프레셰트 공간

함수 분석과 수학의 관련 영역에서 모리스 프레셰의 이름을 딴 프레셰 공간은 특수 위상 벡터 공간입니다. 이들은 바나흐 공간(노름에 의해 유도된 메트릭에 대해 완전한 정규 벡터 공간)의 일반화입니다. 모든 바나흐와 힐베르트 공간은 프레셰 공간입니다. 무한히 미분 가능한 함수의 공간은 전형적인 프레셰 공간의 예이며, 그 중 많은 부분은 일반적으로 바나흐 공간이 아닙니다.

A Fréchet space ${\displaystyle X}$ is defined to be a locally convex metrizable topological vector space (TVS) that is complete as a TVS,^[1] meaning that every Cauchy sequence in ${\displaystyle X}$ converges to some point in ${\displaystyle X}$ (see footnote for more details).^{[note 1]}

중요 참고: 모든 저자에게 프레셰 공간이 국부적으로 볼록해야 하는 것은 아닙니다(아래에서 논의).

모든 프레셰 공간의 토폴로지는 어떤 번역 불변 완전 메트릭에 의해 유도됩니다. 반대로, 국소 볼록 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 토폴로지가 변환 불변 완전 메트릭에 의해 유도되면$$ X ${\displaystyle$ X$}$는 프레셰 공간입니다.

프레셰트는 최초로 "바나흐 공간"이라는 용어를 사용했고, 바나흐는 국소 볼록성 요구 사항이 없는 완전한 메트리저블 위상 벡터 공간을 의미하기 위해 "프레셰트 공간"이라는 용어를 만들었습니다(이러한 공간은 오늘날 종종 "F-공간"^[1]이라고 불립니다). 국소 볼록성 요건은 나중에 Nicolas Bourbaki에 의해 추가되었습니다.^[1] 많은 수의 저자(예: Schaefer)가 (국소적으로 볼록한) 프레셰 공간을 의미하기 위해 "F-space"를 사용하는 반면, 다른 저자들은 "프레셰 공간"이 국부적으로 볼록한 것을 요구하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 게다가, 일부 작가들은 심지어 "F-space"와 "Féchet space"를 서로 교환하여 사용하기도 합니다. 수학 문헌을 읽을 때 독자는 책이나 기사의 "F-space"와 "Féchet space"에 대한 정의가 로컬 볼록성을 요구하는지 항상 확인하는 것이 좋습니다.^[1]

정의들

프레셰 공간은 두 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있습니다. 첫 번째는 번역 불변 메트릭을 사용하고 두 번째는 셀 수 있는 세미노름 계열입니다.

불변계량정의

위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 다음 세 가지 성질을 만족하는 경우에만 프레셰 공간입니다.

1. 국부적으로 볼록합니다.^{[note 2]}
2. 위상은 모든 x${\displaystyle ,}$ y, z ∈ X에 대해 $d$ (${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$) = d${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle z,}$ y${\displaystyle }$+$$z ) {\$displaystyle$ d($x, y$$)$= d(x,y) → d(x + z, ${\displaystyle y}$ + z) {\$d($x + z$,$ y + z$)}$와 같은 translation ${\displaystyle -}$ invariant $메트릭$으로 ${\displaystyle 유도}$할 수 있습니다. {\displaystyle x,$y$,$z\in X.}$ This means that a subset ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle X}$ is open if and only if for every ${\displaystyle u\in U}$ there exists an ${\displaystyle r>0}$ such that ${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$ is a subset of ${\displaystyle U.}$
3. $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 토폴로지를 유도하는$$ X ${\$displaystyle $X}$의 일부(또는 이와 동등하게 모든) 변환 불변 메트릭이 완료되었습니다.
   • 다른 두 조건이 만족된다고 가정하면, 이 조건은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 완전한 위상 벡터 공간인 것과 같습니다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 표준 균일성(이 표준 균일성은 X ${\displaystyle$ $X$$}$의 어떤 메트릭과도 무관하며$$ 벡터 감산 및 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$\}$의 원점 인접성 측면에서 완전히 정의됨)을 의미합니다. 또한, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 임의의 (토폴로지 정의) 번역 불변 메트릭에 의해 유도된 균일성은 이 표준 균일성과 동일합니다$$.

