오픈 맵핑 정리(기능분석)

기능분석에서, 바나흐-슈더 정리 또는 바나흐 정리^[1](Stefan Barnach와 Juliusz Schauder의 이름을 딴 이름)라고도 알려진 오픈 맵핑 정리는, 바나흐 공간 사이의 경계 또는 연속 선형 연산자가 굴절적이면 오픈 맵이라고 하는 근본적인 결과물이다.

클래식(Banach space) 형식

Open mapping theorem for Banach spaces (Rudin 1973, Theorem 2.11) — If $X$ and $Y$ are Banach spaces and $A:X\to Y$ is a surjective continuous linear operator, then $A$ is an open map (that is, if $U$ is an open set in $X$ , $X,$ 다음에 $X,$ $A(U)$ ) $A(U)$ 이(가) $Y$ $Y$ 에서 열려 있음 $A(U)$

이 증명은 바이어 범주 정리를 사용하며, $X$ 에는 X $X$ 과Y {\ $displaystyle Y}$ 의 $X$ 완전성이 모두 $Y$ 필수적이다.어느 한 공간이라도 단지 규범화된 공간이라고 가정한다면 정리의 진술은 더 이상 참이 아니라, $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 과 $X$ $Y$ $Y$ 을 $Y$ 프레셰트 공간으로 받아들인다면 참이다.

증명

$A:X\to Y$ : $A:X\to Y$ → $A:X\to Y$ $A:X\to Y$ 이 $A:X\to Y$ (가) 굴절 연속 선형 연산자라고 가정해 보십시오. $A$ $A$ 이 $A$ (가) 개방형 지도임을 입증하기 위해, $A$ ${\displaystyle$ $A$ $}$ 이(가) X ${\displaystyle$ X $}$ 의 열린 단위 공을 $Y$ . $Y$ 의 원점 부근에 매핑하는 $A$ $X$ 것으로 충분하다.

Let $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ = $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ 1 $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ ( $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ ) $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ , V $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ = $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ ( $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ ) $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ . ${\displaystyle U=B_{1}^{X$ }(0), V $=B_$ 0). $그러면$

X=\bigcup _{k\in \mathb {N} }kU.

$A$ $A$ 은 $A$ (는) 과부하적이므로:

[\displaystyle Y=A(X)=]A\left(\bigcup _{k\in \mathb {N} }kU\right)=\bigcup _{k\in \mathb {N}A(kU).}

그러나 $Y$ $Y$ 는 $Y$ Banach이기 때문에 Baire의 범주 정리로는 Banach이다.

\exists k\in \mathb {N} :\qquad \left({\overline {A(kU)}}\오른쪽)^{\\put }\neq \varnothing .

즉, 우리는 $c\in Y$ 과 같은 $r>0$ c $c\in Y$ $c\in Y$ ${\displaystyle$ c $\in Y}$ 과 $c\in Y$ $r>0$ > $r>0$ ${\displaystyle$ r $>0}$ 을(를) 가지고 있다.

B_{r}(c)\subseteq \left({\overline {A(kU)}}\오른쪽)^{\circle }\subseteq {\overline {A(kU)}}}.

그러면 $v\in V,$ $v\in V,$ $v\in V,$ $v\in V,$ , ${\displaystyle v\in$ V $,}$ 을(를) 실행하십시오.

c,c+rv\in B_{r}(c)\subseteq {\overline {A(kU)}}.

추가 및 선형성의 연속성에 의해 차이 $r$ $v$ $rv$ 이 $rv$ (가) 충족됨

rv\in {A(kU)}}{\overline {A(kU)}}\subseteq {\overline {A(kU)+A(kU)}}}},

그리고 다시 선형으로

V\subseteq {\overline {A(LU)}}

$L=2k/r.$ 서 L $L=2k/r.$ = $L=2k/r.$ $L=2k/r.$ / $L=2k/r.$ . ${\displaystyle L=2k/r$ 을 설정했다 $.$ $}$ 그 뒤에 $L=2k/r.$ $y\in Y$ $y\in Y$ $y\in Y$ Y $y\in Y$ 및 $y\in Y$ $\epsilon >0,$ $\epsilon >0,$ > $\epsilon >0,$ {\ $displaystyle \epsilon >0}$ 에 $\epsilon > 0,$ 대해 다음과 $x\in X$ 같은 $x\in X$ x $x\in X$ X $x\in X$ {\ $displaystyle$ x $\in$ X $}$ 이(가) 있다.

