모든 표준 공간에 적용되는 내부 제품의 일반화
수학 에서는 반인너 산출물에 대한 두 가지 다른 개념이 있다.첫 번째, 그리고 더 일반적인 것은 엄격히 양성될 필요가 없는 내적인 제품의 그것이다. 이 글은 두 번째, 즉 L-세미인너 제품 이나 반인너 제품 이라고 하는 것을 루머의 의미로 다루는데 , 이 제품은 결합 대칭이 필요하지 않은 내적인 제품이다. 기능분석 에서 힐베르트 공간형 원칙을 바나흐 공간 까지 확장하기 위한 목적으로 귄터 루머 가 공식화한 것이다.[1] 근본적인 성질은 나중에 자일스에 의해 탐구되었다.[2]
정의 여기에 제시된 정의가 표준기능분석교재에 수록된 '세미인너 제품'과 다른데,[3] 내부 제품 의 모든 특성(결합 대칭 포함)을 만족시킨다.
A semi-inner-product , L-semi-inner product , or a semi-inner product in the sense of Lumer for a linear vector space V {\displaystyle V} field C {\displaystyle \mathbb {C} } V × V {\displaystyle V\times V} C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} [ ⋅ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}, 들어 f h : displaystyle f,g,h\in :}
비음성 정의: f ] ≥ 0 , {\displaystyle [f,f]\geq 0,} 첫 번째 인수의 선형성 , 의미: 첫 번째 추가성 : f , h ] f ] ] g , {\displaystyle ]=[f,h]+[g,h],} 첫 번째 인수의 동질성 : 모든 s f C {\displaystyle [sf,g]=s[f,g]\quad{\text{모든 }s\in \mathb {C},} 두 번째 변수의 결합 동질성 s g ] 모든 s c , {\displaystyle [f,sg]={\overline {s}[f,g]}\quad{\text{ }s\in \mathb {C},},} Cauchy-Schwartz 불평등 : f ] f ] 1 2 ] 1 1 {\displaystyle [f,g] \leq [f,f]^{1/2 g]^{1/2}. } 이너 제품과의 차이 반내부 제품은 일반적으로 대칭이 결합되지 않는다는 점에서 내부 제품과 다르다.
[ f , g ] ≠ [ g , f ] ¯ {\displaystyle [f,g]\neq {\overline {[g,f]}} 통례로 라고 말하는 것이나 다름없다. [ f , g + h ] ≠ [ f , g ] + [ f , h ] . [f,g+h]\neq [f,g]+[f,h] \,}
즉, 반내부 제품은 일반적으로 두 번째 변수에 대해 비선형적이다.
규범공간에 대한 반내부 제품 [ ⋅ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 선형 벡터 공간 V {\displaystyle V}
‖ f ‖ := [ f , f ] 1 / 2 , f ∈ V {\displaystyle \ f\ :=[f,f]^{1/2},\quad f\in V} V {\displaystyle V} 표준 을 정의하십시오.
반대로 V {\displaystyle V} ‖ displaystyle \cdot } 표준 벡터 공간 이라면V {\displaystyle V } 꼭 {\displaystyle } 일치 한다.
‖ f ‖ = [ f , f ] 1 / 2 , 대체적으로 f ∈ V . {\displaystyle \ f\ =[f,f]^{1/2},\\\{\text{모든 }f\in.}
예 ℓ p {\ displaystyle \mathb {C} n}} displaystyle \ell ^{p}} 1 ≤ p <<\displaystyle 1\leq <+\infty
‖ x ‖ p := ( ∑ j = 1 n x j p ) 1 / p \\x\ _{p: ={\biggl (}\sum _{j=1}^{n} x_{j}^{p}{p}{p}{\biggr )^{1/p}}}}:{1/p}} 일관된 반제품: [ x , y ] := ∑ j = 1 n x j y j ¯ y j p − 2 ‖ y ‖ p p − 2 , x , y ∈ C n ∖ { 0 } , 1 < p < + ∞ , {\displaystyle [x,y]: ={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}Y_{j}^{p-2}}:{p-2}}},\quad x,y\in \mathb {C} \{n}\setminus \{0\}}}, \p<+},},},} [ x , y ] := ∑ j = 1 n x j sgn ( y j ¯ ) , x , y ∈ C n , p = 1 , {\displaystyle [x,y]: =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\operatorname {sgn}({\overline {y_{j}}}),\quad x,y\in \mathb {C}^{n},\p=1,} 어디에 sgn ( t ) := { t t , t ∈ C ∖ { 0 } , 0 , t = 0. {\displaystyle \vmsname {sgn}(t): =\\left\{\begin{array}{ll}{\frac {t}{{t}}}{{t}}}\mathb {C} \setminus \{0\}\0,&t=0. \end{array}\오른쪽. }
In general, the space L p ( Ω , d μ ) {\displaystyle L^{p}(\Omega ,d\mu )} p {\displaystyle p} measure space ( Ω , μ ) , {\displaystyle (\Omega ,\mu ),} 1 ≤ p < + ∞ , {\displaystyle 1\leq p<+\infty ,}
‖ f ‖ p := ( ∫ Ω f ( t ) p d μ ( t ) ) 1 / p {\displaystyle \ f\ _{p: =\왼쪽(\int _{\Oomega }f(t) ^{p}d\mu(t)\오른쪽)^{1/p}} 일관된 반제품: [ f , g ] := ∫ Ω f ( t ) g ( t ) ¯ g ( t ) p − 2 d μ ( t ) ‖ g ‖ p p − 2 , f , g ∈ L p ( Ω , d μ ) ∖ { 0 } , 1 < p < + ∞ , {\displaystyle [f,g]: ={\frac {\int _{\Omega }f(t){\overline {g(t)}} g(t) ^{p-2}d\mu (t)}{\ g\ _{p}^{p-2}}},\ \ f,g\in L^{p}(\Omega ,d\mu )\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,} [ f , g ] := ∫ Ω f ( t ) sgn ( g ( t ) ¯ ) d μ ( t ) , f , g ∈ L 1 ( Ω , d μ ) . {\displaystyle [f,g]: =\int _{\Oomega }f(t)\operatorname {sgn}({\overline {g(t)}d\mu(t),\\ f,g\in L^{1}(\Oomega ,d\mu). }