Préchet 공간의 두 점 사이에 거리에 대한 자연스러운 개념은 없습니다. 많은 다른 변환 불변 메트릭이 동일한 토폴로지를 유도할 수 있습니다.

셀 수 있는 세미노름 정의군

다른 방법으로 좀 더 실용적인 정의는 다음과 같습니다. 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$는 다음 세 가지 성질을 만족하는 경우에만 프레셰 공간입니다.

1. 하우스도르프 공간입니다.
2. 위상은 ${\displaystyle 셀}$ 수 없이 많은 세미노름 ⋅ k${\displaystyle$\$cdot$ _{k}} ${\displaystyle \mathrm{k}}$ = 0${\displaystyle ,}$, 2, … {\displaystyle k= 0, 1, 2,$\ldots }$ This means that a subset ${\displaystyle U\subseteq X}$ is open if and only if for every ${\displaystyle u\in U}$ there exists ${\displaystyle K\geq 0}$ and ${\displaystyle r>0}$ such that ${\displaystyle \{v\in X:\ v-u\ _{k}<r{\text{$$모두 {}k\leq K\}$에 대하여${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ U$,}$의 부분 집합입니다.
3. 세미노름과 관련하여 완전합니다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 세미노름의 패밀리$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 하우스도르프 토폴로지를 생성하는$$ 경우에만^[2]

$X$ {\displaystyle X}의 시퀀스 ${\displaystyle {x_{}}_{}^{}{}_{}}$∙ = ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$x${\displaystyle {}_{}^{}}$n ) ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}^{}}$ = 1 ∞ {\$displaystyle$ $x_${\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }는 주어진 각각의 세미노름에 대해 x {\displaystyle x}로 수렴하는 경우에만 세미노름 계열에 의해 정의된 프레셰 공간에서 x {\displaystyle x}로 수렴합니다.

물갈퀴가 있는 베이어 공간

바나흐 공간과의 비교

바나흐 공간과는 달리 완전한 번역 불변 메트릭은 표준에서 발생할 필요가 없습니다. 그러나 프레셰 공간의 위상은 완전한 파라노름과 F-노름 모두에서 발생합니다(F는 프레셰를 의미합니다).

프레셰 공간의 위상 구조는 잠재적으로 규범이 없기 때문에 바나흐 공간보다 복잡하지만, 오픈 매핑 정리, 닫힌 그래프 정리, 바나흐-슈타인하우스 정리와 같은 함수 분석의 많은 중요한 결과는 여전히 유지됩니다.

Fréchet 공간 구성

$세미노름$‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \cdot \}는 벡터 공간 X {\displaystyle X}에서 세 가지 성질을 만족하는 실수까지의 함수임을 기억하십시오. $모든$ $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ ∈ X ${\displaystyle x$,y\in X} 및 모든$스칼라$ c, {\$displaystyle$c,}

‖$$${\displaystyle x}$ ‖ =$0$ ⟺ x = 0${\displaystyle$ \ x\ =$0$\iff x= 0}인 경우 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \cdot \ }이(가) 실제로 정상입니다. 그러나 세미노름은 다음과 같이 프레셰 공간을 구성할 수 있다는 점에서 유용합니다.

프레셰 공간을 구성하려면 일반적으로 벡터 $공간$ X ${\displaystyle X}$로 시작하여 X {\displaystyle X}에서 셀 수 ${\displaystyle {있는}_{}}$ 세미노름${\displaystyle {}_{}}$‖ ⋅ ‖$$k {\$displaystyle$\cdot \_{k}}를 다음 두 가지 속성으로 정의합니다.