\\displaystyle \qquad \x\{X}\leq L\y\ _{Y}\{Y}\text{and}}\quad \y-Ax\{Y}<epsilon .\qquad(1)}

우리의 다음 목표는 $V\subseteq A(2LU).$ $V\subseteq A(2LU).$ $V\subseteq A(2LU).$ ( $V\subseteq A(2LU).$ $V\subseteq A(2LU).$ $V\subseteq A(2LU).$ ) $V\subseteq A(2LU).$ . ${\displaystyle V\subseteq A (2LU$ ) 를 보여주는 것이다 $.$ $}$

y(1)에 이르러선‖ x1‖<>를 x1{\displaystyle x_{1}}, L{\displaystyle\left\ x_{1}\right\<>∈ V.{\displaystyle y\in V}자.L}와 yAx1‖<>−‖ 1/2.{\displaystyle\left\ y-Ax_{1}\right\<>1/2.}()n){\displaystyle \left(x_{n}\right)}유도 시퀀스를 정의합니다.다음과 같다.가정:

\x_{n}\{\frac {L}{2^{n-1}}\quad {\text{and}}\quad\y-A\left(x_{1}x_{1}+}+{2}+}+}++++++++{x_{n}\rig}}\{n}}}}}}}}}}}\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{{\frac {1}}}}}}}}.\qquad (2)

그런 다음 (1)까지 $x_{n+1}$ n $x_{n+1}$ + $x_{n+1}$ ${\$ 을 선택하여 다음을 $x_{n+1}$ 수행할 수 있다.

\ x_{n+1}\ <{\frac {L}{2^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \left\ y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)-A\left(x_{n+1}\right)\right\ <{\frac {1}{2^{n+1}}},

따라서 (2) x

x_{n+1}.

+

x_{n+1}.

.

{\displaystyle x_{n+1

}에

x_{n+1}.

대해 만족함

.

s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}.

From the first inequality in (2), $\left(s_{n}\right)$ is a Cauchy sequence, and since $X$ is complete, $s_{n}$ converges to some $x\in X.$ By (2), the sequence $As_{n}$ tends to ${\displayst$ $yle$ y $}$ 과 $y$ (와) $Ax=y$ $Ax=y$ = y ${\displaystyle$ A $.}$ 의 $A.$ 연속성에 따른 $Ax=y$ $Ax=y$ ${\displaystyle Ax$ $=y}$ 또한

\ x\ =\lim _{n}\{n\n\{n\{n\{n\{n}\leq \lsum _{n=1}^{n=1}{n}\{n}\2L.

이는 $y$ $y$ 이(가) $A(2LU),$ ( 2 $A(2LU),$ U $A(2LU),$ ) $A(2LU),$ , $A(2LU)$ 에 $A(2LU),$ 속하므로 $y$ $V\subseteq A(2LU)$ $V\subseteq A(2LU)$ $V\subseteq A(2LU)$ ( $V\subseteq A(2LU)$ $V\subseteq A(2LU)$ $V\subseteq A(2LU)$ $V\subseteq A(2LU)$ 이(가) 요청된 대로임을 $V\subseteq A(2LU)$ 보여준다.Thus the image $A(U)$ of the unit ball in $X$ contains the open ball $V/2L$ of $Y.$ Hence, $A(U)$ is a neighborhood of the origin in $Y,$ and this concludes the proof.

결과들

개방형 매핑 정리는 다음과 같은 몇 가지 중요한 결과를 가지고 있다.

$A:X\to Y$ : $A:X\to Y$ → Y $A:X\to Y$ 이(가) Banach 공간 X $X$ 과 $X$ Y, $Y,$ 사이의 바이어스 연속 선형 연산자라면 $A:X\to Y$ 역 $Y,$ 연산자 $A^{-1}:Y\to X$ - $A^{-1}:Y\to X$ : $A^{-1}:Y\to X$ → X ${\displaystystyle$ A $^-1}:$ $Y\to X}$ 도 연속적이다 $A^{-1}:Y\to X$ (이를 경계 역 정리라고 한다).^[3]
If $A:X\to Y$ is a linear operator between the Banach spaces $X$ and $Y,$ and if for every sequence $\left(x_{n}\right)$ in $X$ with $x_{n}\to 0$ and ${\di$ $splaystyle Ax_{n}\to y}$ 에 $Ax_{n}\to y$ $y=0,$ y = $y=0,$ , $y=0,$ {\ $displaystyle$ y= $0,},$ $A$ $A$ 이(가) 연속(닫힌 그래프 정리)^[4]된다 $A$ .

