유클리드 공간과의 미분 가능한 벡터 값 함수

함수해석학에서, 유클리드 공간으로부터의 미분 가능한 벡터 값 함수는 도메인이 유한 차원 유클리드 공간의 부분 집합인 위상 벡터 공간(TVS)에서 가치 있는 미분 가능한 함수이다.도메인 및 코도메인이 임의의 위상 벡터 공간(TVS)의 서브셋인 함수에 대한 미분 개념을 여러 가지 방법으로 일반화할 수 있습니다.그러나 TVS 값 함수의 영역이 유한 차원 유클리드 공간의 부분 집합일 때, 이러한 개념의 많은 부분이 논리적으로 동등해지고, 결과적으로 도함수의 일반화의 수가 훨씬 제한되며, 추가적으로, 미분 가능성 또한 일반적인 경우에 비해 더 잘 동작한다.이 기사는 k의{k\displaystyle}차별화 사이의 중요한 특별한 경우 유클리드 공간 Rn{\displaystyle \mathbb{R}^{n}}(1≤ n<>∞{\displaystyle 1\leq n<,\infty}), 열려 있는 부분 집합 Ω{\displaystyle \Omega}에 연속 미분 가능 기능 -times 그 이론을 제시한다.매매 차액을 노리는 거래자임의 TV이러한 중요성은 부분적으로 하우스도르프 위상 벡터 공간의 모든 유한 차원 벡터 부분 공간이 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {R} ^{n}$과(와) 동일하다는 사실에서 기인한다. 따라서, 예를 들어, 이 특수 케이스는 임의의 하우스도르프 TVS의 도메인을 제한함으로써 모든 함수에 적용될 수 있다. 유한 차원 벡터 서브스페이스로 이동합니다.

모든 벡터 공간은 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ F$,$ \$displaystyle \mathbb {F}$ 위에$$ 있는 것으로 간주됩니다.$여기$서$$F {\$displaystyle$ \$mathbb$ {F$}$는 $실수{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathbb$${R$$}}$ 또는$$ $복소수{\displaystyle \mathbb{}}$C$.\displaystyle$ \$mathbb$ {C$}$ 중 하나입니다.

연속 미분 가능한 벡터 값 함수

2개의 토폴로지 공간 사이에${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ ( 0${\displaystyle {}^{}}$)$$, {\$displaystyle$ f$^{(0)}$로 표시될 $수$도 있는 맵${\displaystyle }$f$$, {\$displaystyle$ f^{0}는$$연속적으로 0(\$displaystyle 0)$ - times continuous display c$^{0$}이라고 $합니다{\displaystyle {}^{}}$.위상 매립은 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0$(\$ C$^{0})$ - 매립이라고도 합니다.

곡선

미분 가능한 곡선은 특히 게이트 도함수의 정의에 사용되는 미분 가능한 벡터 값(TV 값) 함수의 중요한 특수한 경우이다.두 임의 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle$ X$\to$ Y$)$ 사이의$$ 지도 분석 및 이 기사의 초점인 유클리드 공간의 TV 값 지도 분석에 기초한다.

연속 $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle$ f$:$위상 벡터 $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$에서 값이 매겨진 $displaystyle$ I$\subseteq \mathbb {R})$로부터의$I$에서 X$($$X$)는$$ $모든{\displaystyle \mathrm{t-I}}$에 대해 $($$1회{\displaystyle \mathrm{}}$ $또는$$1회$${\displaystyle )}$$$$미분가능$하다고 합니다$.$X$(\displaystyle$ X$)$에 다음 제한이 있음을 의미합니다.