• $모든$$k$ ≥ 0, {\displaystyle k\geq 0,}에 대해 $x$ ∈ ${\displaystyle X{}_{}}$${\displaystyle$x\$in$${\displaystyle X}$} 및 ‖ x ‖ k = 0 ${\displaystyle$ \x$\$_${\displaystyle \{\mathrm{k}}$}=0}이면 x = 0 {\displaystyle x=0};
• ${\displaystyle {x_{}}_{}^{}{}_{}}$∙ = (x${\displaystyle {}_{}^{}}$n ) ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}^{}}$ = $1$∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}가 X ${\$displaystyle X}의${\displaystyle }$시퀀스일 경우, 각$$세미노름 ‖ ⋅ ‖ k, {\displaystyle \cdot \_{k}에 대해 코시입니다.$}$ then there exists ${\displaystyle x\in X}$ such that ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle x}$ with respect to each seminorm ${\displaystyle \ \cdot \ _{k}.$$}$

그런 다음 위에서 설명한 것처럼 이러한 세미노름에 의해 유도된 토폴로지는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$를 프레셰 공간으로$$ 바꿉니다. 첫 번째 속성은 하우스도르프임을 보장하고 두 번째 속성은 완성을 보장합니다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 동일한 토폴로지를 유도하는 변환 불변 완전 메트릭은 다음을 통해 정의할$$ 수 있습니다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{함수}}{}}$ $u$ ↦$u$ 1 + u${\displaystyle$ u$\maps to {\frac${u}{1+u$매핑$[$0,$ ∞) {\$displaystyle [$0,\infty]}를 [0, 1$], {\displaystyle$ [0, 1]로${\displaystyle \mathrm{단조}}$롭게 매핑하므로 위 $정의$는${\displaystyle d}$ (x, y)${\displaystyle$d(x$),$$y)‖$ ${\displaystyle x_{}}$- y $‖$ k {\$displaystyle$ \ x-y\ _{k}가 ${\displaystyle k}$ $=$$$0, …, K. {\displaystyle k$=$0,\ldots, K.}에 대해 $K$$$${\displaystyle$ K$$$=$ 0,\ldots, K.

예

순기능 분석에서

• 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간인데, 이는 표준이 번역 불변 메트릭을 유도하고 공간은 이 메트릭에 대해 완전하기 때문입니다.
• The space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ of all real valued sequences (also denoted ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$) becomes a Fréchet space if we define the ${\displaystyle k}$-th seminorm of a sequence to be the absolute value of the ${\displaystyle k}$-th element of the 순서. 이 프레셰 공간에서의 수렴은 원소 단위 수렴과 동등합니다.

매끄러운 매니폴드에서

• 모든 $$ 미분 ${\displaystyle 가능}$한${\displaystyle \mathrm{함수}\mathrm{f}}$의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ∞ ${\displaystyle ([}$0, 1]) ${\$$displaystyle$ C$^{\infty}([$0, 1])}${\displaystyle }$→ R {\$displaystyle$f:[0, 1]\$to \mathbb$ {R} }는 세미노름을 갖는 프레셰 공간이 됩니다.
  $${\displaystyle \ f\_{k}=\sup\{ f^{(k)}(x) :x\in [0,1]\}$$

  
  for every non-negative integer ${\displaystyle k.}$ Here, ${\displaystyle f^{(k)}}$ denotes the ${\displaystyle k}$-th derivative of ${\displaystyle f,}$ and ${\displaystyle f^{(0)}=f.$$}$이 프레쳇 공간에서 ${\displaystyle 함수}$의 시퀀스$({\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ $→$ f {\$displaystyle \left(f_{n}\right)\to$ f$}$는 ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \mathrm{음}}$이 아닌$정수$k$$$≥$ 0, {\displaystyle k\geq $0$에 대해 오직 한 경우에만 ${\displaystyle \mathrm{f}}$ $∈$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ $∞$( [$0$, 1])${\displaystyle$ f$\in C^{\$infty}([0, 1])} 요소로 수렴됩니다.$}$순서$$(${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$( k${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$$→$ ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle k^{}}$) ${\displaystyle \left (f_{n}^{(k)}\right)\to$ f$^{(k)}}}$는 균일하게 수렴합니다.
• 모든 무한히 미분 가능한${\displaystyle 함수}$ f의 벡터 $공간$ ${\displaystyle C}$ ∞ (R) ${\$$displaystyle$ $C^{\infty}(\mathbb {$R}) \$to \mathbb$ {R$}$ \는 세미노름을 갖는 프레셰트 공간이 ${\displaystyle 됨}$: R → \$displaystyle f:\mathbb${R} \to \mathbb {R}
  $${\displaystyle \ f\ _{k,n}=\sup\{ f^{(k)}(x) :x\in [-n,n]\}}$$

