바나흐 다지관

Banach manifold

수학에서 바나흐 다지관바나흐 공간을 모델로 한 다지관이다.따라서 Banach 공간의 열린 집합에 대해 각 지점이 인접 동형성을 갖는 위상학적 공간이다(더 관여하고 공식적인 정의는 아래에 제시된다).바나흐 다지관은 다지관을 무한대로 확장할 수 있는 한 가지 가능성이다.null

또 다른 일반화는 Frechet 다지관들에 의해 Barnach 공간을 Frechet 공간으로 대체하는 것이다.반면 힐버트 다지관은 다지관이 힐버트 공간을 국소적으로 모델링한 바나흐 다지관의 특수한 경우다.null

정의

을(를) 집합으로 두십시오.An atlas of class on is a collection of pairs (called charts) such that

  1. 부분 집합이고 U i 조합은 의 전체
  2. each is a bijection from onto an open subset of some Banach space and for any indices ( U ){\ i 에서 열려 있음
  3. 교차 지도
    모든 , I , {\displaystyle th Fréchet 파생 모델에 r {\ 연속적으로 차별화할 수 있는 함수임
    존재하며, 의 하위 집합에 대한 일반 상층학 ( r; )의 연산자 표준 위상에 대한 연속적 기능이다.

그런 다음 열려 있고 동형상일 정도로 X {\에 고유한 위상이 있음을 보여줄 수 있다.매우 자주 이 위상학적 공간은 하우스도르프 공간이라고 가정하지만, 형식적 정의의 관점에서 이것은 필요하지 않다.null

모든 Banach 공간 한 공간 E, 과(와) 같으면를 E E -atlas라고 한다.단, 바나흐 E {\ 동일한 공간이거나 위상 벡터 공간과 같은 이형체일 필요는 없다.However, if two charts and are such that and have a non-empty intersection, a quick examination of the deriva크로스오버 지도 테이브

j 은(는) 위상 벡터 공간으로서 이형성이어야 함을 보여준다.Furthermore, the set of points for which there is a chart with in and isomorphic to a given Banach space (는) 열린 상태와 닫힌 상태 모두입니다.따라서 일반성의 손실 없이 , X연결된 각 구성 요소에 대해 일부 고정 . -atlas라고 가정할 수 있다.

새 차트, ) (가) 지정된 지도책 , i): } right}}}}} 크로스오버 맵인 경우 i

i 대해 r 시간 연속적으로 서로 다른 함수를 의미한다.호환성은 . 에서 가능한 모든 아틀라스의 클래스에 동등성 관계를 정의한다.

A -manifold structure on is then defined to be a choice of equivalence class of atlases on of class If all the Banach spaces are isomorphic as topological vector spaces (which is (가) 연결된 경우)에 해당하는 지도책을 찾을 수 있으며, 이 모두 Banach E X - manifold 불리거나 X 를 모델로 한다고 말할 수 있다.

  • , ) Banach 공간이라면, 은(는) 세계적으로 정의된 단일 차트(ID 맵)가 포함된 Banach 매니폴드 입니다.
  • 마찬가지로 (가) 일부 Banach 공간의 열린 부분 집합인 경우 Banach 다지관이다(아래 분류 정리 참조).

동형성까지의 분류

차원 의 유한 차원 다지관이 대한 전지구적으로 동형체이거나 {\^{의 열린 부분 집합체도 결코 사실이 아니다. 그러나 무한 차원적 환경에서는 「 처신하는」 바나흐 다지관을 동형상까지 상당히 훌륭하게 분류할 수 있다.1969년 데이비드 헨더슨의 정리에서는 모든 무한차원, 분리 가능한 미터법 바나흐 다지관 X을 무한차원, 분리 가능한 H 의 오픈 서브셋으로 삽입할 수 있다고 밝히고 있다(선형 이형성까지 보통 2 로 식별되는 그러한 공간은 하나뿐임). 스타일 사실, 헨더슨의 결과는 더 강력하다. 같은 결론은 분리 가능한 무한 차원 프레셰 공간을 모델로 한 모든 미터법 다지관에 대해 적용된다.null

내장형 동형성은 . 따라서 무한 차원, 분리 가능한 미터법 사례에서 "유일한" 바나흐 다지관은 힐버트 공간의 열린 하위 집합이다.null

참고 항목

참조

  • Henderson, David W. (1969). "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space". Bull. Amer. Math. Soc. 75 (4): 759–762. doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7. MR 0247634.
  • Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
  • Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear functional analysis and its Applications. Vol.4. Springer-Verlag New York Inc.
  • Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor (1988). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. New York: Springer. ISBN 0-387-96790-7.