이 한계를 잘 정의하려면$$t {\$displaystyle$ t$}$가${\displaystyle }$${\displaystyle I}$의 $누적{\displaystyle }$ 지점이어야 합니다$.$ $f{\displaystyle }$: I ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$I\to$X는$$ 미분가능하다고 하며, $유도맵{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ f (1)인 경우$$C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle C^{1$} : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ X$$, \$displaystyle f$^{\prime } =$f^{1$} $:$$I/To$ X$,}$은(는) 연속적입니다.1< N$,$ ${\displaystyle$ 1$\in \mathbb {N}$에 대한 유도를 사용하여 $지도{\displaystyle f}$ : I ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$I\to$X는$$ $(\style$ k$)$배 연속 미분 가능 $또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle K^{}}$$(\$의 경우 C${\displaystyle {}^{}}$k${\displaystyle {}^{}{\mathrm{displaystyle}}^{}}$ C$^{k}):$ I ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$^{k-1}):$$I\to$X는$$ 연속적으로 미분할 수 있습니다.여기서$$f {\$displaystyle$ f$}$의 k ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ $-$ text${th}$ - f $displaystyle$ f}의 역수는 ${\displaystyle \mathrm{지도}{}^{}}$f (${\displaystyle k^{}}$ ) : ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {k^{}}^{}}$- 1)$:$ : I$→$ . \ = \ $left$ ( f$^$ { k - 1${\displaystyle {{}^{}}^{}}$} \ prime $right$ : 。$I.To$ X$.$ K.$.\$$displaystyle$ k$.\in$\mathbb {N}, k${\displaystyle .\backslash }$$displaystyle$ K$^{\$$in$$\$$in\mathbb$ {$N$$}$에 $대해{\displaystyle }$ k.\$displaystyle$$$k\in\in\mathbbbb {N}의$$각 $정수{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해 연속적으로 미분 가능한 경우 매끄러운 $,,$ {\$displaystyle$ C^{\in}, {\in}, {\in$}$이라고 합니다.$k{\displaystyle }$-$$ { $display$k -$$1 } - times$$ continuous differentible ${\displaystyle {\mathrm{and}}^{}}$f${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{k}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ) : ${\displaystyle I}$ $→$ X { \ $display style$ f^ { ( k -$$1 ) :$I/To$X는$$ 미분 가능합니다.

연속 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$f :$공백$이 아닌 비퇴화 $구간{\displaystyle }$ I${\displaystyle r\mathbb{}}$ R$${\$displaystyle$ I$\subseteq \mathbb {R} }$에서 $위상{\displaystyle }$ $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$X)로의$$ I$\to$X는$$ 곡선 또는 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0$(\$ C$^0})$ 곡선은 X$(\$$displaystyle$ X$)$의 경로입니다$.$e 도메인은 콤팩트하지만 X$(\displaystyle$X)의 호 또는 C-arc는⁰ X$(\display style$ X$)$의 경로이며 토폴로지 매립이기도 합니다.$임의$의 k${\displaystyle 1}$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle \dots ,}$ $},$ {\$displaystyle$ k$\in \1,2,\ldots,\infty \}$에 대해 $곡선{\displaystyle f}$ : I ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$위상 벡터 $공간{\displaystyle }$X({$displaystyle$X})에서$$$$ 값이$$매겨진$I$를 C$$({$displaystyle$ C$^{$$k$})라고 하고${\displaystyle ,}$ T마다 $f{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ f$^{\prime$}($t)\$${\displaystyle \mathrm{neq})}$이 $되도록{\displaystyle {}^{}}$ C$$k(\$displaystyle C^{$k$$}) $곡선$이라고 $한다$.는 C$$$(\$ C$^{k})$ - arc라고 불리며, 또한 ${\displaystyle C^{}}$ k(\$displaystyle$ C$^{0}$ - arc$$)가 C ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$(\$displaystyle$ C$^{k}$ - embedding$$)인 경우에도 마찬가지입니다.

유클리드 공간의 미분 가능성

곡선에 대해 위에서 주어진 정의는 이제$R의$$부분{\displaystyle \mathbb{}}$ 집합에서 정의된 $함수$에서 유한 차원 유클리드$$공간의 열린 부분 집합에서 정의된 함수로 확장되었다$.$