  
  모든 정수 $k$에 ${\displaystyle \mathrm{대하여},}$ ${\displaystyle n}$ ≥ 0$.$ ${\displaystyle$k,n\geq$$0.} 그런 다음, 모든 k에 대하여, n ≥ 0, {\displaystyle k,n\geq 0인 경우에만 함수(f n) → f {\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}의 순서가 수렴합니다.$}$순서$$(${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$( k${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$$→$ ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle k^{}}$) ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to$ f$^{(k)}}}$는 콤팩트하게 수렴합니다.
• 모든 $m$ ${\displaystyle m}$ - 시간 연속 미분 가능 함수 $f$의 벡터 $공간$ ${\displaystyle {Cm}^{}}$(${\displaystyle R)}${\$displaystyle$ C$^{m}(\mathbb {R}):$${\displaystyle R}$ → R ${\displaystyle$f:\$mathbb {R}$\ $to \mathbb {R}$은 세미노름을 갖는 프레셰트 공간이 됩니다.
  $${\displaystyle \ f\ _{k,n}=\sup\{ f^{(k)}(x) :x\in [-n,n]\}}$$

  
  ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 정수 $n$≥ 0 ${\displaystyle$n\$geq$ 0} 및 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ = $,$ …, m. {\displaystyle k=0$,\ldots$, m.}에 대하여
• If ${\displaystyle M}$ is a compact${\displaystyle C^{\infty }}$-manifold and ${\displaystyle B}$ is a Banach space, then the set ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ of all infinitely-often differentiable functions ${\displaystyle f:$$M\to B}$은(는) 모든 편미분의 정상의 상위를 반정규로 사용하여 프레셰 공간으로 변환할$$ 수 있습니다. $M$ ${\displaystyle M}$이 (꼭 콤팩트한 것은 아님) $C$∞ {\$displaystyle C$^{\infty}} - 콤팩트한 부분 집합의 셀 수 있는$$ $Kn {\displaystyle$K^{n}을(를) 허용하여 M ${\displaystyle$ K^{n}의$$콤팩트한 $부분$ 집합이$$적어도 $하나의 Kn,$ {\$displaystyle$ K^{n}에 포함됩니다.$}$그러면 공간 ${\displaystyle {Cm}^{}M,}$ B${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ C$^{m}(M,$ B$)}$ 및 ${\displaystyle C}$$∞$${\displaystyle (}$M$,$ B) {\$displaystyle C^{\infty}($M, B)}도 자연스러운 방식으로 프레셰 공간입니다. 특수한 경우로서, 모든 매끄러운 유한 차원 완전 다양체 M ${\displaystyle M}$은 콤팩트 부분 집합의 중첩 조합으로 만들 수 있습니다: 리만 메트릭 g ${\displaystyle g}$를 장비하여 메트릭 $d$ (${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y),}$ ${\displaystyle$ d$(x, y),}$ ${\displaystyle x}$ ∈ M, {\$displaystyle$ x\in M,}을 선택하고,
  $${\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}$$

  
  Let ${\displaystyle X}$ be a compact ${\displaystyle C^{\infty }}$-manifold and${\displaystyle V}$ a vector bundle over ${\displaystyle X.}$ Let ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ denote the space of smooth sections of ${\displaystyle V}$ over ${\displaystyle X.}$${\displaystyle$ X$.}$ 번들 ${\displaystyle \mathrm{TX}}$ ${\displaystyle TX}$ $및{\displaystyle }$ V$$${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle V.}$이 섹션인 경우 해당 j$$공변^th 도함수를 Dj로 ${\displaystyle {}^{}}$합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $D$$^{j}s.}$$$ 그러면.
  $${\displaystyle \ s\ _{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M} D^{j}s }$$

  
  ($여기서$‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \ \,\cdot \,\}은 리만 메트릭에 의해 유도된 표준입니다.) C ∞ (M, V) {\displaystyle C^{\infty} (M, V)}를 프레셰 공간으로 만드는 세미노름의 계열입니다.