일반화

$X$ $X$ $Y$ Y $Y$ 의 국소 볼록성은 입증에 필수적인 것은 아니지만 $Y$ 완전성은: $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 와 $X$ $Y$ ${\displaysty Y}$ 가 $Y$ F-spaces인 경우 정리가 그대로 유지된다는 것이다.나아가 다음과 같은 방법으로 정리를 바이어 범주 정리와 결합할 수 있다.

정리 (Rudin 1991년, 정리 2.11) — $X$ $X$ 을(를) F-공간으로 하고 $X$ $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 을(를) 위상 $Y$ 벡터 공간으로 한다.If $A:X\to Y$ is a continuous linear operator, then either $A(X)$ is a meager set in $Y,$ or $A(X)=Y.$ In the latter case, $A$ is an open mapping and $Y$ is also an F-space.

또한 이 후자의 경우, $N$ ${\displaystyle$ $N$ $}$ 이 $N$ (가) $A$ , ${\displaystyle$ A $,}$ 의 커널인 경우, $A$ 에 $A,$ $A$ A{\ $displaystyle$ A}의 표준 인자화가 있다.

X\to X/N{\\overset {\alpha }{\\to }Y

where $X/N$ is the quotient space (also an F-space) of $X$ by the closed subspace $N.$ The quotient mapping $X\to X/N$ is open, and the mapping $\alpha$ is an isomorphism of topological vector spaces.^[5]

개방 매핑 정리()^[6] — A $A:X\to Y$ : $A:X\to Y$ → Y ${\displaystyle A:X\to$ Y $}$ 이( $A:X\to Y$ ) 위상 벡터 $공간$ Y $Y$ 에 $X$ 완전한 가성계측 가능 $TVS$ X ${\displaystyle$ X $}$ 에서 돌출 폐쇄 선형 연산자이고 $A:X\to Y$ 다음 $Y$ 조건 중 하나 이상이 충족된 경우:

$Y$ $Y$ 은 $Y$ (는) 배어 공간 또는
$X$ $X$ 은 $X$ (는) 로컬 볼록한 $Y$ 이고 Y{\ $displaystyle$ Y}은(는) 바렐록된 공간이며 $Y$ ,

$A(X)$ ( $A(X)$ ) ${\displaystyle$ $A$ $(X)}$ 은(는) $Y$ , ${\displaystyle$ Y $,}$ 또는 $Y,$ $A(X)=Y.$ ( $A(X)=Y.$ ) $A(X)=Y.$ = $A(X)=Y.$ . ${\displaystyle A(X)=Y$ 에 설정된 미미한 값이다 $A(X)$ $.$ $}$ $A$ A {\ $displaystyle$ A $}$ 은(는) 개방형 매핑이다 $A$ .

만약 나는 한}Y에서nonmeager은{\d{\displaystyle \operatorname{ 난}⁡ 연속 지도에 대해 열린 사상 정리([6])—:X는 완전한pseudometrizable 터널 비전 시스템 X는Hausdorff 위상 벡터 공간 Y로{X\displaystyle}에서 → Y{A:X\to Y\displaystyle} 연속적인 선형 연산자이다.{Y\displaystyle}자.isp $레이스타일 Y}$ 이후 $Y$ $A:X\to Y$ : $A:X\to Y$ → $A:X\to Y$ $A:X\to Y$ 은 $A:X\to Y$ (는) 허탈적인 개방형 맵이며 $Y$ $Y$ 은 $Y$ (는) 완전한 유사측정 가능한 TVS이다.

오픈 맵핑 정리도 다음과 같이 명시할 수 있다.