적용들 루머의 생각에 따라 바나흐 공간의 경계 선형 연산자를 연구하는 데 반내부 제품이 폭넓게 적용되었다.[5] [6] [7] 2007년에 더와 리는 바나흐 공간에서 큰 마진 분류를 개발하기 위해 반내부 제품을 적용했다.[8] 최근에는 기계 학습을 위한 커널 바나흐 공간 재현 개념을 확립하는 데 반내부 제품이 주 도구로 활용되고 있다.[9] 반내부 제품들은 또한 프레임 이론, 바나흐 공간의 리에즈 베이스 등을 확립하는데 사용될 수 있다.[10] 참고 항목 참조 ^ Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society 100 : 29–43, doi :10.2307/1993352 MR 0133024 ^ J. R. 자일스, 반내부 제품 공간의 등급, 미국수학협회의 거래 129(1967), 436–446. ^ J. B. 콘웨이 기능 분석 과정. 1990년 뉴욕 Springer-Verlag 2판 1페이지. ^ S. V. 파드케와 N. K. Thakare, s.i.p. 공간이 힐버트 공간일 때? 수학 학생 42명 (1974년), 193–194. ^ S. Dragomir, Semi-inner Products and Applications, Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2004. ^ D. O. Koehler, 특정 반내부 제품 공간의 일부 연산자 이론에 관한 노트, 미국 수학 협회 30 (1971), 363–366. ^ E. 토런스, 반인내 제품 공간 직교, 미국수학협회 26 (1970), 108–110을 통해 공간을 엄격히 볼록하게 한다. ^ R. 데르와 D. Lee, Banach 공간의 대형 마진 분류, JMLR 워크샵 및 회의 진행 2: AISTATS(2007), 91–98. ^ Haizhang Zhang, Yesung Su, Jun Zhang, 기계 학습을 위한 커널 바나흐 공간 재현, 기계 학습 연구 10 저널(2009), 2741–2775. ^ Haizhang Zhang과 Jun Zhang, Frame, Riesz 베이스, 그리고 반인너 제품을 통한 Banach 공간의 샘플링 확장, 적용 및 계산 조화 분석 31 (1) (2011), 1–25.
공간
정리 연산자 알헤브라스 문제 열기 적용들 고급 주제
![[\cdot ,\cdot ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle |[f,g]|\leq [f,f]^{1/2}[g,g]^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a225b43ca9e903da1c2481679c78bdb4fa6bde)
![{\displaystyle [f,g]\neq {\overline {[g,f]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b094caa70d0d0cc0e5895fc231f468402860ae1d)
![{\displaystyle [f,g+h]\neq [f,g]+[f,h].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5aeab85c6bed7260a866bb0037e5b08055809f)
![[\cdot ,\cdot ]](/immutable/placeholder.png)
(가) ![{\displaystyle \|f\|:=[f,f]^{1/2},\quad f\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e63c11a83559f54f90f3a333a0e30cd1f087cb)
![{\displaystyle \|f\|=[f,f]^{1/2},\ \ {\text{ for all }}f\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee15b11b3d6b296d09b153d8a7e1258eb6ade56)
with p {\
![{\displaystyle [x,y]:={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}|y_{j}|^{p-2}}{\|y\|_{p}^{p-2}}},\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cc558f13e3c6baf0e398f91c0706060183b93f)
![{\displaystyle [x,y]:=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\operatorname {sgn} ({\overline {y_{j}}}),\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n},\ \ p=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e352e4cf7c209084633fc0a9d015bbdc90015efd)
![{\displaystyle [f,g]:={\frac {\int _{\Omega }f(t){\overline {g(t)}}|g(t)|^{p-2}d\mu (t)}{\|g\|_{p}^{p-2}}},\ \ f,g\in L^{p}(\Omega ,d\mu )\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c043be921d6148cbbf87b786f4e10f7bf0280712)
![{\displaystyle [f,g]:=\int _{\Omega }f(t)\operatorname {sgn} ({\overline {g(t)}})d\mu (t),\ \ f,g\in L^{1}(\Omega ,d\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386ab41b901fe20bceb00fc898aafa87ba8b6bd6)