$\delta {\displaystyle \mathrm{}}${$displaystyle \Omega}$는 R ${\displaystyle {}^{}}${$displaystyle \mathbb {R}^{n}$의 오픈 서브셋으로 합니다.$여기$서 n${\displaystyle 1}$1 { $displaystyle$ n$\geq$ 1$$}은$$ 정수입니다.$t$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle t{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )display${\displaystyle \mathrm{display}}$display 、 \ $displaystyle$ t = \$left$ ( $t$_ {$1$ , \$ldots , t_n }$ \ right )\ in \ $Omega$$$${\displaystyle \}및}$ f : ${\displaystyle \mathrm{domain}}$Y { $displaystyle f:\operatorname { domain}$f$\$$to$ Y $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay도메인 ⁡ f.{\displaystyle \operatorname{도메인}의 'caput'}다면 n{n\displaystyle}벡터 e1,…, en{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}Y에,{Y\displaystyle,}f의 부분 유도체라고 불리는{\displaysty 존재하는 그리고 f{\displaystyle f}t{\displaystyle지}[1]에서 구별할 수 있는 있다.l$t$$\displaystyle$t에서 $ef}$를 $선택$합니다.

$여기$서 p $=$ ( ${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle p_{}}$n )${\displaystyle }$. ${\$ $displaystyle$p=\left$(p_{1},\ldots,p_{n}\right$} 。} $f$ {\displaystyle f$$}가 한 점에서 미분 가능한$경우{\displaystyle }$ ^[1]해당 지점에서 연속적입니다$.$f$(displaystyle$ f$)$가 도메인의 일부 $서브셋{\displaystyle }$ S$(displaystyle$ S$)$의 모든 점에서 구별 가능한 $경우{\displaystyle }$ f$($$displaystyle$f$)$는$$S(\$displaystyle$ S$)$에서 ($1회$ 또는$$1회$$) 구별 가능한 것으로 간주됩니다.여기서 $서브셋{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S)가$$ 언급되지 않은 경우 i를 의미합니다.도메인 내의 모든 점에서 차별화가 가능합니다.f$${\$displaystyle$ f$}$가 미분 가능하고 각 부분 도함수가 연속 함수인 $경우{\displaystyle }$$$f {\$displaystyle$$$f$}$는 연속 미분 가능(1회 $또는{\displaystyle \mathrm{}}$1회$$) $또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1$.$ {\$displaystyle C^{1}}$에^[1] $대해{\displaystyle 다음}$과${\displaystyle }$같이 정의됩니다$.$$f$가 ${\displaystyle C^{}}$ k$($$또는{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$ k$}$의 연속 미분 가능)일 $경우{\displaystyle {}^{}}$ f$${\$displaystyle$ f$}$는 k${\displaystyle }$+$$(\$displaystyle$ k$+1$}의 연속 미분 가능 $또는{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$ f$}$은 C${\displaystyle {}^{}}$+$1$이라고 합니다.$^{k+1}:$$$f$$ {\$displaystyle$ f$}$가 연속적으로 미분 가능하며 각 부분 도함수가 C ${\displaystyle k^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ C$^{k}$인 $경우{\displaystyle {}^{}}$$$f {\$displaystyle$$$C$^{\infty},$smooth, $C{\displaystyle {}^{}}$display$,$ \$displaystyle$ C$^{\infty}$인 $경우{\displaystyle }$ $fstyle$이 무한히 다른 경우 f$.$$}$은$($는) ${\displaystyle {모든}^{}}$ k${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0,}$1에$$대해 $C{\displaystyle }$ k {\$displaystyle$ C$^{$k$$} 입니다.{ $displaystyle$$k$$$$= 0$${\displaystyle ,}$ 1, \$ldots$} $함수$ f의 지원은${\displaystyle }${${\displaystyle x}$${\displaystyle \}}$ 도메인${\displaystyle f}$ f { \ displaystyle $\operatorname${ $domain}$ f$\}$ ${\displaystyle \mathrm{집합}}$의 ${\displaystyle \mathrm{닫힘}}$입니다${\displaystyle .}$$omain} f:f(x)\neq 0\}$$입니다.$$}$

