서브매니폴드

수학에서 다지관 M의 하위 관리형은 그 자체가 다지관의 구조를 가지며, 포함 지도 S → M이 특정 특성을 만족하는 부분집합 S이다.정확히 어떤 성질이 필요한가에 따라 다른 종류의 서브매니폴드가 있다.작가마다 정의가 다른 경우가 많다.null

형식 정의

다음에서 우리는 모든 다지관이 고정된 r ≥ 1에 대해^r C 등급의 다지관이며, 모든 형태는 C 등급의^r 다지관이라고 가정한다.null

잠근 서브매니폴즈

다지관 M의 담금질 서브매니폴드는 몰입도 f : N → M의 이미지 S이다. 일반적으로 이 이미지는 하위 집합으로서 서브매니폴드가 되지 않을 것이며, 몰입도 맵은 주입(일대일)될 필요도 없다 – 그것은 자기 교차점을 가질 수 있다.^[1]null

보다 좁게 보면, 지도 f : N → M이 주사(일대일)이 되도록 요구할 수 있는데, 여기서 우리는 이것을 주입침입이라고 부르고, S는 다지관이고 포함 f는 차이점형이라는 위상 및 미분 구조와 함께 영상 부분집합 S로 정의한다: 이것은 단지 Ge에서 N에 대한 위상일 뿐이다.neral은 부분집합 위상에 동의하지 않을 것이다: 일반적으로 부분집합 S는 부분집합 위상에서 M의 하위 관리 대상이 아니다.null

주입식 몰입 f : N → M에서 N의 이미지는 f : N → f(N)이 차이점형성이 되도록 잠근 하위 매니폴드의 구조를 고유하게 부여할 수 있다.그것은 몰입된 서브매니폴드가 정확히 주입된 몰입의 이미지라는 것을 따른다.null

잠근 서브매니폴드의 하위 매니폴드 위상은 M에서 상속된 상대적 위상이 될 필요는 없다.일반적으로 서브 스페이스 토폴로지(즉, 오픈 세트가 더 많음)보다 미세할 것이다.null

Lie 하위집단이 자연적으로 잠식되는 Lie groups 이론에서 잠식 서브매니폴드가 발생한다.그것들은 또한 물에 잠긴 서브매니폴드가 프로베니우스 정리를 증명할 수 있는 올바른 맥락을 제공하는 엽문 연구에도 등장한다.null

임베디드 서브매니폴즈

임베디드 서브매니폴드(일반 서브매니폴드라고도 함)는 잠입된 서브매니폴드로서, 포함 지도가 위상학적 임베디드인 것이다.즉, S의 서브매니폴드 위상은 서브 스페이스 위상과 동일하다.null

M에서 다지관 N의 임베딩 f : N → M을 고려할 때 영상 f(N)은 임베디드 서브매니폴드의 구조를 자연스럽게 가지고 있다.즉, 임베디드 서브매니폴드는 정확히 임베딩의 이미지들이다.null

종종 유용한 내재된 하위매니폴드의 본질적인 정의가 있다.Let M be an n-dimensional manifold, and let k be an integer such that 0 ≤ k ≤ n. A k-dimensional embedded submanifold of M is a subset S ⊂ M such that for every point p ∈ S there exists a chart (U ⊂ M, φ : U → Rⁿ) containing p such that φ(S ∩ U) is the intersection of a k-dimensional plane with φ(U).쌍(S ∩ U, φ )은 S의 미분 구조물에 대한 지도책을 형성한다.

알렉산더의 정리나 요르단-천파리의 정리는 매끄러운 임베딩의 좋은 예다.null

기타변동

문헌에 사용된 서브매니폴드의 다른 변형들이 있다.깔끔한 서브매니폴드는 경계선이 전체 다지관의 경계와 일치하는 다지관을 말한다.^[2]샤프(1997)는 임베디드 서브매니폴드와 몰입형 서브매니폴드 사이에 있는 서브매니폴드의 유형을 정의한다.null

많은 저자들이 위상학적 하위 매너폴드를 정의하기도 한다.이것들은^r r = 0을 가진 C 서브매니폴드와 동일하다.^[3]내장형 위상학적 하위관리본은 내장형을 확장하는 각 지점에 로컬 차트가 존재한다는 의미에서 반드시 정규적인 것은 아니다.백배는 야생 호와 야생 매듭을 포함한다.null

특성.

M의 어떤 잠근 하위매니폴드 S를 고려할 때, S에서 p 지점까지의 접선 공간은 당연히 M에서 p 지점까지의 접선 공간의 선형 하위 공간이라고 생각할 수 있다.이는 편입지도가 몰입도가 되어 주사제를 제공한다는 사실에서 따온 것이다.

${\displaystyle i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.}$

S가 M의 담금질 하위관리본이라고 가정한다. 포함지도 i : S → M이 닫히면 S는 실제로 M의 내장형 하위관리본이다. 반대로 S가 또한 폐쇄형 하위집합인 내장형 하위관리본이라면 포함지도는 닫힌다.포함 지도 i : S → M은 적절한 지도인 경우에만(즉, 콤팩트 세트의 역영상이 콤팩트한 경우에만 닫힌다.만약 내가 닫히면 S는 M. Closed embedded submanifold of M. Closed embedded submanifold라고 불리며 가장 좋은 등급의 서브매니폴드를 형성한다.null

실제 좌표 공간의 서브매니폴즈

부드러운 다지관은 때때로 일부 n에 대해 실제 좌표 공간 R의ⁿ 내장형 하위매니폴드로 정의된다.이러한 관점은 휘트니 임베딩 정리에 의해 어떤 2차 카운트 가능한 매끄러운 (추상적인) m-매니폴드도 R에^2m 매끄럽게 내장될 수 있기 때문에 통상적이고 추상적인 접근법과 동등하다.

메모들

참조

• Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Géométrie différentielle et systèmes extérieurs. Paris: Dunod.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3.