동형화로부터

• $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$를 복소평면의 전체(모든 곳에서 홀로모픽) 함수의 공간이라 하자. 그러면 세미노름족은
  $${\displaystyle \ f\ _{n}=\sup\{ f(z) : z \leq n\}$$

  
  $H {\displaystyle$ H$}$를 프레셰 공간으로 만듭니다$$.
• $H$ ${\displaystyle H}$를 $$τ의 전체(모든 곳에서 홀로모픽) 함수의 공간이라 하자. ${\$displaystyle \tau.} 그런 다음 반정규 집합
  $${\displaystyle \ f\_{n}=\sup_{z\in \mathbb {C}}\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}\right) z \right] f(z)}$$

  
  $H {\displaystyle$ H$}$를 프레셰 공간으로 만듭니다$$.

완전한 변환 불변 메트릭을 가진 모든 벡터 공간이 프레셰 공간인 것은 아닙니다. < $$공간$$ ${\displaystyle {Lp}^{}}$( [ 0, 1 ] ) $displaystyle$ L$^{p$} $([0,1])}$가 예입니다 ${\displaystyle p< 1.}$ 이 공간은 로컬 볼록하지는 않지만 F-공간입니다.

속성 및 기타 개념

만약 프레셰 공간이 연속적인 규범을 인정한다면, 이 연속적인 규범을 각각의 규범에 추가함으로써 그것을 정의하는 데 사용된 모든 반정규를 규범으로 대체할 수 있습니다. ${\displaystyle \mathrm{Banach}}$ 공간, $C$∞ ([a$,$ b${\displaystyle ]),}$ {\$displaystyle C^{\infty$${\displaystyle {,}^{}}$ b${\displaystyle ]),\}}$ $C$ ∞ (X, V) {\$displaystyle$C^{\$infty$}(X, V), $X${\displaystyle $X$} $콤팩트$가 있는 $H${\displaystyle H}는 모두 규범을 허용합니다. $R$ω ${\$displaystyle $\mathbb {R$} $^{\$$omega$ ${\displaystyle \}\}및}$ C$(R$) ${\displaystyle$ C$(\mathbb {$R})}는 그렇지 않습니다.

프레셰 공간의 닫힌 부분 공간은 프레셰 공간입니다. 닫힌 부분공간에 의한 프레셰 공간의 몫은 프레셰 공간입니다. 유한한 수의 프레셰 공간의 직접적인 합은 프레셰 공간입니다.

셀 수 없이 많은 프레셰 공간의 곱은 항상 다시 프레셰 공간입니다. 그러나, 프레셰 공간의 임의의 곱은 기껏해야 많은 수를 제외한 모든 것이 사소한 경우(즉, 차원이 0인 경우)에만 프레셰 공간이 됩니다. 결과적으로, 셀 수 없이 많은 사소한 프레셰 공간의 곱은 프레셰 공간이 될 수 없습니다(실제로, 그러한 곱은 그 기원이 셀 수 있는 이웃 기반을 가질 수 없기 때문에 계량화할 수도 없습니다). $예$를 들어,$$≠ ∅ {\displaystyle I\n$eq \varnothing}$는 임의의 집합이고 X ${\displaystyle$ X$}$는 $임의$의 $비$$trivial$ 프레셰 공간입니다(예를 $들어$ X $=$ R$${\$displaystyle$X $=$\$mathbb {R}).$ 그런 다음 ${\displaystyle \underset{}{곱}}$ X I $=$ $∏$ i $∈$ I {\displaystyle X^{$I$}$=$\$prod_{i\in I}X}$는 ${\displaystyle$ I$}$가 셀 수 있는 집합인 경우에만 프레셰 공간입니다.