C 벡터 값 함수의 공간^k

이 절에서는 스무스 테스트 함수의 공간과 그 표준 LF 토폴로지를 일반적으로 완전한 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간(TVS)에서 가치 있는 함수로 일반화한다.이 작업이 완료된 후, 생성된 위상 벡터 $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$k (${\displaystyle \mathrm{\omega }}$;${\displaystyle Y}$) { $display style$ C$^{k}((Omega$ ; $Y)}$는 (TVS-동형까지) 완성된 주입형 텐서 $제품{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$k ($ω$) ${\displaystyle {\stackrel{}{\otimes }}_{}}$ $display$ ({$k})$로 정의될 수 있음이 밝혀졌다.$}}_{\$epsilon $}$Y}의 $평탄$한 ${\displaystyle {테스트}^{}}$ 함수 C${\displaystyle {}^{}}$k ($ω$ ) {\$displaystyle C^{k$}(\Omega$$$)$ }는 Y$$. {\$displaystyle$ Y$$} 입니다$.$

전체적으로 Y$(\displaystyle$ Y$)$를 Hausdorff 토폴로지 벡터 공간(TVS), k $a{\displaystyle }$ {${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \}}$, { \ $displaystyle k$\$in$ \$0$ ,$1$, \ldots , \ $in$ \ in . \ in$$ \ }, $ω$$$\ $displaystyle$\ Omega$$} 로$$ 합니다.

1. ${\displaystyle {}^{}}$ n$,$ {\$displaystyle \mathbb {R}$^{$n}$의 $열린{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 서브셋입니다.$여기$서 n$†$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$ n$\geq$1}은$$ 정수입니다.또는, 그 외의 경우는,
2. 로컬 콤팩트 토폴로지 공간($이$ 경우$$k\$displaystyle$ k$)$은${\displaystyle \mathrm{}}$0일 수 있습니다$.\displaystyle$ 0$$. }

C 함수의 공간^k

${\displaystyle {임의}^{}}$의 k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle \infty }$、 \ $display$ $style$ k $= 0$ , $1$, \$ldots$, \ $infty$, } $C$ ${\displaystyle k^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\omega \omega }}$ ;${\displaystyle Y}$) ( \ $displaystyle$ $C$$^${ $k$${\displaystyle }$ } ( \ Omega ; $Y$) ）$$$denote$ 、 \ $display$ $style$$$Y - display $C{\displaystyle \mathrm{}}$on$$ on on 。$k}(\Omega;Y)$는 콤팩트 서포트를 갖는 ${\displaystyle C^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$$)$ $내$의 모든 맵($display$으로 이루어진 ${\displaystyle C^{}}$k({$display$ $style$ C$^{k}((Omega;Y$)})의$$ $벡터{\displaystyle {}^{}}$ 서브스페이스를 나타낸다.${\displaystyle C^{}}$k (${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\omega }}$ )$$（ { $display$ $style C$^ { ${\displaystyle \mathrm{k}}$$$（ $Omega ;\mathbb { F}$ )$$） $c$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ k ( ) ) 、 C ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( $)$ ) 、 C _ { c$}$ （$Omega$ ;\ $mathbbb$ { F } ) 、${\displaystyle {}_{}^{}}$C k ( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ c ${\displaystyle \mathrm{C}}$（$$） $let$ C${\displaystyle {}^{}}$（ ） 。기능이 융합의 질서의 그들의와의 파생 상품}(\Omega, Y)}토폴로지라 k+1{\displaystyle<>k+1}에 컴팩트 하위 집합의 Ω.{\displaystyle \Omega.}[1] Ω 1⊆ Ω 2⊆⋯{\displaystyle \Omega_{1}\subseteq\Omega _{2}\subseteq \cdots}시퀀스의 친척.ly compac$조합$이 $}$ \ $displaystyle$\ $Omega$}이고$$$$ } ${\displaystyle i_{}}$+$$ { $displaystyle \ Omega$ _ { i } \ $subseteq$\$Omega$ _ ${ i$ +$1$ $}$을 만족하는${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ \ $displaystyle$ $i$${\displaystyle {}_{}}$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$in$ A$}$는${\displaystyle }Y$의 오리진 네이버의 기초입니다$.{$ $displaystyle$ Y$$. } 임의의$$ < + 、 \ $displaystyle \ell < k$ + 1$,$}에 대해 다음과 같이 설정합니다.

