F-공간

기능 분석에서 F-공간은 실제 또는 복잡한 숫자에 대한$$ 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이며, ${\displaystyle 미터법\mathbb{}}$ ${\displaystyle d}$: X ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$→ R ${\$ X$\to \mathb {R}$과(와)가 여기에 해당된다$$.

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 스칼라 곱셈은 $d{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle d}$ 및$$ R ${\$ $또는$ C${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {C}$의 표준 메트릭에 대해 연속적이다$.$
2. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ X$}$의 추가는 d . ${\displaystyle d$에 대해 연속적이다$.$$}$
3. 메트릭은 변환 불변함입니다. 즉, ${\displaystyle d}$${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle y}$+${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= d${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle d$$(x+a,y+a)=d(x,y$)=d(x,y)=d${\displaystyle (}$x)=d$($x$y$)=${\displaystyle d}$(x)=$d($x, {\$displaysty, a.}$
4. 메트릭 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle(X,d)}$이(가) 완료됨.

$일반적$으로 F-표준이 ${\displaystyle \mathrm{동질적}}$일 필요는 없지만, x ${\displaystyle \mapsto }$ x${\displaystyle }$‖ :${\displaystyle \mathrm{d}}$ (${\displaystyle 0}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$\mapsto \x\=d(0,x)}$ 작업을 F-norm이라고 한다$$.변환 인바이어런스(trans-invariance)에 의해 측정지표는 F-norm에서 복구할 수 있다.따라서 실제 또는 복잡한 F-공간은 균등하게 완전한 F-규격을 갖춘 실제 또는 복합 벡터 공간이다.

일부 저자들은 F-스페이스가 아닌 Frechet space라는 용어를 사용하지만, 일반적으로 F-space라는 용어는 국소적으로 볼록한 F-space를 위해 사용된다.일부 다른 저자들은 "F-space"라는 용어를 "Frechet space"의 동의어로 사용하며, 이 용어는 지역적으로 볼록한 완전한 메트리빙 가능한 위상 벡터 공간을 의미한다.미터법은 반드시 F-공간 구조의 일부일 수도 있고 아닐 수도 있다. 많은 저자들은 위의 속성을 만족하는 방식으로 그러한 공간을 메트리징할 수 있도록 요구할 뿐이다.

예

바나흐 공간과 프레셰 공간은 모두 F 스페이스다.특히 바나흐 공간은 d(${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d(x}$, ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ).}$ ${\$디스플레이 $스타일 d(ax,0)=d(x,$0)=d(x,0)라는 추가 요건을 가진 F-공간이다$.$$}$^[1]

L^p 공간은 모든 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p\geq$ 0$}$에 대해 F-spaces로 만들 수 있으며$$, $p{\displaystyle 1}$ 1$${\$displaystyle$p\$geq$ 1$}$에 대해서는 국부적으로 볼록하게 만들 수 있으며, 따라서 Frechet 공간과 바나흐 공간까지 만들 수 있다.

예 1

${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L^{\frac {1}{1$}{2$}}[0,\,1]}}}$은(는) F-공간이다.그것은 연속적인 세미몬과 연속적인 선형 함수들을 인정하지 않는다 - 그것은 사소한 이중 공간을 가지고 있다.

예 2

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle D\mathbb{}}$) ${\displaystyle W_{p}(\mathb {D})}$을(를) 모든 복합 가치 Taylor 시리즈의 공간이 되도록$$ 하라.

다음과 같은 $장치{\displaystyle \mathbb{}}$ 디스크$$D {\$displaystyle \mathb$ {D$$$}$에 표시 다음 0<,${\displaystyle$0$<1,}$${\displaystyle W_{}}$ p ${\displaystyle {}_{}D\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathb {D}$ )}은$($는) p-규격 하의 F-spaces이다.

사실 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 준바나흐 대수학이다.더욱이${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta \leq 1}$이(가) 있는 $\zeta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ \$zeta$ $\$leq }에$$ 대해 $지도{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \mapsto }$ f (${\displaystyle }$$ζ$$){\displaysty$ W_${p}(\mathb)$$의$경계 선형${\displaystyle {}_{}{복제}_{}}$ 기능$$)이다.$}$

충분한 조건

관련 속성

The open mapping theorem implies that if ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ are topologies on ${\displaystyle X}$ that make both ${\displaystyle (X,\tau )}$ and ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ into complete metrizable topological vector spaces (for example, Banach or Fréchet spaces) and if one topology is finer or coarser than the other then they must be equal (that is, if ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$).^[4]

• 그래프가 닫힌 F-공간에 대한 선형 거의 연속형 맵.^[5]
• 그래프가 닫힌 F-공간으로 들어가는 선형 거의 열린 지도가 반드시 열린 지도가 된다.^[5]
• F-공간에서 거의 열린 선형 연속 지도가 반드시 열린 지도가 된다.^[6]
• 이미지가 코도메인의 두 번째 범주의 F-공간에서 선형 연속 거의 열린 지도가 반드시 굴절적인 개방형 지도가 된다.^[5]

참고 항목

• 바나흐 공간 – 완성된 표준 벡터 공간
• 배럴드 스페이스
• 반범위가 있는 공간
• 전체 메트릭 공간 – 메트릭 기하학
• 완벽한 위상 벡터 공간 – 점차적으로 서로에게 가까워지는 지점이 항상 한 지점에 수렴되는 TVS
• DF-공간
• 프리셰트 공간 – 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로서, 전체 미터 공간이기도 함
• Hilbert 공간 – 무한 치수를 허용하는 유클리드 공간의 일반화
• K-공간(기능분석)
• LB-공간
• LF-공간
• 측정 가능한 위상 벡터 공간 – 위상이 미터법으로 정의될 수 있는 위상 벡터 공간
• 핵 공간 – 힐버트 공간과 다른 유한 치수 유클리드 공간의 일반화
• 투영 텐서 제품

참조

메모들

원천

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.