Baire 범주 정리에 기반한 함수 분석의 몇 가지 중요한 도구는 프레셰 공간에서 여전히 유효합니다. 예를 들어 닫힌 그래프 정리와 열린 매핑 정리가 있습니다. ${\displaystyle {열린}_{}}$ 매핑 정리는 τ와$$τ 2${\displaystyle$\tau ${\text{$ and }}\tau_{2}가${\displaystyle }$$($$X$$,$$$τ${\displaystyle )}$$$$\{\backslash {\displaystyle {}_{}}$ (X$,\$tau )}와 (X$,$τ 2)$${\displaystyle \left(X,$\tau$ _{2$}\$right}을(를) 완전한 미터링 가능한 TVS(예: Fréchet space)로 $⊆ τ$하고, 한 토폴로지가 다른 토폴로지보다 더 미세하거나 조악한 경우에는 동일해야 $합니다$(즉,${\displaystyle {}_{}}$$τ ⊆ τ$ 2 또는 $τ$ 2가${\displaystyle }$$τ$하면 $τ$ $=$ $tau$ 2 {\displaystyle \$subset$ \$tau$eq \$tau$ _{2}{\text{ or }}\$subset$ _{2}\$tau$eq \$tau$ {\text{ 그런 다음 }\$tau$ $=$\$tau$ _{2}}}.

프레셰 공간에서 다른 위상 벡터 공간(TVS)으로의 모든 유계 선형 연산자는 연속적입니다.^[5]

There exists a Fréchet space ${\displaystyle X}$ having a bounded subset ${\displaystyle B}$ and also a dense vector subspace ${\displaystyle M}$ such that ${\displaystyle B}$ is not contained in the closure (in ${\displaystyle X}$) of any bounded subset of ${\displaystyle M.}$^[6]

모든 프레셰 공간은 고정관념 공간입니다. 고정 공간 이론에서 프레셰 공간은 브라우네르 공간의 이중 객체입니다. 모든 계량 가능한 몬텔 공간은 분리 가능합니다.^[7] 분리 가능한 프레셰 공간은 연속 이중 수렴에서 각각의 약한-* 수렴 시퀀스가 강하게 수렴하는 경우에만 몽텔 공간입니다.^[7]

프레셰 공간(더 일반적으로 메트리저블 국소 볼록 공간^[8] 중) $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ $X_{b}^{\prime}}$의 강한 이중 공간 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$}$는 DF-공간입니다.^[9] DF 공간의 강력한 듀얼은 프레셰 공간입니다.^[10] 반사형 프레셰 공간의 강한 이중성은 모놀로지 공간과^[8] 프탁 공간입니다. 모든 프레셰 공간은 Ptak 공간입니다. 메트리저블 국소 볼록 공간의 강한 이중 공간(즉, 강한 이중 공간의 강한 이중 공간)은 프레셰 공간입니다.^[11]

규범과 규범가능성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 국부적으로 볼록한 $공간$인$$경우 X {\$displaystyle$ X}의 토폴로지는$X$ {\displaystyle $X}$의 연속적인 규범 계열에 의해 정의될$$ 수 있습니다($$규범은 양의 정의된 세미노름입니다${\displaystyle ).}$${\displaystyle X.}$ 프레셰트 공간이 (계산 가능한) 규범 계열에 의해 정의되는 토폴로지를 갖더라도$$^[12](모든 규범은 반정규이기도 함), 그럼에도 불구하고 여전히 정규 공간이 될 수 없을 수 있습니다(그 토폴로지가 어떤 단일 규범으로도 정의될 수 없음을 의미함). 모든 수열 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 공간은 $$(곱 위상과 함께) 프레셰 공간입니다. ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {\$displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N}}$에는 이 제품 토폴로지보다 엄격하게 거친 하우스도르프 국소 볼록 토폴로지가 없습니다$.$^[13] 공간 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$이(가) 정상적이지 않으므로 위상을 어떤 표준으로도 정의할 수 없습니다.^[13] $또한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$에는 연속적인 노름이 존재하지 않습니다${\displaystyle {.}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N}}.$ 사실$$, $다음{\displaystyle }$ 정리가 보여주는 것처럼, X$${\$displaystyle$X}가$$ 연속적인 노름이 존재하지 않는 프레셰 공간일 때마다, 그렇다면 이는 전적으로 부분 공간으로서$$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 존재 때문입니다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 연속적인 노름이 존재하는 비정규 프레셰 공간이라면, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$는 위상 상보가 없는 닫힌 벡터 부분 공간을 포함합니다$$.^[14]