C ${\displaystyle k^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\omega }}$ ;${\displaystyle Y}$) \ $displaystyle$ C$^{k$} ( Omega ; Y )$$$as$${\displaystyle }$ 、 i$$$、$ \ $displaystyle$\ ell$$$$、 $\alpha {\displaystyle }$ α α ${\displaystyle a}$ a${\displaystyle }$a a a a a a a$$adisplaydisplayA \ $displaystyle \$ alpha \ $in$ A$$i$$ i i i i i i i i in in in in in in i i i i i in in in in in i i i i in in in i i i i i in in in in i i in in in in in in in in in in i i i i i$(\displaystyle$ \Omega$$）가$$ 콤팩트 서브셋의 카운트 가능한 $결합$이고$$Y(\$displaystyle$Y)가$$ Fréchet 공간인 경우 C${\displaystyle {(}^{}\mathrm{}}$;$).\displaystyle$ C$^{(}\Omega ;$$Y$)도 $마찬가지$입니다.} ${\displaystyle U_{}}$ α {\$displaystyle$ $U_$${\alpha}}$가 볼록할 때마다 U ${\displaystyle {i,}_{}}$ $l, α$ ${\$displaystyle $U_{\$alpha$$$}}$가 $볼록하다는{\displaystyle {}_{}}$ 점에 $유의$하십시오$.$Y$(\displaystyle$ Y$)$가 측정 가능한 $경우{\displaystyle }$(응답 완료, 로컬 볼록, Hausdorff), C ${\displaystyle k^{}\mathrm{\Omega };Y)}$도 $측정{\displaystyle {}^{}}$ 가능합니다$.\\displaystyle$ C$^{k}(\Omega;Y)$} ( ${\displaystyle p_{}}$^[1][2] α )α${\displaystyle a_{}}$ $A$ ($p_${\alpha $}_{\alpha$ \$in$$$A}}가$Y$ {\$displaystyle$ Y$$$$}의 연속 $세미노름$의 기초인 $경우,$${\displaystyle }$C k$($ ${\displaystyle ;}$Y $)의 연속$ 세미노름의 기초는 다음과 같습니다$.$ $,$ {\$displaystyle$ $i$${\displaystyle }$$,$$$}, ${\$displaystyle \$ell$$,$ $α$,${\displaystyle A}$는 가능한$모든$ 방식으로$$ 다릅니다.^[1]

콤팩트 서브셋에서 지원되는 C 함수 공간^k

이제 테스트 함수 공간의 토폴로지의 정의가 복제되고 일반화되었습니다.콤팩트 $서브셋{\displaystyle }$ K ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle \mathrm{any}}$ 、 \ $displaystyle$$$K${\displaystyle {}^{}}$\ $subseteq$\ $Omega$} ${\$$$、 ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$$$$$$（$ ${\displaystyle Y}$$$;${\displaystyle }$${\displaystyle ;}$$$） $の$ f lies {\ {\ $f$${\displaystyle }$$の{\displaystyle }$ f$f$ of of $of$ of of of of of of of of of of of of of$$ of ${\displaystyle \mathrm{of}}$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}$isplaystyle$ f$}$는 K$(\displaystyle$ K$)$가 아닌$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Omega)$로, C $displaystyle$ $^{k}(\$Omega$;$$Y$에 의해 유도되는 서브스페이스 토폴로지를 제공합니다$.$}[1]만약 K{K\displaystyle}은 콤팩트 공간, Y{Y\displaystyle}은 바나흐 공간, 그때 C 0(K;Y){\displaystyle C^{0}(K;Y)}가 되는 바나흐 공간 ‖ f‖에 의해 기준:=저녁밥을 먹다ω∈Ω ‖ f(ω)‖.{\displaystyle\와 같이 f\:=\sup_{\omega\in \Omega}\ f(\omega)\.}[2]자 Ckm그리고 4.9초 만(K){\displaysty.르 C^{$k}(K)$는 ${\displaystyle C^{}}$ k${\displaystyle {}^{}K\mathbb{};}$ F${\displaystyle )}$를 $.{$ $displaystyle$ C$^{k}(K;\mathbb {F})}$ 임의의$$$$ 2개의 콤팩트 $서브셋{\displaystyle }$ K${\displaystyle l}$ L${\displaystyle \mathrm{\omega }}$ ω${\displaystyle }${\ {\ {\ display ω$$、 \ $displaystyle$K \ $subseteq \ Omega$} 。

