장). 모든 결과는 증명과 함께 제공됩니다.