메트리저블 국소 볼록 공간은 강한 이중 공간이 프레셰-우리손 국소 볼록 공간인 경우에만 정상적입니다.^[9] 특히 국소적으로 볼록한 계량 가능 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ $X$$}($프레셰 공간 등)가 정상이 아닌 경우($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 무한 차원인 경우에만 발생할 수 있음), 강한 이중 공간 X ${\displaystyle b_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 프레셰-우리손 공간이 아니므로 결과적으로, 이 완전한 하우스도르프 국소 볼록 공간 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 또한 계량화할 수도 없고 정규화할 수도 없습니다$$.

프레셰 공간의 강력한 이중 공간(더 일반적으로 계량 가능한 TVS와 같은 출생학적 공간)은 항상 완전한 TVS이므로 완전한 TVS와 마찬가지로 토폴로지가 완전한 표준(즉, 동일한 토폴로지를 가진 바나흐 공간으로 만들 수 있는 경우에만)에 의해 토폴로지가 유도될 수 있는 경우에만 정상적입니다. If ${\displaystyle X}$ is a Fréchet space then ${\displaystyle X}$ is normable if (and only if) there exists a complete norm on its continuous dual space ${\displaystyle X'}$ such that the norm induced topology on ${\displaystyle X'}$ is finer than the weak-* topology.^[15] 결과적으로, 프레셰 공간이 정상적이지 않다면(무한 차원일 경우에만 발생할 수 있음), 그것의 강한 이중 공간도 아닙니다.

앤더슨-카덱 정리

Anderson-Kadec 정리에 설명된 동형 사상이 반드시 선형일 필요는 없습니다.

함수의 미분

If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are Fréchet spaces, then the space ${\displaystyle L(X,Y)}$ consisting of all continuous linear maps from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ is not a Fréchet space in any natural manner. 이것은 바나흐 공간의 이론과 프레셰 공간의 이론 사이의 주요한 차이이며, 프레셰 공간에 정의된 함수의 연속적인 미분가능성에 대한 다른 정의가 필요합니다.

$U$ ${\displaystyle$ U$}$가 프레셰 공간 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X$,}$ $P$의 열린 부분 집합이라고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle U}$ → Y ${\displaystyle P:$$U\to Y}$ is a function valued in a Fréchet space ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x\in U}$ and ${\displaystyle h\in X.}$ The map ${\displaystyle P}$ is differentiable at ${\displaystyle x}$ in the direction ${\displaystyle h}$ if the limit

존재한다. $맵{\displaystyle }$$$ P ${\displaystyle$ P$}$은(는) $U{\displaystyle }${\$displaystyle U}$에서 연속적으로 미분 가능하다고 합니다$$. 연속입니다. 프레셰 공간의 곱은 다시 프레셰 공간이기 때문에 ${\displaystyle D}$(P${\displaystyle )}$ ${\displaystyle D(P)}$를 미분하고$$ 이러한 방식으로$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 상위 도함수를 정의할 수 있습니다.

도함수 연산자 $P{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ∞ ${\displaystyle ([0,}$ 1]) → $C$ ∞ ([0, 1])$${\displaystyle P:$P{\displaystyle (f)}$ $=$ ${\$displaystyle P(f) $=$ f'로 정의되는 C$^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$는 그 자체로 무한히 미분 가능합니다. 첫 번째 도함수는 다음과 같이 주어집니다.

$임의$의 두 원소 $f$에 대하여${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ ${\displaystyle C}$ ∞$([0$, 1]).${\displaystyle$ f,h$\in$ C$^{\$infty}([0,1]).$}$이것은$유한$ $k$에 대한 $바나흐{\displaystyle {공간}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{C}\mathrm{k}([}$0$,$ 1]) ${\$$displaystyle C$$^{\infty}([$0, 1])} {\displaystyle$C^{$k}([0, 1])}보다 프레셰 공간 ${\displaystyle \mathrm{C}}$$∞$${\displaystyle ([0,}$ 1])의 주요 이점입니다. ${\displaystyle$ k.}

$P$ ${\displaystyle U}$ → Y ${\displaystyle$ P$:$$U\to$ Y$}$는 연속 미분 가능 함수이며, 미분 방정식

해결책이 있을 필요는 없으며, 있다 하더라도 해결책이 고유할 필요는 없습니다. 이는 바나흐 공간의 상황과 극명한 대조를 이룹니다.