는 TVS를 내장한 것으로${\displaystyle ,}$ 모든 ${\displaystyle {Ck}^{}K}$;$),$ ${\$$displaystyle$ K$}($$;$${\displaystyle Y)}$의 조합이 $K{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{displaystyle}}$$\Omega,\$$displaystyle$ \Omega$$$,\displaystyle$ C$^{$})의 콤팩트 서브셋에 걸쳐 변화하는 것입니다$.$$}$

콤팩트하게 C기능을 지원하는^k 공간

콤팩트 ${\displaystyle \mathrm{서브셋K}}$ $⊆$ ${\displaystyle ,}$、 \ $displaystyle$ K \ $subseteq$ \ Omega ,$}$ 에는$$, 다음과 같이 설정되어 있습니다.

는 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {맵}_{}^{}\delta ;}$ Y$)$을 나타내며$,$ ${\displaystyle {모든}_{}}$ In K(\$displaystyle \operatorname {In}_{K}$_$${$K})$를 연속적으로 만드는 가장 강력한$$ 토폴로지를 $부여$합니다.이것은 이러한 맵에 의해 유도되는 최종 토폴로지로 알려져 있습니다.$공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$k (${\displaystyle K}$ ;${\displaystyle Y}$) ( \ $displaystyle$ C$^{k$$}$ ($K$ ; $Y$) maps$$ maps in ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {in{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{K2\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ $($ \ $displaystyle$$\operatorname${ $In } _$ { $K$_ { K _ { { $K$_ { { $}$$$} )$spaces$ in in ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( of of of of of of ofetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsets $etsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsets$$;Y)}$과(와) $.\displaystyle \operatorname {In}_{K}$_$$^[1]{K}) $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ k${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{{\omega }_{}}}$ i ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle Y}$){ $displaystyle$ C$^{k}\left({\overline {Omega$ _{$i}}});$$Y\right))$ 및$$ 지도 ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{i_{}}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\stackrel{}{{}_{}}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{{\omega }_{}}}_{}^{}}$ j ${\$ { \ $displaystyle$$\operatorname${ $In$$$} $_${ \ $overline$ \$Omega$_ { $i$}^{ \ $overline$\ $Omega$_ {$j$ } also$$ y 、 y 、 C of of of of of of of of ${\displaystyle {of}_{}^{}}$ of of of of of of of of of of of of of of of of N$$of in in in in in in $in{\displaystyle {}_{}^{}}$ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in$$ $In$ ${\displaystyle {\stackrel{}{i_{}}}_{}}$ i ${\displaystyle {.}_{}}$。{ $displaystyle \operatorname${$In }_$${\$$overline {\Omega$ _{i$$^[1]$}}}$ 각 ${\displaystyle {\mathrm{삽입}}_{}}$ ${\displaystyle$ \$operatorname {In}_{$K$$}}는 TV 삽입입니다.${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$k ( $s{\displaystyle }$; Y$$$$)의 서브셋S ( \ $displaystyle$S ${\displaystyle )\{}$ displaystyle $C_{c}^{k}(\Omega$ ;$Y)$는 C${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle Y}$)(\ $displaystyle C_{c }^{$${\displaystyle k}$$}(\Omega$ ;${\displaystyle Y}$$)$의 원점 근방이다${\displaystyle {}^{}}$$모든$ $콤팩트{\displaystyle }$ K ${\displaystyle \subseteq \mathrm{every}}$ every every every$$ stylestylestyle$style style$ $。{$ $display style$ K$\$$subseteq$\$Omega }$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ( $の{\displaystyle {}_{}^{}}$ limit c limit limit limit이 직접 제한 토폴로지($최종$ 토폴로지$)$는 표준 토폴로지라고 불립니다.