$X$ - X ${\displaystyle$ X} $및$ $Y$ ${\displaystyle$ Y}을 $($ 를) 두 개의 F-spaces로 한다 $Y$ .Then every continuous linear map of $X$ onto $Y$ is a TVS homomorphism, where a linear map $u:X\to Y$ is a topological vector space (TVS) homomorphism if the induced map ${\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y$ is a TVS-isomor그 이미지에 대한 페미니즘

결과들

Theorem^[8] — If $A:X\to Y$ is a continuous linear bijection from a complete Pseudometrizable topological vector space (TVS) onto a Hausdorff TVS that is a Baire space, then $A:X\to Y$ is a homeomorphism (and thus an isomorphism of TVSs).

웹베드 공간

물갈퀴 공간은 열린 매핑 정리 및 닫힌 그래프 정리가 가지고 있는 위상학적 벡터 공간의 한 종류다.

참고 항목

거의 열린 선형 지도
경계 역정리
닫힌 그래프 – 제품 공간에서 닫힌 지도 그래프
닫힌 그래프 정리 – 연속성과 그래프에 관련된 정리
폐쇄 그래프 정리(기능분석) – 연속성 추론을 위한 정리
개방형 매핑 정리(복잡한 분석)
프리셰트 공간의 추리 - 추리성의 특성
Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리
웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간

참조

^ 2006년 3월 166일.
^ 루딘 1991, 페이지 100.
^ 루딘 1973년 코롤라리 2.12
^ 루딘 1973, 정리 2.15.
^ 디우도네 1970, 12.16.8.
^ ^a ^b 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 468.
^ 2006년 3월 17일 페이지
^ 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 469.

참고 문헌 목록

Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (in French). Vol. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archived from the original (PDF) on 2014-01-11. Retrieved 2020-07-11.
Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press
Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1973). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 25 (First ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 개방형 매핑 정리의 증명 자료가 통합되어 있다.

[FOOTNOTETrèves2006166-1] 2006년 3월 166일.

[FOOTNOTERudin1991100-2] 루딘 1991, 페이지 100.

[FOOTNOTERudin1973Corollary_2.12-3] 루딘 1973년 코롤라리 2.12

[FOOTNOTERudin1973Theorem_2.15-4] 루딘 1973, 정리 2.15.

[FOOTNOTEDieudonné197012.16.8-5] 디우도네 1970, 12.16.8.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011468-6] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 468.

[7] 2006년 3월 17일 페이지

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011469-8] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 페이지 469.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t 위상 벡터 공간(TV)
기본개념	바나흐 공간 연속 선형 연산자 함수 힐베르트 공간 선형 연산자 국소 볼록한 공간 동형성 위상 벡터 공간 벡터 공간
주요 결과	앤더슨-케이덱 정리 바나흐-알라오글루 정리 닫힌 그래프 정리 F. 리에스의 정리 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 벡터 값 한-바나흐) 개방형 매핑(Banach-Schauder)(경계 반전) 균일 경계(Banach-Steinhaus)
지도	거의 열려 있음 이린린(형식) 연산자) 및 Sesquilinar 형식 닫힌 콤팩트 연산자 연속 및 불연속 선형 지도 조밀하게 정의됨 동형성 함수 규범 연산자 세미놈 하위선형 전치하다
세트 종류	절대 볼록/디스크 흡수/방사선 아핀 균형/순환 디스크 배너치 경계점 경계 보완된 하위 공간 볼록스 볼록콘(하위 세트) 선형 원뿔(하위 세트) 극한점 사전 계산/완전 경계 퍼머드/샤이 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭
작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 볼록 선체 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
TV의 종류	아스플룬드 B-완전/P탁 바나흐 (카운트) 바렐라 (울트라-) 태생학 브레이너 완성하다 편리한 (DF)-공간 특출신 F-공간 프레셰트 (테메 프레셰트) 그로텐디크 힐베르트 엽기적인 보간공간 K-공간 LB-공간 LF-공간 국소 볼록한 공간 맥키 (사이비도)메트리저블 몬텔 콰시바라드 준완전 콰시노르메드 (폴리노멀리) 반)반사성 리에츠 슈워츠 반완전 스미스 고정관념 (B) 엄밀히 균일볼록스 (Quasi-) 초음파상 균일하게 매끈매끈함 웹베드 근사 특성 포함

Search

오픈 맵핑 정리(기능분석)

네임스페이스

더

목차

클래식(Banach space) 형식

관련결과

결과들

일반화

결과들

웹베드 공간

참고 항목

참조

참고 문헌 목록