일반적으로, 역함수 정리는 프레셰 공간에서 사실이 아니지만, 부분적인 대체는 내쉬-모저 정리입니다.

프레셰 다양체 및 라이 그룹

한 사람은 프레셰 다양체를 "국소적으로 보이는" 공간으로 정의할 수 있습니다(일반 다양체와 마찬가지로). 프레셰 공간은 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$처럼 국소적으로 보이는 공간으로 정의되며,$$ 그런 다음 Lie 군의 개념을 이러한 다양체로 확장할 수 있습니다. 이것은 주어진 (ordinary) 콤팩트 C${\displaystyle {}^{}}$∞ {\$displaystyle$ C$^{\$infty$}}$ $매니폴드$ M, ${\displaystyle$ M,}$$${\displaystyle \mathrm{모든}}$ C ∞${\displaystyle$ C^{\infty} 차분${\displaystyle }$동형 $:$ M → M ${\displaystyle$ f:$M\to M}$은 이러한 의미에서 일반화된 Lie 그룹을 형성하며$$, 이 Lie 그룹은${\displaystyle }M$의 대칭을$캡처$합니다. {\$displaystyle$ M$.}$ Lie algebra와 Lie 그룹 사이의 일부$$ 관계는 이 설정에서 유효합니다.

Fréchet Lie 그룹의 또 다른 중요한 예는 콤팩트 Lie $그룹$ G${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ G$,}$ 스무스${\displaystyle (}$$C$∞ {\$displaystyle$C^{\infty}}) ${\displaystyle {매핑}^{}}$ γ:${\displaystyle }$S 1$$→ G, {\displaystyle \gamma:$S$${\displaystyle {}_{}}$$1}\to$ G$,}$ 점 단위로$$($γ$${\displaystyle }$1${\displaystyle }$$γ$ 2)(t${\displaystyle {}_{}}$ $=$$$$γ$ 1(t) $γ$ 2($t)...$ {\$displaystyle$ \$left$(\$gamma$ _{1}\$gamma$ _{2}\right)(t)$=$\$gamma$ _{1}(t)\$gamma$ _{2}(t).}

일반화

공간이 국부적으로 볼록해야 하는 요구 사항을 삭제하면 완전한 번역 불변 메트릭을 가진 벡터 공간인 F-공간을 얻습니다.

LF-공간은 프레셰 공간의 셀 수 있는 귀납적 한계입니다.

참고 항목

• 바나흐 공간 – 완전한 정규 벡터 공간
• 브라우너 공간 – 일련의 콤팩트 집합을 가진 완전한 콤팩트 생성 로컬 볼록 공간 K ₙ를 사용하여 모든 콤팩트 집합이 일부 K ₙ 페이지에 포함되어 위키데이터 설명이 폴백으로 표시됩니다.
• 전체 메트릭 공간 – 메트릭 지오메트리
• 완전한 위상 벡터 공간 – 점점 더 가까워지는 점들이 항상 한 점에 수렴하는 TVS
• F-space – 완전한 변환 불변 메트릭을 가진 위상 벡터 공간
• 프레셰 격자
• Graded Fréchet space – 역함수 정리의 일반화 방향 전환 대상에 대한 짧은 설명을 표시하는 페이지
• 힐베르트 공간 – 위상 벡터 공간의 유형
• 국부적으로 볼록한 위상 벡터 공간 – 볼록 열린집합으로 정의된 위상을 갖는 벡터 공간
• 메트리저블 위상 벡터 공간 – 위상이 메트릭으로 정의될 수 있는 위상 벡터 공간
• 프레셰 공간의 투영 – 투영성의 특성화
• Tame Fréchet space – 역함수 정리의 일반화방향 대상에 대한 짧은 설명을 표시하는 페이지
• 위상 벡터 공간 – 근접 개념을 가진 벡터 공간

메모들

인용

참고문헌

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