$(\displaystyle$ Y$)$가 하우스도르프 로컬 볼록 공간이고$T{\displaystyle }$(\$displaystyle$ T$)$가 TV이며${\displaystyle \mathrm{u}}$: ${\displaystyle C_{}^{}}$ c ${\displaystyle {}_{}^{}}$δ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle$u:$C_{c}^{k}(\$Omega$;Y)\to$ T$}$는 선형 맵입니다.$그러면{\displaystyle }$모든 $콤팩트K{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$$,$ \$displaystyle$ K$\subseteq \Omega$$,$ \displaystyle C$($$K$ ${\displaystyle ;Y}$)에 대한$$u의 $제한{\displaystyle }$(\$displaystyle$ u$$$)$이 연속적입니다$.$"all $compact{\displaystyle }$ K$$ ${\displaystyle \mathrm{\omega }}$ \ $displaystyle$K \ $subseteq$\ $Omega$를 "$all{\displaystyle }$K : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\omega }_{}}$i \ $display style$ K : =$line line$ \ Omega $} _$ {$i$}"$$로 대체하면 이 문장은 그대로 유지됩니다.

특성.

텐서 제품으로서의 식별

$여기서부터$를 $하우스도르프$라고 가정합니다.$함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C^{}}$k (${\displaystyle \mathrm{\omega display}}$ )$$\ $displaystyle$ f$\$$in C$$^{k}(\$Omega$$) 및 벡터$$ $y{\displaystyle }$ Y가 주어지면 f${\displaystyle }$${\displaystyle y}$ y$$\ $display style$ f$\otimes$는 맵 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ y${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\omega }}$ ${\displaystyle \to }$ \ $display f\$$otimes$ 를 $나타냅니다$.$\Omega$ \$to$ Y$.$ ( ${\displaystyle fy}$y${\displaystyle }$) (${\displaystyle p}$ ) ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle p}$ )${\displaystyle y}$. { $display$ style $( f$ \ $times$y ) =$f ( p$ ) $y$} 로 정의됩니다.$$ 이것은 이미지가${\displaystyle }Y$의 유한차원 벡터에 포함된 함수 공간에${\displaystyle }$δ : ${\displaystyle C^{}}$k (${\displaystyle \mathrm{\delta }}$; ${\displaystyle Y}$) × ${\displaystyle C^{}}$k ($δ$;${\displaystyle }$Y$$) \ $displaystyle$ \$otimes$$$: $C^{k}(\to C^k}(\Omega$ ;$Y)$를 정의한다$.$(Ω){\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만}(\Omega)}, Y, 우리는 Ckm그리고 4.9초 만(Ω)⊗ Y으로 의미할 것이다{Y\displaystyle,}. 더욱이, 만약 Cckm그리고 4.9초 만(Ω)⊗ YY{\displaystyle C_{c}(\Omega)\otimes}Ckm그리고 4.9초 만(Ω)⊗ Y{\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만}(\Omega)\ot의 벡터 부분 공간을 의미한다 Y}[1]{\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만}(\Omega)\otimes.콤팩트한 지원을 가진 모든 함수로 구성된$$ ${\displaystyle \mathrm{imes}}$$$Y는 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle )\}}$ ( \ $display$ $style$ C _ { $c$}^{ $k$} ( $Omega )\otimes$ Y ) }} ${\displaystyle 、}$ $Y{\displaystyle }$ .$display style$ $C{\displaystyle {}_{}^{}}$_ { $c$$$}^{ $k$（ ${\displaystyle \mathrm{Omega}}$$$。

X$(\displaystyle$ X$)$가 로컬로 압축된 $경우{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ c ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega })}$ ${\displaystyle y}$Y$(\displaystyle C_{c}^0}(\$Omega$)\otimes$Y는 C$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}\Omega$$)$으로 조밀하고 X$(\displaystyle$ C$^0}(\$displaystyle$$X)는 C 0({0}(\$displaystyle$ X)로 조밀합니다.$ystyle$ C_${c}^{\infty }(\$Omega)\$otimes$Y}는$$ ${\displaystyle C^{}}$ k${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega };X)}$ $.\displaystyle$ C$^{k}(\$Omega;$X)$로 조밀합니다.$}$^[2]

「 」를 참조해 주세요.

• 편리한 벡터 공간
• 구겨진 원호
• 프레셰 공간에서의 차별화
• 프레셰 도함수
• 가토 도함수
• 무한 차원 벡터 함수
• 주입 텐서적

메모들

인용문

레퍼런스

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